PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn.

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Câu 1: Hàm số $F(x)$ là nguyên hàm của hàm số $f(x) = 3x^2$ và $F(0) = 5$. Khi đó, hàm số $F(x)$ là

A. $F(x) = x^3 + 5$.
B. $F(x) = x^3 – 5$.
C. $F(x) = 3x^3 + 5$.
D. $F(x) = 6x + 5$.

Câu 2: Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $[0; 2]$, $f(0) = 1$ và $\int_0^2 f'(x)dx = -3$. Tính $f(2)$.

A. $f(2) = -4$.
B. $f(2) = 4$.
C. $f(2) = -2$.
D. $f(2) = -3$.

Câu 3: Biết $F(x) = x^3$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên $\mathbb{R}$. Giá trị của $\int_0^2 [-4 + f(x)]dx$ bằng

A. $0$.
B. $-4$.
C. $12$.
D. $2$.

Câu 4: Tính tích phân $\int_0^1 e^{3x+1}dx$ bằng

A. $\frac{1}{3}(e^4 + e)$.
B. $e^3 – e$.
C. $\frac{1}{3}(e^4 – e)$.
D. $e^4 – e$.

Câu 5: Biết $\int f(x)dx = \frac{5^x}{\ln 5} + 3x + C$. Khi đó $f(x)$ bằng

A. $f(x) = \frac{5^x}{\ln 5} + 3$.
B. $f(x) = \frac{5^x}{\ln 5} + 3x$.
C. $f(x) = 5^x + 3x$.
D. $5^x + 3$.

Câu 6: Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm trên đoạn $[1; 2025]$, $f(1) = 1$ và $f(2025) = 2$. Tích phân $I = \int_1^{2025} f'(x)dx$ bằng

A. $2025$.
B. $1$.
C. $2024$.
D. $2$.

Câu 7: Tính $\int_0^{\frac{\pi}{6}} (3 – \cos x)dx$.

A. $\frac{\pi – 1}{2}$.
B. $\frac{\pi + 1}{2}$.
C. $\frac{\pi – \sqrt{3}}{2}$.
D. $\frac{\pi – 1}{2}$.

Câu 8: Diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = 2x^2$, $y = -1$, $x = 0$ và $x = 1$ được tính bởi công thức nào sau đây?

A. $S = \pi \int_0^1 (2x^2 + 1)dx$.
B. $S = \int_0^1 (2x^2 – 1)dx$.
C. $S = \int_0^1 (2x^2 + 1)^2 dx$.
D. $S = \int_0^1 (2x^2 + 1)dx$.

Câu 9: Một vật chuyển động với vận tốc ban đầu bằng 0, vận tốc biến đổi theo quy luật, và có gia tốc $a = 0,3 m/s^2$. Xác định quãng đường vật đó đi được trong 40 phút đầu tiên.

A. $12000m$.
B. $240m$.
C. $864000m$.
D. $3200m$.

Câu 10: Cho mặt phẳng $(P): 2x + 3y + 5z – 4 = 0$ và mặt phẳng $(Q) // (P)$. Vecto nào sau đây là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng $(Q)$?

A. $(2; 3; -5)$.
B. $(2; -3; -5)$.
C. $(-4; -6; 10)$.
D. $(4; 6; 10)$.

Câu 11: Trong không gian cho điểm $M(1; 0; -1)$, mặt phẳng $(\alpha)$ qua M và chứa trục ox có phương trình là

A. $y = 0$.
B. $x = 0$.
C. $z = 0$.
D. $x + z = 0$.

Câu 12: Không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(-1; 2; 0)$ và $B(3; 0; 2)$. Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng $AB$ có phương trình là

A. $x + y + z – 3 = 0$.
B. $2x – y + z + 2 = 0$.
C. $2x + y + z – 4 = 0$.
D. $2x – y + z – 2 = 0$.

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai.

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 2. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1: Cho hàm số $f(x) = 5$ và hàm số $g(x) = \sin x$.

a) $\int f(x)dx = 5x + C$.

b) $\int [f(x) + g(x)]dx = 5x + \cos x + C_1$.

c) Gọi $G(x)$ là một nguyên hàm của $g(x)$. Biết $G(\pi) = 3$ thì $G(x) = -\cos x + 2$.

d) Gọi $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$. Biết $F(1) = 3$ thì $F(1) + F(2) + … + F(100) = 25560$.

Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho ba điểm $A(2; 1; 3)$, $B(3; 0; 2)$, $C(0; -2; 1)$.

a) Tọa độ các vecto $\overrightarrow{AB} = (1; -1; -1), \overrightarrow{AC} = (-2; -3; -2)$.

b) Phương trình mặt phẳng $(ABC)$ là: $x – 4y + 5z – 13 = 0$.

c) Khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng $BC$ bằng $\frac{\sqrt{17}}{4}$.

d) Mặt phẳng $(P)$ đi qua $A, B$ và cách $C$ một khoảng lớn nhất có phương trình $3x + 2y + z – 11 = 0$.

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn.

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4.

Câu 1: Gọi $F(x)$ là nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{x + a}{x – 1}$ trên khoảng $(1; +\infty)$ thỏa mãn điều kiện $F(e + 1) = a + e + 1$. Tính $F(2)$.

Câu 2: Biết rằng tích phân $I = \int_1^2 \frac{2x^2 – 3}{x}dx = a – \ln b$ với $a, b \in \mathbb{N}$. Tính $a + b$.

Câu 3: Một thùng chứa rượu làm bằng gỗ là một hình tròn xoay như hình bên có hai đáy là hai hình tròn bằng nhau, khoảng cách giữa hai đáy bằng $8$ dm. Đường cong mặt bên của thùng là một phần của đường elip có độ dài trục lớn bằng $10$ dm, độ dài trục bé bằng $6$ dm.

Hỏi chiếc thùng gỗ đó dựng được bao nhiêu lít rượu (làm tròn đến hàng đơn vị)?

Câu 4: Cho điểm $A(1; 2; -1)$ và mặt phẳng $(a): x – 2y + 2z + 2 = 0$. Mặt phẳng $(b)$ song song với mặt phẳng $(a)$ và cách $A$ một khoảng $1$ có dạng $(a): x – by + cz + d = 0$. Khi đó $S = 3b – c + d$.

PHẦN IV. Tự luận

Câu 1: Một nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x) = x^{3x} + 2$, biết $F(0) = 1$. Tính $F(1) = 1$

Câu 2: Một quần thể vi khuẩn ban đầu gồm 500 vi khuẩn, sau đó bắt đầu tăng trưởng. Gọi $P(t)$ là số lượng vi khuẩn của quần thể đó tại thời điểm $t$, trong đó $t$ tính theo ngày $(0 \leq t \leq 10)$. Tốc độ tăng trưởng của quần thể vi khuẩn đó cho bởi hàm số $P'(t) = kt$, trong đó $k$ là hằng số. Sau một ngày, số lượng vi khuẩn của quần thể đó đã tăng lên thành 600 vi khuẩn. Tính số lượng vi khuẩn của quần thể đó sau 7 ngày (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình mặt phẳng $(P)$ song song và cách mặt phẳng $(\alpha): 3x – y + 2z – 3 = 0$ một khoảng bằng $\sqrt{14}$.

Đáp Án

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh