Phần I. Câu trắc trắc nghiệm nhiều lựa chọn

Học sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12 mỗi câu hỏi học sinh chỉ chọn một phương án

Câu 1. Hàm số $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên khoảng $K$ nếu

A. $F'(x) = -f(x), \forall x \in K$.

B. $F'(x) = f(x), \forall x \in K$

C. $f'(x) = F(x), \forall x \in K$.

D. $f'(x) = -F(x), \forall x \in K$.

Câu 2. Cho hai hàm số $y = f(x)$ và $y = g(x)$ liên tục trên $R$. Mệnh đề nào sau đây sai?

A. $\int [f(x) – g(x)] dx = \int f(x) dx – \int g(x) dx$

B. $\int [f(x) + g(x)] dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx$.

C. $\int \frac{f(x)}{g(x)} dx = \frac{\int f(x) dx}{\int g(x) dx}$

D. $\int kf(x) dx = k \int f(x) dx$ với mọi hằng số $k \in R \setminus {0}$.

Câu 3. Tìm họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = 3x – \sin x$.

A. $\int f(x) dx = 3x^2 + \cos x + C$.

B. $\int f(x) dx = \frac{3x^2}{2} – \cos x + C$.

C. $\int f(x) dx = \frac{3x^2}{2} + \cos x + C$.

D. $\int f(x) dx = 3 + \cos x + C$.

Câu 4. Cho $f(x)$ là hàm số liên tục trên $[a; b]$ và $F(x)$ là nguyên hàm của $f(x)$. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. $\int_a^b f(x) dx = F(x)|_a^b = F(b) – F(a)$.

B. $\int_a^a f(x) dx = 0$.

C. $\int_a^b f(x) dx = F'(x)|_a^b = F'(b) – F'(a)$.

D. $\int_a^b f(x) dx = -\int_b^a f(t) dt$.

Câu 5. Nếu $\int_1^3 f(x) dx = -2$ và $\int_1^2 f(x) dx = 1$ thì $\int_2^3 f(x) dx$ bằng

A. $-3$.

B. $-1$.

C. $1$.

D. $3$.

Câu 6. Nếu $\int_0^1 f(x) dx = 4$ thì $\int_0^1 2f(x) dx$ bằng

A. $16$.

B. $4$.

C. $2$.

D. $8$.

Câu 7. Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên đoạn $[a; b]$. Gọi $D$ là hình phẳng giới hạn với đồ thị hàm số $y = f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x = a$, $x = b$ $(a < b)$. Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay $D$ quanh trục hoành là

A. $V = \int_a^b [f(x)]^2 dx$.

B. $V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 dx$.

C. $V = \pi^2 \int_a^b [f(x)]^2 dx$.

D. $V = \pi^2 \int_a^b f(x) dx$.

Câu 8. Gọi $S$ là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = 2^x$, $y = 0$, $x = 0$, $x = 2$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $S = \pi \int_0^2 2^x dx$

B. $S = \int_0^2 2^x dx$

C. $S = \pi \int_0^2 2^{2x} dx$

D. $S = \int_0^2 2^{2x} dx$

Câu 9. Gọi $V$ là thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = e^x, y = 0, x = 0, x = 2$ quay quanh $Ox$. Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. $V = \pi \int_0^2 e^{2x} dx$.

B. $V = \int_0^2 e^x dx$.

C. $V = \pi \int_0^2 e^x dx$.

D. $V = \int_0^2 e^{2x} dx$.

Câu 10. Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(\alpha): 3x + 2y – 4z + 1 = 0$. Vecto nào dưới đây là một vecto pháp tuyến của $(\alpha)$?

A. $\vec{n_3} = (3; 2; 4)$.

B. $\vec{n_5} = (2; -4; 1)$.

C. $\vec{n_1} = (3; -4; 1)$.

D. $\vec{n_4} = (3; 2; -4)$.

Câu 11. Trong không gian $Oxyz$, mặt phẳng $(Oxy)$ có phương trình là

A. $z = 0$.

B. $x = 0$.

C. $y = 0$.

D. $x + y = 0$.

Câu 12. Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(-1; 2; 1)$ và $B(2; 1; 0)$. Mặt phẳng qua $A$ và vuông góc với $AB$ có phương trình là

A. $x + 3y + z – 5 = 0$

B. $x + 3y + z – 6 = 0$

C. $3x – y – z – 6 = 0$

D. $3x – y – z + 6 = 0$

Phần II. Học sinh trả lời từ câu 1 đến câu 2.

Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, học sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1. Cho hàm $f(x)$ là hàm liên tục trên đoạn $[a; b]$ với $a < b$ và $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm $f(x)$ trên $[a; b]$. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?

a) $\int_a^b kf(x) dx = k(F(b) – F(a))$

b) $\int_a^b f(x) dx = F(b) – F(a)$

c) Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng $x = a; x = b$; đồ thị của hàm số $y = f(x)$ và trục hoành được tính theo công thức $S = F(b) – F(a)$

d) $\int_a^b f(2x + 3) dx = F(2x + 3)|_a^b$

Câu 2. Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(1; -2; 3)$ và hai vecto $\vec{v} = (-1; 2; 3)$, $\vec{u} = (-2; 0; 1)$. Mệnh đề nào sau đây đúng và mệnh đề nào sai?

a) $\vec{v} = -\vec{i} + 2\vec{j} + 3\vec{k}$.

b) $\vec{u} \perp \vec{v}$.

c) Phương trình mặt phẳng đi qua điểm $A(1; -2; 3)$ và vuông góc với giá của vecto $\vec{v} = (-1; 2; 3)$ là: $x – 2y – 3z + 4 = 0$.

d) Phương trình mặt phẳng đi qua điểm $A(1; -2; 3)$ và vuông góc với giá của vecto $\vec{u} = (-2; 0; 1)$ là: $2x – y + 1 = 0$.

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn

Học sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4.

Câu 1. Một ô tô đang chạy với vận tốc $10 m/s$ thì gặp chướng ngại vật, người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc $v(t) = -2t + 10 (m/s)$, trong đó $t$ là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Tính quãng đường ô tô đi chuyển được trong $8$ giây cuối cùng.

Câu 2. Cho $\int_0^m (3x^2 – 2x + 1) dx = 6$. Tính giá trị của tham số $m$ $(m \in \mathbb{R})$.

Câu 3. Một ôtô đang dừng và bắt đầu chuyển động theo một đường thẳng với gia tốc $a(t) = 6 – 2t (m/s^2)$, trong đó $t$ là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc ôtô bắt đầu chuyển động. Hỏi quãng đường ôtô đi được từ lúc bắt đầu chuyển động đến khi vận tốc của ôtô đạt giá trị lớn nhất là bao nhiêu mét?

Câu 4. Cho đồ thị hàm số $y = \cos x$ và hình phẳng được tô màu như Hình 6. Tính diện tích hình phẳng đó (viết kết quả dưới dạng số thập phân và làm tròn đến hàng phần mười).

Phần IV. Tự luận

Học sinh trả lời từ câu 1 đến câu 3.

Câu 1. Biết rằng hàm số $f(x) = mx + n$ thỏa mãn $\int_0^1 f(x) dx = 3$, $\int_0^2 f(x) dx = 8$. Tính $m + n$

Câu 2. Cắt một vật thể bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại $x = 1; x = 3$. Khi cắt một vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x$ $(1 \leq x \leq 3)$, mặt cắt là tam giác vuông có một góc $45°$ và độ dài một cạnh góc vuông là $\sqrt{4 – \frac{1}{2}x^2}$. Tính thể tích vật thể trên.

Câu 3. Một sân vận động được xây dựng theo mô hình là hình chóp cụt $OAGD.BCFE$ có hai đáy song song với nhau. Mặt sân $OAGD$ là hình chữ nhật và được gắn hệ trục $Oxyz$ như hình vẽ dưới (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét). Mặt sân $OAGD$ có chiều dài $OA = 100m$, chiều rộng $OD = 60m$ và tọa độ điểm $B(10; 10; 8)$. Tính khoảng cách từ điểm $G$ đến mặt phẳng $(OBED)$ (Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

Đáp Án

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh