Phần I. Trắc nghiệm khách quan nhiều phương án

(học sinh chỉ chọn 1 phương án).

Câu 1. Hàm số $y = F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $y = f(x)$. Hãy chọn khẳng định đúng.

A. $F(x) = f'(x)$

B. $F'(x) = f(x)$

C. $F(x) = f'(x) + C$

D. $F'(x) + C = f(x)$

Câu 2. Hàm số $F(x) = 2\sin x – 3\cos x$ là một nguyên hàm của hàm số.

A. $f(x) = -2\cos x – 3\sin x$

B. $f(x) = -2\cos x + 3\sin x$

C. $f(x) = 2\cos x – 3\sin x$

D. $f(x) = 2\cos x + 3\sin x$

Câu 3. Nguyên hàm của hàm số $f(x) = 5x^4 – 6x^2 + 1$ là

A. $20x^3 – 12x + C$

B. $x^5 – 2x^3 + x + C$

C. $20x^3 – 12x^2 + x + C$

D. $\frac{x^4}{4} + 2x^2 – 2x + C$

Câu 4. Nếu $F(x)$ là nguyên hàm của hàm số $f(x)$, thì tích phân của $f(x)$ trên đoạn $[a, b]$ được tính như thế nào?

A. $F(b) – F(a)$

B. $F(a) – F(b)$

C. $\frac{F(b)}{F(a)}$

D. $\frac{F(a)}{F(b)}$

Câu 5. Nếu hàm số $f(x)$ liên tục trên đoạn $[a, b]$ và $c$ là số thực tùy ý thuộc đoạn $[a, b]$, thì tính chất nào sau đây đúng?

A. $\int_a^b f(x)dx = \int_a^c f(x)dx + \int_c^b f(x)dx$

B. $\int_a^b f(x)dx = \int_a^c f(x)dx – \int_c^b f(x)dx$

C. $\int_a^b f(x)dx = \int_a^c f(x)dy + \int_c^b f(x)dz$

D. $\int_a^b f(x)dx = \int_a^c f(x)dy – \int_c^b f(x)dz$

Câu 6. Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên đoạn $[a, c]$ và $b$ là số thực tùy ý thuộc đoạn $[a, c]$. Nếu biết $\int_a^b f(x)dx = 3$ và $\int_b^c f(x)dx = 8$, thì giá trị của $\int_a^c f(x)dx$ là bao nhiêu?

A. 11

B. -5

C. 5

D. -11

Câu 7. Gọi $S$ là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = 2^x$, $y = 0$, $x = 0$, $x = 2$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $S = \int_0^2 2^x dx$

B. $S = \pi \int_0^2 2^{2x} dx$

C. $S = \int_0^2 2^{2x} dx$

D. $S = \pi \int_0^2 2^x dx$

Câu 8. Viết công thức tính thể tích $V$ của khối tròn xoay được tạo ra khi quay hình thang cong, giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x)$, trục $Ox$ và hai đường thẳng $x = a, x = b(a < b)$, xung quanh trục $Ox$.

A. $V = \pi \int_a^b f^2(x)dx$

B. $V = \int_a^b f^2(x)dx$

C. $V = \pi \int_a^b f(x)dx$

D. $V = \int_a^b |f(x)|dx$

Câu 9. Cho hình phẳng $D$ giới hạn bởi đường cong $y = \sqrt{2 + \sin x}$, trục hoành và các đường thẳng $x = 0$, $x = \pi$. Khối tròn xoay tạo thành khi quay $D$ quanh trục hoành có thể tích $V$ bằng bao nhiêu?

A. $V = 2(\pi + 1)$

B. $V = 2\pi(\pi + 1)$

C. $V = 2\pi^2$

D. $V = 2\pi$

Câu 10. Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P): 2x + 4y – z – 1 = 0$. Vector nào dưới đây là một vector pháp tuyến của $(P)$?

A. $\overrightarrow{n_2} = (2; -4; 1)$

B. $\overrightarrow{n_1} = (2; 4; 1)$

C. $\overrightarrow{n_3} = (2; 4; -1)$

D. $\overrightarrow{n_4} = (-2; 4; 1)$

Câu 11. Trong không gian $Oxyz$, khoảng cách từ điểm $M(0; 3; -1)$ đến mặt phẳng $(\alpha): 2x + y – 2z – 2 = 0$ bằng

A. 1

B. $\frac{4}{3}$

C. $\frac{1}{3}$

D. 3

Câu 12. Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M(2; -1; 3)$ và mặt phẳng $(P): 3x – 2y + z + 1 = 0$. Phương trình mặt phẳng đi qua $M$ và song song với $(P)$ là

A. $3x – 2y + z + 11 = 0$

B. $2x – y + 3z – 14 = 0$

C. $3x – 2y + z – 11 = 0$

D. $2x – y + 3z + 14 = 0$

Phần II. Câu hỏi chọn đúng-sai

Câu 13. Cho hàm số $f(x) = \frac{1}{x-1}$

A. $F(x) = \ln|x-1|$ là một nguyên hàm của $f(x) = \frac{1}{x-1}$

B. $F(x) = \int \frac{1}{x-1} dx = \ln|x-1| + C$

C. Cho $F(2) = 1$, ta có $F(3) = \ln 2 + \frac{1}{2}$

D. $\int_2^3 \frac{1}{x-1} dx = \ln 2$

Câu 14. Trong không gian $Oxyz$ cho điểm $A(1; 2; 3)$ và mặt phẳng $(\alpha): 2x – y – 3z – 1 = 0;$

A. Điểm A không nằm trên mặt phẳng $(\alpha)$

B. Mặt phẳng $(\alpha)$ có một véc tơ pháp tuyến là $\vec{n} = (-2; 1; 3)$

C. Gọi $(P)$ là mặt phẳng qua $A$ và song song mặt phẳng $(\alpha)$. Phương trình mặt phẳng $(P)$ là: $2x – y – 3z + 7 = 0$

D. Gọi $B$ là điểm tùy ý trên mặt phẳng $(P)$. Khoảng cách từ $B$ đến mặt phẳng $(\alpha)$ là $d(B, (\alpha)) = \frac{10}{\sqrt{14}}$

Phần III. Câu hỏi trả lời ngắn.

Câu 15. Có bao nhiều giá trị nguyên của tham số $m$ thỏa mãn $\int_0^{2m} (3x^2 – 4x – 3) dx = -6$

Câu 16. Một khối bê tông cao $2m$ được đặt trên mặt đất phẳng như hình vẽ. Nếu cắt khối bê tông này bằng mặt phẳng nằm ngang, cách mặt đất $x(m)$ $(0 \leq x \leq 2)$ thì được thiết diện là một hình chữ nhật có chiều dài là $10m$, chiều rộng là $(0,5)^x m$. Hãy tính thể tích của khối bê tông đó (Làm tròn đến hàng phần chục).

Câu 17. Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A(2;0;0), B(0;3;0), C(0;0;-1)$. Biết phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $D(1;1;2)$ song song với mặt phẳng $(ABC)$ có phương trình là $3x + by + cz + d = 0$, $b, c, d \in \mathbb{Z}$. Tính $b + c + d$.

Câu 18. Một sân vận động được xây dựng theo mô hình là hình chóp cụt $OAGD.BCFE$ có hai đáy song song với nhau. Mặt sân $OAGD$ là hình chữ nhật có chiều dài $OA = 120m$, chiều rộng $OD = 90m$.

Gắn hệ trục $Oxyz$ như hình vẽ dưới (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét) ta được điểm $B$ có tọa độ $(16;12;8)$.

Tính khoảng cách từ điểm $G$ đến mặt phẳng $(OBED)$ (đơn vị mét) (làm tròn kết quả đến hàng phần chục).

Câu 19. Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm $f'(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Biết $f(1) = e^2$ và $\int_1^{\ln 3} f'(x) dx = 9 – e^2$. Tính $f(\ln 3)$.

Câu 20. Lô gỗ gắn tại các Showroom của hãng ô tô VINFAST là một hình tròn như hình vẽ bên. Phần tô đậm nằm giữa parabol đỉnh $I$ và đường gấp khúc $AJB$ được đặt bạc với chi phí 10 triệu đồng/$m^2$. Phần còn lại được phủ sơn với chi phí 2 triệu đồng/$m^2$. Biết $AB = 2m$, $IA = IB = \sqrt{5}m$ và $JA = JB = \frac{\sqrt{13}}{2}m$. Tính tổng tiền để đặt bạc và phủ sơn của lô gỗ nói trên? (làm tròn đến hàng phần chục)

Câu 21. Biết góc quan sát ngang của một camera là $116°$. Trong không gian $Oxyz$, camera được đặt tại điểm $A(2; 1; 5)$ và chiếu thẳng về phía mặt phẳng $(P): 2x – y – 2z + 13 = 0$. Hỏi vùng quan sát được trên mặt phẳng $(P)$ của camera là hình tròn có đường kính bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến chữ số hàng chục)

Đáp Án

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh