Phần I. Câu hỏi trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi, thí sinh chỉ chọn 1 phương án.

Câu 1:

Cho hàm số $f(x)$ có bảng biến thiên như sau

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào?

A. $(0; 1)$
B. $(-1; 0)$
C. $(0; +\infty)$
D. $(1; +\infty)$

Câu 2:

Hàm số nào dưới đây đồng biến trên khoảng $(-\infty; +\infty)$?

A. $y = \frac{x + 1}{x – 2}$
B. $y = x^2 – 3x$
C. $y = x^3 + x$
D. $y = \frac{x – 1}{x + 3}$

Câu 3:

Cho hàm số $f(x)$ có bảng biến thiên như sau

Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng:

A. 2
B. -5
C. 3
D. 0

Câu 4:

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên $\mathbb{R} \setminus {1}$, liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như sau:

Mệnh đề nào dưới đây sai?

A. Đồ thị hàm số có điểm cực trị là $(0; 2)$
B. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 5
C. Hàm số nghịch biến trên $(0; 1)$
D. Hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty; 0)$

Câu 5:

Ký hiệu $M$ và $m$ lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \frac{x^2 + x + 4}{x + 1}$ trên đoạn $[0; 3]$. Tính giá trị của tỉ số $\frac{M}{m}$.

A. $\frac{4}{3}$
B. $\frac{5}{3}$
C. 2
D. $\frac{2}{3}$

Câu 6:

Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{3x + 2}{x – 2}$ là đường thẳng có phương trình:

A. $x = 2$
B. $x = -1$
C. $x = 3$
D. $x = -2$

Câu 7:

Cho hàm số $y = \frac{ax^2 + bx + c}{px + q}$ $(ac \neq 0)$ có đồ thị như hình vẽ. Đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho là đường thẳng:

A. $y = -2x$
B. $y = 2x$
C. $x = 0$
D. $y = -x$

Câu 8:

Hàm số nào trong các hàm số dưới đây có đồ thị như hình vẽ sau:

A. $y = \frac{x^2 + 4x + 2}{x + 2}$
B. $y = \frac{2x + 2}{x + 2}$
C. $y = \frac{x^2 – 4x + 2}{x + 2}$
D. $y = \frac{2x – 2}{x – 2}$

Câu 9:

Cho đồ thị hàm số sau:

Đồ thị đã cho là đồ thị của hàm số

A. $y = \frac{3x}{x + 2}$
B. $y = \frac{-3x}{x – 2}$
C. $y = \frac{-3x}{x + 2}$
D. $y = \frac{3x – 2}{x + 2}$

Câu 10:

Một chiếc hộp có dạng hình hộp chữ nhật không có nắp, có đáy là hình vuông cạnh $x(cm)$ và chiều cao $h(cm)$. Biết tổng diện tích bề mặt của chiếc hộp bằng $243cm^2$, tìm $x$ để chiếc hộp có thể tích lớn nhất.

A. $9,17$
B. $9,15$
C. $9,2$
D. $9$

Câu 11:

Một vật được phóng thẳng đứng lên trên từ độ cao $2m$ với vận tốc ban đầu là $24,5m/s$. Trong Vật lí, ta biết rằng khi bỏ qua sức cản của không khí thì độ cao $h$ (mét) của vật sau $t$ (giây) được cho bởi công thức $h(t) = 2 + 24,5t – 4,9t^2$. Sau bao nhiêu giây thì vật đạt độ cao lớn nhất?

A. 5
B. 3
C. 4
D. $2,5$

Câu 12:

Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích bằng $144 m^2$. Biết độ dài một cạnh của mảnh vườn là $x$ (m). Gọi $P(x)$ (m) là chu vi của mảnh vườn được tính theo $x$. Biết đồ thị hàm số $P(x)$ có một đường tiệm cận xiên $y = f(x) = ax + b$ và chu vi của mảnh vườn đạt giá trị nhỏ nhất khi $x = c$. Hỏi giá trị $f(c)$ bằng bao nhiêu?

A. 24
B. 25
C. 28
D. 26

Phần 2. Trắc nghiệm lựa chọn đúng sai

Thí sinh trả lời từ câu 13 đến câu 16. Trong mỗi ý a) b) c) d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 13:

Cho hàm số $f(x) = x^3 – 3x$ có đồ thị $(C)$.

Trong các mệnh đề sau, đâu là mệnh đề đúng đâu là mệnh đề sai?

a) Hàm số $f(x)$ nghịch biến trên khoảng $(-1; 1)$.

b) Giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)$ trên đoạn $[0; 2]$ là 0.

c) Số giao điểm của đồ thị hàm số $f(x) = x^3 – 3x$ với trục hoành là 3 giao điểm.

d) Có 2 giá trị nguyên của $m$ để phương trình $x^3 – 3x + 2 – m = 0$ (1) có ba nghiệm phân biệt.

Câu 14:

Cho hàm số $y = \frac{4x + 10}{x + 1}$ có đồ thị là $(C)$ như hình vẽ

a) Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-1; +\infty)$.

b) Điểm $I(1; 4)$ là giao điểm của các đường tiệm cận của đồ thị $(C)$.

c) Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[1; 2]$ bằng 10.

d) Đường thẳng $y = x$ cắt $(C)$ tại hai điểm $A, B$. Biết đường thẳng $y = x + m$ cắt $(C)$ tại $C, D$ sao cho $ABCD$ là hình bình hành khi đó $m < 0$.

Câu 15:

Cho đồ thị hàm số $y = \frac{ax^2 + bx + c}{x + d}$ có đồ thị như hình vẽ.

a) Hàm số đạt cực đại tại $x = 1$.

b) Hàm số không có giá trị lớn nhất trên $(2; +\infty)$.

c) Đồ thị hàm số có đường tiệm cận xiên là $y = x – 1$.

d) $b^2 – 4ac > 0$

Câu 16:

Một công ty sản xuất dụng cụ thể thao nhận được một đơn đặt hàng sản xuất 8000 quả bóng tennis. Công ty này có thể sản xuất ít nhất hoặc nhiều hơn đơn đặt hàng một máy có thể sản xuất 30 quả bóng trong một giờ. Chi phí thiết lập các máy này là 200 nghìn đồng cho mỗi máy. Khi được thiết lập, hoạt động sản xuất sẽ hoàn toàn tự động dưới sự giám sát của người giám sát sẽ giám sát tất cả các máy). Số tiền phải trả cho người giám sát là 192 nghìn đồng một giờ.

Xét tính đúng, sai của các mệnh đề sau:

a) Trong 1 giờ, cần 266 máy để sản xuất được 8000 quả bóng tennis.

b) Trong $\frac{8}{3}$ giờ, cần 100 máy để sản xuất được 8000 quả bóng tennis.

c) Chi phí hoạt động thấp nhất là 64 triệu đồng.

d) Để chi phí hoạt động thấp nhất, công ty cần sử dụng 16 máy.

Phần 3. Câu hỏi trắc nghiệm trả lời ngắn

Thí sinh trả lời từ câu 17 đến câu 22

Câu 17:

Cho hàm số $y = -\frac{1}{3}x^3 + mx^2 + (3m – 4)x + 5$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$?

Câu 18:

Trong một thí nghiệm y học, người ta cấy 900 con vi khuẩn vào môi trường dinh dưỡng. Bằng thực nghiệm, người ta xác định được số lượng vi khuẩn thay đổi theo thời gian bởi công thức: $N(t) = 900 + \frac{100t}{100 + t^2}$ (con), trong đó $t$ là thời gian tính bằng giây $(t \geq 0)$. Trong khoảng thời gian $(a; b)$ từ lúc nuôi cấy thì số lượng vi khuẩn sẽ tăng lên. Tìm $3a + 2b$.

Câu 19:

Số lượng sản phẩm bán được của một công ty trong $x$ (tháng) được tính theo công thức $S(x) = 500\left(3 – \frac{x}{3 + x}\right)$, trong đó $x \geq 1$. Số lượng sản phẩm được bán của công ty đó trong $x$ (tháng) khi $x$ đủ lớn gần bằng

Câu 20:

Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như hình vẽ:

Số giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $6f(x^2 – 4x) = m$ có ít nhất ba nghiệm thực phân biệt thuộc khoảng $(0; +\infty)$ bằng

Câu 21:

Gia sư doanh số (tính bằng số sản phẩm) của một sản phẩm mới (trong vòng một số tuần định) tuân theo quy luật logistic được mô tình hóa bằng hàm số $f(t) = \frac{5000}{1 + 5e^{-t}}, t \geq 0$, trong đó thời gian $t$ được tính bằng năm, kể từ khi phát hành sản phẩm mới. Khi đó, đạo hàm $f'(t)$ sẽ biểu thị tốc độ bán hàng. Hỏi sau khi phát hành thì tốc độ bán hàng đạt lớn nhất bằng bao nhiêu?

Câu 22:

Một quản thể 2000 vi khuẩn được nuôi cấy và phát triển về số lượng theo phương trình: $P(t) = 2000\left(1 + \frac{4t}{49 + t^2}\right), (t > 0)$

trong đó $t$ được tính bằng giờ. Đạo hàm $P'(t)$ biểu thị tốc độ gia tăng số lượng vi khuẩn. Hỏi từ thời điểm nào thì số lượng vi khuẩn giảm dần?

Đáp Án

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh