Phần I. Câu trắc trắc nghiệm nhiều lựa chọn.

Học sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12 mỗi câu hỏi học sinh chỉ chọn một phương án

Câu 1 (TĐ 1.1). Cho hàm số $f(x)$ xác định trên khoảng $K$. Hàm số $F(x)$ được gọi là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên khoảng $K$ nếu

A. $F'(x) = -f(x), \forall x \in K$

B. $f'(x) = F(x), \forall x \in K$

C. $F'(x) = f(x), \forall x \in K$

D. $f'(x) = -F(x), \forall x \in K$

Câu 2 (TĐ 1.2). $\int x^2 dx$ bằng

A. $2x + C$

B. $\frac{1}{3}x^3 + C$

C. $x^3 + C$

D. $3x^3 + C$

Câu 3 (TĐ 1.2). Trong các khẳng định sau khẳng định nào sai?

A. $\int \frac{1}{x}dx = \ln x + C$

B. $\int x^a dx = \frac{1}{a+1}x^{a+1} + C$ $(a \neq -1)$

C. $\int dx = x + C$

D. $\int 0dx = C$ với $C$ là hằng số

Câu 4. (TĐ 1.1). Cho $f(x)$ là hàm số liên tục trên $[a; b]$ và $F(x)$ là nguyên hàm của $f(x)$. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. $\int_a^b f(x)dx = F(x)\Big|_a^b = F(b) – F(a)$

B. $\int_a^b f(x)dx = 0$

C. $\int_a^b f(x)dx = f'(x)\Big|_a^b = f'(b) – f'(a)$

D. $\int_a^b f(x)dx = -\int_b^a f(t)dt$

Câu 5 (TĐ 1.2). Biết $\int_0^2 f(x)dx = -2$ và $\int_1^2 f(x)dx = -4$. Tính $\int_0^1 f(x)dx$

A. -2

B. 2

C. 6

D. -6

Câu 6 (TĐ 1.2). Cho $\int_a^b f(x)dx = 5$, $\int_a^b g(x)dx = -4$. Tính $\int_a^b [f(x) + 2g(x)]dx$.

A. 9

B. 13

C. -3

D. -1

Câu 7 (TĐ 1.1) Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên đoạn $[a; b]$. Gọi $D$ là hình phẳng giới hạn với đồ thị hàm số $y = f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x = a$, $x = b$ $(a < b)$. Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay $D$ quanh trục hoành là

A. $V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 dx$

B. $V = 2\pi \int_a^b [f(x)]^2 dx$

C. $V = \pi^2 \int_a^b [f(x)]^2 dx$

D. $V = \pi^2 \int_a^b f(x)dx$

Câu 8 (TĐ 1.2) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường thẳng $x = 0, x = \pi$, đồ thị hàm số $y = \cos x$ và trục $Ox$ là:

A. $S = \int_0^\pi \cos x dx$

B. $S = \int_0^\pi \cos^2 x dx$

C. $S = \int_0^\pi |\cos x|dx$

D. $S = \pi \int_0^\pi |\cos x|dx$

Câu 9 (TĐ 2.1) Gọi $V$ là thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = e^x$, $y = 0$, $x = 0$, $x = 2$ quay quanh $Ox$. Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. $V = \pi \int_0^2 e^{2x} dx$

B. $V = \int_0^2 e^x dx$

C. $V = \pi \int_0^2 e^x dx$

D. $V = \int_0^2 e^{2x} dx$

Câu 10. (TĐ 1.2) Trong không gian $Oxyz$, vector nào dưới đây có giá vuông góc với mặt phẳng $(\alpha): 2x – 3y + 1 = 0$?

A. $\overrightarrow{a} = (2; -3; 1)$

B. $\overrightarrow{b} = (2; 1; -3)$

C. $\overrightarrow{c} = (2; -3; 0)$

D. $\overrightarrow{d} = (3; 2; 0)$

Câu 11. (TĐ 1.2) Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, phương trình mặt phẳng đi qua điểm $A(1; 2; -3)$ có véc tơ pháp tuyến $\overrightarrow{n} = (2; -1; 3)$ là

A. $2x – y + 3z + 9 = 0$

B. $2x – y + 3z – 4 = 0$

C. $x – 2y – 4 = 0$

D. $2x – y + 3z + 4 = 0$

Câu 12. (TĐ 1.2) Trong không gian $Oxyz$, tọa độ một vector $\overrightarrow{n}$ vuông góc với cả hai vector $\overrightarrow{a} = (1; 1; -2)$, $\overrightarrow{b} = (1; 0; 3)$ là

A. $(2; 3; -1)$

B. $(3; 5; -2)$

C. $(2; -3; -1)$

D. $(3; -5; -1)$

Phần II. Học sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4.

Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, học sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1. Cho $a$ là một số thực và $x > 0$. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

a) (GQ2.1) $\int \frac{1}{x}dx = \ln|x| + C$

b) (GQ2.1) $\int x^e dx = \frac{x^{e+1}}{e+1} + C$

c) (GQ2.2) $\int 3^{-x}dx = 3^{-x}\ln 3 + C$

d) (GQ2.2) $\int \sqrt{x}dx = \frac{3}{2}x^{\frac{3}{2}} + C$

Câu 2 (TĐ 2). Cho các hàm số $f(x)$, $g(x)$ liên tục trên đoạn $[0; 9]$ và $\int_0^5 f(x)dx = 3$, $\int_5^9 f(x)dx = 8$, $\int_0^9 g(x)dx = 15$. Khi đó:

a) (TĐ 2.1) $\int_0^9 f(x)dx = 11$

b) (TĐ 2.1) $\int_5^9 2f(x)dx = 4$

c) (TĐ 2.1) $\int_0^9 [f(x) – 1]dx = 2$

d) (TĐ 2.2) $\int_0^9 [3f(x) – 2g(x)] = 7$

Câu 3. Cho vật thể tròn xoay như Hình 5.

a) TĐ 1.1 Vật thể được tạo thành khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x)$ và hai đường thẳng $x = a, x = b$ quay quanh trục $Ox$.

b) TĐ 1.1 Vậy thể được tạo thành khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x = a, x = b$ quay quanh trục $Ox$.

c) TĐ 1.2 Thể tích của vật thể được tính theo công thức $V = \pi \int_a^b f(x)dx$.

d) TĐ 1.2 Thể tích của vật thể được tính theo công thức $V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 dx$.

Câu 4. Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(1; -2; 3)$ và hai vector $\overrightarrow{v} = (-1; 2; 3)$, $\overrightarrow{u} = (-2; 0; 1)$. Mệnh đề nào sau đây đúng và mệnh đề nào sai?

a) (GQ2.1) $[\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}] = (-2; 5; -4)$

b) (GQ2.1) $\overrightarrow{u} \perp \overrightarrow{v}$

c) (GQ2.2) Phương trình mặt phẳng đi qua điểm $A(1; -2; 3)$ và vuông góc với giá của vector $\overrightarrow{v} = (-1; 2; 3)$ là: $x – 2y – 3z + 4 = 0$

d) (GQ2.2) Phương trình mặt phẳng đi qua điểm $A(1; -2; 3)$ và vuông góc với giá của vector $\overrightarrow{u} = (-2; 0; 1)$ là: $2x – y + 1 = 0$

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn.

Học sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Câu 1. (GQ3.1) Một viên đạn được bắn thẳng đứng lên trên từ mặt đất. Giả sử tại thời điểm $t$ giây (coi $t = 0$ là thời điểm viên đạn được bắn lên), vận tốc của nó được cho bởi công thức $v(t) = 160 – 9.8t$ (m/s). Tìm độ cao cao nhất của viên đạn làm tròn đến hàng đơn vị

Câu 2 (GQ3.2): Một ô tô đang chạy với vận tốc $20$ m/s thì người lái xe đạp phanh. Sau khi đạp phanh, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc $v(t) = -4t + 20$ (m/s) trong đó $t$ là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn đi chuyển được bao nhiêu mét?

Câu 3 (MH2.1): Một vật chuyển động trong $4$ giờ với vận tốc $v$ (km/h) phụ thuộc thời gian $t$ (h) có đồ thị là một phần của đường parabol có đỉnh $I(1;1)$ và trục đối xứng song song với trục tung như hình bên. Gọi $S$ là quãng đường (tính bằng km) mà vật đi chuyển được trong $4$ giờ kể từ lúc xuất phát, giá trị gần đúng của $S$ (làm tròn đến hàng phần chục) là:

Câu 4 (VD) GQ 3.2 Cho đồ thị hàm số $y = \cos x$ và hình phẳng được tô màu như Hình 6. Tính diện tích hình phẳng đó (viết kết quả dưới dạng số thập phân và làm tròn đến hàng phần mười).

Câu 5: (VD) MH 2.1 Chủ một trung tâm thương mại muốn cho thuê một số gian hàng như nhau. Người đó muốn tăng giá cho thuê của mỗi gian hàng thêm $x$ (triệu đồng) $(x \geq 0)$. Tốc độ thay đổi doanh thu từ các gian hàng đó được biểu diễn bởi hàm số $T'(x) = -20x + 300$, trong đó $T'(x)$ tính bằng triệu đồng (Nguồn: R.Larson anh B. Edwards, Calculus 10e, Cengage). Biết rằng nếu người đó tăng giá thuê cho mỗi gian hàng thêm 10 triệu đồng thì doanh thu là 12 000 triệu đồng. Tìm giá trị của $x$ để người đó có doanh thu là cao nhất?

Câu 6. (VD MH2.1) Một sân vận động được xây dựng theo mô hình là hình chóp cụt $OAGD.BCFE$ có hai đáy song song với nhau. Mặt sân $OAGD$ là hình chữ nhật và được gắn hệ trục $Oxyz$ như hình vẽ dưới (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét). Mặt sân $OAGD$ có chiều dài $OA = 100m$, chiều rộng $OD = 60m$ và tọa độ điểm $B(10;10;8)$. Tính khoảng cách từ điểm $G$ đến mặt phẳng $(OBED)$ (Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

Đáp Án

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh