Phần I. Câu trắc trắc nghiệm nhiều lựa chọn.

Học sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12 mỗi câu hỏi học sinh chỉ chọn một phương án

Câu 1: (TH-TD) Tính $F(x) = \int e^x dx$, trong đó $e$ là hằng số và $e \approx 2.718$.

A. $F(x) = \frac{e^x \cdot x}{2} + C$

B. $F(x) = \frac{e^x}{3} + C$

C. $F(x) = e^x \cdot x + C$

D. $F(x) = 2ex + C$

Câu 2: (NB-TD) Hàm số nào trong các hàm số sau đây là một nguyên hàm của hàm số $y = e^x$?

A. $y = \frac{1}{x}$

B. $y = e^x$

C. $y = e^{-x}$

D. $y = \ln x$

Câu 3: (NB-TD) Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = 7^x$.

A. $\int 7^x dx = \frac{7^x}{\ln 7} + C$

B. $\int 7^x dx = 7^{x+1} + C$

C. $\int 7^x dx = \frac{7^{x+1}}{x+1} + C$

D. $\int 7^x dx = 7^x \ln 7 + C$

Câu 4: (NB-TD) Nếu $\int_0^2 f(x)dx = 4$ thì $\int_0^2 2f(x)dx$ bằng

A. 16

B. 4

C. 2

D. 8

Câu 5: (NB-TD) Cho $\int_2^3 f(x)dx = -3$ và $\int_3^5 f(x)dx = 4$. Khi đó $\int_2^5 f(x)dx$ bằng

A. 12

B. 7

C. 1

D. -12

Câu 6: (NB-TD) Biết $\int_2^3 f(x)dx = 3$ và $\int_2^3 g(x)dx = 1$. Khi đó $\int_2^3 [f(x) + g(x)]dx$ bằng

A. 4

B. 2

C. -2

D. 3

Câu 7: (NB-TD) Cho hàm số $y = f(x)$ xác định và liên tục trên đoạn $[a;b]$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x = a$, $x = b$ được tính theo công thức

A. $S = \int_a^b |f(x)|dx$

B. $S = \int_a^b f(x)dx$

C. $S = -\int_a^b f(x)dx$

D. $S = \int_b^a |f(x)|dx$

Câu 8: (NB-TD) Viết công thức tính thể tích $V$ của khối tròn xoay được tạo ra khi quay hình thang cong, giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x)$, trục $Ox$ và hai đường thẳng $x = a, x = b(a < b)$, xung quanh trục $Ox$.

A. $V = \int_a^b |f(x)|dx$

B. $V = \pi \int_a^b f^2(x)dx$

C. $V = \int_a^b f^2(x)dx$

D. $V = \pi \int_a^b f(x)dx$

Câu 9: (NB-TD) Gọi $D$ là hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = e^{3x}$, $y = 0$, $x = 0$ và $x = 1$. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay $D$ quanh trục $Ox$ bằng:

A. $\pi \int_0^1 e^{3x}dx$

B. $\int_0^1 e^{6x}dx$

C. $\pi \int_0^1 e^{6x}dx$

D. $\int_0^1 e^{3x}dx$

Câu 10: (NB-TD) Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(\alpha): 3x + 2y – 4z + 1 = 0$. Vector nào dưới đây là một vector pháp tuyến của $(\alpha)$?

A. $\overrightarrow{n_2} = (3; 2; 4)$

B. $\overrightarrow{n_3} = (2; -4; 1)$

C. $\overrightarrow{n_1} = (3; -4; 1)$

D. $\overrightarrow{n_4} = (3; 2; -4)$

Câu 11: (NB-TD) Trong không gian $Oxyz$, mặt phẳng $(Oxz)$ có phương trình là:

A. $x = 0$

B. $z = 0$

C. $x + y + z = 0$

D. $y = 0$

Câu 12: (NB-TD) Trong không gian $Oxyz$, mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $M(3; -1; 4)$ đồng thời vuông góc với giá của vector $\overrightarrow{a} = (1; -1; 2)$ có phương trình là

A. $3x – y + 4z – 12 = 0$

B. $3x – y + 4z + 12 = 0$

C. $x – y + 2z – 12 = 0$

D. $x – y + 2z + 12 = 0$

Phần II. Học sinh trả lời từ câu 1 và câu 2.

Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, học sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1. Cho hàm số $f(x) = -4x + 3$.

a) (NB-TD) Một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ là $F(x) = -2x^2 + 3x + 1$.

b) (NB-TD) $F(x) = -2x^2 + 3x$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$

c) (NB-TD) Nguyên hàm $G(x)$ của hàm số $f(x)$ thỏa mãn $G(1) = 2$ Thì $G(2) = -1$

d) (TH-TD) Tích phân $\int_0^1 f(x)dx = -1$.

Câu 2.

Trong không gian $Oxyz$, cho hai mặt phẳng $(P): 3x – y + z + 1 = 0$, $(Q): x + 4y + z – 2025 = 0$. Xét các véc tơ $\overrightarrow{n_1} = (3; -1; 1)$, $\overrightarrow{n_2} = (1; 4; 1)$.

a) (NB-TD) $\overrightarrow{n_1}$ là một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$.

b) (NB-TD) $\overrightarrow{n_2}$ không là một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng $(Q)$.

c) (TH-TD) $(P) \perp (Q)$.

d) (TH-TD) $d(O,(Q)) = 2$.

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn.

Học sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4.

Câu 1. (H-GQVĐ). Một ô tô đỗ chơi trượt xuống dốc và dừng lại sau 5 giây, vận tốc ô tô đỗ chơi từ thời điểm t=0 giây đến t=5 giây được cho bởi công thức $v(t) = \frac{1}{2}t^2 – 0.1t^3$ (m/s). Tính quãng đường ô tô đỗ chơi đi được khi dừng lại (làm tròn kết quả theo đơn vị mét đến chữ số thập phân thứ hai).

Câu 2 (VD-GQVĐ). Một chiếc cổng có hình dạng là một parabol có khoảng cách giữa hai chân cổng là 8 m. Người ta treo một tấm phông hình chữ nhật có hai đỉnh M, N nằm trên Parabol và hai đỉnh P, Q nằm trên mặt đất như hình vẽ bên. Ở phần phía ngoài phông người ta mua hoa để trang trí với chi phí 200 000 đồng/m², biết MN = 4 m, MQ = 6 m.

Hỏi số tiền để mua hoa trang trí là bao nhiêu?

Câu 3 (VD-GQVĐ). Biết rằng $y = F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $y = f(x)$. Đồ thị của hàm số $y = f(x)$ được biểu diễn trong hình bên dưới.

Biết rằng diện tích các phần hình phẳng A và B lần lượt là $S_A = 5, S_B = 2$. Khi $F(-2) = 1$ hãy tính giá trị $F(1)$

Câu 4. (H-TD). Trong không gian $Oxyz$, mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua điểm $M(5;4;3)$ và cắt các trục $Ox, Oy, Oz$ các đoạn bằng nhau có phương trình là $x + ay + bz + c = 0$. Tìm giá trị của $c$?

PHẦN IV. Tự luận.

Câu 1. (VD-MHH). Khu vực trung tâm một quảng trường có dạng hình tròn đường kính AB bằng 10m. Người ta trang trí khu vực này bằng hai đường Parabol đối xứng nhau qua AB, nằm trong hình tròn, đi qua các điểm A, B và có đỉnh cách mép hình tròn 1m. Phần giới hạn bởi 2 parabol được trồng hoa với chi phí 200 nghìn đồng 1 mét vuông, phần còn lại được lát gỗm sứ với chi phí 800 nghìn đồng 1 mét vuông. Tính tổng chi phí để hoàn thành khu vực này.

Câu 2. (VD-MHH). Một nhà kho được mô hình hoá trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ và hai mái EFIK, HGIK có kích thước bằng nhau như hình vẽ.

Biết rằng chiều cao của nhà kho là 9 m và các bức tường của nhà kho tạo thành hình hộp chữ nhật ABCD.EFGH với AB = 10 m, AD = 24 m, AE = 7 m. Mặt phẳng (EFIK) có phương trình $ax + y + bz + c = 0$. Tìm giá trị của $a – bc$.

Câu 3. (H-GQVD). Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho 3 điểm $A(1;0;0)$, $B(0;2;0)$, $C(0;0;-3)$.

Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Tính độ dài đoạn OH.

Đáp Án

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh