PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn.

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu thí sinh chỉ chọn một phương án.

Câu 1: Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P)$ đi qua ba điểm $D(9; 0; 0), B(0; 10; 0), G(0; 0; 2)$. Phương trình mặt phẳng $(P)$ là

A. $\frac{x}{9} + \frac{y}{10} + \frac{z}{2} = 0$.

B. $\frac{x}{9} + \frac{y}{10} + \frac{z}{2} = 1$.

C. $9x + 10y + 2z = 1$.

D. $9x + 10y + 2z = 0$.

Câu 2: Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(\alpha)$ có phương trình $2x + 7y – 2z – 10 = 0$. Mặt phẳng $(\alpha)$ nhận vector nào trong các vector sau làm vector pháp tuyến.

A. $\vec{n_1} = (2; -7; -2)$.

B. $\vec{n_2} = (7; -2; -10)$.

C. $\vec{n_3} = (4; 14; -4)$.

D. $\vec{n_4} = (4; -7; -2)$.

Câu 3: Cho $f(x), g(x)$ là các hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$ và $k$ là hằng số khác $0$. Mệnh đề nào dưới đây sai?

A. $\int [f(x).g(x)] dx = \int f(x) dx. \int g(x) dx$.

B. $\int [f(x) – g(x)] dx = \int f(x) dx – \int g(x) dx$.

C. $\int kf(x) dx = k \int f(x) dx$.

D. $\int [f(x) + g(x)] dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx$.

Câu 4: Trong không gian $Oxyz$, viết phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua điểm $N(-3; -8; -2)$ và nhận vector $\vec{n} = (-7; 5; -3)$ làm vector pháp tuyến.

A. $-7x + 5y – 3z – 13 = 0$.

B. $-7x + 5y – 3z + 13 = 0$.

C. $-3x – 8y – 2z + 13 = 0$.

D. $-7x + 5y – 3z – 13 = 0$.

Câu 5: Biết $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ thỏa mãn $F(2) = 3, F(5) = -5$. Tính $\int_2^5 f(x)dx$.

A. $-2$.

B. $8$.

C. $-15$.

D. $-8$.

Câu 6: Tìm nguyên hàm $\int 3\sin 6x dx$.

A. $\frac{\cos 6x}{2} + C$.

B. $\frac{\sin 6x}{2} + C$.

C. $18\cos 6x + C$.

D. $-\frac{\cos 6x}{6} + C$.

Câu 7: Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $D(1; -1; -4)$ và mặt phẳng $(R): -6x + 7y – 4z – 7 = 0$. Khoảng cách từ điểm $D$ đến mặt phẳng $(R)$ bằng

A. $\frac{4\sqrt{101}}{101}$.

B. $\frac{408}{101}$.

C. $\frac{4}{101}$.

D. $\frac{3\sqrt{101}}{101}$.

Câu 8: Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên đoạn $[a; b]$, $(a < b)$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $\int_a^b f(x)dx = \int_b^a f(x)dx$.

B. $\int_a^b f(x)dx = -\int_b^a f(x)dx$.

C. $\int_a^c f(x)dx + \int_c^b f(x)dx = 2\int_a^b f(x)dx$.

D. $\int_a^c f(x)dx + \int_c^b f(x)dx = -2\int_a^b f(x)dx$.

Câu 9: Trong không gian $Oxyz$, có bao nhiêu số thực $m$ để mặt phẳng $(P): x + 2y – 2z – 1 = 0$ song song với mặt phẳng $(Q): 2x + (m + 2)y – 2mz – m = 0$?

A. $1$.

B. $0$.

C. Vô số.

D. $2$.

Câu 10: Biết $\int f(x)dx = F(x) + C$. Khi đó khẳng định nào sau đây đúng?

A. $f'(x) = F(x)$.

B. $f'(x) = F(x) + C$.

C. $F'(x) = f(x) – C$.

D. $F'(x) = f(x)$.

Câu 11: Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số $y = -9x^2 – 63x – 50, y = -9x – 5$ và các đường thẳng $x = -5, x = -1$.

A. $96$.

B. $147$.

C. $168$.

D. $60$.

Câu 12: Xác định $m$ để hai mặt phẳng sau vuông góc với nhau: $(P): 3x + 3y – z + 1 = 0$ và $(Q): (m – 1)x + y – (m + 2)z – 3 = 0$

A. $m = -\frac{1}{2}$.

B. $m = 2$.

C. $m = \frac{1}{2}$.

D. $m = -\frac{3}{4}$.

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai.

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng (Đ) hoặc sai (S).

Câu 13: Cho hàm số $f(x) = \frac{\ln^2 x}{x}$ trên $(0; +\infty)$.

a) [NB] Đạo hàm của hàm số $F(x) = \frac{\ln^3 x}{3}$ là hàm số $f(x)$.

b) [TH] Hàm số $G(x) = \frac{\ln^3 x}{3} + 1$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{\ln^2 x}{x}$.

c) [TH] Hàm số $H(x) = \frac{\ln^3 x}{3} + x$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{\ln^2 x}{x}$.

d) [VD] Biết rằng $T(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ thỏa mãn $T(1) = 3$. Phương trình $T(x) = -6$ vô nghiệm.

Câu 14: Khi nghiên cứu dịch sốt xuất huyết ở một địa phương, các chuyên gia y tế ước tính rằng tại ngày thứ $x$ có $F(x)$ người mắc bệnh. Biết rằng tốc độ lan truyền bệnh là $F'(x) = \frac{150}{2x + 1}$ và ngày đầu tiên ($x = 0$) người ta phát hiện ra 40 bệnh nhân. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) [NB] $F'(3) = 20$.

b) [TH] Tốc độ lây bệnh ngày càng giảm.

c) [TH] $\int F'(x)dx = 150\ln(2x + 1) + C$.

d) [VD] Số người mắc bệnh ở ngày thứ 15 là 295 người, (kết quả quy tròn đến hàng đơn vị).

Câu 15: Trong không gian $Oxyz$ cho hai điểm $A(3; 2; 1)$ và $B(-3; 5; 2)$ và mặt phẳng $(P): x + 2y – z + 1 = 0$. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) [NB] Phương trình mặt phẳng đi qua $A$ và vuông góc với $AB$ nhận $\overrightarrow{AB}$ là một vector pháp tuyến.

b) [TH] Phương trình mặt phẳng đi qua $B$ và song song với mặt phẳng $(P)$ là: $x + 2y – z – 5 = 0$.

c) [TH] Phương trình mặt phẳng đi qua 2 điểm $A, B$ và vuông góc với mặt phẳng $(P)$ là: $x + y + 3z – 8 = 0$.

d) [VD] Phương trình mặt phẳng song song với mặt phẳng $(P)$ và cách $(P)$ một khoảng bằng $\sqrt{6}$ là: $(\alpha): x + 2y – z – 7 = 0; (\beta): x + 2y – z + 5 = 0$.

Câu 16: Cho hàm số $y = f(x) = \begin{cases} 3x^2 & \text{khi } -2 \leq x \leq 1 \ {,} 4 – x & \text{khi } 1 \leq x \leq 5 \end{cases}$. Các khẳng định sau đây đúng hay sai?

a) [NB] $\int_{-1}^1 f(x)dx = 1$.

b) [TH] $\int_0^1 f(x)dx = 1$.

c) [TH] $\int_1^3 f(x)dx = 19$.

d) [VD] $\int_0^5 f(x)dx = \frac{7}{2}$.

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn.

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Câu 17: Mặt cắt của một cửa hầm có dạng là hình phẳng giới hạn bởi một parabol và đường thẳng nằm ngang như hình bên dưới. Tính diện tích của cửa hầm.

Câu 18: Trong không gian $Oxyz$, biết mặt phẳng $ax + by + cz + 5 = 0$ qua hai điểm $A(3; 1; -1), B(2; -1; 4)$ và vuông góc với $(P): 2x – y + 3z + 4 = 0$. Giá trị của $a – b + c$ bằng bao nhiêu?

Câu 19: Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho điểm $M(1; 2; 3)$. Gọi $(\alpha)$ là mặt phẳng chứa trục $Oy$ và cách $M$ một khoảng lớn nhất. Tính khoảng cách từ điểm $N(1; 2; 3)$ đến mặt phẳng $(\alpha)$ (kết quả làm tròn đến hàng chục).

Câu 20: Cho $f(x) = \frac{4m}{\pi} + \sin^2 x$. Tìm $m$ để nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x)$ thỏa mãn $F(0) = 1$ và $F\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\pi}{8}$.

Câu 21: Trường Nguyễn Trãi muốn làm một cái cửa nhà hình parabol có chiều cao từ mặt đất đến đỉnh là $2,25$ mét, chiều rộng tiếp giáp với mặt đất là $3$ mét. Giá thuê mỗi mét vuông là $1500$ ngàn đồng. Vậy số tiền nhà trường phải trả là bao nhiêu ngàn đồng?

Câu 22: Cho hàm số $f(x)$ xác định và có đạo hàm trên $(0; +\infty)$ thỏa mãn $3f'(x).e^{f^3(x)} – \frac{2x}{f^2(x)} = 0$ với $\forall x \in \mathbb{R}$. Biết $f(1) = 0$, tính tích phân \[ I = \int_{1}^{2024} \frac{1}{\sqrt[3]{2 \ln x}} f(x) dx \]

Đáp Án

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh