PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn.

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Câu 1. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $\int x^2 dx = \frac{x^3}{3} + C$

B. $\int x^2 dx = x + C$

C. $\int x^2 dx = x^3 + C$

D. $\int x^2 dx = \frac{x^2}{2} + C$

Câu 2. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $\int 2^x dx = 2^x + C$

B. $\int 2^x dx = 2^x \ln 2 + C$

C. $\int 2^x dx = \frac{2^x}{\ln x} + C$

D. $\int 2^x dx = \frac{2^x}{\ln 2} + C$

Câu 3. Nguyên hàm của hàm số $f(x) = 1 – \sin x$ là

A. $x + \cos x + C$

B. $x – \cos x + C$

C. $\cos x + C$

D. $\sin x + C$

Câu 4. Nếu hàm số $f(x)$ thỏa mãn $\int_1^5 f(x)dx = 4$ và $\int_1^5 g(x)dx = 3$ khi đó $\int_1^5 [f(x) – 2g(x)]dx$ bằng

A. 1

B. 7

C. -2

D. 5

Câu 5. Cho hàm số $y = f(x)$ xác định và liên tục trên $[a; b]$, $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên $\mathbb{R}$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $\int_a^b f(x)dx = f(b) – f(a)$

B. $\int_a^b f(x)dx = F(a) – F(b)$

C. $\int_a^b f(x)dx = F(b) – F(a)$

D. $\int_a^b f(x)dx = f(a) – f(b)$

Câu 6. Cho hàm $y = f(x)$ số thỏa $f(2024) = 5, f(2025) = 1$ và $f'(x)$ liên tục trên đoạn $[2024; 2025]$. Khi đó $\int_{2024}^{2025} f'(x)dx$ bằng:

A. 6

B. 4

C. -4

D. 5

Câu 7. Cho hàm số $y = f(x)$ xác định và liên tục trên $[a; b]$. Diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x = a, x = b$ được tính bởi công thức nào?

A. $S = \int_a^b f(x)dx$

B. $S = \int_a^b f^2(x)dx$

C. $S = \int_a^b |f(x)|dx$

D. $S = \left|\int_a^b f(x)dx\right|$

Câu 8. Gọi $D$ là hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = x^2 + 1$, $y = 0$, $x = 0$ và $x = 1$. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay $D$ quanh trục $Ox$ bằng:

A. $\pi \int_0^1 (x^2 + 1)dx$

B. $\int_0^1 (x^2 + 1)^2 dx$

C. $\pi \int_0^1 (x^2 + 1)^2 dx$

D. $\int_0^1 (x^2 + 1)dx$

Câu 9. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = 3^x$, $y = 0$, $x = 0, x = 2$ là:

A. $S = \int_0^2 3^x dx$

B. $S = \pi \int_0^2 3^{2x} dx$

C. $S = \pi \int_0^2 3^x dx$

D. $S = \int_0^2 3^{2x} dx$

Câu 10. Trong không gian $Oxyz$, vector nào dưới đây là một vector pháp tuyến của mặt phẳng $(Oxy)$?

A. $\overrightarrow{m} = (1; 1; 1)$

B. $\overrightarrow{i} = (1; 0; 0)$

C. $\overrightarrow{j} = (0; 1; 0)$

D. $\overrightarrow{k} = (0; 0; 1)$

Câu 11. Trong không gian $Oxyz$, phương trình nào dưới đây là phương trình tổng quát của một mặt phẳng?

A. $2x + 4y + z – 12 = 0$

B. $2x^2 – 4y – z + 12 = 0$

C. $\frac{1}{x} + \frac{2}{y} + \frac{3}{z} + 2 = 0$

D. $xy + z + 11 = 0$

Câu 12. Trong không gian $Oxyz$, điểm nào dưới đây nằm trên mặt phẳng $(P): 2x – y + z – 2 = 0$?

A. $Q(1; -2; 2)$

B. $P(2; -1; -1)$

C. $M(1; 1; -1)$

D. $N(1; -1; -1)$

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai.

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1. Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị là đường cong trong hình dưới đây. Gọi $(H)$ là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x)$, trục hoành và các đường thẳng $x = -1, x = 4$. Khi đó:

a) Gọi $F(x)$ là nguyên hàm của hàm số $f(x)$ thì tích phân $I = \int_{-1}^4 f(x)dx = F(1) – F(4)$.

b) $I > 0$

c) Diện tích $S$ của hình phẳng $(H)$ là $S = \int_{-1}^4 f(x)dx$.

d) Diện tích $S$ của hình phẳng $(H)$ là $S = \int_{-1}^1 f(x)dx – \int_1^4 f(x)dx$.

Câu 2. Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên đoạn $[0; 5]$ và $\int_0^2 f(x)dx = 4$, $\int_2^5 f(x)dx = 7$. Khi đó:

a) $\int_0^5 f(x)dx = 28$.

b) $\int_2^5 2f(x)dx = 14$.

c) $\int_0^2 [f(x) – 1]dx = 3$.

d) $\int_2^5 [f(x) – x]dx = 4$.

Câu 3: Xét $f(x) = 3x^2 – x$, $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$.

a) $F(x) = x^3 – \frac{x^2}{2}$ là họ tất cả các nguyên hàm của hàm số $f(x)$.

b) Giả sử $F(2) = 3$. Khi đó $F(x) = x^3 – \frac{x^2}{2} – 3$.

c) $\int_a^b (3x^2 – x)dx = \int_a^b (x – 3x^2)dx$, $\forall a, b \in \mathbb{R}$.

d) Cho $\int_a^b (3x^2 – x)dx = 22$, $\int_b^c (\frac{x}{3} – x^2)dx = 30$. Khi đó $\int_a^c (3x^2 – x)dx = 112$.

Câu 4. Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P): x – 2y + 2z – 3 = 0$.

a) Vector $\overrightarrow{n} = (1; -2; 2)$ là một vector pháp tuyến của $(P)$.

b) Khoảng cách từ điểm $A(1; 2; 0)$ đến mặt phẳng $(P)$ bằng 1.

c) Điểm $M(1; 0; -1)$ thuộc mặt phẳng $(P)$.

d) Mặt phẳng $(P)$ song song với mặt phẳng $(Q): 2x – 4y + 4z – 6 = 0$.

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn.

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Câu 1. Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $f(1) = 2$ và $f'(x) + f(x) = 1, x \in \mathbb{R}$. Giá trị $f(-1)$ bằng

Câu 2. Cho nửa lục giác đều $ABCD$ nội tiếp trong đường tròn đường kính $AD = 4$ (tham khảo hình vẽ). Gọi $x$ là thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay miền tứ giác $ABCD$ quanh đường thẳng $CD$. Tìm $x$.

Câu 3. Trong chương trình nông thôn mới, tại một xã Y có xây một cây cầu bằng bê tông như hình vẽ (đường cong trong hình vẽ là các đường Parabol). Thể tích khối bê tông để đổ đủ cây cầu bằng $x$ (tính theo đơn vị $m^3$). Tìm $x$.

Câu 4. Một chiếc bát thủy tinh có bề dày của phần xung quanh là một khối tròn xoay, khi xoay hình phẳng $D$ quanh một đường thẳng $a$ bất kì nào đó mà khi gắn hệ trục tọa độ $Oxy$ (đơn vị trên trục là decimet) vào hình phẳng $D$ tại một vị trí thích hợp thì đường thẳng $a$ sẽ trung với trục $Ox$. Khi đó hình phẳng $D$ được giới hạn bởi các đồ thị hàm số $y = x + \frac{1}{x}$, $y = x$ và hai đường thẳng $x = 1$, $x = 4$ (Hình 4). Thể tích của bề dày chiếc bát thủy tinh đó bằng bao nhiêu decimet khối? (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Câu 5. Ông An muốn làm cửa rào sắt có hình dạng và kích thước như hình vẽ bên, biết đường cong phía trên là một Parabol. Giá 1 (m²) của rào sắt là 700.000 đồng. Hỏi ông An phải trả bao nhiêu tiền để làm cái cửa sắt như vậy (làm tròn đến hàng phần nghìn).

Câu 6. Khi gắn hệ tọa độ $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục tính theo mét) vào một căn nhà sao cho nền nhà thuộc mặt phẳng $(Oxy)$, người ta coi mỗi mái nhà là một phần của mặt phẳng và thấy ba vị trí $A, B, C$ ở mái nhà bên phải lần lượt có tọa độ $(2; 0; 4)$, $(4; 0; 3)$ và $(4; 9; 3)$. Tính cosin góc giữa mái nhà bên phải và mặt đất (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Đáp Án

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh