I. GIỚI THIỆU VỀ PARABOL

1. Parabol là gì?

Định nghĩa: Parabol là đồ thị của hàm số bậc hai có dạng tổng quát: $$y = ax^2 + bx + c \quad (a \neq 0)$$

Trong đó:

• $a$, $b$, $c$ là các hằng số thực
• $a \neq 0$ (nếu $a = 0$ thì hàm số trở thành hàm bậc nhất)
• $x$ là biến số
• $y$ là giá trị hàm số

Hình dạng: Parabol là một đường cong có dạng hình chữ U (hoặc chữ U ngược), mịn và đối xứng qua một trục thẳng đứng.

Tên gọi khác:

• Hàm số bậc hai
• Đường cong bậc hai
• Hàm số bậc hai một biến

2. Đặc điểm parabol

Hướng bề lõm:

Hướng bề lõm của parabol phụ thuộc vào dấu của hệ số $a$:

• Khi $a > 0$: Bề lõm hướng lên (hình chữ U)
  • Parabol có điểm thấp nhất (đỉnh)
  • Hai nhánh đi lên vô cùng
  • Hàm số có giá trị nhỏ nhất
• Khi $a < 0$: Bề lõm hướng xuống (hình chữ U ngược)
  • Parabol có điểm cao nhất (đỉnh)
  • Hai nhánh đi xuống vô cùng
  • Hàm số có giá trị lớn nhất

Trục đối xứng:

Parabol luôn có một trục đối xứng là đường thẳng đứng đi qua đỉnh, có phương trình: $$x = -\frac{b}{2a}$$

Đỉnh:

Đỉnh là điểm quan trọng nhất của parabol:

• Là điểm cao nhất (nếu $a < 0$) hoặc thấp nhất (nếu $a > 0$)
• Nằm trên trục đối xứng
• Là điểm mà hàm số đạt cực trị

II. CÔNG THỨC ĐỈNH PARABOL

Công thức chuẩn tắc

Cho parabol có dạng tổng quát: $$y = ax^2 + bx + c \quad (a \neq 0)$$

Tọa độ đỉnh $I(x_I; y_I)$ được tính theo công thức:

$$\boxed{x_I = -\frac{b}{2a}}$$

$$\boxed{y_I = -\frac{\Delta}{4a} = -\frac{b^2 – 4ac}{4a}}$$

Hoặc có thể tính $y_I$ bằng cách thay $x_I$ vào hàm số: $$y_I = f(x_I) = ax_I^2 + bx_I + c$$

Trong đó:

• $\Delta = b^2 – 4ac$ (biệt thức delta)
• $a$, $b$, $c$ là các hệ số của parabol

Các cách tính tọa độ đỉnh

Cách 1: Dùng công thức trực tiếp

Đây là cách phổ biến và nhanh nhất:

Bước 1: Tính hoành độ đỉnh: $x_I = -\frac{b}{2a}$

Bước 2: Thay $x_I$ vào hàm số để tính tung độ: $y_I = ax_I^2 + bx_I + c$

Ví dụ 1: Tìm tọa độ đỉnh của parabol $y = 2x^2 – 4x + 5$

Lời giải:

• Xác định các hệ số: $a = 2$, $b = -4$, $c = 5$
• Tính hoành độ đỉnh: $$x_I = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \times 2} = \frac{4}{4} = 1$$
• Tính tung độ đỉnh: $$y_I = 2(1)^2 – 4(1) + 5 = 2 – 4 + 5 = 3$$
• Vậy đỉnh parabol là $I(1; 3)$

Cách 2: Biến đổi về dạng chính tắc

Biến đổi hàm số về dạng: $$y = a(x – x_I)^2 + y_I$$

Khi đó đỉnh parabol là $I(x_I; y_I)$

Ví dụ 2: Tìm đỉnh parabol $y = 2x^2 – 4x + 5$ bằng biến đổi

Lời giải:

Bước 1: Đặt nhân tử $a$ ra ngoài: $$y = 2(x^2 – 2x) + 5$$

Bước 2: Thêm bớt để tạo hằng đẳng thức: $$y = 2(x^2 – 2x + 1 – 1) + 5$$

Bước 3: Tách ra: $$y = 2(x^2 – 2x + 1) – 2 + 5$$

Bước 4: Viết dưới dạng bình phương: $$y = 2(x – 1)^2 + 3$$

Kết luận: Đỉnh parabol là $I(1; 3)$ ✓

Bảng tổng hợp công thức đỉnh

Ý nghĩa của đỉnh

Khi $a > 0$ (parabol hướng lên):

• Đỉnh $I(x_I; y_I)$ là điểm thấp nhất của parabol
• $y_I$ là giá trị nhỏ nhất của hàm số trên toàn trục số
• Công thức: $y_{min} = y_I = -\frac{\Delta}{4a}$ đạt tại $x = x_I = -\frac{b}{2a}$
• Hàm số không có giá trị lớn nhất (vì các nhánh đi lên vô tận)

Khi $a < 0$ (parabol hướng xuống):

• Đỉnh $I(x_I; y_I)$ là điểm cao nhất của parabol
• $y_I$ là giá trị lớn nhất của hàm số trên toàn trục số
• Công thức: $y_{max} = y_I = -\frac{\Delta}{4a}$ đạt tại $x = x_I = -\frac{b}{2a}$
• Hàm số không có giá trị nhỏ nhất (vì các nhánh đi xuống vô tận)

Ví dụ 3: (Bài toán thực tế – Chuyển động ném lên)

Một quả bóng được ném lên theo phương trình độ cao: $$h(t) = -5t^2 + 20t + 1 \text{ (mét)}$$ trong đó $t$ là thời gian tính bằng giây.

a) Tìm thời điểm quả bóng đạt độ cao lớn nhất b) Tính độ cao lớn nhất của quả bóng

Lời giải:

Phân tích: Hệ số $a = -5 < 0$ nên parabol hướng xuống, có giá trị lớn nhất tại đỉnh.

Câu a) Tìm thời điểm: $$t_I = -\frac{b}{2a} = -\frac{20}{2 \times (-5)} = -\frac{20}{-10} = 2 \text{ giây}$$

Câu b) Tính độ cao lớn nhất: $$h_{max} = h(2) = -5(2)^2 + 20(2) + 1$$ $$= -5 \times 4 + 40 + 1$$ $$= -20 + 40 + 1 = 21 \text{ mét}$$

Kết luận:

• Quả bóng đạt độ cao lớn nhất sau 2 giây
• Độ cao lớn nhất là 21 mét

III. CÔNG THỨC GIAO ĐIỂM VÀ NGHIỆM

1. Giao điểm với trục Oy

Định nghĩa: Giao điểm của parabol với trục Oy là điểm có hoành độ $x = 0$.

Công thức: Cho $x = 0$ vào phương trình parabol, ta được: $$y = a(0)^2 + b(0) + c = c$$

Tọa độ giao điểm: $(0; c)$

Kết luận: Mọi parabol $y = ax^2 + bx + c$ đều cắt trục Oy tại điểm có tung độ bằng $c$.

Ví dụ 4:

• Cho parabol $y = x^2 – 3x + 2$
• Hệ số $c = 2$
• Giao điểm với trục Oy: $(0; 2)$

2. Giao điểm với trục Ox (Nghiệm)

Định nghĩa: Giao điểm của parabol với trục Ox là điểm có tung độ $y = 0$.

Phương trình: Để tìm giao điểm, ta giải phương trình: $$ax^2 + bx + c = 0$$

Biệt thức: $$\Delta = b^2 – 4ac$$

Số nghiệm phụ thuộc vào $\Delta$:

• $\Delta > 0$: Phương trình có 2 nghiệm phân biệt $x_1, x_2$
  • Parabol cắt trục Ox tại 2 điểm: $(x_1; 0)$ và $(x_2; 0)$
• $\Delta = 0$: Phương trình có 1 nghiệm kép $x = -\frac{b}{2a}$
  • Parabol tiếp xúc trục Ox tại đỉnh
• $\Delta < 0$: Phương trình vô nghiệm
  • Parabol không cắt trục Ox

Công thức nghiệm:

$$\boxed{x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}}$$

Với:

• $x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$
• $x_2 = \frac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a}$

Ví dụ 5: Tìm giao điểm của parabol $y = x^2 – 5x + 6$ với trục Ox

Lời giải:

Bước 1: Giải phương trình $x^2 – 5x + 6 = 0$

• Hệ số: $a = 1$, $b = -5$, $c = 6$

Bước 2: Tính biệt thức: $$\Delta = b^2 – 4ac = (-5)^2 – 4 \times 1 \times 6 = 25 – 24 = 1 > 0$$

Bước 3: Vì $\Delta > 0$ nên có 2 nghiệm phân biệt: $$x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{1}}{2 \times 1} = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2} = 3$$ $$x_2 = \frac{-(-5) – \sqrt{1}}{2 \times 1} = \frac{5 – 1}{2} = \frac{4}{2} = 2$$

Kết luận: Parabol cắt trục Ox tại hai điểm: $(2; 0)$ và $(3; 0)$

3. Định lý Vi-et

Định nghĩa: Nếu phương trình $ax^2 + bx + c = 0$ có hai nghiệm $x_1, x_2$, thì:

$$\boxed{x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}}$$

$$\boxed{x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}}$$

Ứng dụng:

• Tính nhanh tổng và tích nghiệm mà không cần giải phương trình
• Kiểm tra kết quả sau khi tìm nghiệm
• Tìm nghiệm còn lại khi biết một nghiệm
• Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm

Ví dụ: Trong ví dụ 5 trên:

• $x_1 + x_2 = 3 + 2 = 5 = -\frac{-5}{1}$ ✓
• $x_1 \cdot x_2 = 3 \times 2 = 6 = \frac{6}{1}$ ✓

IV. CÔNG THỨC DIỆN TÍCH PARABOL

CÔNG THỨC 1: Diện tích giữa parabol và trục Ox

Điều kiện áp dụng: Parabol $y = ax^2 + bx + c$ cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_1$ và $x_2$ với $x_1 < x_2$.

Công thức tích phân tổng quát:

$$S = \int_{x_1}^{x_2} |ax^2 + bx + c| , dx$$

Trường hợp cụ thể:

Khi $a > 0$ (parabol hướng lên, vùng tính diện tích nằm phía dưới Ox):

$$S = -\int_{x_1}^{x_2} (ax^2 + bx + c) , dx$$

Khi $a < 0$ (parabol hướng xuống, vùng tính diện tích nằm phía trên Ox):

$$S = \int_{x_1}^{x_2} (ax^2 + bx + c) , dx$$

CÔNG THỨC RÚT GỌN (Công thức nhanh)

Đây là công thức quan trọng nhất, giúp tính diện tích nhanh chóng mà không cần tích phân:

Khi parabol cắt trục Ox tại hai điểm có hoành độ $x_1, x_2$:

$$\boxed{S = \frac{|a|}{6}(x_2 – x_1)^3}$$

Hoặc dạng khác:

$$\boxed{S = \frac{\sqrt{\Delta^3}}{6|a|}}$$

Trong đó:

• $\Delta = b^2 – 4ac$ (biệt thức)
• $(x_2 – x_1) = \frac{\sqrt{\Delta}}{|a|}$ (khoảng cách giữa hai nghiệm)

Chứng minh công thức:

Xuất phát từ tích phân: $$S = \left|\int_{x_1}^{x_2} a(x – x_1)(x – x_2) , dx\right|$$

Khai triển và tính: $$= \left|a \int_{x_1}^{x_2} (x – x_1)(x – x_2) , dx\right|$$

Sau khi tích phân và rút gọn: $$= \left|-\frac{a(x_2 – x_1)^3}{6}\right| = \frac{|a|(x_2 – x_1)^3}{6}$$

Ví dụ 6: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol $y = x^2 – 5x + 6$ và trục Ox.

Lời giải:

Phương pháp 1: Dùng tích phân

Bước 1: Tìm nghiệm (từ Ví dụ 5): $x_1 = 2$, $x_2 = 3$

Bước 2: Vì $a = 1 > 0$, vùng nằm dưới Ox nên: $$S = -\int_2^3 (x^2 – 5x + 6) , dx$$

Bước 3: Tính tích phân: $$= -\left[\frac{x^3}{3} – \frac{5x^2}{2} + 6x\right]_2^3$$

$$= -\left[\left(\frac{27}{3} – \frac{45}{2} + 18\right) – \left(\frac{8}{3} – \frac{20}{2} + 12\right)\right]$$

$$= -\left[\left(9 – 22.5 + 18\right) – \left(\frac{8}{3} – 10 + 12\right)\right]$$

$$= -\left[4.5 – \frac{14}{3}\right] = -\left[\frac{27 – 28}{6}\right] = -\left[-\frac{1}{6}\right] = \frac{1}{6}$$

Phương pháp 2: Dùng công thức nhanh ⚡

Bước 1: Xác định: $a = 1$, $x_2 – x_1 = 3 – 2 = 1$

Bước 2: Áp dụng công thức: $$S = \frac{|a|}{6}(x_2 – x_1)^3 = \frac{1}{6} \times 1^3 = \frac{1}{6}$$

Kết luận: Diện tích là $\frac{1}{6}$ đơn vị diện tích ✓

CÔNG THỨC 2: Diện tích giữa hai parabol

Cho hai hàm số parabol:

• $y_1 = ax^2 + bx + c$
• $y_2 = dx^2 + ex + f$

Bước 1: Tìm giao điểm bằng cách giải: $$ax^2 + bx + c = dx^2 + ex + f$$

Thu được phương trình: $$(a-d)x^2 + (b-e)x + (c-f) = 0$$

Có hai nghiệm: $x_1, x_2$

Bước 2: Áp dụng công thức diện tích:

$$\boxed{S = \int_{x_1}^{x_2} |y_1 – y_2| , dx = \frac{|a-d|}{6}(x_2 – x_1)^3}$$

Ví dụ 7: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai parabol $y = x^2$ và $y = -x^2 + 4$.

Lời giải:

Bước 1: Tìm giao điểm: $$x^2 = -x^2 + 4$$ $$2x^2 = 4$$ $$x^2 = 2$$ $$x = \pm\sqrt{2}$$

Vậy $x_1 = -\sqrt{2}$, $x_2 = \sqrt{2}$

Bước 2: Tính hiệu hệ số: $$a_1 – a_2 = 1 – (-1) = 2$$

Bước 3: Tính khoảng cách: $$x_2 – x_1 = \sqrt{2} – (-\sqrt{2}) = 2\sqrt{2}$$

Bước 4: Áp dụng công thức: $$S = \frac{|a_1 – a_2|}{6}(x_2 – x_1)^3$$ $$= \frac{2}{6}(2\sqrt{2})^3$$ $$= \frac{2}{6} \times 8 \times 2\sqrt{2}$$ $$= \frac{2}{6} \times 16\sqrt{2}$$ $$= \frac{16\sqrt{2}}{3}$$

Kết luận: Diện tích là $\frac{16\sqrt{2}}{3}$ đơn vị diện tích.

CÔNG THỨC 3: Diện tích giữa parabol và đường thẳng

Cho:

• Parabol: $y = ax^2 + bx + c$
• Đường thẳng: $y = mx + n$

Bước 1: Tìm giao điểm bằng cách giải: $$ax^2 + bx + c = mx + n$$

Thu được: $$ax^2 + (b-m)x + (c-n) = 0$$

Có hai nghiệm: $x_1, x_2$

Bước 2: Áp dụng công thức nhanh:

$$\boxed{S = \frac{|a|}{6}(x_2 – x_1)^3}$$

Ví dụ 8: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol $y = x^2 – 4x + 3$ và đường thẳng $y = x – 1$.

Lời giải:

Bước 1: Tìm giao điểm: $$x^2 – 4x + 3 = x – 1$$ $$x^2 – 5x + 4 = 0$$

Bước 2: Giải phương trình:

• $\Delta = 25 – 16 = 9$
• $x_1 = \frac{5 – 3}{2} = 1$
• $x_2 = \frac{5 + 3}{2} = 4$

Bước 3: Áp dụng công thức: $$S = \frac{|a|}{6}(x_2 – x_1)^3 = \frac{1}{6}(4-1)^3 = \frac{1}{6} \times 27 = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}$$

Kết luận: Diện tích là $\frac{9}{2}$ đơn vị diện tích.

Bảng tổng hợp công thức diện tích

Ghi nhớ: Công thức chung cho mọi trường hợp là $\frac{\text{hệ số}}{6} \times (\text{hiệu nghiệm})^3$

V. CÁC CÔNG THỨC KHÁC VỀ PARABOL

1. Phương trình trục đối xứng

Công thức: $$\boxed{x = -\frac{b}{2a}}$$

Ý nghĩa:

• Đây là đường thẳng thẳng đứng đi qua đỉnh parabol
• Chia parabol thành hai phần đối xứng nhau
• Song song với trục Oy
• Mọi điểm đối xứng qua trục này đều có cùng tung độ trên parabol

Ví dụ: Parabol $y = 2x^2 – 8x + 3$ có trục đối xứng: $$x = -\frac{-8}{2 \times 2} = \frac{8}{4} = 2$$

2. Khoảng cách giữa 2 giao điểm với Ox

Công thức: $$\boxed{|x_2 – x_1| = \frac{\sqrt{\Delta}}{|a|}}$$

Chứng minh:

• Từ công thức nghiệm: $x_1 = \frac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a}$, $x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$
• Hiệu: $x_2 – x_1 = \frac{2\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{\sqrt{\Delta}}{a}$
• Lấy trị tuyệt đối: $|x_2 – x_1| = \frac{\sqrt{\Delta}}{|a|}$

Ứng dụng: Tính nhanh khoảng cách giữa hai nghiệm mà không cần tìm từng nghiệm.

3. Giá trị nhỏ nhất/lớn nhất

Khi $a > 0$ (parabol hướng lên):

• Hàm số có giá trị nhỏ nhất: $$y_{min} = -\frac{\Delta}{4a} \text{ đạt tại } x = -\frac{b}{2a}$$
• Không có giá trị lớn nhất (hàm tăng đến vô cùng)

Khi $a < 0$ (parabol hướng xuống):

• Hàm số có giá trị lớn nhất: $$y_{max} = -\frac{\Delta}{4a} \text{ đạt tại } x = -\frac{b}{2a}$$
• Không có giá trị nhỏ nhất (hàm giảm đến âm vô cùng)

Ví dụ:

• $y = x^2 – 4x + 7$ có $a = 1 > 0$
• $\Delta = 16 – 28 = -12$
• $y_{min} = -\frac{-12}{4} = 3$ tại $x = 2$

4. Parabol đi qua 3 điểm

Bài toán: Tìm parabol $y = ax^2 + bx + c$ đi qua 3 điểm $A(x_1; y_1)$, $B(x_2; y_2)$, $C(x_3; y_3)$.

Phương pháp: Lập hệ 3 phương trình 3 ẩn:

$$\begin{cases} ax_1^2 + bx_1 + c = y_1 \\ ax_2^2 + bx_2 + c = y_2 \\ ax_3^2 + bx_3 + c = y_3 \end{cases}$$

Giải hệ này để tìm $a$, $b$, $c$.

Ví dụ: Tìm parabol đi qua $A(0; 1)$, $B(1; 2)$, $C(2; 5)$

Lời giải: $$\begin{cases} c = 1 \\ a + b + c = 2 \\ 4a + 2b + c = 5 \end{cases}$$

Từ phương trình 1: $c = 1$

Thay vào phương trình 2: $a + b = 1$

Thay vào phương trình 3: $4a + 2b = 4$

Giải hệ: $a = 1$, $b = 0$, $c = 1$

Vậy parabol cần tìm: $y = x^2 + 1$

VI. BÀI TẬP THỰC TẾ

Bài tập 1: Quỹ đạo vật ném xiên

Đề bài: Một quả bóng được ném theo phương trình quỹ đạo: $$y = -\frac{1}{20}x^2 + x \quad \text{(đơn vị: mét)}$$ trong đó $x$ là khoảng cách ngang, $y$ là độ cao.

a) Tìm độ cao lớn nhất mà quả bóng đạt được b) Tìm khoảng cách ném xa nhất (khi quả bóng chạm đất)

Lời giải:

Câu a) Độ cao lớn nhất:

Đây là bài toán tìm đỉnh parabol.

• Hệ số: $a = -\frac{1}{20}$, $b = 1$, $c = 0$
• Hoành độ đỉnh: $$x_I = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2 \times (-1/20)} = -\frac{1}{-1/10} = 10 \text{ m}$$
• Độ cao lớn nhất: $$y_{max} = -\frac{1}{20}(10)^2 + 10 = -\frac{100}{20} + 10 = -5 + 10 = 5 \text{ m}$$

Câu b) Khoảng cách ném xa nhất:

Quả bóng chạm đất khi $y = 0$: $$-\frac{1}{20}x^2 + x = 0$$ $$x\left(-\frac{1}{20}x + 1\right) = 0$$ $$x = 0 \text{ hoặc } x = 20$$

Vậy khoảng cách ném xa nhất là 20 mét.

Kết luận:

• Độ cao lớn nhất: 5 m (đạt được tại vị trí ngang 10 m)
• Khoảng cách ném xa nhất: 20 m

Ứng dụng: Tính toán trong thể thao (ném lao, ném tạ), bắn pháo, phun nước.

Bài tập 2: Thiết kế cổng vòm

Đề bài: Một cổng vòm có dạng parabol với phương trình: $$y = -0.5x^2 + 4 \quad \text{(đơn vị: mét)}$$ trong đó $y$ là chiều cao của vòm.

a) Tìm chiều cao lớn nhất của cổng vòm b) Tính chiều rộng của cổng (khoảng cách giữa hai chân cổng chạm đất)

Lời giải:

Câu a) Chiều cao lớn nhất:

• Hệ số: $a = -0.5$, $b = 0$, $c = 4$
• Hoành độ đỉnh: $$x_I = -\frac{0}{2 \times (-0.5)} = 0$$
• Chiều cao lớn nhất: $$y_{max} = -0.5(0)^2 + 4 = 4 \text{ m}$$

Câu b) Chiều rộng cổng:

Cổng chạm đất khi $y = 0$: $$-0.5x^2 + 4 = 0$$ $$x^2 = 8$$ $$x = \pm 2\sqrt{2}$$

Chiều rộng cổng: $$2\sqrt{2} – (-2\sqrt{2}) = 4\sqrt{2} \approx 5.66 \text{ m}$$

Kết luận:

• Chiều cao lớn nhất: 4 m
• Chiều rộng cổng: $4\sqrt{2} \approx 5.66$ m

Ứng dụng: Thiết kế cầu vòm, cổng công trình, mái nhà parabol, thiết kế kiến trúc.

Bài tập 3: Phân tích doanh thu

Đề bài: Doanh thu của một công ty phụ thuộc vào số lượng sản phẩm bán ra theo công thức: $$R(x) = -2x^2 + 80x \quad \text{(triệu đồng)}$$ trong đó $x$ là số lượng sản phẩm (tính bằng nghìn sản phẩm).

a) Tìm số lượng sản phẩm cần bán để đạt doanh thu lớn nhất b) Tính doanh thu lớn nhất

Lời giải:

Câu a) Số lượng sản phẩm tối ưu:

• Hệ số: $a = -2$, $b = 80$
• Số lượng tối ưu: $$x_I = -\frac{80}{2 \times (-2)} = -\frac{80}{-4} = 20 \text{ nghìn sản phẩm}$$

Câu b) Doanh thu lớn nhất:

$$R_{max} = -2(20)^2 + 80(20)$$ $$= -2 \times 400 + 1600$$ $$= -800 + 1600 = 800 \text{ triệu đồng}$$

Kết luận:

• Nên bán 20 nghìn sản phẩm
• Doanh thu lớn nhất: 800 triệu đồng

Ứng dụng: Tối ưu hóa sản xuất kinh doanh, phân tích lợi nhuận, hoạch định chiến lược.

Bài tập 4: Tính diện tích dưới vòm

Đề bài: Một mái nhà có dạng parabol $y = -x^2 + 9$ (mét) trên đoạn $[-3; 3]$. Tính diện tích mặt cắt của mái nhà.

Lời giải:

Phương pháp 1: Dùng tích phân

$$S = \int_{-3}^3 (-x^2 + 9) , dx$$

Do hàm chẵn nên: $$S = 2\int_0^3 (-x^2 + 9) , dx$$ $$= 2\left[-\frac{x^3}{3} + 9x\right]_0^3$$ $$= 2\left(-\frac{27}{3} + 27 – 0\right)$$ $$= 2(-9 + 27)$$ $$= 2 \times 18 = 36 \text{ m}^2$$

Phương pháp 2: Dùng công thức nhanh

• $a = -1$, giao điểm với Ox: $x_1 = -3$, $x_2 = 3$
• Áp dụng công thức: $$S = \frac{|a|}{6}(x_2 – x_1)^3 = \frac{1}{6}(6)^3 = \frac{216}{6} = 36 \text{ m}^2$$

Kết luận: Diện tích mặt cắt mái nhà là 36 m².

Ứng dụng: Tính toán vật liệu xây dựng, ước lượng chi phí, thiết kế kết cấu.

Bài tập 5: Ăng-ten parabol

Đề bài: Một ăng-ten thu sóng vệ tinh có mặt cắt dạng parabol với phương trình: $$y = 0.1x^2 \quad \text{(đơn vị: mét)}$$

Nếu đường kính miệng ăng-ten là 4 mét, hãy tính độ sâu của ăng-ten.

Lời giải:

• Đường kính 4 m nên bán kính $r = 2$ m
• Tại vị trí $x = 2$ m (cạnh miệng ăng-ten): $$y = 0.1 \times (2)^2 = 0.1 \times 4 = 0.4 \text{ m}$$

Kết luận: Độ sâu của ăng-ten là 0.4 m = 40 cm.

Ứng dụng: Thiết kế ăng-ten parabol thu sóng vệ tinh, gương parabol phản xạ, đèn pha ô tô.

Bài tập 6: Tính diện tích mảnh đất parabol

Đề bài: Một mảnh đất có biên dạng parabol $y = -0.5x^2 + 8$ và đường thẳng $y = 0$ (mặt đất), với đơn vị là mét. Tính diện tích mảnh đất.

Lời giải:

Bước 1: Tìm giao điểm với mặt đất ($y = 0$): $$-0.5x^2 + 8 = 0$$ $$x^2 = 16$$ $$x = \pm 4$$

Vậy $x_1 = -4$, $x_2 = 4$

Bước 2: Áp dụng công thức diện tích: $$S = \frac{|a|}{6}(x_2 – x_1)^3$$ $$= \frac{0.5}{6}(4 – (-4))^3$$ $$= \frac{0.5}{6} \times 8^3$$ $$= \frac{0.5 \times 512}{6}$$ $$= \frac{256}{6} = \frac{128}{3} \approx 42.67 \text{ m}^2$$

Kết luận: Diện tích mảnh đất là $\frac{128}{3} \approx 42.67$ m².

Ứng dụng: Đo đạc địa chính, thẩm định giá đất, quy hoạch sử dụng đất.

VII. MẸO VÀ LƯU Ý

1. Mẹo nhớ công thức

Công thức đỉnh parabol:

“Hoành độ đỉnh: âm b chia hai a”

$$x_I = -\frac{b}{2a}$$

Cách nhớ:

• Dấu trừ ở đầu
• b ở tử số
• 2a ở mẫu số

Công thức diện tích:

“Trị tuyệt đối a, chia 6, nhân lũy thừa bậc 3 của hiệu nghiệm”

$$S = \frac{|a|}{6}(x_2 – x_1)^3$$

Cách nhớ:

• Hệ số $|a|$ (có trị tuyệt đối)
• Chia cho 6 (luôn luôn là 6)
• Nhân với $(x_2 – x_1)^3$ (lũy thừa bậc 3)

2. Các sai lầm thường gặp

❌ SAI LẦM 1: Quên dấu âm trong công thức đỉnh

Sai:

• $x_I = \frac{b}{2a}$ ❌

Đúng:

• $x_I = -\frac{b}{2a}$ ✓

❌ SAI LẦM 2: Nhầm lẫn giữa $y_{max}$ và $y_{min}$

Phải nhớ:

• $a > 0$ → parabol hướng lên → có $y_{min}$ tại đỉnh
• $a < 0$ → parabol hướng xuống → có $y_{max}$ tại đỉnh

❌ SAI LẦM 3: Quên trị tuyệt đối khi tính diện tích

Sai:

• $S = \frac{a}{6}(x_2 – x_1)^3$ ❌ (thiếu trị tuyệt đối)

Đúng:

• $S = \frac{|a|}{6}(x_2 – x_1)^3$ ✓

Diện tích luôn dương nên phải có $|a|$

❌ SAI LẦM 4: Tính sai $(x_2 – x_1)^3$

Sai:

• $(x_2 – x_1)^3 = x_2^3 – x_1^3$ ❌

Đúng:

• $(x_2 – x_1)^3$ = tính hiệu trước, rồi lũy thừa ✓

Ví dụ:

• $(4 – 1)^3 = 3^3 = 27$ ✓
• Không phải $4^3 – 1^3 = 64 – 1 = 63$ ❌

3. Các kiểm tra hữu ích

Luôn kiểm tra dấu của $a$ để biết parabol hướng lên hay xuống

Vẽ hình nhanh để hình dung hướng parabol và vị trí đỉnh

Dùng công thức nhanh kiểm tra kết quả tích phân

Kiểm tra nghiệm bằng định lý Vi-et: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$, $x_1 x_2 = \frac{c}{a}$

Đơn vị diện tích phải là bình phương đơn vị độ dài (m², cm²,…)

4. Quy trình giải nhanh

Dạng 1: Tìm đỉnh parabol

Bước 1: Tính $x_I = -\frac{b}{2a}$

Bước 2: Thay vào hàm số để tính $y_I = f(x_I)$

Bước 3: Kết luận đỉnh $I(x_I; y_I)$

Dạng 2: Tính diện tích

Bước 1: Tìm giao điểm (giải phương trình)

Bước 2: Xác định $x_1$, $x_2$

Bước 3: Áp dụng công thức: $S = \frac{|a|}{6}(x_2 – x_1)^3$

VIII. KẾT LUẬN

Tổng kết

Bài viết đã trình bày hệ thống công thức parabol đầy đủ và chi tiết:

Công thức đỉnh parabol:

• Hoành độ đỉnh: $x_I = -\frac{b}{2a}$
• Tung độ đỉnh: $y_I = -\frac{\Delta}{4a}$ hoặc $y_I = f(x_I)$
• Ý nghĩa: Điểm cực trị (cao nhất hoặc thấp nhất)

Công thức diện tích:

• Parabol – Trục Ox: $S = \frac{|a|}{6}(x_2 – x_1)^3$
• Hai parabol: $S = \frac{|a_1-a_2|}{6}(x_2 – x_1)^3$
• Parabol – Đường thẳng: $S = \frac{|a|}{6}(x_2 – x_1)^3$
• Công thức thay thế: $S = \frac{\sqrt{\Delta^3}}{6|a|}$

Công thức nghiệm và giao điểm:

• Nghiệm: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$
• Định lý Vi-et: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$, $x_1 x_2 = \frac{c}{a}$
• Giao trục Oy: $(0; c)$

Công thức khác:

• Trục đối xứng: $x = -\frac{b}{2a}$
• Khoảng cách nghiệm: $|x_2 – x_1| = \frac{\sqrt{\Delta}}{|a|}$
• Giá trị cực trị: $y_{CT} = -\frac{\Delta}{4a}$

Bài tập thực tế ứng dụng:

• 6 bài tập có lời giải chi tiết
• Ứng dụng trong: vật lý, kiến trúc, kinh tế, kỹ thuật

Tài liệu tham khảo và mở rộng

Các chủ đề liên quan nên học:

• [Hàm số bậc hai – Đồ thị và tính chất đầy đủ]
• [Phương trình bậc hai – Công thức nghiệm và ứng dụng]
• [Tích phân – Tính diện tích hình phẳng]
• [Bất phương trình bậc hai – Phương pháp giải]
• [Cực trị hàm số – Tìm max, min]
• [Đường Conic – Parabol, Elip, Hyperbol]

ThS. Nguyễn Văn An

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn Tổ Toán tại Edus

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán học, Thạc sĩ Lý luận & Phương pháp dạy học môn Toán, Chức danh nghề nghiệp giáo viên THPT – Hạng II, Tin học ứng dụng cơ bản, Ngoại ngữ B1, Chứng chỉ bồi dưỡng năng lực tổ trưởng chuyên môn

Kinh nghiệm: 12+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT chuyên Trần Đại Nghĩa