Chọn đến phần học sinh cần nhanh chóng thông qua mục lục bằng cách click đến phần đó
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn.
Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1. [1] Cho hàm số $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên $K$. Các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai.
A. $\int f(x)dx = F(x) + C$.
B. $\left(\int f(x)dx\right)’ = f(x)$.
C. $\left(\int f(x)dx\right)’ = f'(x)$.
D. $\left(\int f(x)dx\right)’ = F'(x)$.
Câu 2. [1] Họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = e^{3x}$ là hàm số nào sau đây?
A. $3e^x + C$.
B. $\frac{1}{3}e^{3x} + C$.
C. $\frac{1}{3}e^x + C$.
D. $3e^{3x} + C$.
Câu 3. [1] Tính tích phân $I = \int_0^1 (2x + 2025)dx$
A. $I = 2024$.
B. $I = 2025$.
C. $I = 2020$.
D. $I = 2026$.
Câu 4. [1] Cho $f(x)$ là hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $\int_{-1}^0 f(x)dx = 3; \int_{-1}^1 f(x)dx = -8$. Khi đó giá trị $\int_0^1 \frac{f(x)}{2}dx$ bằng
A. $-\frac{5}{2}$.
B. $-11$.
C. $\frac{11}{2}$.
D. $-\frac{11}{2}$.
Câu 5. [2] Cho tích phân $\int_0^1 \frac{8^x + 1}{2^x + 1}dx = \frac{1}{\ln 2}a + b$ với $a, b \in \mathbb{R}$. Giá trị $4a + b$ bằng
A. $3$.
B. $\frac{2}{3}$.
C. $4$.
D. $\frac{3}{2}$.
Câu 6. [1] Cho tích phân $\int_0^{\frac{\pi}{4}} (3 + \sin 2x)dx = \frac{a + b\pi}{4}$ với $a$ và $b$ là các số nguyên dương. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. $3a = 2b$.
B. $b = 2a$.
C. $a + b = 6$.
D. $a = 2b$.
Câu 7. [1] Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên đoạn $[a; b]$. Gọi $D$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $(C): y = f(x)$, trục hoành, hai đường thẳng $x = a$, $x = b$ (như hình vẽ dưới đây).
Giả sử $S_D$ là diện tích hình phẳng $D$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. $S_D = \int_a^c f(x)dx + \int_c^b f(x)dx$.
B. $S_D = -\int_a^c f(x)dx + \int_c^b f(x)dx$.
C. $S_D = \int_a^c f(x)dx – \int_c^b f(x)dx$.
D. $S_D = -\int_a^c f(x)dx – \int_c^b f(x)dx$.
Câu 8. [2] Phần hình phẳng $(H)$ được gạch chéo trong hình vẽ dưới đây được giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x)$, $y = x^2 + 4x$ và hai đường thẳng $x = -2; x = 0$.
Biết $\int_{-2}^0 f(x)dx = \frac{4}{3}$. Diện tích hình $(H)$ bằng
A. $\frac{7}{3}$.
B. $\frac{16}{3}$.
C. $\frac{4}{3}$.
D. $\frac{20}{3}$.
Câu 9. [1] Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A(1; 0; -2)$, $B(5; 1; 0)$ và $C(0; 2; 4)$. Véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng $(ABC)$ là
A. $\vec{n} = (2; -26; 9)$.
B. $\vec{n} = (6; -6; 9)$.
C. $\vec{n} = (10; -22; 9)$.
D. $\vec{n} = (10; -22; -9)$.
Câu 10. [2] Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $M(1; -1; 5)$ và $N(0; 0; 1)$. Mặt phẳng $(\alpha)$ chứa $M$, $N$ và song song với trục $Ox$ có phương trình
A. $(\alpha): 4x – z + 1 = 0$.
B. $(\alpha): x – 4z + 2 = 0$.
C. $(\alpha): 2x + z – 3 = 0$.
D. $(\alpha): x + 4z – 1 = 0$.
Câu 11. [2] Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $\Delta$ vuông góc với mặt phẳng $(\alpha): x + 2z + 3 = 0$. Một véc tơ chỉ phương của $\Delta$ là
A. $\vec{a} = (1; 2; 0)$.
B. $\vec{b} = (1; 2; 3)$.
C. $\vec{c} = (1; 0; 2)$.
D. $\vec{d} = (2; 0; -1)$.
Câu 12. [2] Trong không gian tọa độ $Oxyz$, cho điểm $A(1; -2; 3)$ và hai mặt phẳng $(P): x + y + z + 1 = 0$, $(Q): x – y + z – 2 = 0$. Phương trình nào dưới đây là phương trình đường thẳng đi qua $A$ song song với $(P)$ và $(Q)$ ?
A. $\begin{cases} x = 1 \ y = -2 \ z = 3 – 2t \end{cases}$
B. $\begin{cases} x = -1 + t \ y = 2 \ z = -3 – t \end{cases}$
C. $\begin{cases} x = 1 + 2t \ y = -2 \ z = 3 + 2t \end{cases}$
D. $\begin{cases} x = 1 + t \ y = -2 \ z = 3 – t \end{cases}$
PHẦN II. Trắc nghiệm đúng sai.
Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng – sai.
Câu 1. [1-2-3-3] Một quả cầu lông được đánh lên từ độ cao $2,5m$ với vận tốc được tính bởi công thức $v(t) = -0,8t + 4,16 (m/s)$. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Công thức tính độ cao của quả cầu theo $t$ là $h(t) = -0,4t^2 + 4,16t + 2,5(m)$.
b) Quả cầu đạt độ cao cao nhất tại thời điểm $t = 5,4(s)$.
c) Độ cao cao nhất của quả cầu bằng $13,316(m)$.
d) Thời điểm quả cầu chạm đất là $t = 10,5(s)$.
Câu 2. [1-2-3-3] Cho hàm số $f(x) = ax^2 + bx + c$ thỏa mãn $\int_0^1 f(x)dx = -\frac{7}{2}$, $\int_0^2 f(x)dx = -2$ và $\int_0^3 f(x)dx = \frac{13}{2}$.
a) $\int_1^2 f(x)dx = \frac{3}{2}$.
b) $2\int_0^1 f(x)dx – 3\int_1^3 f(x)dx = 23$.
c) Giá trị của biểu thức $P = 2a + 3b + 6c$ bằng $-21$.
d) Giá trị của biểu thức $P = a + b + 3c$ bằng $12$.
Câu 3. [1-2-3-3] Cho parabol $(P): f(x) = -x^2 + 5x$ và đường thẳng $d: y = 2x$.
a) Tọa độ giao điểm của $(P)$ và $(d)$ là $O(0; 0)$ và $A(3; 6)$.
b) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol $(P)$ và trục hoành là $\frac{27}{2}$.
c) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol $(P)$ và đường thẳng $(d)$ là $\frac{9}{2}$.
d) Gọi $D$ là hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng $(d)$, trục hoành và hai đường thẳng $x = 1; x = 3$. Thể tích của khối tròn xoay khi quay $D$ quanh $Ox$ là $\frac{104}{3}\pi$.
Câu 4. [1-2-3-3] Trong không gian $Oxyz$, cho $A(1; 2; -1)$ và $(P): 2x – y + 2z – 1 = 0$
a) Một vector pháp tuyến của $(P)$ là $\vec{n}(2; -1; 2)$.
b) Khoảng cách từ điểm $A$ đến $(P)$ bằng $\frac{1}{3}$.
c) Mặt phẳng $(Q)$ qua $A$ và song song với $(P)$ là $(Q): 2x – y + 2z + 1 = 0$.
d) Mặt phẳng $(P)$ cắt $Ox, Oy, Oz$ tương ứng tại $M, N, K$. Thể tích khối tứ diện $OMNK$ bằng $\frac{1}{24}$.
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn.
Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Câu 1. [3] Cho hàm số $f(x)$ thỏa mãn $f(0) = 1$ và $f'(x) = \frac{4x^2 + 4x + 3}{2x + 1}$. Biết $f(x) = ax^2 + bx + \ln|2x + 1| + c$. Tính $a + b + c$.
Câu 2. [3] Cho $f$ là một hàm số. Tìm số thực $a > 0$ sao cho $\forall x > 0$, $\int_a^x \frac{f(t)}{t} dt + 6 = 2\sqrt{x}$.
Câu 3. [3] Để đảm bảo an toàn khi lưu thông trên đường, các xe ô tô khi dừng đèn đỏ phải cách nhau tối thiểu 1 m. Một ô tô A đang chạy với vận tốc 12m/s bỗng gặp ô tô B đang dừng đèn đỏ nên ô tô A hãm phanh và chuyển động chậm dần đều với vận tốc được biểu thị bởi công thức $v_A(t) = 12 – 3t(m/s)$. Hỏi để hai ô tô đạt khoảng cách an toàn thì khi dừng lại thì ô tô A phải hãm phanh khi cách ô tô B một khoảng ít nhất là bao nhiêu?
Câu 4. [3] Ta biết rằng hàm cầu liên quan đến giá $p$ của một sản phẩm với nhu cầu của người tiêu dùng, hàm cung liên quan đến giá $p$ của sản phẩm với mức độ sẵn sàng cung cấp sản phẩm của nhà sản xuất.
Điểm cắt nhau $(x_0; p_0)$ của đồ thị hàm cầu $p = D(x)$ và đồ thị hàm cung $p = S(x)$ được gọi là điểm cân bằng. Các nhà kinh tế gọi diện tích của hình giới hạn bởi đồ thị hàm cầu, đường ngang $p = p_0$ và đường thẳng đứng $x = 0$ là thặng dư tiêu dùng. Tương tự, diện tích của hình giới hạn bởi đồ thị của hàm cung, đường nằm ngang $p = p_0$ và đường thẳng đứng $x = 0$ được gọi là thặng dư sản xuất, như trong Hình 4.19.
(Theo R.Larson, Brief Calculus: An Applied Approach, 8th edition, Cengage Learning, 2009.) Giả sử hàm cung và hàm cầu của một loại sản phẩm được mô hình hóa bởi: Hàm cầu: $p = -0,36x + 9$ và hàm cung: $p = 0,14x + 2$, trong đó $x$ là số đơn vị sản phẩm. Tìm hiệu giữa thặng dư tiêu dùng và thặng dư sản xuất cho sản phẩm này.
Câu 5. [4] Góc quan sát ngang của một camera là $115°$. Trong không gian $Oxyz$, camera đặt tại điểm $C(1; 2; 4)$ và chiếu thẳng về mặt phẳng $(P): x + 2y + 2z + 3 = 0$. Hỏi vùng quan sát được trên mặt phẳng $(P)$ của camera là hình tròn có bán kính bằng nhiều? (Làm tròn kết quả đến số thập phân thứ nhất.)
Câu 6. [4] Trong không gian $Oxyz$ một người đặt quan sát ở điểm $M(2; 3; -4)$ và vật cần quan sát đặt tại điểm $N(-1; 0; 8)$ (Hình 5.27). Một tấm bia chắn đường truyền ánh sáng có dạng hình tròn với tâm $O(0; 0; 0)$, bán kính bằng $3$ và đặt trong mặt phẳng $Oxy$. Hỏi tầm nhìn của người quan sát đối với vật đặt ở điểm $N$ bị che khuất bởi điểm $D$ có hoành độ bằng?
ThS. Lê Thị Thuý Nga
(Người kiểm duyệt, ra đề)
Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT
Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1
Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh