Lý thuyết trọng tâm

1. Định nghĩa cấp số nhân

1.1. Tình huống mở đầu

Một công ty tuyển một chuyên gia về công nghệ thông tin với mức lương năm đầu là $240$ triệu đồng và cam kết sẽ tăng thêm $5\%$ lương mỗi năm so với năm liền trước đó. Tính tổng số lương mà chuyên gia đó nhận được sau khi làm việc cho công ty $10$ năm.

Dãy số lương hằng năm có đặc điểm: tỉ số giữa hai số hạng liên tiếp là không đổi (bằng $1{,}05$). Đây chính là ví dụ điển hình của cấp số nhân.

1.2. Định nghĩa

Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi $q$. Số $q$ được gọi là công bội của cấp số nhân.

Cấp số nhân $(u_n)$ với công bội $q$ được cho bởi hệ thức truy hồi:

$$\boxed{u_n = u_{n-1} \cdot q \quad \text{với } n \geq 2}$$

Câu hỏi kiểm tra hiểu: Dãy số không đổi $a, a, a, \ldots$ có phải cấp số nhân không? Trả lời: Có, đó là cấp số nhân với công bội $q = 1$ (miễn $a \neq 0$).

Nhận xét quan trọng: Để kiểm tra một dãy số (các số hạng khác $0$) có phải cấp số nhân không, ta xét tỉ số $\dfrac{u_n}{u_{n-1}}$. Nếu tỉ số này là một hằng số (không phụ thuộc $n$), thì đó là cấp số nhân.

1.3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho cấp số nhân có số hạng đầu $u_1 = 4$ và công bội $q = -3$. Viết năm số hạng đầu của cấp số nhân này.

Lời giải:

Áp dụng hệ thức truy hồi $u_n = u_{n-1} \cdot q$:

• $u_1 = 4$
• $u_2 = u_1 \cdot q = 4 \cdot (-3) = -12$
• $u_3 = u_2 \cdot q = (-12) \cdot (-3) = 36$
• $u_4 = u_3 \cdot q = 36 \cdot (-3) = -108$
• $u_5 = u_4 \cdot q = (-108) \cdot (-3) = 324$

Vậy năm số hạng đầu là $4, -12, 36, -108, 324$.

Nhận xét: Khi $q < 0$, các số hạng đổi dấu liên tục — một đặc điểm nhận biết nhanh cấp số nhân có công bội âm.

Ví dụ 2. Cho dãy số $(u_n)$ với $u_n = \dfrac{1}{2^{n-1}}$. Chứng minh rằng dãy số này là một cấp số nhân. Xác định số hạng đầu và công bội của nó.

Ý tưởng: Để chứng minh dãy $(u_n)$ gồm các số khác $0$ là cấp số nhân, hãy chứng minh tỉ số $\dfrac{u_n}{u_{n-1}}$ không đổi.

Lời giải:

Với mọi $n \geq 2$, ta có:

$$\dfrac{u_n}{u_{n-1}} = \dfrac{\dfrac{1}{2^{n-1}}}{\dfrac{1}{2^{n-2}}} = \dfrac{1}{2^{n-1}} \cdot \dfrac{2^{n-2}}{1} = \dfrac{2^{n-2}}{2^{n-1}} = \dfrac{1}{2}$$

Tỉ số $\dfrac{u_n}{u_{n-1}} = \dfrac{1}{2}$ không phụ thuộc $n$, tức là $u_n = \dfrac{1}{2} \cdot u_{n-1}$ với mọi $n \geq 2$.

Vậy $(u_n)$ là một cấp số nhân với:

• Số hạng đầu: $u_1 = \dfrac{1}{2^{1-1}} = \dfrac{1}{2^0} = 1$.
• Công bội: $q = \dfrac{1}{2}$.

2. Số hạng tổng quát

2.1. Công thức số hạng tổng quát

Từ hệ thức truy hồi $u_n = u_{n-1} \cdot q$, ta tính lần lượt:

• $u_2 = u_1 \cdot q$
• $u_3 = u_2 \cdot q = u_1 \cdot q^2$
• $u_4 = u_3 \cdot q = u_1 \cdot q^3$
• $\ldots$

Tổng quát, ta có công thức:

$$\boxed{u_n = u_1 \cdot q^{n-1} \quad \text{với } n \geq 2}$$

Giải thích ý nghĩa: Từ $u_1$ đến $u_n$, ta đã “nhân với $q$” tổng cộng $(n – 1)$ lần, nên $u_n = u_1 \cdot q^{n-1}$.

⚠ Lưu ý: Số mũ là $(n – 1)$, không phải $n$. Đây là chỗ rất dễ nhầm lẫn.

2.2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 3. Tìm năm số hạng đầu và số hạng thứ $100$ của cấp số nhân: $6, -3, \ldots$

Lời giải:

Bước 1: Xác định $u_1$ và $q$.

• Số hạng đầu: $u_1 = 6$.
• Công bội: $q = \dfrac{-3}{6} = -\dfrac{1}{2}$.

Bước 2: Viết năm số hạng đầu.

$$6; \ -3; \ \dfrac{3}{2}; \ -\dfrac{3}{4}; \ \dfrac{3}{8}$$

Bước 3: Tính số hạng thứ $100$.

$$u_{100} = u_1 \cdot q^{99} = 6 \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right)^{99} = -\dfrac{6}{2^{99}} = -\dfrac{3}{2^{98}}$$

Vậy $u_{100} = -\dfrac{3}{2^{98}}$.

Ví dụ 4. Cho một cấp số nhân gồm các số hạng dương. Biết số hạng thứ $6$ bằng $96$ và số hạng thứ $8$ bằng $384$. Tìm số hạng thứ $15$ của cấp số nhân đó.

Lời giải:

Bước 1: Lập hệ phương trình.

Gọi $u_1$ là số hạng đầu, $q$ là công bội. Theo công thức $u_n = u_1 \cdot q^{n-1}$:

$$\begin{cases} u_6 = u_1 \cdot q^5 = 96 \quad (1) \\ u_8 = u_1 \cdot q^7 = 384 \quad (2) \end{cases}$$

Bước 2: Chia $(2)$ cho $(1)$ để tìm $q$.

$$\dfrac{u_1 \cdot q^7}{u_1 \cdot q^5} = \dfrac{384}{96} \Leftrightarrow q^2 = 4 \Leftrightarrow q = 2 \ \text{hoặc} \ q = -2$$

• Với $q = 2$: thay vào $(1)$: $u_1 \cdot 2^5 = 96 \Rightarrow u_1 = \dfrac{96}{32} = 3$ (thỏa mãn $u_1 > 0$).
• Với $q = -2$: thay vào $(1)$: $u_1 \cdot (-2)^5 = 96 \Rightarrow u_1 = -3$ (loại vì giả thiết các số hạng dương).

Bước 3: Tính số hạng thứ $15$.

Với $u_1 = 3, q = 2$:

$$u_{15} = u_1 \cdot q^{14} = 3 \cdot 2^{14} = 3 \cdot 16\,384 = 49\,152$$

Vậy $u_{15} = 49\,152$.

3. Tổng $n$ số hạng đầu của một cấp số nhân

3.1. Xây dựng công thức

Cho cấp số nhân $(u_n)$ với số hạng đầu $u_1$ và công bội $q \neq 1$. Đặt:

$$S_n = u_1 + u_2 + \ldots + u_n = u_1 + u_1 q + u_1 q^2 + \ldots + u_1 q^{n-1} \quad (*)$$

Nhân cả hai vế với $q$:

$$q \cdot S_n = u_1 q + u_1 q^2 + \ldots + u_1 q^{n-1} + u_1 q^n \quad (**)$$

Lấy $(*) – (**)$:

$$S_n – q \cdot S_n = u_1 – u_1 q^n \Leftrightarrow (1 – q) \cdot S_n = u_1 (1 – q^n)$$

Do $q \neq 1$ nên chia hai vế cho $(1 – q)$:

$$\boxed{S_n = \dfrac{u_1(1 – q^n)}{1 – q} \quad \text{với } q \neq 1}$$

⚠ Trường hợp đặc biệt $q = 1$: Cấp số nhân có công bội $q = 1$ tức là dãy $u_1, u_1, u_1, \ldots$ (dãy không đổi). Khi đó $S_n = n \cdot u_1$.

3.2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 5. (Giải bài toán ở tình huống mở đầu) Tính tổng số lương mà chuyên gia CNTT nhận được sau $10$ năm làm việc, biết lương năm đầu là $240$ triệu đồng và mỗi năm tăng $5\%$ so với năm liền trước.

Lời giải:

Lương hằng năm của chuyên gia lập thành một cấp số nhân với:

• Số hạng đầu: $u_1 = 240$ (triệu đồng).
• Công bội: $q = 1{,}05$ (tăng $5\%$ mỗi năm).
• Số hạng: $n = 10$.

Áp dụng công thức tổng:

$$S_{10} = \dfrac{u_1(1 – q^{10})}{1 – q} = \dfrac{240 \cdot [1 – (1{,}05)^{10}]}{1 – 1{,}05}$$

Tính $(1{,}05)^{10} \approx 1{,}62889$:

$$S_{10} \approx \dfrac{240 \cdot (1 – 1{,}62889)}{-0{,}05} = \dfrac{240 \cdot (-0{,}62889)}{-0{,}05} \approx \dfrac{-150{,}934}{-0{,}05} \approx 3019$$

Vậy tổng số lương (làm tròn đến triệu đồng) của chuyên gia đó sau $10$ năm là $3\,019$ triệu đồng (khoảng $3{,}019$ tỉ đồng).

Ví dụ 6. Cần lấy tổng của bao nhiêu số hạng đầu của cấp số nhân $3, 6, 12, \ldots$ để được kết quả bằng $765$?

Lời giải:

Bước 1: Xác định $u_1$ và $q$.

• $u_1 = 3$; $q = \dfrac{6}{3} = 2$.

Bước 2: Lập phương trình theo $n$.

$$S_n = \dfrac{u_1(1 – q^n)}{1 – q} = \dfrac{3(1 – 2^n)}{1 – 2} = \dfrac{3(1 – 2^n)}{-1} = 3(2^n – 1)$$

Đặt $S_n = 765$:

$$3(2^n – 1) = 765 \Leftrightarrow 2^n – 1 = 255 \Leftrightarrow 2^n = 256 = 2^8$$

Suy ra $n = 8$.

Vậy phải lấy tổng của $8$ số hạng đầu của cấp số nhân đã cho để được tổng bằng $765$.

Kiểm tra: $S_8 = 3(2^8 – 1) = 3 \cdot 255 = 765$ ✓

Các dạng bài tập trọng tâm

Dạng 1: Chứng minh một dãy $(u_n)$ là cấp số nhân

Phương pháp giải:

Để chứng minh $(u_n)$ là cấp số nhân, ta chứng minh $\forall n \geq 1, \ u_{n+1} = u_n \cdot q$ với $q$ là một số không đổi.

Nếu $u_n \neq 0$ với mọi $n \in \mathbb{N}^*$, ta lập tỉ số:

$$T = \dfrac{u_{n+1}}{u_n}$$

• Nếu $T$ là hằng số thì $(u_n)$ là cấp số nhân có công bội $q = T$.
• Nếu $T$ phụ thuộc vào $n$ thì $(u_n)$ không phải cấp số nhân.

Lưu ý: Khác với cấp số cộng (xét hiệu $u_{n+1} – u_n$), ở cấp số nhân ta xét tỉ số $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$.

Bài 1. Cho dãy số $(u_n)$ với $u_n = 2 \cdot 5^n$. Chứng minh rằng dãy số này là một cấp số nhân. Xác định số hạng đầu và công bội của nó.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Tính tỉ số $\dfrac{u_n}{u_{n-1}}$.

Với mọi $n \geq 2$:

$$\dfrac{u_n}{u_{n-1}} = \dfrac{2 \cdot 5^n}{2 \cdot 5^{n-1}} = 5^{n – (n-1)} = 5^1 = 5$$

Bước 2: Kết luận.

Tỉ số $\dfrac{u_n}{u_{n-1}} = 5$ không phụ thuộc $n$, tức là $u_n = 5 \cdot u_{n-1}$ với mọi $n \geq 2$.

Vậy $(u_n)$ là cấp số nhân với:

• Số hạng đầu: $u_1 = 2 \cdot 5^1 = 10$.
• Công bội: $q = 5$.

Bài 2. Xét trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân? Nếu có, tìm công bội.

a) $u_n = (-3)^{2n+1}$

b) $u_n = (-1)^n \cdot 5^{3n+2}$

c) $\begin{cases} u_1 = 2 \\ u_{n+1} = u_n^2 \end{cases}$

d) $\begin{cases} u_1 = 3 \\ u_{n+1} = \dfrac{9}{u_n} \end{cases}$

Lời giải chi tiết:

a) $u_n = (-3)^{2n+1}$.

Tính tỉ số:

$$\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \dfrac{(-3)^{2(n+1)+1}}{(-3)^{2n+1}} = \dfrac{(-3)^{2n+3}}{(-3)^{2n+1}} = (-3)^2 = 9$$

Tỉ số bằng $9$ không đổi → $(u_n)$ là cấp số nhân với công bội $q = 9$.

b) $u_n = (-1)^n \cdot 5^{3n+2}$.

Tính tỉ số:

$$\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \dfrac{(-1)^{n+1} \cdot 5^{3(n+1)+2}}{(-1)^n \cdot 5^{3n+2}} = (-1)^1 \cdot 5^3 = -125$$

Tỉ số $-125$ không đổi → $(u_n)$ là cấp số nhân với công bội $q = -125$.

c) $u_1 = 2, u_{n+1} = u_n^2$.

Tính vài số hạng đầu:

• $u_2 = u_1^2 = 2^2 = 4$
• $u_3 = u_2^2 = 4^2 = 16$
• $u_4 = u_3^2 = 16^2 = 256$

Tính tỉ số: $\dfrac{u_2}{u_1} = \dfrac{4}{2} = 2$, nhưng $\dfrac{u_4}{u_3} = \dfrac{256}{16} = 16 \neq 2$.

Do tỉ số không phải hằng số → $(u_n)$ không phải là cấp số nhân.

d) $u_1 = 3, u_{n+1} = \dfrac{9}{u_n}$.

Tính tỉ số hai số hạng liên tiếp:

$$\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \dfrac{\dfrac{9}{u_n}}{u_n} = \dfrac{9}{u_n^2}$$

Mà $u_{n+1} = \dfrac{9}{u_n}$ nên $u_{n-1} = \dfrac{9}{u_n}$ với $n \geq 2$ (vì $u_n \cdot u_{n-1} = 9$). Từ đó:

$$u_{n+1} = \dfrac{9}{u_n} = u_{n-1}, \ \forall n \geq 2$$

Tức là dãy có hai “nhóm” đan xen: $u_1 = u_3 = u_5 = \ldots$ và $u_2 = u_4 = u_6 = \ldots$. Tính:

• $u_1 = 3$.
• $u_2 = \dfrac{9}{u_1} = \dfrac{9}{3} = 3$.

Vậy $u_1 = u_2 = u_3 = \ldots = 3$, tất cả các số hạng đều bằng $3$.

Do đó $(u_n)$ là cấp số nhân với công bội $q = 1$.

Bài 3. Chứng minh rằng dãy số $(v_n): v_n = (-1)^n \cdot 3^{2n}$ là một cấp số nhân.

Lời giải chi tiết:

Tính tỉ số với mọi $n \in \mathbb{N}^*$:

$$\dfrac{v_{n+1}}{v_n} = \dfrac{(-1)^{n+1} \cdot 3^{2(n+1)}}{(-1)^n \cdot 3^{2n}} = (-1)^1 \cdot 3^2 = -9$$

Tỉ số $-9$ không đổi → $(v_n)$ là một cấp số nhân với công bội $q = -9$.

Bài 4. Tìm giá trị của $a$ để $-\dfrac{1}{5}; \ a; \ -\dfrac{1}{125}$ theo thứ tự lập thành cấp số nhân.

Lời giải chi tiết:

Điều kiện cấp số nhân: Ba số $u_1, u_2, u_3$ theo thứ tự lập thành cấp số nhân khi và chỉ khi $u_2^2 = u_1 \cdot u_3$.

Áp dụng:

$$a^2 = \left(-\dfrac{1}{5}\right) \cdot \left(-\dfrac{1}{125}\right) = \dfrac{1}{625}$$

$$\Leftrightarrow a = \pm \dfrac{1}{25}$$

Vậy $a = \dfrac{1}{25}$ hoặc $a = -\dfrac{1}{25}$.

Kiểm tra: Với $a = \dfrac{1}{25}$: công bội $q = \dfrac{a}{u_1} = \dfrac{1/25}{-1/5} = -\dfrac{1}{5}$. Khi đó $u_3 = a \cdot q = \dfrac{1}{25} \cdot \left(-\dfrac{1}{5}\right) = -\dfrac{1}{125}$ ✓.

Dạng 2: Xác định số hạng đầu, công bội, số hạng thứ $k$, tính tổng $n$ số hạng đầu

Phương pháp giải:

① Tìm $u_1$ và $q$: Dựa vào giả thiết, lập hệ phương trình chứa $u_1$ và $q$. Thường chia hai phương trình cho nhau để loại $u_1$ và tìm $q$ trước.

② Tìm số hạng thứ $k$: Dùng công thức $u_k = u_1 \cdot q^{k-1}$.

③ Tính tổng $n$ số hạng đầu: Dùng công thức:

$$S_n = u_1 \cdot \dfrac{1 – q^n}{1 – q} \quad (q \neq 1)$$

Nếu $q = 1$ thì $u_1 = u_2 = \ldots = u_n$, do đó $S_n = n \cdot u_1$.

Bài 1. Một nhà máy tuyển thêm công nhân vào làm việc trong thời hạn ba năm và đưa ra hai phương án lựa chọn về lương như sau:

• Phương án 1: Lương tháng khởi điểm là $5$ triệu đồng và sau mỗi quý, lương tháng sẽ tăng thêm $500$ nghìn đồng.
• Phương án 2: Lương tháng khởi điểm là $5$ triệu đồng và sau mỗi quý, lương tháng sẽ tăng thêm $5\%$.

Với phương án nào thì tổng lương nhận được sau ba năm làm việc của người công nhân sẽ lớn hơn?

Lời giải chi tiết:

Chuẩn bị: Ba năm = $12$ quý. Mỗi quý có $3$ tháng. Gọi $u_n$ là tổng lương nhận được trong quý thứ $n$.

Phương án 1 (cấp số cộng):

• Lương quý đầu: $u_1 = 5 \cdot 3 = 15$ (triệu đồng).
• Mỗi quý tăng thêm $500$ nghìn/tháng = $1{,}5$ triệu/quý → công sai $d = 1{,}5$.

Tổng lương $12$ quý (áp dụng công thức tổng cấp số cộng):

$$S_{12}^{(1)} = \dfrac{12}{2} \cdot [2 \cdot 15 + (12 – 1) \cdot 1{,}5] = 6 \cdot [30 + 16{,}5] = 6 \cdot 46{,}5 = 279 \text{ (triệu đồng)}$$

Phương án 2 (cấp số nhân):

• Lương quý đầu: $u_1 = 5 \cdot 3 = 15$ (triệu đồng).
• Mỗi quý tăng $5\%$ → công bội $q = 1{,}05$.

Tổng lương $12$ quý (áp dụng công thức tổng cấp số nhân):

$$S_{12}^{(2)} = \dfrac{u_1(1 – q^{12})}{1 – q} = \dfrac{15 \cdot (1 – 1{,}05^{12})}{1 – 1{,}05}$$

Tính $(1{,}05)^{12} \approx 1{,}7959$:

$$S_{12}^{(2)} \approx \dfrac{15 \cdot (1 – 1{,}7959)}{-0{,}05} = \dfrac{15 \cdot (-0{,}7959)}{-0{,}05} \approx 238{,}757 \text{ (triệu đồng)}$$

So sánh và kết luận:

$$S_{12}^{(1)} = 279 > S_{12}^{(2)} \approx 238{,}757$$

Vậy theo phương án 1 thì tổng lương nhận được sau ba năm làm việc của người công nhân sẽ lớn hơn.

Nhận xét đáng chú ý: Nhiều người có thể nghĩ “tăng $5\%$” (cấp số nhân) sẽ có lợi hơn “tăng $500$ nghìn” (cấp số cộng), nhưng thực tế lại ngược lại. Lý do: với mức lương khởi điểm $15$ triệu/quý, $500$ nghìn/tháng $\approx 3{,}3\%$ lương — nhưng mức tăng tuyệt đối $1{,}5$ triệu/quý của phương án 1 tích lũy mạnh hơn mức tăng $5\%$ tỉ lệ trong những quý đầu.

Bài 2. Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân, biết:

a) $\begin{cases} u_1 + u_5 = 51 \\ u_2 + u_6 = 102 \end{cases}$

b) $\begin{cases} u_1 + u_2 + u_3 = 135 \\ u_4 + u_5 + u_6 = 40 \end{cases}$

c) $\begin{cases} u_2 = 6 \\ S_3 = 43 \end{cases}$

Lời giải chi tiết:

a) Hệ $\begin{cases} u_1 + u_5 = 51 \\ u_2 + u_6 = 102 \end{cases}$

Dùng $u_n = u_1 \cdot q^{n-1}$:

$$\begin{cases} u_1 + u_1 q^4 = 51 \\ u_1 q + u_1 q^5 = 102 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} u_1(1 + q^4) = 51 \quad (*) \\ u_1 q(1 + q^4) = 102 \quad (**) \end{cases}$$

Lấy $\dfrac{(**)}{(*)}$:

$$\dfrac{u_1 q(1 + q^4)}{u_1(1 + q^4)} = \dfrac{102}{51} \Leftrightarrow q = 2$$

Thay vào $(*)$: $u_1(1 + 2^4) = 51 \Leftrightarrow u_1 \cdot 17 = 51 \Rightarrow u_1 = 3$.

Kết luận: $u_1 = 3$, $q = 2$.

b) Hệ $\begin{cases} u_1 + u_2 + u_3 = 135 \\ u_4 + u_5 + u_6 = 40 \end{cases}$

$$\begin{cases} u_1(1 + q + q^2) = 135 \quad (*) \\ u_1 q^3 (1 + q + q^2) = 40 \quad (**) \end{cases}$$

Lấy $\dfrac{(**)}{(*)}$:

$$q^3 = \dfrac{40}{135} = \dfrac{8}{27} \Rightarrow q = \dfrac{2}{3}$$

Thay vào $(*)$: $u_1 \left(1 + \dfrac{2}{3} + \dfrac{4}{9}\right) = 135 \Leftrightarrow u_1 \cdot \dfrac{19}{9} = 135 \Rightarrow u_1 = \dfrac{135 \cdot 9}{19} = \dfrac{1215}{19}$.

Kết luận: $u_1 = \dfrac{1215}{19}$, $q = \dfrac{2}{3}$.

c) Hệ $\begin{cases} u_2 = 6 \\ S_3 = 43 \end{cases}$

$$\begin{cases} u_1 q = 6 \quad (*) \\ u_1 + u_1 q + u_1 q^2 = 43 \Leftrightarrow u_1(1 + q + q^2) = 43 \quad (**) \end{cases}$$

Lấy $\dfrac{(*)}{(**)}$:

$$\dfrac{u_1 q}{u_1(1 + q + q^2)} = \dfrac{6}{43} \Leftrightarrow 43q = 6(1 + q + q^2)$$

$$\Leftrightarrow 6q^2 – 37q + 6 = 0$$

Giải phương trình bậc hai: $\Delta = 37^2 – 4 \cdot 6 \cdot 6 = 1369 – 144 = 1225 = 35^2$.

$$q = \dfrac{37 + 35}{12} = 6 \quad \text{hoặc} \quad q = \dfrac{37 – 35}{12} = \dfrac{1}{6}$$

• Với $q = 6$: $u_1 = \dfrac{6}{q} = \dfrac{6}{6} = 1$.
• Với $q = \dfrac{1}{6}$: $u_1 = \dfrac{6}{q} = \dfrac{6}{1/6} = 36$.

Kết luận: $(u_1, q) = (1; 6)$ hoặc $(u_1, q) = (36; \dfrac{1}{6})$.

Bài 3. Cho cấp số nhân $(u_n)$ có các số hạng thỏa mãn: $\begin{cases} u_1 + u_5 = 51 \\ u_2 + u_6 = 102 \end{cases}$

a) Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân.

b) Hỏi tổng bao nhiêu số hạng đầu tiên bằng $3\,069$?

c) Số $12\,288$ là số hạng thứ mấy?

Lời giải chi tiết:

a) Tìm $u_1$ và $q$.

(Theo kết quả Bài 2a) $u_1 = 3$, $q = 2$.

b) Tìm $n$ để $S_n = 3\,069$.

Áp dụng công thức tổng:

$$S_n = u_1 \cdot \dfrac{1 – q^n}{1 – q} = 3 \cdot \dfrac{1 – 2^n}{1 – 2} = 3 \cdot (2^n – 1)$$

Đặt $S_n = 3\,069$:

$$3(2^n – 1) = 3\,069 \Leftrightarrow 2^n – 1 = 1\,023 \Leftrightarrow 2^n = 1\,024 = 2^{10}$$

Suy ra $n = 10$.

Vậy tổng của $10$ số hạng đầu tiên bằng $3\,069$.

c) Tìm $k$ để $u_k = 12\,288$.

$$u_k = u_1 \cdot q^{k-1} = 3 \cdot 2^{k-1} = 12\,288$$

$$\Leftrightarrow 2^{k-1} = 4\,096 = 2^{12} \Leftrightarrow k – 1 = 12 \Leftrightarrow k = 13$$

Vậy số $12\,288$ là số hạng thứ $13$.

Sai lầm thường gặp

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh