Phần I. Câu trắc trắc nghiệm nhiều lựa chọn

Học sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12 mỗi câu hỏi học sinh chỉ chọn một phương án

Câu 1: Hàm số $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên khoảng $K$ nếu

A. $F'(x) = -f(x), \forall x \in K$

B. $f'(x) = F(x), \forall x \in K$.

C. $F'(x) = f(x), \forall x \in K$.

D. $f'(x) = -F(x), \forall x \in K$.

Câu 2: Cho hai hàm số $y = f(x)$ và $y = g(x)$ liên tục trên $R$. Mệnh đề nào sau đây sai?

A. $\int[f(x) – g(x)]dx = \int f(x)dx – \int g(x)dx$.

B. $\int[f(x) + g(x)]dx = \int f(x)dx + \int g(x)dx$.

C. $\int kf(x)dx = k\int f(x)dx$ với mọi hằng số $k \in R \setminus {0}$.

D. $\int f(x).g(x)dx = \int f(x)dx.\int g(x)dx$

Câu 3: Họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = x^3$ là

A. $4x^4 + C$.

B. $3x^2 + C$.

C. $x^4 + C$.

D. $\frac{1}{4}x^4 + C$.

Câu 4: Cho $f(x)$ là hàm số liên tục trên $[a; b]$ và $F(x)$ là nguyên hàm của $f(x)$. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. $\int_a^b f(x)dx = F(x)|_a^b = F(b) – F(a)$.

B. $\int_a^a f(x)dx = 0$.

C. $\int_a^b f(x)dx = F'(x)|_a^b = F'(b) – F'(a)$.

D. $\int_a^b f(x)dx = -\int_b^a f(t)dt$.

Câu 5: Biết $\int_0^2 f(x)dx = -2$ và $\int_2^5 f(x)dx = -4$. Tính $\int_0^5 f(x)dx$

A. $-2$

B. $2$

C. $6$

D. $-6$

Câu 6: Cho $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{\ln x}{x}$. Tính: $I = F(e) – F(1)$,

A. $I = \frac{1}{2}$

B. $I = \frac{1}{e}$

C. $I = 1$

D. $I = e$

Câu 7: Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên đoạn $[a; b]$. Gọi $D$ là hình phẳng giới hạn với đồ thị hàm số $y = f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x = a$, $x = b$ $(a < b)$. Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay $D$ quanh trục hoành là

A. $V = \pi\int_a^b [f(x)]^2 dx$.

B. $V = 2\pi\int_a^b [f(x)]^2 dx$.

C. $V = \pi^2 \int_a^b [f(x)]^2 dx$.

D. $V = \pi^2 \int_a^b f(x)dx$.

Câu 8: Gọi $S$ là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = 2^x$, $y = 0$, $x = 0$, $x = 2$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $S = \pi \int_0^2 2^x dx$

B. $S = \int_0^2 2^x dx$

C. $S = \pi \int_0^2 2^{2x} dx$

D. $S = \int_0^2 2^{2x} dx$

Câu 9: Trong không gian $Oxyz$, mặt phẳng $(\alpha): x – 2y + z – 4 = 0$ đi qua điểm nào sau đây

A. $Q(1; -1; 1)$.

B. $N(0; 2; 0)$.

C. $P(0; 0; -4)$.

D. $M(1; 0; 0)$.

Câu 10: Trong không gian $Oxyz$, vecto nào dưới đây có giá vuông góc với mặt phẳng $(\alpha): 2x – 3y + 1 = 0$?

A. $\vec{a} = (2; -3; 1)$

B. $\vec{b} = (2; 1; -3)$

C. $\vec{c} = (2; -3; 0)$

D. $\vec{d} = (3; 2; 0)$

Câu 11: Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, phương trình mặt phẳng đi qua điểm $A(1; 2; -3)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (2; -1; 3)$ là

A. $2x – y + 3z + 9 = 0$.

B. $2x – y + 3z – 4 = 0$.

C. $x – 2y – 4 = 0$.

D. $2x – y + 3z + 4 = 0$.

Câu 12: Trong không gian $Oxyz$, phương trình của mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $B(2; 1; -3)$, đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng $(Q): x + y + 3z = 0$, $(R): 2x – y + z = 0$ là

A. $4x + 5y – 3z + 22 = 0$.

B. $4x – 5y – 3z – 12 = 0$.

C. $2x + y – 3z – 14 = 0$.

D. $4x + 5y – 3z – 22 = 0$.

Phần II. Học sinh trả lời từ câu 1 đến câu 2.

Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, học sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1: Cho hàm số $f(x) = x^2 + ax + b$, biết $F(x)$ là nguyên hàm của hàm số $f(x)$ với $\forall x \in \mathbb{R}$. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau?

a) Khi $a = b = 0$ thì $F(x) = \frac{x^3}{3} + C$

b) Khi $a = 1, b = 0$ thì $F(x) = \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + C$

c) Khi $a = 1, b = 1, F(0) = 0$ thì có $3$ giá trị của $x$ để $F(x) = 0$

d) Nếu $F(1) = 2, F(-1) = 1, F(0) = 0$ thì $a^2 + b^2 = \frac{41}{9}$

Câu 2: Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(1; 2; -3), B(-2; 0; -1), M(2; -1; 4)$ và mặt phẳng $(P): 3x – 2y + z + 1 = 0$. Khi đó:

a) Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là $\vec{n} = (3; -2; 1)$.

b) Phương trình của mặt phẳng $(Q)$ đi qua $O$ và song song với mặt phẳng $(P)$ là $3x – 2y + z = 0$

c) Phương trình của mặt phẳng đi qua $M$ và vuông góc với đường thẳng $AB$

d) Mặt phẳng $(R)$ song song với mặt phẳng $(P)$ và cách điểm $N(1; -1; 5)$ một khoảng bằng $\frac{11}{\sqrt{14}}$ có phương trình là $3x – 2y + z + 21 = 0$.

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn

Học sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4.

Câu 1: Một ô tô đang chạy với vận tốc $72(km/h)$ thì người lái xe đạp phanh. Sau khi đạp phanh, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc $v(t) = -7t + 21(m/s)$ $(m/s)$, trong đó $t$ là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Gọi $S(t)$ là quãng đường ô tô đi được trong thời gian $t$ (giây) kể từ lúc đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn đi chuyển được bao nhiêu mét?

Câu 2: Để đảm bảo an toàn khi lưu thông trên đường, các xe ô tô khi dừng đèn đỏ phải cách nhau tối thiểu $1(m)$. Một ô tô $A$ đang chạy với vận tốc $16(m/s)$ bỗng gặp ô tô $B$ đang dừng đèn đỏ nên ô tô $A$ hãm phanh và chuyển động chậm dần đều với vận tốc được biểu thị bởi công thức $v_A(t) = 16 – 4t$ (đơn vị tính bằng m/s), thời gian tính bằng giây. Hỏi rằng để có 2 ô tô $A$ và B đạt khoảng cách an toàn khi dừng lại thì ô tô $A$ phải hãm phanh khi cách ô tô B một khoảng ít nhất là bao nhiêu?

Câu 3: Một vật chuyển động trong $3$ giờ với vận tốc $v(km/h)$ phụ thuộc thời gian $t(h)$ có đồ thị là một phần của đường parabol có đỉnh $I(2; 9)$ và trục đối xứng song song với trục tung như hình bên. Gọi S là quãng đường (tính bằng km) mà vật di chuyển được trong $3$ giờ kể từ lúc xuất phát. Tính quãng đường $S$ (làm tròn đến hàng phần chục) mà vật di chuyển được trong $3$ giờ đó?

Câu 4: Bác Bình muốn làm một cái cửa công hình parabol có chiều cao từ mặt đất đến đỉnh là $3$ mét, chiều rộng tiệp giáp với mặt đất là $4$ mét (như hình vẽ dưới). Giá thuê mỗi mét vuông là $900 000$ đồng. Số tiền bác Bình phải trả là bao nhiêu triệu đồng?

PHẦN IV. Tự luận

Câu 1: Để chuẩn bị cho hội trại do Đoàn trường tổ chức, lớp 12A dự định dựng một cái lều trại có hình parabol như hình vẽ. Nền của lều trại là một hình chữ nhật có kích thước bề ngang $3$ mét, chiều dài $6$ mét, đỉnh trại cách nền $3$ mét. Tính thể tích phần không gian bên trong trại.

Câu 2: Tính $I = \int_{-1}^{1} \sqrt{2-x^2} dx$

Câu 3: Ở mỗi vùng quê Việt Nam, trước mỗi nhà thường có một khoảng sân rộng để phơi lúa vào mùa gặt và cũng là nơi để tổ chức một số sự kiện: đám cưới, đám hỏi, thôi nôi,… Bác Nam tính xây một sân trước cửa nhà hình chữ nhật ABCD có độ dài các cạnh lần lượt là $AB = 5(m)$ và $AD = 12(m)$. Để tiện cho việc thoát nước khi trời mưa và khi rửa sân nên bác Nam xây vị trí $B$ thấp hơn vị trí $A$ là $5(cm)$, vị trí $D$ thấp hơn vị trí $A$ là $8(cm)$. Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ như hình vẽ, hãy xác định xem vị trí $C$ thấp hơn vị trí $A$ bao nhiêu cm? (làm tròn đến cm)

Đáp Án

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh