1. Đạo hàm của một số hàm số thường gặp

1.1. Đạo hàm của hàm số $y = x^n$ $(n \in \mathbb{N}^*)$

Ta đã biết: $(x)’ = 1$; $(x^2)’ = 2x$

Bằng cách tính đạo hàm của hàm số $y = x^3$ tại điểm $x$ bất kỳ, ta có thể dự đoán công thức tổng quát:

$$\boxed{(x^n)’ = nx^{n-1}}$$

Ví dụ:

• $(x^4)’ = 4x^3$
• $(x^5)’ = 5x^4$
• $(x^{10})’ = 10x^9$

1.2. Đạo hàm của hàm số $y = \sqrt{x}$

Hàm số $y = \sqrt{x}$ có đạo hàm trên khoảng $(0; +\infty)$:

$$\boxed{(\sqrt{x})’ = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}}$$

Mẹo nhớ: Vì $\sqrt{x} = x^{1/2}$ nên đạo hàm là $\dfrac{1}{2}x^{-1/2} = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$

Ví dụ 1: Tính đạo hàm của hàm số $y = \sqrt{x}$ tại các điểm $x = 4$ và $x = \dfrac{1}{4}$.

Giải:

Với mọi $x \in (0; +\infty)$, ta có $y’ = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$.

Do đó:

$$y'(4) = \dfrac{1}{2\sqrt{4}} = \dfrac{1}{2 \cdot 2} = \dfrac{1}{4}$$

$$y’\left(\dfrac{1}{4}\right) = \dfrac{1}{2\sqrt{\dfrac{1}{4}}} = \dfrac{1}{2 \cdot \dfrac{1}{2}} = 1$$

2. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương

2.1. Các công thức cơ bản

Giả sử các hàm số $u = u(x)$ và $v = v(x)$ có đạo hàm trên khoảng $(a; b)$. Khi đó:

2.2. Chú ý quan trọng

• Quy tắc đạo hàm của tổng, hiệu có thể áp dụng cho tổng, hiệu của hai hay nhiều hàm số.
• Với $k$ là một hằng số, ta có: $(ku)’ = ku’$
• Đạo hàm của hàm số nghịch đảo: $\left(\dfrac{1}{v}\right)’ = -\dfrac{v’}{v^2}$ $(v \neq 0)$

Mẹo nhớ đạo hàm thương: “Tử đạo nhân mẫu, trừ tử nhân mẫu đạo, tất cả chia mẫu bình phương”

Ví dụ 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y = \dfrac{1}{3}x^3 – x^2 + 2x + 1$

b) $y = \dfrac{2x + 1}{x – 1}$

Giải:

a) Áp dụng quy tắc đạo hàm của tổng, hiệu và $(ku)’ = ku’$:

$$y’ = \dfrac{1}{3}(x^3)’ – (x^2)’ + 2(x)’ + (1)’$$

$$= \dfrac{1}{3} \cdot 3x^2 – 2x + 2 \cdot 1 + 0$$

$$= x^2 – 2x + 2$$

b) Với mọi $x \neq 1$, áp dụng công thức đạo hàm của thương:

$$y’ = \dfrac{(2x + 1)'(x – 1) – (2x + 1)(x – 1)’}{(x – 1)^2}$$

Tính từng phần:

• $(2x + 1)’ = 2$
• $(x – 1)’ = 1$

Thay vào:

$$y’ = \dfrac{2(x – 1) – (2x + 1) \cdot 1}{(x – 1)^2}$$

$$= \dfrac{2x – 2 – 2x – 1}{(x – 1)^2} = \dfrac{-3}{(x – 1)^2}$$

Ví dụ 3: Giải bài toán trong tình huống mở đầu.

Giải:

Phương trình chuyển động của vật là:

$$h = v_0 t – \dfrac{1}{2}gt^2 = 20t – \dfrac{1}{2} \cdot 9{,}8 \cdot t^2 = 20t – 4{,}9t^2$$

Vận tốc của vật tại thời điểm $t$ được cho bởi:

$$v(t) = h’ = (20t – 4{,}9t^2)’ = 20 – 9{,}8t$$

Tính vận tốc khi đạt độ cao cực đại:

Vật đạt độ cao cực đại khi vận tốc bằng 0:

$$v(t_1) = 0 \Leftrightarrow 20 – 9{,}8t_1 = 0 \Leftrightarrow t_1 = \dfrac{20}{9{,}8} = \dfrac{v_0}{g}$$

Vậy khi đạt độ cao cực đại, vận tốc của vật bằng $v(t_1) = 0$.

Tính vận tốc khi chạm đất:

Vật chạm đất tại thời điểm $t_2$ mà $h(t_2) = 0$:

$$20t_2 – 4{,}9t_2^2 = 0$$

$$t_2(20 – 4{,}9t_2) = 0$$

$$t_2 = 0 \text{ (loại)} \quad \text{hoặc} \quad t_2 = \dfrac{20}{4{,}9} = \dfrac{2v_0}{g}$$

Khi chạm đất, vận tốc của vật là:

$$v(t_2) = 20 – 9{,}8 \cdot \dfrac{20}{4{,}9} = 20 – 40 = -20 \text{ (m/s)}$$

Dấu âm của $v(t_2)$ thể hiện độ cao của vật giảm với vận tốc 20 m/s (tức là chiều chuyển động của vật ngược chiều dương đã chọn).

Luyện tập 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y = \dfrac{\sqrt{x}}{x + 1}$

b) $y = (\sqrt{x} + 1)(x^2 + 2)$

Giải:

a) Áp dụng công thức đạo hàm của thương với $u = \sqrt{x}$ và $v = x + 1$:

$$y’ = \dfrac{(\sqrt{x})'(x + 1) – \sqrt{x}(x + 1)’}{(x + 1)^2}$$

$$= \dfrac{\dfrac{1}{2\sqrt{x}}(x + 1) – \sqrt{x} \cdot 1}{(x + 1)^2}$$

$$= \dfrac{\dfrac{x + 1}{2\sqrt{x}} – \sqrt{x}}{(x + 1)^2}$$

Quy đồng tử số:

$$= \dfrac{\dfrac{x + 1 – 2x}{2\sqrt{x}}}{(x + 1)^2} = \dfrac{1 – x}{2\sqrt{x}(x + 1)^2}$$

b) Áp dụng công thức đạo hàm của tích với $u = \sqrt{x} + 1$ và $v = x^2 + 2$:

$$y’ = (\sqrt{x} + 1)'(x^2 + 2) + (\sqrt{x} + 1)(x^2 + 2)’$$

$$= \dfrac{1}{2\sqrt{x}}(x^2 + 2) + (\sqrt{x} + 1) \cdot 2x$$

$$= \dfrac{x^2 + 2}{2\sqrt{x}} + 2x\sqrt{x} + 2x$$

3. Đạo hàm của hàm số hợp

3.1. Khái niệm hàm số hợp

Diện tích của một chiếc đĩa kim loại hình tròn bán kính $r$ được cho bởi $S = \pi r^2$. Bán kính $r$ thay đổi theo nhiệt độ $t$ của chiếc đĩa, tức là $r = r(t)$. Khi đó, diện tích của chiếc đĩa phụ thuộc nhiệt độ:

$$S = S(t) = \pi(r(t))^2$$

Ta nói $S(t)$ là hợp của hàm $S = \pi r^2$ với $r = r(t)$.

Định nghĩa: Giả sử $u = g(x)$ là hàm số xác định trên khoảng $(a; b)$, có tập giá trị chứa trong khoảng $(c; d)$ và $y = f(u)$ là hàm số xác định trên khoảng $(c; d)$.

Hàm số $y = f(g(x))$ được gọi là hàm số hợp của hàm số $y = f(u)$ với $u = g(x)$.

    x ∈ (a;b) ──g──→ u = g(x) ∈ (c;d) ──f──→ y = f(u)
                    └────────────────────────┘
                           y = f(g(x))

Ví dụ 4: Biểu diễn hàm số $y = (2x + 1)^{10}$ dưới dạng hàm số hợp.

Giải:

Hàm số $y = (2x + 1)^{10}$ là hàm số hợp của hàm số $y = u^{10}$ với $u = 2x + 1$.

3.2. Công thức đạo hàm của hàm số hợp

Nếu hàm số $u = g(x)$ có đạo hàm $u’_x$ tại $x$ và hàm số $y = f(u)$ có đạo hàm $y’_u$ tại $u$ thì hàm số hợp $y = f(g(x))$ có đạo hàm $y’_x$ tại $x$ là:

$$\boxed{y’_x = y’_u \cdot u’_x}$$

Mẹo nhớ: Đạo hàm hàm hợp = Đạo hàm ngoài × Đạo hàm trong

3.3. Các công thức đạo hàm hàm hợp thường dùng

Ví dụ 5: Tính đạo hàm của hàm số $y = \sqrt{x^2 + 1}$.

Giải:

Cách 1: Trình bày chi tiết.

Đặt $u = x^2 + 1$ thì $y = \sqrt{u}$.

Ta có:

• $y’_u = \dfrac{1}{2\sqrt{u}}$
• $u’_x = 2x$

Theo công thức đạo hàm của hàm số hợp:

$$y’_x = y’_u \cdot u’_x = \dfrac{1}{2\sqrt{u}} \cdot 2x = \dfrac{2x}{2\sqrt{x^2 + 1}} = \dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$$

Cách 2: Trình bày ngắn gọn.

$$y’ = (\sqrt{x^2 + 1})’ = \dfrac{(x^2 + 1)’}{2\sqrt{x^2 + 1}} = \dfrac{2x}{2\sqrt{x^2 + 1}} = \dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$$

Luyện tập 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y = (2x – 3)^{10}$

b) $y = \sqrt{1 – x^2}$

Giải:

a) Đặt $u = 2x – 3$, ta có $y = u^{10}$.

$$y’ = 10u^9 \cdot u’ = 10(2x – 3)^9 \cdot (2x – 3)’$$

$$= 10(2x – 3)^9 \cdot 2 = 20(2x – 3)^9$$

b) Đặt $u = 1 – x^2$, ta có $y = \sqrt{u}$.

$$y’ = \dfrac{u’}{2\sqrt{u}} = \dfrac{(1 – x^2)’}{2\sqrt{1 – x^2}} = \dfrac{-2x}{2\sqrt{1 – x^2}} = \dfrac{-x}{\sqrt{1 – x^2}}$$

4. Đạo hàm của hàm số lượng giác

4.1. Đạo hàm của hàm số $y = \sin x$

Hàm số $y = \sin x$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$:

$$\boxed{(\sin x)’ = \cos x}$$

Đối với hàm số hợp $y = \sin u$ với $u = u(x)$:

$$(\sin u)’ = u’ \cos u$$

Ví dụ 6: Tính đạo hàm của hàm số $y = \sin\left(2x + \dfrac{\pi}{8}\right)$.

Giải:

$$y’ = \left(2x + \dfrac{\pi}{8}\right)’ \cdot \cos\left(2x + \dfrac{\pi}{8}\right) = 2\cos\left(2x + \dfrac{\pi}{8}\right)$$

Luyện tập 3: Tính đạo hàm của hàm số $y = \sin\left(\dfrac{\pi}{3} – 3x\right)$.

Giải:

$$y’ = \left(\dfrac{\pi}{3} – 3x\right)’ \cdot \cos\left(\dfrac{\pi}{3} – 3x\right) = -3\cos\left(\dfrac{\pi}{3} – 3x\right)$$

4.2. Đạo hàm của hàm số $y = \cos x$

Hàm số $y = \cos x$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$:

$$\boxed{(\cos x)’ = -\sin x}$$

Đối với hàm số hợp $y = \cos u$ với $u = u(x)$:

$$(\cos u)’ = -u’ \sin u$$

Ví dụ 7: Tính đạo hàm của hàm số $y = \cos\left(4x – \dfrac{\pi}{3}\right)$.

Giải:

$$y’ = -\left(4x – \dfrac{\pi}{3}\right)’ \cdot \sin\left(4x – \dfrac{\pi}{3}\right) = -4\sin\left(4x – \dfrac{\pi}{3}\right)$$

Luyện tập 4: Tính đạo hàm của hàm số $y = 2\cos\left(\dfrac{\pi}{4} – 2x\right)$.

Giải:

$$y’ = 2 \cdot \left[-\left(\dfrac{\pi}{4} – 2x\right)’ \cdot \sin\left(\dfrac{\pi}{4} – 2x\right)\right]$$

$$= 2 \cdot [-(-2)] \cdot \sin\left(\dfrac{\pi}{4} – 2x\right) = 4\sin\left(\dfrac{\pi}{4} – 2x\right)$$

4.3. Đạo hàm của hàm số $y = \tan x$ và $y = \cot x$

Hàm số $y = \tan x$ có đạo hàm tại mọi $x \neq \dfrac{\pi}{2} + k\pi$ $(k \in \mathbb{Z})$:

$$\boxed{(\tan x)’ = \dfrac{1}{\cos^2 x}}$$

Hàm số $y = \cot x$ có đạo hàm tại mọi $x \neq k\pi$ $(k \in \mathbb{Z})$:

$$\boxed{(\cot x)’ = -\dfrac{1}{\sin^2 x}}$$

Đối với các hàm số hợp (giả thiết $\tan u$ và $\cot u$ có nghĩa):

$$(\tan u)’ = \dfrac{u’}{\cos^2 u}; \quad (\cot u)’ = -\dfrac{u’}{\sin^2 u}$$

Ví dụ 8: Tính đạo hàm của hàm số $y = \tan\left(2x + \dfrac{\pi}{4}\right)$.

Giải:

$$y’ = \dfrac{\left(2x + \dfrac{\pi}{4}\right)’}{\cos^2\left(2x + \dfrac{\pi}{4}\right)} = \dfrac{2}{\cos^2\left(2x + \dfrac{\pi}{4}\right)}$$

Luyện tập 5: Tính đạo hàm của hàm số $y = 2\tan^2 x + 3\cot\left(\dfrac{\pi}{3} – 2x\right)$.

Giải:

Ta tính đạo hàm từng phần:

Phần 1: $y_1 = 2\tan^2 x$

Đặt $u = \tan x$, ta có $y_1 = 2u^2$.

$$y_1′ = 2 \cdot 2u \cdot u’ = 4\tan x \cdot \dfrac{1}{\cos^2 x} = \dfrac{4\tan x}{\cos^2 x}$$

Phần 2: $y_2 = 3\cot\left(\dfrac{\pi}{3} – 2x\right)$

$$y_2′ = 3 \cdot \left[-\dfrac{\left(\dfrac{\pi}{3} – 2x\right)’}{\sin^2\left(\dfrac{\pi}{3} – 2x\right)}\right] = 3 \cdot \left[-\dfrac{-2}{\sin^2\left(\dfrac{\pi}{3} – 2x\right)}\right] = \dfrac{6}{\sin^2\left(\dfrac{\pi}{3} – 2x\right)}$$

Kết quả:

$$y’ = \dfrac{4\tan x}{\cos^2 x} + \dfrac{6}{\sin^2\left(\dfrac{\pi}{3} – 2x\right)}$$

Vận dụng 1: Một vật chuyển động có phương trình $s(t) = 4\cos\left(2\pi t – \dfrac{\pi}{8}\right)$ (m), với $t$ là thời gian tính bằng giây. Tính vận tốc của vật khi $t = 5$ giây (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

Giải:

Vận tốc của vật:

$$v(t) = s'(t) = 4 \cdot \left[-\left(2\pi t – \dfrac{\pi}{8}\right)’ \cdot \sin\left(2\pi t – \dfrac{\pi}{8}\right)\right]$$

$$= -4 \cdot 2\pi \cdot \sin\left(2\pi t – \dfrac{\pi}{8}\right) = -8\pi\sin\left(2\pi t – \dfrac{\pi}{8}\right)$$

Khi $t = 5$:

$$v(5) = -8\pi\sin\left(10\pi – \dfrac{\pi}{8}\right) = -8\pi\sin\left(-\dfrac{\pi}{8}\right) = 8\pi\sin\dfrac{\pi}{8}$$

$$\approx 8 \cdot 3{,}14159 \cdot 0{,}3827 \approx 9{,}6 \text{ (m/s)}$$

5. Đạo hàm của hàm số mũ và hàm số lôgarit

5.1. Các giới hạn cơ bản

$$\lim_{x \to 0}(1 + x)^{\frac{1}{x}} = e; \quad \lim_{t \to +\infty}\left(1 + \dfrac{1}{t}\right)^t = e$$

$$\lim_{x \to 0}\dfrac{\ln(1 + x)}{x} = 1; \quad \lim_{x \to 0}\dfrac{e^x – 1}{x} = 1$$

5.2. Đạo hàm của hàm số mũ

Hàm số $y = e^x$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$:

$$\boxed{(e^x)’ = e^x}$$

Đối với hàm số hợp $y = e^u$ với $u = u(x)$:

$$(e^u)’ = e^u \cdot u’$$

Hàm số $y = a^x$ $(0 < a \neq 1)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$:

$$\boxed{(a^x)’ = a^x \ln a}$$

Đối với hàm số hợp $y = a^u$ với $u = u(x)$:

$$(a^u)’ = a^u \cdot u’ \cdot \ln a$$

Ví dụ 9: Tính đạo hàm của hàm số $y = 2^{x^2 – x}$.

Giải:

$$y’ = 2^{x^2 – x} \cdot (x^2 – x)’ \cdot \ln 2 = 2^{x^2 – x} \cdot (2x – 1) \cdot \ln 2$$

Luyện tập 6: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y = e^{x^2 – x}$

b) $y = 3^{\sin x}$

Giải:

a)

$$y’ = e^{x^2 – x} \cdot (x^2 – x)’ = e^{x^2 – x} \cdot (2x – 1)$$

b)

$$y’ = 3^{\sin x} \cdot (\sin x)’ \cdot \ln 3 = 3^{\sin x} \cdot \cos x \cdot \ln 3$$

5.3. Đạo hàm của hàm số lôgarit

Hàm số $y = \ln x$ có đạo hàm trên khoảng $(0; +\infty)$:

$$\boxed{(\ln x)’ = \dfrac{1}{x}}$$

Đối với hàm số hợp $y = \ln u$ với $u = u(x)$:

$$(\ln u)’ = \dfrac{u’}{u}$$

Hàm số $y = \log_a x$ $(0 < a \neq 1)$ có đạo hàm trên khoảng $(0; +\infty)$:

$$\boxed{(\log_a x)’ = \dfrac{1}{x \ln a}}$$

Đối với hàm số hợp $y = \log_a u$ với $u = u(x)$:

$$(\log_a u)’ = \dfrac{u’}{u \ln a}$$

Chú ý: Với $x < 0$, ta có $\ln|x| = \ln(-x)$ và $[\ln(-x)]’ = \dfrac{(-x)’}{-x} = \dfrac{1}{x}$.

Từ đó: $(\ln|x|)’ = \dfrac{1}{x}$ với mọi $x \neq 0$.

Ví dụ 10: Tính đạo hàm của hàm số $y = \ln(x^2 + 1)$.

Giải:

Vì $x^2 + 1 > 0$ với mọi $x$ nên hàm số xác định trên $\mathbb{R}$.

$$y’ = \dfrac{(x^2 + 1)’}{x^2 + 1} = \dfrac{2x}{x^2 + 1}$$

Luyện tập 7: Tính đạo hàm của hàm số $y = \log_2(2x – 1)$.

Giải:

$$y’ = \dfrac{(2x – 1)’}{(2x – 1) \ln 2} = \dfrac{2}{(2x – 1) \ln 2}$$

Vận dụng 2: Ta đã biết, độ pH của một dung dịch được xác định bởi $\text{pH} = -\log[\text{H}^+]$, ở đó $[\text{H}^+]$ là nồng độ (mol/lít) của ion hydrogen. Tính tốc độ thay đổi của pH đối với nồng độ $[\text{H}^+]$.

Giải:

Đặt $x = [\text{H}^+]$, ta có $\text{pH} = -\log x = -\log_{10} x$.

Tốc độ thay đổi của pH đối với $x$ là đạo hàm:

$$\dfrac{d(\text{pH})}{dx} = (-\log_{10} x)’ = -\dfrac{1}{x \ln 10}$$

6. Bảng đạo hàm

Đạo hàm cơ bản

Đạo hàm hàm hợp

7. Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1: Tính đạo hàm đa thức và căn thức

Phương pháp:

1. Áp dụng $(x^n)’ = nx^{n-1}$
2. Áp dụng $(\sqrt{x})’ = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$
3. Sử dụng quy tắc đạo hàm tổng, hiệu: $(u \pm v)’ = u’ \pm v’$
4. Sử dụng $(ku)’ = ku’$ với $k$ là hằng số

Nhận dạng: Hàm số dạng $y = ax^n + bx^m + … + c\sqrt{x} + d$

Ví dụ 1: Tính đạo hàm của hàm số $y = x^3 – 3x^2 + 2x + 1$.

Giải chi tiết:

Bước 1: Xác định các thành phần cần tính đạo hàm.

• Hàm số gồm 4 số hạng: $x^3$, $-3x^2$, $2x$, $1$

Bước 2: Tính đạo hàm từng số hạng.

• $(x^3)’ = 3x^2$
• $(-3x^2)’ = -3 \cdot 2x = -6x$
• $(2x)’ = 2 \cdot 1 = 2$
• $(1)’ = 0$

Bước 3: Tổng hợp kết quả.

$$y’ = 3x^2 – 6x + 2$$

Ví dụ 2: Tính đạo hàm của hàm số $y = x^2 – 4\sqrt{x} + 3$.

Giải chi tiết:

Bước 1: Xác định các thành phần.

• Hàm số gồm: $x^2$, $-4\sqrt{x}$, $3$

Bước 2: Tính đạo hàm từng số hạng.

• $(x^2)’ = 2x$
• $(-4\sqrt{x})’ = -4 \cdot \dfrac{1}{2\sqrt{x}} = -\dfrac{2}{\sqrt{x}}$
• $(3)’ = 0$

Bước 3: Tổng hợp kết quả.

$$y’ = 2x – \dfrac{2}{\sqrt{x}}$$

Dạng 2: Tính đạo hàm phân thức

Phương pháp:

1. Xác định tử số $u$ và mẫu số $v$
2. Tính $u’$ và $v’$
3. Áp dụng công thức: $\left(\dfrac{u}{v}\right)’ = \dfrac{u’v – uv’}{v^2}$
4. Rút gọn kết quả

Nhận dạng: Hàm số dạng $y = \dfrac{u(x)}{v(x)}$

Mẹo: Kiểm tra xem tử có đơn giản hơn mẫu không để quyết định cách làm phù hợp.

Ví dụ 3: Tính đạo hàm của hàm số $y = \dfrac{2x – 1}{x + 2}$.

Giải chi tiết:

Bước 1: Xác định $u$ và $v$.

• $u = 2x – 1 \Rightarrow u’ = 2$
• $v = x + 2 \Rightarrow v’ = 1$

Bước 2: Áp dụng công thức đạo hàm thương.

$$y’ = \dfrac{u’v – uv’}{v^2} = \dfrac{2(x + 2) – (2x – 1) \cdot 1}{(x + 2)^2}$$

Bước 3: Khai triển và rút gọn tử số.

$$= \dfrac{2x + 4 – 2x + 1}{(x + 2)^2} = \dfrac{5}{(x + 2)^2}$$

Ví dụ 4: Tính đạo hàm của hàm số $y = \dfrac{2x}{x^2 + 1}$.

Giải chi tiết:

Bước 1: Xác định $u$ và $v$.

• $u = 2x \Rightarrow u’ = 2$
• $v = x^2 + 1 \Rightarrow v’ = 2x$

Bước 2: Áp dụng công thức.

$$y’ = \dfrac{2(x^2 + 1) – 2x \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2}$$

Bước 3: Rút gọn.

$$= \dfrac{2x^2 + 2 – 4x^2}{(x^2 + 1)^2} = \dfrac{2 – 2x^2}{(x^2 + 1)^2} = \dfrac{2(1 – x^2)}{(x^2 + 1)^2}$$

Dạng 3: Tính đạo hàm hàm lượng giác

Phương pháp:

1. Xác định hàm lượng giác cơ bản ($\sin$, $\cos$, $\tan$, $\cot$)
2. Xác định hàm trong (nếu là hàm hợp)
3. Áp dụng công thức đạo hàm tương ứng
4. Nhân với đạo hàm hàm trong

Nhận dạng: Hàm số chứa $\sin$, $\cos$, $\tan$, $\cot$

Ví dụ 5: Tính đạo hàm của hàm số $y = x\sin^2 x$.

Giải chi tiết:

Bước 1: Nhận dạng – đây là tích của hai hàm: $u = x$ và $v = \sin^2 x$.

Bước 2: Tính đạo hàm từng phần.

• $u’ = 1$
• $v = \sin^2 x = (\sin x)^2$

Để tính $v’$, đặt $t = \sin x$, thì $v = t^2$:

$$v’ = 2t \cdot t’ = 2\sin x \cdot \cos x = \sin 2x$$

Bước 3: Áp dụng công thức đạo hàm tích.

$$y’ = u’v + uv’ = 1 \cdot \sin^2 x + x \cdot \sin 2x = \sin^2 x + x\sin 2x$$

Ví dụ 6: Tính đạo hàm của hàm số $y = \cos^2 x + \sin 2x$.

Giải chi tiết:

Bước 1: Tính $(\cos^2 x)’$.

Đặt $u = \cos x$, thì $\cos^2 x = u^2$:

$$(\cos^2 x)’ = 2\cos x \cdot (\cos x)’ = 2\cos x \cdot (-\sin x) = -2\sin x \cos x = -\sin 2x$$

Bước 2: Tính $(\sin 2x)’$.

$$(\sin 2x)’ = (2x)’ \cdot \cos 2x = 2\cos 2x$$

Bước 3: Tổng hợp.

$$y’ = -\sin 2x + 2\cos 2x$$

Ví dụ 7: Tính đạo hàm của hàm số $y = \sin 3x – 3\sin x$.

Giải chi tiết:

Bước 1: Tính $(\sin 3x)’$.

$$(\sin 3x)’ = (3x)’ \cdot \cos 3x = 3\cos 3x$$

Bước 2: Tính $(3\sin x)’$.

$$(3\sin x)’ = 3\cos x$$

Bước 3: Tổng hợp.

$$y’ = 3\cos 3x – 3\cos x = 3(\cos 3x – \cos x)$$

Ví dụ 8: Tính đạo hàm của hàm số $y = \tan x + \cot x$.

Giải chi tiết:

Bước 1: Tính $(\tan x)’$.

$$(\tan x)’ = \dfrac{1}{\cos^2 x}$$

Bước 2: Tính $(\cot x)’$.

$$(\cot x)’ = -\dfrac{1}{\sin^2 x}$$

Bước 3: Tổng hợp.

$$y’ = \dfrac{1}{\cos^2 x} – \dfrac{1}{\sin^2 x}$$

Dạng 4: Tính đạo hàm hàm mũ và lôgarit

Phương pháp:

1. Xác định dạng hàm số ($e^u$, $a^u$, $\ln u$, $\log_a u$)
2. Xác định hàm trong $u$
3. Tính $u’$
4. Áp dụng công thức đạo hàm hàm hợp

Nhận dạng: Hàm số chứa $e$, $a^x$, $\ln$, $\log$

Ví dụ 9: Tính đạo hàm của hàm số $y = 2^{3x – x^2}$.

Giải chi tiết:

Bước 1: Xác định hàm trong.

$u = 3x – x^2 \Rightarrow u’ = 3 – 2x$

Bước 2: Áp dụng công thức $(a^u)’ = a^u \cdot u’ \cdot \ln a$.

$$y’ = 2^{3x – x^2} \cdot (3 – 2x) \cdot \ln 2$$

Ví dụ 10: Tính đạo hàm của hàm số $y = \log_3(4x + 1)$.

Giải chi tiết:

Bước 1: Xác định hàm trong.

$u = 4x + 1 \Rightarrow u’ = 4$

Bước 2: Áp dụng công thức $(\log_a u)’ = \dfrac{u’}{u \ln a}$.

$$y’ = \dfrac{4}{(4x + 1) \ln 3}$$

Dạng 5: Chứng minh bất đẳng thức liên quan đạo hàm

Phương pháp:

1. Tính $f'(x)$
2. Sử dụng tính chất $|\sin x| \leq 1$, $|\cos x| \leq 1$
3. Đánh giá $|f'(x)|$

Ví dụ 11: Cho hàm số $f(x) = 2\sin^2\left(3x – \dfrac{\pi}{4}\right)$. Chứng minh rằng $|f'(x)| \leq 6$ với mọi $x$.

Giải chi tiết:

Bước 1: Tính $f'(x)$.

Đặt $u = 3x – \dfrac{\pi}{4}$, ta có $f(x) = 2\sin^2 u$.

$$f'(x) = 2 \cdot 2\sin u \cdot \cos u \cdot u’ = 4\sin u \cos u \cdot 3 = 12\sin u \cos u$$

$$= 6 \cdot 2\sin u \cos u = 6\sin 2u = 6\sin\left(6x – \dfrac{\pi}{2}\right)$$

Bước 2: Đánh giá $|f'(x)|$.

Vì $|\sin\left(6x – \dfrac{\pi}{2}\right)| \leq 1$ với mọi $x$, nên:

$$|f'(x)| = |6\sin\left(6x – \dfrac{\pi}{2}\right)| = 6|\sin\left(6x – \dfrac{\pi}{2}\right)| \leq 6 \cdot 1 = 6$$

Kết luận: $|f'(x)| \leq 6$ với mọi $x$ (đpcm).

Dạng 6: Bài toán vận tốc tức thời

Phương pháp:

1. Từ phương trình chuyển động $s(t)$ hoặc $h(t)$, tính $v(t) = s'(t)$
2. Xác định thời điểm cần tính:
   • Độ cao cực đại: $v = 0$
   • Chạm đất: $h = 0$
   • Vận tốc cực đại: $v’ = 0$
3. Thay vào công thức vận tốc

Ví dụ 12: Một vật chuyển động rơi tự do có phương trình $h(t) = 100 – 4{,}9t^2$, ở đó độ cao $h$ so với mặt đất tính bằng mét và thời gian $t$ tính bằng giây. Tính vận tốc của vật:

a) Tại thời điểm $t = 5$ giây

b) Khi vật chạm đất

Giải chi tiết:

Bước 1: Tính công thức vận tốc.

$$v(t) = h'(t) = (100 – 4{,}9t^2)’ = -9{,}8t$$

Bước 2: Tính vận tốc tại $t = 5$ giây.

$$v(5) = -9{,}8 \cdot 5 = -49 \text{ (m/s)}$$

Dấu âm cho biết vật đang đi xuống.

Bước 3: Xác định thời điểm vật chạm đất.

Khi chạm đất: $h(t) = 0$

$$100 – 4{,}9t^2 = 0$$

$$t^2 = \dfrac{100}{4{,}9} \approx 20{,}41$$

$$t \approx 4{,}52 \text{ (giây)}$$

Bước 4: Tính vận tốc khi chạm đất.

$$v(4{,}52) = -9{,}8 \cdot 4{,}52 \approx -44{,}3 \text{ (m/s)}$$

Vậy vận tốc của vật khi chạm đất có độ lớn khoảng $44{,}3$ m/s.

Ví dụ 13: Chuyển động của một hạt trên một dây rung được cho bởi $s(t) = 12 + 0{,}5\sin(4\pi t)$, trong đó $s$ tính bằng centimét và $t$ tính bằng giây. Vận tốc cực đại của hạt là bao nhiêu?

Giải chi tiết:

Bước 1: Tính công thức vận tốc.

$$v(t) = s'(t) = 0{,}5 \cdot (4\pi t)’ \cdot \cos(4\pi t) = 0{,}5 \cdot 4\pi \cdot \cos(4\pi t) = 2\pi\cos(4\pi t)$$

Bước 2: Tìm vận tốc cực đại.

Vì $-1 \leq \cos(4\pi t) \leq 1$, nên:

$$-2\pi \leq v(t) \leq 2\pi$$

Vận tốc đạt giá trị lớn nhất khi $\cos(4\pi t) = 1$.

Kết luận: Vận tốc cực đại của hạt là $v_{max} = 2\pi \approx 6{,}28$ (cm/s).

8. Tổng kết

Quy tắc đạo hàm cơ bản

Mẹo ghi nhớ

Lưu ý quan trọng

• Với hàm hợp: nhân thêm đạo hàm hàm trong
• Vận tốc tức thời: $v(t) = s'(t)$
• Vật đạt vị trí cực trị khi $v = 0$
• Luôn kiểm tra điều kiện xác định của hàm số

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh