1. Biến cố hợp

1.1. Hoạt động khám phá

Một tổ trong lớp 11A có 10 học sinh. Điểm kiểm tra học kì 1 của 10 bạn này ở hai môn Toán và Ngữ văn được cho như sau:

Lưu ý: Điểm 8 trở lên là điểm giỏi.

Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong tổ. Xét các biến cố sau:

• $A$: “Học sinh đó được điểm giỏi môn Ngữ văn”
• $B$: “Học sinh đó được điểm giỏi môn Toán”
• $C$: “Học sinh đó được điểm giỏi môn Ngữ văn hoặc điểm giỏi môn Toán”

Phân tích:

a) Không gian mẫu: $\Omega = {\text{Bảo; Dung; Định; Lan; Long; Hương; Phúc; Cường; Tuấn; Trang}}$

Từ bảng điểm, ta xác định:

• $A = {\text{Dung; Long; Cường; Trang}}$ (điểm Ngữ văn ≥ 8)
• $B = {\text{Lan; Hương; Phúc; Cường; Trang}}$ (điểm Toán ≥ 8)
• $C = {\text{Dung; Long; Lan; Hương; Phúc; Cường; Trang}}$ (giỏi ít nhất một môn)

b) Ta thấy: $A \cup B = {\text{Dung; Long; Lan; Hương; Phúc; Cường; Trang}} = C$

1.2. Định nghĩa biến cố hợp

Cho $A$ và $B$ là hai biến cố. Biến cố: “A hoặc B xảy ra” được gọi là biến cố hợp của $A$ và $B$, ký hiệu là $A \cup B$.

$$\boxed{A \cup B = {x \in \Omega \mid x \in A \text{ hoặc } x \in B}}$$

Biến cố hợp của $A$ và $B$ là tập con $A \cup B$ của không gian mẫu $\Omega$.

Minh họa bằng biểu đồ Venn:

    ┌─────────────────────────────┐
    │            Ω                │
    │   ┌───────────────────┐     │
    │   │    A     ∪     B  │     │
    │   │  ┌───┐     ┌───┐  │     │
    │   │  │   │     │   │  │     │
    │   │  │   └─────┘   │  │     │
    │   │  │             │  │     │
    │   │  └─────────────┘  │     │
    │   └───────────────────┘     │
    │         A ∪ B               │
    └─────────────────────────────┘

Mẹo nhớ: “Hợp” ↔ “hoặc” ↔ ∪ (chữ U như Union trong tiếng Anh)

Ví dụ 1: Một hộp đựng 15 tấm thẻ cùng loại được đánh số từ 1 đến 15. Rút ngẫu nhiên một tấm thẻ trong hộp. Gọi $E$ là biến cố “Số ghi trên tấm thẻ là số lẻ”; $F$ là biến cố “Số ghi trên tấm thẻ là số nguyên tố”.

a) Mô tả không gian mẫu.

b) Nêu nội dung của biến cố hợp $G = E \cup F$. Hỏi $G$ là tập con nào của không gian mẫu?

Giải:

a) Không gian mẫu: $\Omega = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15}$

b) $E \cup F$ là biến cố “Số ghi trên tấm thẻ là số lẻ hoặc số nguyên tố”.

Ta có:

• $E = {1; 3; 5; 7; 9; 11; 13; 15}$ (các số lẻ từ 1 đến 15)
• $F = {2; 3; 5; 7; 11; 13}$ (các số nguyên tố từ 1 đến 15)

Vậy: $G = E \cup F = {1; 2; 3; 5; 7; 9; 11; 13; 15}$

Luyện tập 1: Một tổ trong lớp 11B có 4 học sinh nữ là Hương, Hồng, Dung, Phương và 5 học sinh nam là Sơn, Tùng, Hoàng, Tiến, Hải. Trong giờ học, giáo viên chọn ngẫu nhiên một học sinh trong tổ đó lên bảng để kiểm tra bài.

Xét các biến cố sau:

• $H$: “Học sinh đó là một bạn nữ”
• $K$: “Học sinh đó có tên bắt đầu là chữ cái H”

a) Mô tả không gian mẫu.

b) Nêu nội dung của biến cố hợp $M = H \cup K$. Mỗi biến cố $H$, $K$, $M$ là tập con nào của không gian mẫu?

Giải:

a) Không gian mẫu: $\Omega = {\text{Hương; Hồng; Dung; Phương; Sơn; Tùng; Hoàng; Tiến; Hải}}$

b) $M = H \cup K$ là biến cố “Học sinh đó là nữ hoặc có tên bắt đầu bằng chữ H”.

• $H = {\text{Hương; Hồng; Dung; Phương}}$ (các bạn nữ)
• $K = {\text{Hương; Hồng; Hoàng; Hải}}$ (tên bắt đầu bằng chữ H)
• $M = H \cup K = {\text{Hương; Hồng; Dung; Phương; Hoàng; Hải}}$

2. Biến cố giao

2.1. Hoạt động khám phá

Trở lại tình huống trong HĐ1. Xét biến cố $D$: “Học sinh đó được điểm giỏi môn Ngữ văn và điểm giỏi môn Toán”.

Phân tích:

a) Từ bảng điểm:

• Học sinh giỏi Ngữ văn: $A = {\text{Dung; Long; Cường; Trang}}$
• Học sinh giỏi Toán: $B = {\text{Lan; Hương; Phúc; Cường; Trang}}$
• Học sinh giỏi cả hai môn: $D = {\text{Cường; Trang}}$

b) Ta thấy: $A \cap B = {\text{Cường; Trang}} = D$

2.2. Định nghĩa biến cố giao

Cho $A$ và $B$ là hai biến cố. Biến cố: “Cả A và B đều xảy ra” được gọi là biến cố giao của $A$ và $B$, ký hiệu là $AB$ hoặc $A \cap B$.

$$\boxed{A \cap B = {x \in \Omega \mid x \in A \text{ và } x \in B}}$$

Biến cố giao của $A$ và $B$ là tập con $A \cap B$ của không gian mẫu $\Omega$.

Minh họa bằng biểu đồ Venn:

    ┌─────────────────────────────┐
    │            Ω                │
    │      ┌─────┬─────┐          │
    │      │  A  │  B  │          │
    │      │   ┌─┴─┐   │          │
    │      │   │A∩B│   │          │
    │      │   └─┬─┘   │          │
    │      └─────┴─────┘          │
    └─────────────────────────────┘

Mẹo nhớ: “Giao” ↔ “và” ↔ ∩ (phần chung, giao nhau)

Ví dụ 2: Một tổ trong lớp 11C có 9 học sinh. Phỏng vấn 9 bạn này với câu hỏi: “Bạn có biết chơi môn thể thao nào trong hai môn này không?”. Nếu biết thì đánh dấu X vào ô ghi tên môn thể thao đó, không biết thì để trống. Kết quả thu được như sau:

Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong tổ. Xét các biến cố sau:

• $U$: “Học sinh được chọn biết chơi cầu lông”
• $V$: “Học sinh được chọn biết chơi bóng bàn”

a) Mô tả không gian mẫu.

b) Nội dung của biến cố giao $T = UV$ là gì? Mỗi biến cố $U$, $V$, $T$ là tập con nào của không gian mẫu?

Giải:

a) Không gian mẫu: $\Omega = {\text{Bảo; Đăng; Giang; Hoa; Long; Mai; Phúc; Tuấn; Yến}}$

b) $T$ là biến cố “Học sinh được chọn biết chơi cả cầu lông và bóng bàn”.

Ta có:

• $U = {\text{Bảo; Đăng; Long; Phúc; Tuấn; Yến}}$ (biết chơi cầu lông)
• $V = {\text{Giang; Long; Phúc; Tuấn}}$ (biết chơi bóng bàn)

Vậy: $T = U \cap V = {\text{Long; Phúc; Tuấn}}$ (biết chơi cả hai môn)

Luyện tập 2: Một hộp đựng 25 tấm thẻ cùng loại được đánh số từ 1 đến 25. Rút ngẫu nhiên một tấm thẻ trong hộp. Xét các biến cố:

• $P$: “Số ghi trên tấm thẻ là số chia hết cho 4”
• $Q$: “Số ghi trên tấm thẻ là số chia hết cho 6”

a) Mô tả không gian mẫu.

b) Nội dung của biến cố giao $S = PQ$ là gì? Mỗi biến cố $P$, $Q$, $S$ là tập con nào của không gian mẫu?

Giải:

a) Không gian mẫu: $\Omega = {1; 2; 3; …; 25}$

b) $S = PQ$ là biến cố “Số ghi trên tấm thẻ chia hết cho cả 4 và 6”, tức là chia hết cho $\text{BCNN}(4, 6) = 12$.

• $P = {4; 8; 12; 16; 20; 24}$ (chia hết cho 4)
• $Q = {6; 12; 18; 24}$ (chia hết cho 6)
• $S = P \cap Q = {12; 24}$ (chia hết cho 12)

3. Biểu diễn biến cố bằng phép toán tập hợp

3.1. Các phép toán cơ bản

3.2. Vận dụng – Giải quyết tình huống mở đầu

Trở lại tình huống mở đầu với:

• $M$: “Gia đình đó có ti vi”
• $N$: “Gia đình đó có máy vi tính”

Ta biểu diễn các biến cố $E$, $F$, $G$, $H$ theo $M$ và $N$:

Biến cố E: “Gia đình đó có ti vi hoặc máy vi tính” $$E = M \cup N$$

Biến cố F: “Gia đình đó có cả ti vi và máy vi tính” $$F = M \cap N$$

Biến cố G: “Gia đình đó chỉ có ti vi hoặc chỉ có máy vi tính mà không đồng thời có cả hai”

Phân tích: G xảy ra khi:

• Có ti vi và không có máy vi tính: $M \cap \overline{N}$, hoặc
• Không có ti vi và có máy vi tính: $\overline{M} \cap N$

$$G = (M \cap \overline{N}) \cup (\overline{M} \cap N)$$

Biến cố H: “Gia đình đó không có cả ti vi và máy vi tính” $$H = \overline{M} \cap \overline{N}$$

4. Biến cố độc lập

4.1. Hoạt động khám phá

Hai bạn Minh và Sơn, mỗi người gieo đồng thời một con xúc xắc cân đối, đồng chất. Xét hai biến cố sau:

• $A$: “Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc bạn Minh gieo là số chẵn”
• $B$: “Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc bạn Sơn gieo là số chia hết cho 3”

Phân tích:

Việc xảy ra hay không xảy ra biến cố $A$ không ảnh hưởng tới xác suất xảy ra của biến cố $B$, vì:

• Hai con xúc xắc là độc lập với nhau
• Kết quả gieo của Minh không làm thay đổi kết quả gieo của Sơn

Tương tự, việc xảy ra hay không xảy ra biến cố $B$ cũng không ảnh hưởng tới xác suất xảy ra của biến cố $A$.

4.2. Định nghĩa biến cố độc lập

Cặp biến cố $A$ và $B$ được gọi là độc lập nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không ảnh hưởng tới xác suất xảy ra của biến cố kia.

Chú ý quan trọng: Nếu cặp biến cố $A$ và $B$ độc lập thì các cặp biến cố sau cũng độc lập:

• $A$ và $\overline{B}$
• $\overline{A}$ và $B$
• $\overline{A}$ và $\overline{B}$

Ví dụ 3: Một hộp đựng 4 viên bi màu đỏ và 5 viên bi màu xanh, có cùng kích thước và khối lượng.

a) Bạn Minh lấy ngẫu nhiên một viên bi, ghi lại màu của viên bi được lấy ra rồi trả lại viên bi vào hộp. Tiếp theo, bạn Hùng lấy ngẫu nhiên một viên bi từ hộp đó. Xét hai biến cố sau:

• $A$: “Minh lấy được viên bi màu đỏ”
• $B$: “Hùng lấy được viên bi màu xanh”

Chứng tỏ rằng hai biến cố $A$ và $B$ độc lập.

b) Bạn Sơn lấy ngẫu nhiên một viên bi và không trả lại vào hộp. Tiếp theo, bạn Tùng lấy ngẫu nhiên một viên bi từ hộp đó. Xét hai biến cố sau:

• $C$: “Sơn lấy được viên bi màu đỏ”
• $D$: “Tùng lấy được viên bi màu xanh”

Chứng tỏ rằng hai biến cố $C$ và $D$ không độc lập.

Giải:

a) Trường hợp có hoàn lại:

Xét khi A xảy ra: Minh lấy được viên bi màu đỏ. Vì Minh trả lại viên bi đã lấy vào hộp nên trong hộp vẫn có 4 viên bi màu đỏ và 5 viên bi màu xanh.

$$P(B) = \dfrac{5}{9}$$

Xét khi A không xảy ra: Minh lấy được viên bi màu xanh. Vì Minh trả lại viên bi đã lấy vào hộp nên trong hộp vẫn có 4 viên bi màu đỏ và 5 viên bi màu xanh.

$$P(B) = \dfrac{5}{9}$$

Nhận xét: Xác suất xảy ra của biến cố $B$ không thay đổi dù biến cố $A$ xảy ra hay không xảy ra.

Tương tự, vì Hùng lấy sau Minh nên $P(A) = \dfrac{4}{9}$ dù biến cố $B$ xảy ra hay không xảy ra.

Kết luận: $A$ và $B$ độc lập.

b) Trường hợp không hoàn lại:

Xét khi C xảy ra: Sơn lấy được viên bi màu đỏ. Vì Sơn không trả lại viên bi đó vào hộp nên trong hộp còn 8 viên bi với 3 viên bi màu đỏ và 5 viên bi màu xanh.

$$P(D) = \dfrac{5}{8}$$

Xét khi C không xảy ra: Sơn lấy được viên bi màu xanh. Vì Sơn không trả lại viên bi đã lấy vào hộp nên trong hộp còn 8 viên bi với 4 viên bi màu đỏ và 4 viên bi màu xanh.

$$P(D) = \dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{2}$$

Nhận xét: Xác suất xảy ra của biến cố $D$ đã thay đổi phụ thuộc vào việc biến cố $C$ xảy ra hay không xảy ra.

Kết luận: $C$ và $D$ không độc lập.

Luyện tập 3: Trở lại tình huống trong HĐ3. Xét hai biến cố sau:

• $E$: “Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc bạn Minh gieo là số nguyên tố”
• $B$: “Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc bạn Sơn gieo là số chia hết cho 3”

Hai biến cố $E$ và $B$ độc lập hay không độc lập?

Giải:

Vì hai bạn Minh và Sơn gieo hai con xúc xắc riêng biệt, kết quả gieo của người này không ảnh hưởng đến kết quả gieo của người kia.

Do đó, $P(B)$ không thay đổi dù $E$ xảy ra hay không, và $P(E)$ không thay đổi dù $B$ xảy ra hay không.

Kết luận: Hai biến cố $E$ và $B$ độc lập.

5. Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1: Xác định biến cố hợp và biến cố giao

Phương pháp:

1. Liệt kê đầy đủ không gian mẫu $\Omega$
2. Xác định tập hợp $A$, $B$ (liệt kê các phần tử thỏa mãn điều kiện)
3. Thực hiện phép hợp: $A \cup B$ = tất cả phần tử thuộc $A$ hoặc thuộc $B$
4. Thực hiện phép giao: $A \cap B$ = các phần tử thuộc cả $A$ và $B$

Nhận dạng: Bài toán cho các biến cố $A$, $B$, yêu cầu tìm $A \cup B$, $A \cap B$ hoặc xác định các tập con.

Ví dụ 1: Một hộp đựng 15 tấm thẻ cùng loại được đánh số từ 1 đến 15. Rút ngẫu nhiên một tấm thẻ và quan sát số ghi trên thẻ. Gọi $A$ là biến cố “Số ghi trên tấm thẻ nhỏ hơn 7”; $B$ là biến cố “Số ghi trên tấm thẻ là số nguyên tố”.

a) Mô tả không gian mẫu.

b) Mỗi biến cố $A \cup B$ và $A \cap B$ là tập con nào của không gian mẫu?

Giải chi tiết:

Bước 1: Xác định không gian mẫu.

$$\Omega = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15}$$

Bước 2: Liệt kê các phần tử của biến cố $A$.

$A$ là biến cố “Số ghi trên tấm thẻ nhỏ hơn 7”.

Các số nhỏ hơn 7 trong $\Omega$: $1, 2, 3, 4, 5, 6$

$$A = {1; 2; 3; 4; 5; 6}$$

Bước 3: Liệt kê các phần tử của biến cố $B$.

$B$ là biến cố “Số ghi trên tấm thẻ là số nguyên tố”.

Các số nguyên tố trong $\Omega$: $2, 3, 5, 7, 11, 13$

$$B = {2; 3; 5; 7; 11; 13}$$

Bước 4: Xác định $A \cup B$.

$A \cup B$ gồm các phần tử thuộc $A$ hoặc thuộc $B$ (hoặc cả hai):

$$A \cup B = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 11; 13}$$

Nội dung: “Số ghi trên thẻ nhỏ hơn 7 hoặc là số nguyên tố”

Bước 5: Xác định $A \cap B$.

$A \cap B$ gồm các phần tử thuộc cả $A$ và $B$:

Các số vừa nhỏ hơn 7, vừa là số nguyên tố: $2, 3, 5$

$$A \cap B = {2; 3; 5}$$

Nội dung: “Số ghi trên thẻ nhỏ hơn 7 và là số nguyên tố”

Dạng 2: Biểu diễn biến cố qua các biến cố khác

Phương pháp:

1. Phân tích nội dung biến cố cần biểu diễn thành các trường hợp
2. Xác định mỗi trường hợp tương ứng với biến cố nào
3. Sử dụng các phép toán:
   • $\cup$ cho “hoặc“
   • $\cap$ cho “và“
   • $\overline{\phantom{A}}$ cho “không“

Nhận dạng: Bài toán cho biến cố $K$, yêu cầu biểu diễn qua $A$, $B$ bằng các phép hợp, giao, đối.

Mẹo:

• “Chỉ A hoặc chỉ B” (loại trừ lẫn nhau) $\rightarrow$ $(A \cap \overline{B}) \cup (\overline{A} \cap B)$
• “Không có cả A và B” $\rightarrow$ $\overline{A} \cap \overline{B}$

Ví dụ 2: Gieo hai con xúc xắc cân đối, đồng chất. Xét các biến cố sau:

• $E$: “Số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc đều là số chẵn”
• $F$: “Số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc khác tính chẵn lẻ”
• $K$: “Tích số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc là số chẵn”

Chứng minh rằng $K$ là biến cố hợp của $E$ và $F$.

Giải chi tiết:

Bước 1: Phân tích biến cố $K$.

$K$: “Tích số chấm là số chẵn”

Tích của hai số là số chẵn khi ít nhất một trong hai số là số chẵn.

Bước 2: Liệt kê các trường hợp để tích là số chẵn.

• Trường hợp 1: Cả hai số đều chẵn $\rightarrow$ đây chính là biến cố $E$
• Trường hợp 2: Một số chẵn, một số lẻ (khác tính chẵn lẻ) $\rightarrow$ đây chính là biến cố $F$

Bước 3: Kiểm tra không có trường hợp nào khác.

Nếu cả hai số đều lẻ thì tích là số lẻ $\rightarrow$ không thuộc $K$

Bước 4: Kết luận.

$K$ xảy ra khi và chỉ khi $E$ xảy ra hoặc $F$ xảy ra.

$$\boxed{K = E \cup F}$$

Bước 5: Kiểm tra bằng liệt kê (nếu cần).

• $E = {(2,2); (2,4); (2,6); (4,2); (4,4); (4,6); (6,2); (6,4); (6,6)}$ — có 9 phần tử
• $F$ gồm các cặp một chẵn một lẻ — có 18 phần tử
• $E \cap F = \varnothing$ (không có phần tử chung vì $E$ yêu cầu cả hai chẵn, $F$ yêu cầu khác nhau)
• $K = E \cup F$ có $9 + 18 = 27$ phần tử

Kiểm tra: Tổng số cặp có tích chẵn = Tổng cặp − Cặp có tích lẻ = $36 – 9 = 27$ ✓

Dạng 3: Xét tính độc lập của hai biến cố

Phương pháp:

1. Tính $P(B)$ khi $A$ xảy ra
2. Tính $P(B)$ khi $A$ không xảy ra
3. So sánh hai giá trị:
   • Nếu $P(B)$ không đổi $\rightarrow$ độc lập
   • Nếu $P(B)$ thay đổi $\rightarrow$ không độc lập
4. Có thể kiểm tra ngược lại với $P(A)$ để chắc chắn

Nhận dạng: Bài toán cho hai biến cố, yêu cầu chứng tỏ độc lập hoặc không độc lập.

Mẹo nhận biết nhanh:

Ví dụ 3: Có hai chuồng nuôi thỏ. Chuồng I có 5 con thỏ đen và 10 con thỏ trắng. Chuồng II có 3 con thỏ trắng và 7 con thỏ đen. Từ mỗi chuồng bắt ngẫu nhiên ra một con thỏ. Xét hai biến cố sau:

• $A$: “Bắt được con thỏ trắng từ chuồng I”
• $B$: “Bắt được con thỏ đen từ chuồng II”

Chứng tỏ rằng hai biến cố $A$ và $B$ độc lập.

Giải chi tiết:

Bước 1: Xác định thông tin ban đầu.

• Chuồng I: 5 thỏ đen + 10 thỏ trắng = 15 con
• Chuồng II: 7 thỏ đen + 3 thỏ trắng = 10 con

Bước 2: Tính $P(B)$ khi $A$ xảy ra.

Khi $A$ xảy ra (bắt được thỏ trắng từ chuồng I), điều này không ảnh hưởng đến chuồng II vì hai chuồng hoàn toàn riêng biệt.

Chuồng II vẫn có 7 thỏ đen và 3 thỏ trắng.

$$P(B) = \dfrac{7}{10}$$

Bước 3: Tính $P(B)$ khi $A$ không xảy ra.

Khi $A$ không xảy ra (bắt được thỏ đen từ chuồng I), điều này vẫn không ảnh hưởng đến chuồng II.

Chuồng II vẫn có 7 thỏ đen và 3 thỏ trắng.

$$P(B) = \dfrac{7}{10}$$

Bước 4: So sánh và kết luận.

$P(B) = \dfrac{7}{10}$ không thay đổi dù $A$ xảy ra hay không xảy ra.

Tương tự, $P(A) = \dfrac{10}{15} = \dfrac{2}{3}$ không thay đổi dù $B$ xảy ra hay không xảy ra.

Kết luận: Hai biến cố $A$ và $B$ độc lập.

Giải thích: Vì hai chuồng hoàn toàn riêng biệt, việc bắt thỏ từ chuồng này không làm thay đổi số thỏ trong chuồng kia.

Ví dụ 4: Có hai chuồng nuôi gà. Chuồng I có 9 con gà mái và 3 con gà trống. Chuồng II có 3 con gà mái và 6 con gà trống. Bắt ngẫu nhiên một con gà của chuồng I để đem bán rồi dồn các con gà còn lại của chuồng I vào chuồng II. Sau đó bắt ngẫu nhiên một con gà của chuồng II. Xét hai biến cố sau:

• $E$: “Bắt được con gà trống từ chuồng I”
• $F$: “Bắt được con gà mái từ chuồng II”

Chứng tỏ rằng hai biến cố $E$ và $F$ không độc lập.

Giải chi tiết:

Bước 1: Xác định thông tin ban đầu.

• Chuồng I: 9 gà mái + 3 gà trống = 12 con
• Chuồng II: 3 gà mái + 6 gà trống = 9 con

Bước 2: Tính $P(F)$ khi $E$ xảy ra.

Khi $E$ xảy ra (bắt được gà trống từ chuồng I):

• Chuồng I còn: 9 gà mái + 2 gà trống = 11 con
• Dồn vào chuồng II: $(3 + 9)$ gà mái + $(6 + 2)$ gà trống = 12 gà mái + 8 gà trống = 20 con

$$P(F) = \dfrac{12}{20} = \dfrac{3}{5}$$

Bước 3: Tính $P(F)$ khi $E$ không xảy ra.

Khi $E$ không xảy ra (bắt được gà mái từ chuồng I):

• Chuồng I còn: 8 gà mái + 3 gà trống = 11 con
• Dồn vào chuồng II: $(3 + 8)$ gà mái + $(6 + 3)$ gà trống = 11 gà mái + 9 gà trống = 20 con

$$P(F) = \dfrac{11}{20}$$

Bước 4: So sánh và kết luận.

• Khi $E$ xảy ra: $P(F) = \dfrac{3}{5} = \dfrac{12}{20}$
• Khi $E$ không xảy ra: $P(F) = \dfrac{11}{20}$

$P(F)$ thay đổi phụ thuộc vào việc $E$ xảy ra hay không xảy ra.

Kết luận: Hai biến cố $E$ và $F$ không độc lập.

Giải thích: Vì gà từ chuồng I được dồn vào chuồng II, nên kết quả bắt gà từ chuồng I (gà trống hay gà mái) sẽ làm thay đổi thành phần gà trong chuồng II, từ đó ảnh hưởng đến xác suất bắt được gà mái từ chuồng II.

6. Tổng kết

Bảng tóm tắt các khái niệm

Mẹo ghi nhớ

Cách nhận biết nhanh tính độc lập

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh