PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn.

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Câu 1: Hàm số $F(x) = \ln x$ xác định trên khoảng $(0; +\infty)$ là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?

A. $f(x) = \frac{1}{x^2}$.
B. $f(x) = \frac{1}{x}$.
C. $f(x) = -\frac{1}{x^2}$.
D. $f(x) = -\frac{1}{x}$.

Câu 2: Tìm họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = x^{2025}$.

A. $\int f(x)dx = \frac{1}{2024}x^{2024} + C$.
B. $\int f(x)dx = 2025.x^{2024} + C$.
C. $\int f(x)dx = \frac{1}{2026}x^{2026} + C$.
D. $\int f(x)dx = x^{2026} + C$.

Câu 3: Họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = 4x + \sin x$ là

A. $2x^2 + \cos x + C$.
B. $4 + \cos x + C$.
C. $2x^2 – \cos x + C$.
D. $\frac{x^2}{2} – \cos x + C$.

Câu 4: Họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = 3x^2 + \sin x$ là

A. $x^3 + \cos x + C$.
B. $6x + \cos x + C$.
C. $x^3 – \cos x + C$.
D. $6x – \cos x + C$.

Câu 5: Cho $f(x)$ là hàm số liên tục trên đoạn $[1; 2]$. Biết $F(x)$ là nguyên hàm của $f(x)$ trên đoạn $[1; 2]$ thỏa mãn $F(1) = -2$ và $F(2) = 4$. Khi đó $\int_1^2 f(x)dx$ bằng

A. $6$.
B. $2$.
C. $-6$.
D. $-2$.

Câu 6: Nếu $\int_{-1}^2 f(x)dx = 2$ và $\int_2^5 f(x)dx = -5$ thì $\int_{-1}^5 f(x)dx$ bằng

A. $-7$.
B. $-3$.
C. $4$.
D. $7$.

Câu 7: Biết $\int_0^1 [f(x) + 2x]dx = 4$. Khi đó $\int_0^1 f(x)dx$ bằng

A. $3$.
B. $2$.
C. $6$.
D. $4$.

Câu 8: Gọi $S$ là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = 2^x$, $y = 0$, $x = 0$, $x = 2$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $S = \pi \int_0^2 2^x dx$.
B. $S = \int_0^2 2^x dx$.
C. $S = \pi \int_0^2 2^{2x} dx$.
D. $S = \int_0^2 2^{2x} dx$.

Câu 9: Cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi các đường $y = x^2 + 3$, $y = 0$, $x = 0$, $x = 2$. Gọi $V$ là thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay $(H)$ xung quanh trục $Ox$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $V = \int_0^2 (x^2 + 3)dx$.
B. $V = \pi \int_0^2 (x^2 + 3)dx$.
C. $V = \int_0^2 (x^2 + 3)^2 dx$.
D. $V = \pi \int_0^2 (x^2 + 3)^2 dx$.

Câu 10: Trong không gian $Oxyz$, phương trình của mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $B(2; 1; -3)$, đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng $(Q): x + y + 3z – 5 = 0$, $(R): 2x – y + z – 1 = 0$ là

A. $4x + 5y – 3z + 22 = 0$.
B. $4x – 5y – 3z – 12 = 0$.
C. $2x + y – 3z – 14 = 0$.
D. $4x + 5y – 3z – 22 = 0$.

Câu 11: Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(\alpha): 2x – y + 3 = 0$. Mặt phẳng nào sau đây vuông góc với mặt phẳng $(\alpha)$?

A. $(\alpha_1): -2x + y – 3z = 0$.
B. $(\alpha_2): x + 5y + z – 2 = 0$.
C. $(\alpha_3): 4x – 2y + 7 = 0$.
D. $(\alpha_4): x + 2y – z + 1 = 0$.

Câu 12: Trong không gian $Oxyz$ cho hai mặt phẳng song song $(P)$ và $(Q)$ lần lượt có phương trình $2x – y + z = 0$ và $2x – y + z – 7 = 0$. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ bằng

A. $7$.
B. $7\sqrt{6}$.
C. $6\sqrt{7}$.
D. $\frac{7}{\sqrt{6}}$.

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai.

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 2. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1: Rùa và thỏ tranh tài: Trong một cuộc thi chạy đua giữa rùa và thỏ xem ai chạy được quãng đường xa hơn, rùa chạy với tốc độ $v_R(t) = 3\sqrt{t}$, thỏ chạy với tốc độ $v_T(t) = 5 – 5\cos(2\pi t)$ (với $t$ là thời gian (đơn vị: giờ), vận tốc đơn vị $km/h$). (Các kết quả làm tròn đến hàng phần trăm, đơn vị $km$)

a) Trong khoảng thời gian từ $0,5$ giờ đến $1$ giờ (kể từ khi xuất phát) thì vận tốc của thỏ giảm dần.

b) Quãng đường rùa chạy được sau $0,5$ giờ là $0,70km$.

c) Nếu cuộc đua kết thúc sau $1$ giờ thì thỏ giành chiến thắng và thắng cách biệt $3,15km$.

d) Nếu cuộc đua kết thúc khi thỏ hoặc rùa chạy được $10km$ đầu tiên thì thỏ giành chiến thắng và thắng cách biệt $4,34km$.

Câu 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho điểm $A(1; 2; 5)$ và mặt phẳng $(\alpha): x + 2y + 2z – 6 = 0$.

a) Vecto $\vec{n} = (1; 2; 2)$ là một vecto pháp tuyến của $(\alpha)$.

b) Phương trình mặt phẳng $(\beta)$ đi qua điểm $A$ và song song với mặt phẳng $(\alpha)$ có phương trình $x + 2y + 2z + 15 = 0$.

c) Phương trình mặt phẳng $(\gamma)$ đi qua hai điểm $O$ và $A$ đồng thời vuông góc với mặt phẳng $(\alpha)$ có phương trình $2x – y = 0$.

d) Điểm $M \in (\alpha)$ sao cho $A, O, M$ thẳng hàng thì tọa độ $M\left(\frac{2}{5}; \frac{4}{5}; 2\right)$.

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn.

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4.

Câu 1: Biết $\int_0^1 \frac{e^{-x} + 2}{e^{x-1}} dx = ae + b + \frac{c}{e}$ $(a, b, c \in \mathbb{N})$. Giá trị của $P = a + b + c$ bằng bao nhiêu?

Câu 2: Chấp hành theo “Luật trật tự an toàn giao thông đường bộ”, Chị Nga đang lái xe với vận tốc $5m/s$ thì nhận thấy phía trước đèn giao thông đang chuyển sang đèn đỏ nên cần giảm tốc độ của xe để dừng đến đỗ. Sau khi đạp phanh, xe chuyển động chậm dần đều với vận tốc $v(t) = -0,7t + 5(m/s)$, trong đó $t$ là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi xe dừng hẳn, xe đi chuyển quãng đường bao nhiêu mét? (Kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

Câu 3: Một vật trang trí có dạng một khối tròn xoay được tạo thành khi quay miền $(R)$ (phần gạch chéo trong hình vẽ) quanh trục $MN$. Biết rằng $ABCD$ là hình chữ nhật với $AB = 6cm$, $AD = 10cm$, $M, N$ lần lượt là trung điểm của $AB$, $CD$, hai đường cong là đường elip có hình chữ nhật cơ sở là $ABCD$ và đường tròn tiếp xúc với hai cạnh $AD$ và $BC$ (tham khảo hình vẽ). Tính thể tích của vật trang trí đó (đơn vị $cm^3$, kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Câu 4: Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(2; -2; 4)$, $B(-3; 3; -1)$ và mặt phẳng $(P): 2x – y + 2z – 8 = 0$. Xét M là điểm thay đổi thuộc $(P)$, giá trị nhỏ nhất của $2MA^2 + 3MB^2$ bằng

PHẦN IV. Tự luận

Câu 1: Cho $F(x)$ là họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = -e^x – 4x + 2$, $F(0) = 1$. Tính giá trị $F(2)$.

Câu 2: Từ một tấm bia hình vuông $ABCD$ cạnh $4cm$ về hai đường chéo và hai nửa đường tròn đường kính là hai cạnh $AD, BC$ cắt nhau tạo thành 4 hình cánh quạt như hình vẽ. Tính thể tích khối tròn xoay ($cm^3$) sinh ra khi quay 4 cánh quạt này quanh cạnh $CD$ (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Câu 3: Trong không gian $Oxyz$ cho $A(2; 0; 0), B(0; 4; 0), C(0; 0; 6), D(2; 4; 6)$. Gọi $(P)$ là mặt phẳng song song với $mp(ABC)$, $(P)$ cách đều $O$ và mặt phẳng $(ABC)$. Phương trình của $(P)$ là?

Đáp Án

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh