A. Câu hỏi – Trả lời trắc nghiệm (03 điểm)

Câu 1. Cho hai số thực $a, b$ tùy ý, $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên tập I. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A. $\int_a^b f(x)dx = f(b) – f(a)$.
B. $\int_a^b f(x)dx = F(b) – F(a)$.
C. $\int_a^b f(x)dx = F(a) – F(b)$.
D. $\int_a^b f(x)dx = F(b) + F(a)$.

Câu 2. Nguyên hàm của $f(x) = 3x^2 + \cos x + 1$ là

A. $x^3 + \sin x + c$.
B. $x^3 + x + \sin x + c$.
C. $x^3 + x + \cos x + c$.
D. $x^3 + x – \sin x + c$.

Câu 3. Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P): 2x – y + z – 1 = 0$. Vector nào dưới đây là vector pháp tuyến của $(P)$?

A. $\vec{n} = (2; -1; -1)$.
B. $\vec{n} = (-2; 1; -1)$.
C. $\vec{n} = (2; -1; 1)$.
D. $\vec{n} = (1; 1; -1)$.

Câu 4. Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên khoảng $K$ và $a, b, c \in K$. Mệnh đề nào sau đây SAI?

A. $\int_a^b f(x)dx = -\int_b^a f(x)dx$.
B. $\int_a^a f(x)dx = 0$.
C. $\int_a^b f(x)dx = \int_a^b f(t)dt$.
D. $\int_a^b f(x)dx + \int_c^b f(x)dx = \int_a^c f(x)dx$.

Câu 5. Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $M(3; -2; 5)$, $N(-1; 6; -3)$. Mặt cầu đường kính $MN$ có phương trình là:

A. $(x+1)^2 + (y+2)^2 + (z+1)^2 = 6$.
B. $(x-1)^2 + (y-2)^2 + (z-1)^2 = 6$.
C. $(x+1)^2 + (y+2)^2 + (z+1)^2 = 36$.
D. $(x-1)^2 + (y-2)^2 + (z-1)^2 = 36$.

Câu 6. Cho đồ thị hàm số $y = f(x)$. Diện tích S của hình phẳng (phần tô đậm trong hình dưới) là:

A. $S = \int_{-2}^3 f(x)dx$.
B. $S = \int_{-2}^0 f(x)dx + \int_0^3 f(x)dx$.
C. $S = \int_0^{-2} f(x)dx + \int_0^3 f(x)dx$.
D. $S = \int_{-2}^0 f(x)dx + \int_0^3 f(x)dx$.

Câu 7. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = x^3 – 3x^2$, trục hoành và hai đường thẳng $x = -2; x = 3$ bằng

A. $\frac{27}{4}$.
B. $\frac{11}{4}$.
C. $\frac{75}{4}$.
D. $12$.

Câu 8. Tính thể tích $V$ của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng $x = 0$ và $x = p$, biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x$ $(0 \leq x \leq p)$ là một tam giác đều có diện tích $\sqrt{3}\sin x$.

A. $V = 3$.
B. $V = 3p$.
C. $V = 2p\sqrt{3}$.
D. $V = 2\sqrt{3}$.

Câu 9. Cho hai biến cố $A$ và $B$ với $P(B) > 0$ thì xác suất của biến cố $A$ với điều kiện biến cố $B$ đã xảy ra là

A. $P(A|B) = \frac{P(A)}{P(B)}$.
B. $P(A|B) = P(A).P(B)$.
C. $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$.
D. $P(A|B) = \frac{P(A \cup B)}{P(B)}$.

Câu 10. Cho hình phẳng $(D)$ giới hạn bởi các đường $y = x^2 – 4x + 4$, $y = 0$, $x = 0$, $x = 2$. Khối tròn xoay tạo thành khi quay $(D)$ quanh trục hoành có thể tích $V$ bằng bao nhiêu?

A. $V = \frac{32}{5}$.
B. $V = \frac{32p}{5}$.
C. $V = \frac{32}{5p}$.
D. $V = 32p$.

Câu 11. Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(1; 1; 1)$, $B(1; 3; -5)$. Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn $AB$.

A. $y – 2z + 2 = 0$.
B. $y – 3z + 4 = 0$.
C. $y – 2z – 6 = 0$.
D. $y – 3z – 8 = 0$.

Câu 12. Một hộp có 10 viên bi trắng và 5 viên bi đỏ, các viên bi có cùng kích thước và khối lượng. Bạn Bình lấy ngẫu nhiên một viên bi trong hộp, không trả lại. Sau đó bạn An lấy ngẫu nhiên một viên bi trong hộp đó.

Gọi $A$ là biến cố: “An lấy được viên bi trắng”; Và $B$ là biến cố “Bình lấy được viên bi trắng”.

Khi đó, $P(A|B)$ bằng

A. $\frac{2}{7}$.
B. $\frac{3}{7}$.
C. $\frac{9}{14}$.
D. $\frac{2}{3}$.

B. Câu hỏi – Trả lời đúng/sai (02 điểm)

Câu 13. Một hộp có 16 bi đỏ và 10 bi xanh, trong đó có 10 bi được đánh số gồm 6 bi đỏ và 4 bi xanh. Xét các biến cố sau:

$A$: “viên bi được lấy ra có màu đỏ”; $B$: “viên bi được lấy ra có đánh số”; $\overline{A}$: “viên bi được lấy ra có màu xanh”; $\overline{B}$: “viên bi được lấy ra không có đánh số”.

Khi đó:

a) Xác suất để lấy ra bi xanh là $\frac{5}{13}$.

b) Xác suất để lấy ra bi không có đánh số là $\frac{5}{13}$.

c) Xác suất để lấy được bi màu đỏ không có đánh số là $\frac{5}{8}$.

d) Xác suất lấy được bi xanh không có đánh số là $\frac{8}{13}$.

Câu 14. Trong không gian $Oxyz$ cho điểm $A(1; 0; 2)$, $B(1; 1; 0)$ và đường thẳng $d$ có phương trình: $\frac{x-1}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z+1}{2}$. Khi đó:

a) Mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $A$ và vuông góc với $d$ có phương trình tổng quát là $x + y + 2z – 1 = 0$.

b) Hình chiếu vuông góc của $A$ trên đường thẳng $d$ là điểm $H(1; 0; -1)$.

c) Phương trình mặt phẳng $(Q)$ đi qua $A, B$ và song song với đường thẳng $d$ có phương trình tổng quát: $4x – 2y – z – 2 = 0$.

d) Phương trình đường thẳng $D$ đi qua $A$, vuông góc và cắt $d$ có dạng: $\frac{x-1}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z-2}{-1}$.

C. Câu hỏi – Trả lời ngắn (02 điểm)

Câu 15. Hệ thống định vị toàn cầu (tên tiếng Anh là: Global Positioning System, viết tắt là GPS) là một hệ thống cho phép xác định chính xác vị trí của một vật thể trong không gian. Ta có thể mô phỏng cơ chế hoạt động của hệ thống GPS trong không gian như sau: Trong cùng một thời điểm, tọa độ của một điểm $M$ trong không gian sẽ được xác định bởi bốn vệ tinh cho trước, trên mỗi vệ tinh có một máy tín hiệu. Bằng cách so sánh sự sai lệch về thời gian thu được tín hiệu được phát đi với thời gian nhận phần hồi tín hiệu đó, mỗi máy thu tín hiệu xác định được khoảng cách từ vệ tinh đến vị trí $M$ cần tìm tọa độ. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho bốn vệ tinh $A(0; 4; 5)$, $B(-3; -1; 3)$, $C(-2; 8; 9)$, $D(-7; 2; -3)$. Tính khoảng cách từ gốc tọa độ $O$ đến điểm $M$ biết rằng khoảng cách từ các vệ tinh đến điểm $M$ lần lượt là $MA = 3$, $MB = 5$, $MC = 9$, $MD = 10$. (Kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

Đáp án số: ______

Câu 16. Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần đều với vận tốc $v_1(t) = 7t$ (m/s). Đi được $5$ (s), người lái xe phát hiện chướng ngại vật và phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần đều với gia tốc $a = -70$ (m/s²). Tính quãng đường $S$ (m) đi được của ô tô từ lúc bắt đầu chuyển bánh cho đến khi dừng hẳn. (Kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Đáp án số: ______

Câu 17. Biết góc quan sát ngang của một camera là $116°$. Trong không gian $Oxyz$, camera được đặt tại điểm $A(2; 1; 5)$ và chiếu thẳng về phía mặt phẳng $(P): 2x – y – 2z + 13 = 0$. Hỏi vùng quan sát được trên mặt phẳng $(P)$ của camera là hình tròn có đường kính bằng bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng phần mười)

Đáp án số: ______

Câu 18. Trong một khu du lịch, người ta cho du khách trải nghiệm thiên nhiên bằng cách du theo đường trượt zipline từ vị trí $A$ cao $15$ m của tháp 1 này sang vị trí $B$ cao $10$ m của tháp 2 trong khung cảnh tuyệt đẹp xung quanh. Với hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho trước (đơn vị: mét), tọa độ của $A$ và $B$ lần lượt là $(3; 2; 5; 15)$ và $(21; 27; 5; 10)$. Khi du khách ở độ cao $12$ mét thì tọa độ của du khách lúc đó là $M(a; b; c)$. Tính giá trị biểu thức $T = a + b + c$ (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị). Biết rằng sự trung xuống của sợi dây là không đáng kể.

Đáp án số: ______

D. Câu hỏi – Trả lời tự luận (03 điểm)

Câu 19. Cho hình phẳng $(H)$ được giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x) = \frac{2x + 1}{x}$, trục hoành và hai đường thẳng $x = 1$, $x = 5$. Lấy đơn vị trên các trục tọa độ là $dm$. Một chậu nước bằng nhựa có hình dạng và kích thước giống hệt như hình dạng và kích thước của khối tròn xoay $(T)$ được tạo thành khi quay hình $(H)$ quanh trục $Ox$, thể tích nhựa để làm chậu nước chiếm $5%$ thể tích của khối tròn xoay $(T)$ khi đó chậu có thể chứa được tối đa bao nhiêu lít nước? (làm tròn kết quả đến hàng phần chục)

Câu 20. Một người đứng ở mặt đất điều khiển flycam để phục vụ chương trình truyền hình. Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ với gốc tọa độ $O$ là vị trí người điều khiển, mặt phẳng $(Oxy)$ trung với mặt đất. Chiếc flycam đang ở vị trí điểm $B(3; 1; 2)$ và chuyển động trên đường thẳng trong $5$ giây tới điểm $M$ với vận tốc không đổi; vector vận tốc (trên giây) là $\vec{v} = (2; 1; 2)$. Xác định khoảng cách từ vị trí người điều khiển tới $M$.

Câu 21. Một bình đựng 50 viên bi kích thước, chất liệu như nhau, trong đó có 30 viên bi xanh và 20 viên bi trắng. Lấy ngẫu nhiên ra một viên bi, rồi lại lấy ngẫu nhiên ra một viên bi nữa. Tính xác suất để lấy được một viên bi xanh ở lần thứ nhất và một viên bi trắng ở lần thứ hai.

Đáp Án

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh