Chọn đến phần học sinh cần nhanh chóng thông qua mục lục bằng cách click đến phần đó
Phần I. Câu trắc trắc nghiệm nhiều lựa chọn
Học sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12 mỗi câu hỏi học sinh chỉ chọn một phương án
Câu 1. Hàm số $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên khoảng $K$ nếu
A. $F'(x) = -f(x), \forall x \in K$.
B. $f'(x) = F(x), \forall x \in K$
C. $F'(x) = f(x), \forall x \in K$.
D. $f'(x) = -F(x), \forall x \in K$.
Câu 2. Cho hai hàm số $y = f(x)$ và $y = g(x)$ liên tục trên $R$. Mệnh đề nào sau đây sai?
A. $\int [f(x) – g(x)] dx = \int f(x) dx – \int g(x) dx$.
B. $\int [f(x) + g(x)] dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx$.
C. $\int kf(x) dx = k \int f(x) dx$ với mọi hằng số $k \in R \setminus {0}$.
D. $\int f(x).g(x) dx = \int f(x) dx. \int g(x) dx$.
Câu 3. Hàm số $F(x) = 2\sin x + 3x$ là một nguyên hàm của hàm số
A. $f(x) = 2\cos x – 3$
B. $f(x) = -2\cos x + 3$.
C. $f(x) = 2\cos x + 3$.
D. $f(x) = -2\cos x – 3$.
Câu 4. Cho $f(x)$ là hàm số liên tục không âm trên $[a; b]$ thì diện tích $S$ của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị $y = f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x = a, x = b$ là:
A. $S = \int_a^b f(x) dx$.
B. $S = \int_b^a f(x) dx$.
C. $S = -\int_a^b f(x) dx$.
D. $S = \int_a^a f(x) dx$.
Câu 5. Biết $\int_3^5 f(x) dx = -2$ và $\int_4^5 f(x) dx = -4$. Giá trị biểu thức $\int_3^4 f(x) dx$ bằng
A. $-2$.
B. $2$.
C. $6$.
D. $-6$.
Câu 6. Cho $\int_0^1 f(x) dx = 5, \int_0^1 g(x) dx = -4$. Tính $\int_0^1 [f(x) – g(x)] dx$.
A. $9$.
B. $13$.
C. $-9$.
D. $-1$.
Câu 7. Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục và không âm trên đoạn $[a; b]$. Gọi $D$ là hình phẳng giới hạn với đồ thị hàm số $y = f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x = a$, $x = b$ $(a < b)$. Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay $D$ quanh trục hoành là
A. $V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 dx$.
B. $V = 2\pi \int_a^b [f(x)]^2 dx$.
C. $V = \pi^2 \int_a^b [f(x)]^2 dx$.
D. $V = \pi^2 \int_a^b f(x) dx$.
Câu 8. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường thẳng $x = 0, x = \pi$, đồ thị hàm số $y = \cos x$ và trục $Ox$ là:
A. $S = \int_0^\pi \cos x dx$
B. $S = \int_0^\pi \cos^2 x dx$.
C. $S = \int_0^\pi |\cos x| dx$.
D. $S = \pi \int_0^\pi |\cos x| dx$.
Câu 9. Gọi $V$ là thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = e^x, y = 0, x = 0, x = 2$ quay quanh $Ox$. Phát biểu nào sau đây là đúng?
A. $V = \pi \int_0^2 e^{2x} dx$.
B. $V = \int_0^2 e^x dx$.
C. $V = \pi \int_0^2 e^x dx$.
D. $V = \int_0^2 e^{2x} dx$.
Câu 10. Trong không gian $Oxyz$, vecto nào dưới đây có giá vuông góc với mặt phẳng $(\alpha): x – y + 5 = 0$?
A. $\vec{a} = (1; -1; 0)$
B. $\vec{b} = (1; 1; 5)$
C. $\vec{c} = (2; -3; 0)$
D. $\vec{d} = (1; 1; 0)$
Câu 11. Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, phương trình mặt phẳng đi qua điểm $A(1; -1; -2)$ có vecto pháp tuyến $\vec{n} = (2; -1; 3)$ là
A. $2x – y + 3z + 3 = 0$.
B. $2x – y – 3z – 3 = 0$.
C. $2x + y – 3z + 3 = 0$.
D. $2x + y – 3z + 9 = 0$.
Câu 12. Trong không gian $Oxyz$, tọa độ một vecto $\vec{n}$ vuông góc với cả hai vecto $\vec{a} = (1; 1; -2)$, $\vec{b} = (1; 0; 3)$ là
A. $(2; 3; -1)$.
B. $(3; 5; -2)$.
C. $(2; -3; -1)$.
D. $(3; -5; -1)$.
Phần II. Dạng Đúng-Sai
(Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, học sinh chọn đúng hoặc sai)
Câu 13. Cho hàm số $f(x) = x^3 – 2024x + 2025$.
a) Một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ là $F(x) = \frac{1}{4}x^4 – 1012x^2 + 2025x$.
b) $f(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $g(x) = 3x^2 – 2024$.
c) Nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x)$ thỏa mãn $F(0) = 3$ là $F(x) = \frac{1}{4}x^4 – 1012x^2 + 2025x$.
d) Tích phân $\int_0^1 f(x)dx = \frac{4053}{4}$.
Câu 14. Trong không gian $Oxyz$, cho hai mặt phẳng $(P): y = 0, (Q): \sqrt{3}x – y – 2024 = 0$. Xét các vecto $\vec{n_1} = (0; 1; 0)$, $\vec{n_2} = (\sqrt{3}; -1; 0)$.
a) $\vec{n_1}$ là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$.
b) $\vec{n_2}$ không là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng $(Q)$.
c) $\vec{n_1} . \vec{n_2} = -1$.
d) Góc giữa hai mặt phẳng $(P), (Q)$ bằng $30°$.
PHẦN III. Dạng trả lời ngắn
(Trong các câu hỏi sau, mỗi câu hỏi học sinh trả lời kết quả tìm được)
Câu 15. Một vườn trồm cây cảnh bán một cây sau $6$ năm trồng và uốn tạo dáng. Tốc độ tăng trưởng của cây đó trong suốt $6$ năm được tính xấp xỉ bởi công thức $h'(t) = 1,5t + 5$, trong đó $h(t)$ (cm) là chiều cao của cây sau $t$ (năm). (Nguồn: R. Larson and B. Edwards, Calculus 19e, Cengage 2914). Cây con khi được trồng cao $20$ cm. Chiều cao của cây sau $10$ năm trồng là $a$ (cm). Khi đó $\frac{a}{4}$ bằng bao nhiêu?
Câu 16. Một viên đạn được bắn thẳng đứng lên trên từ mặt đất. Giả sử tại thời điểm t giây (coi $t = 0$ là thời điểm viên đạn được bắn lên), vận tốc của nó được cho bởi công thức $v(t) = 160 – 9,8t$ (m/s). Tìm độ cao cao nhất của viên đạn làm tròn đến một chữ số thập phân.
Câu 17. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, đài kiểm soát không lưu sân bay có tọa độ $O(0; 0; 0)$, mỗi đơn vị trên một trục tửa 1 km. Máy bay bay trong phạm vi cách đài kiểm soát $417$ km sẽ hiện thị trên màn hình ra đa. Một máy bay đang ở vị trí $A(-688; -185; 8)$, chuyển động theo đường thẳng $d$ có vecto chỉ phương là $\vec{u} = (91; 75; 0)$ và theo hướng về đài không lưu. $E(a; b; c)$ là vị trí sớm nhất mà máy bay xuất hiện trên màn hình. Tính $T = a + b + c$.
Câu 18. Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S): x^2 + y^2 + z^2 + 4x – 6y – a = 0$ ($a$ là tham số) và đường thẳng $\Delta: \begin{cases} x = 4 + 2t \ y = 3 + t \ z = 3 + 2t \end{cases}$. Tìm $a$ để đường thẳng $\Delta$ cắt mặt cầu $(S)$ tại hai điểm phân biệt $A, B$ sao cho $AB = 8$.
PHẦN IV. Tự luận
Câu 19. Tính diện tích phần hình phẳng được tô đậm trong hình vẽ dưới đây được giới hạn bởi các đồ thị hàm số $y = x^3$, $y = x^2 – 4x + 4$ và trục Ox.
Câu 20. Chủ một trung tâm thương mại muốn cho thuê một số gian hàng như nhau. Người đó muốn tăng giá cho thuê của mỗi gian hàng thêm $x$ (triệu đồng) $(x \geq 0)$. Tốc độ thay đổi doanh thu từ các gian hàng đó được biểu diễn bởi hàm số $T'(x) = -20x + 300$, trong đó $T'(x)$ tính bằng triệu đồng (Nguồn: R.Larson anh B. Edwards, Calculus 10e, Cengage). Biết rằng nếu người đó tăng giá thuê cho mỗi gian hàng thêm 10 triệu đồng thì doanh thu là 12 000 triệu đồng. Tìm giá trị của $x$ để người đó có doanh thu là cao nhất?
Câu 21. Một sân vận động được xây dựng theo mô hình là hình chóp cụt $OAGD.BCFE$ có hai đáy song song với nhau. Mặt sân $OAGD$ là hình chữ nhật và được gắn hệ trục $Oxyz$ như hình vẽ dưới (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét). Mặt sân $OAGD$ có chiều dài $OA = 100m$, chiều rộng $OD = 60m$ và tọa độ điểm $B(10; 10; 8)$. Tính khoảng cách từ điểm $G$ đến mặt phẳng $(OBED)$ (Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).
ThS. Lê Thị Thuý Nga
(Người kiểm duyệt, ra đề)
Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT
Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1
Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh