PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn

Câu 1: Hàm số $F(x) = x^2 + 1$ là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?
A. $f(x) = \frac{1}{3}x^3 + x$
B. $f(x) = 2x$
C. $f(x) = 2x + 1$
D. $f(x) = \frac{1}{3}x^3 + 1$

Câu 2: Một chiếc ô tô chuyển động với vận tốc $v(t)$ (m/s), có gia tốc $a(t) = v'(t) = \frac{3}{t+1}  (m/s^2)$. Biết vận tốc của ô tô tại giây thứ 6 bằng 6 (m/s). Tính vận tốc của ô tô tại giây thứ 20.
A. $v = 3 \ln 3$
B. $v = 14$
C. $v = 3 \ln 3 + 6$
D. $v = 26$

Câu 3: Giá trị của $\int_0^4 5  dx$ bằng
A. 5
B. 10
C. 15
D. 20

Câu 4: Nếu $\int_0^4 f(x)  dx = 37$ thì $\int_0^4 [2f(x) – 3x^2]  dx$ bằng
A. 12
B. 18
C. $-27$
D. 10

Câu 5: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = \frac{x-2}{-x+1}$ và các đường thẳng $x = 2$ và $x = 6$ bằng
A. $\ln 6 + \ln 2 + 4$ (đvdt)
B. $\ln 3 – 4$ (đvdt)
C. $\ln 5 – 4$ (đvdt)
D. $\ln 6 + \ln 2 – 4$ (đvdt)

Câu 6: Hàm số $F(x) = x^4 + 6x$ là nguyên hàm của hàm số
A. $f(x) = \frac{x^5}{5} + 3x^2$
B. $f(x) = 4x^3 + 6x$
C. $f(x) = 4x^3 + 6$
D. $f(x) = \frac{x^5}{5} + 3x^2 + C$

Câu 7: Một đám vi trùng tại ngày thứ $t$ có số lượng là $N(t)$ con. Biết rằng $N'(t) = \frac{4000}{1+0,5t}$ và lúc đầu đám vi trùng có 250000 con. Hỏi sau 10 ngày số lượng vi trùng gần với số nào sau đây nhất.
A. 251000 con
B. 261000 con
C. 264334 con
D. 274334 con

Câu 8: Tính $\int (x^2 + \frac{3}{x} – 2\sqrt{x}) dx$, ta được kết quả là:
A. $\frac{x^3}{3} + 3 \ln |x| – \frac{4}{3}\sqrt{x^3} + C$
B. $\frac{x^3}{3} + 3 \ln x – \frac{4}{3}\sqrt{x^3} + C$
C. $\frac{x^3}{3} + 3 \ln |x| + \frac{4}{3}\sqrt{x^3} + C$
D. $\frac{x^3}{3} – 3 \ln |x| – \frac{4}{3}\sqrt{x^3} + C$

Câu 9: Trong không gian $Oxyz$, mặt phẳng $(P): x + 2y – 3z + 3 = 0$ có một vectơ pháp tuyến là
A. $(1; -2; 3)$
B. $(1; 2; -3)$
C. $(-1; 2; -3)$
D. $(1; 2; 3)$

Câu 10: Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(1; 3; -4)$, $B(-1; 1; 2)$. Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB có phương trình là:
A. $x + y – 3z – 5 = 0$
B. $-x – y + 3z + 2 = 0$
C. $x + y – 3z + 10 = 0$
D. $-2x – 2y + 6z – 11 = 0$

Câu 11: Trong không gian $Oxyz$, khoảng cách từ điểm $M(1; -3; 2)$ đến mặt phẳng $(\alpha): x – 2y + 2z + 5 = 0$ bằng
A. $\frac{16}{3}$
B. $\frac{8}{3}$
C. $\frac{4}{3}$
D. $\frac{16}{9}$

Câu 12: Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(\alpha): 2x + y – 3z + 8 = 0$. Mặt phẳng nào sau đây vuông góc với mặt phẳng $(\alpha)$?
A. $x – 3y + 3z – 7 = 0$
B. $3x – 3y + z – 7 = 0$
C. $x – 2y + z + 8 = 0$
D. $x + 2y – z – 8 = 0$

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai

Câu 1: Một ô tô đang chạy với vận tốc 16 m/s thì người lái xe bất ngờ phát hiện chướng ngại vật trên đường cách đó 50 m. Người lái xe phản ứng một giây sau đó đạp phanh khẩn cấp. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc $v(t) = -5t + 15$, trong đó $t$ là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Gọi $s(t)$ là quãng đường ô tô đi được trong $t$ giây kể từ lúc đạp phanh.

a) Công thức biểu diễn hàm số $s(t)$ là $s(t) = -\frac{5}{2}t^2 + 15t + 16$

b) Thời gian kể từ khi ô tô đạp phanh đến khi dừng hẳn bằng 3 giây.

c) Kể từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển được quãng đường là 38,5 m.

d) Xe ô tô không va chạm với chướng ngại vật.

Câu 2: Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P): 2x + 2y – z + 3 = 0$ và các điểm $A(1; 2; 3)$, $B(0; -1; 2)$, $C(1; 3; -2)$

a) Điểm $A$ cách mặt phẳng $(P)$ một khoảng bằng 5.

b) Mặt phẳng $(Q)$ đi qua điểm $B$ và song song với mặt phẳng $(P)$ có phương trình là $2x + 2y – z – 4 = 0$.

c) Đường thẳng đi qua điểm $A$ và vuông góc với mặt phẳng $(P)$ có phương trình tham số là:
$x = 1 + 2t$
$y = 2 + 2t$
$z = 3 – t$

d) Gọi $H(a; b; c)$ là hình chiếu vuông góc của điểm $C$ lên mặt phẳng $(P)$. Khi đó giá trị của biểu thức $a + b + c$ bằng 2.

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 1: Cho hàm số $f(x) = \frac{1}{2}x^2 + 3x$. Họ các nguyên hàm của hàm số đã cho có dạng $F(x) = ax^3 + bx^2 + C$. Tính tổng $6a + 4b$.

Câu 2: Nhằm tri ân người dân địa phương đã luôn tin tưởng, đồng hành với doanh nghiệp, tập đoàn X đã tổ chức ngày hội cảm ơn vào ngày 10/07/2024. Gọi $B(t)$ là hàm số biểu thị số lượng khách tham quan sau $t$ giờ mở cửa. Khi đó tốc độ thay đổi lượng khách tham quan trong ngày được biểu diễn bằng hàm số $B'(t) = 4t^3 – 3t^2 + 200$, trong đó $t$ tính bằng giờ ($0 \leq t \leq 8$), $B'(t)$ tính bằng khách/giờ. Sau 2 giờ đã có 1200 người có mặt. Hỏi sau 6 giờ lượng khách tham quan là bao nhiêu người?

Câu 3: Cho hình chữ nhật $ABCD$ có $AB = 4$, $AD = 5$. Cắt hình chữ nhật theo đường gấp khúc $MNP$ với $BM = 2$, $DP = 3$, $PN = 2$ và bỏ đi phần hình thang vuông $MNPC$ (tham khảo hình bên). Gọi $(H)$ là phần hình phẳng còn lại của hình chữ nhật đã cho sau khi cắt bỏ. Tính thể tích của vật thể tròn xoay tạo thành khi quay $(H)$ quanh trục $AB$. (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

Câu 4: Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, khoảng cách giữa mặt phẳng $(P): x + 2y + 2z – 10 = 0$ và mặt phẳng $(Q): x + 2y + 2z – 3 = 0$ bằng (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

PHẦN IV. Tự luận

Câu 1: Gọi $F(x)$ là nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{x^2 + a}{x – 1}$ trên khoảng $(-\infty;1)$ thỏa mãn điều kiện $F(0) = 1$. Tìm $a$.

Câu 2: Tính tích phân $\int_0^{\pi} (x + 3\sin x) dx$

Câu 3: Tính $\int_1^4 \left( 2\sqrt{x^3} + \frac{5}{x^3} \right) dx$

Câu 4: Một vật chuyển động với gia tốc được cho bởi hàm số $a(t) = 5\cos\left(t + \frac{\pi}{2}\right) (m/s^2)$. Lúc bắt đầu chuyển động vật có vận tốc 2 m/s. Tính quãng đường vật di chuyển từ khi xuất phát đến thời điểm vật có vận tốc đạt giá trị lớn nhất đầu tiên.

Câu 5: Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho điểm $M(2;0;1)$. Gọi $A, B$ lần lượt là hình chiếu của $M$ trên trục $Ox$ và trên mặt phẳng $(Oyz)$. Viết phương trình mặt trung trực của đoạn $AB$.

Câu 6: Trong không gian $Oxyz$, viết phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua hai điểm $A(3;2;1); B(-3;5;2)$ và vuông góc với mặt phẳng $(Q): 3x + y + z + 4 = 0$.

Đáp Án

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh