1. Giới hạn hữu hạn của dãy số

1.1. Dãy số có giới hạn là 0

Ví dụ khởi động: Xét dãy số $(u_n)$ với $u_n = \dfrac{(-1)^n}{n}$.

Các số hạng đầu: $u_1 = -1$, $u_2 = \dfrac{1}{2}$, $u_3 = -\dfrac{1}{3}$, $u_4 = \dfrac{1}{4}$, …

Ta thấy khi $n$ càng lớn, $|u_n| = \dfrac{1}{n}$ càng nhỏ, tiến gần đến 0.

Định nghĩa: Dãy số $(u_n)$ có giới hạn là 0 khi $n$ dần tới dương vô cực, nếu $|u_n|$ có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Kí hiệu: $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = 0$ hay $u_n \to 0$ khi $n \to +\infty$

Ví dụ 1: Xét dãy số $(u_n)$ với $u_n = \dfrac{1}{n^2}$. Giải thích vì sao dãy số này có giới hạn là 0.

Giải:

Dãy số này có giới hạn là 0, bởi vì $|u_n| = \dfrac{1}{n^2}$ có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý khi $n$ đủ lớn.

Chẳng hạn, để $|u_n| < 0{,}0001$, tức là $\dfrac{1}{n^2} < \dfrac{1}{10000}$, ta cần $n^2 > 10000$ hay $n > 100$.

Như vậy, các số hạng của dãy kể từ số hạng thứ 101 đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn $0{,}0001$.

Vậy $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n^2} = 0$.

1.2. Các giới hạn cơ bản bằng 0

Từ định nghĩa dãy số có giới hạn 0, ta có các kết quả sau:

Định lí kẹp (Squeeze theorem):

Nếu $|u_n| \leq v_n$ với mọi $n \geq 1$ và $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} v_n = 0$ thì $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = 0$.

Ví dụ 2: Chứng minh rằng $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \dfrac{(-1)^{n-1}}{3^n} = 0$.

Giải:

Ta có: $\left|\dfrac{(-1)^{n-1}}{3^n}\right| = \dfrac{1}{3^n}$

Vì $\dfrac{1}{3} < 1$ nên theo công thức giới hạn cơ bản: $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \left(\dfrac{1}{3}\right)^n = 0$

Do đó: $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \dfrac{1}{3^n} = 0$

Áp dụng định lí kẹp: $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \dfrac{(-1)^{n-1}}{3^n} = 0$

1.3. Dãy số có giới hạn hữu hạn

Định nghĩa: Dãy số $(u_n)$ có giới hạn là số thực $a$ khi $n$ dần tới dương vô cực nếu $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} (u_n – a) = 0$.

Kí hiệu: $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = a$ hay $u_n \to a$ khi $n \to +\infty$

Mẹo kiểm tra: $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = a$ khi và chỉ khi $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} (u_n – a) = 0$

Chú ý: Nếu $u_n = c$ (c là hằng số) thì $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = c$

Ví dụ 3: Xét dãy số $(u_n)$ với $u_n = \dfrac{2n + 1}{n}$. Chứng minh rằng $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = 2$.

Giải:

Ta có: $$u_n – 2 = \dfrac{2n + 1}{n} – 2 = \dfrac{(2n + 1) – 2n}{n} = \dfrac{1}{n}$$

Vì $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n} = 0$ nên $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} (u_n – 2) = 0$.

Do vậy $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = 2$.

Ví dụ 4: Cho dãy số $(u_n)$ với $u_n = \dfrac{3 \cdot 2^n – 1}{2^n}$. Chứng minh rằng $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = 3$.

Giải:

Ta có: $$u_n – 3 = \dfrac{3 \cdot 2^n – 1}{2^n} – 3 = \dfrac{3 \cdot 2^n – 1 – 3 \cdot 2^n}{2^n} = \dfrac{-1}{2^n}$$

Vì $\left|\dfrac{1}{2}\right| < 1$ nên $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \left(\dfrac{1}{2}\right)^n = 0$, suy ra $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \dfrac{-1}{2^n} = 0$.

Do đó $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} (u_n – 3) = 0$.

Vậy $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = 3$.

2. Định lí về giới hạn hữu hạn của dãy số

2.1. Các quy tắc tính giới hạn

Nếu $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = a$ và $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} v_n = b$ thì:

2.2. Quy tắc căn

Nếu $u_n \geq 0$ với mọi $n$ và $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = a$ thì:

$$a \geq 0 \quad \text{và} \quad \displaystyle\lim_{n \to +\infty} \sqrt{u_n} = \sqrt{a}$$

Ví dụ 5: Tìm $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \dfrac{n^2 + n + 1}{2n^2 – 1}$.

Giải:

Để tính giới hạn của dãy số dạng phân thức, ta chia cả tử thức và mẫu thức cho lũy thừa cao nhất của $n$.

Ở đây, lũy thừa cao nhất là $n^2$.

$$\lim_{n \to +\infty} \dfrac{n^2 + n + 1}{2n^2 – 1} = \lim_{n \to +\infty} \dfrac{\dfrac{n^2 + n + 1}{n^2}}{\dfrac{2n^2 – 1}{n^2}}$$

$$= \lim_{n \to +\infty} \dfrac{1 + \dfrac{1}{n} + \dfrac{1}{n^2}}{2 – \dfrac{1}{n^2}}$$

Áp dụng các quy tắc tính giới hạn:

$$= \dfrac{\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \left(1 + \dfrac{1}{n} + \dfrac{1}{n^2}\right)}{\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \left(2 – \dfrac{1}{n^2}\right)} = \dfrac{1 + 0 + 0}{2 – 0} = \dfrac{1}{2}$$

Ví dụ 6: Tìm $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \dfrac{\sqrt{2n^2 + 1}}{n + 1}$.

Giải:

Chia cả tử và mẫu cho $n$ (lũy thừa cao nhất của $n$ ở mẫu):

$$\lim_{n \to +\infty} \dfrac{\sqrt{2n^2 + 1}}{n + 1} = \lim_{n \to +\infty} \dfrac{\dfrac{\sqrt{2n^2 + 1}}{n}}{\dfrac{n + 1}{n}}$$

Với tử số: $\dfrac{\sqrt{2n^2 + 1}}{n} = \dfrac{\sqrt{2n^2 + 1}}{\sqrt{n^2}} = \sqrt{\dfrac{2n^2 + 1}{n^2}} = \sqrt{2 + \dfrac{1}{n^2}}$

Với mẫu số: $\dfrac{n + 1}{n} = 1 + \dfrac{1}{n}$

Do đó:

$$\lim_{n \to +\infty} \dfrac{\sqrt{2n^2 + 1}}{n + 1} = \lim_{n \to +\infty} \dfrac{\sqrt{2 + \dfrac{1}{n^2}}}{1 + \dfrac{1}{n}} = \dfrac{\sqrt{2 + 0}}{1 + 0} = \sqrt{2}$$

3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

3.1. Định nghĩa

Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân vô hạn $(u_n)$ có công bội $q$ với $|q| < 1$.

3.2. Công thức tổng

Cho cấp số nhân lùi vô hạn $(u_n)$ với số hạng đầu $u_1$ và công bội $q$ (với $|q| < 1$).

Tổng $n$ số hạng đầu: $$S_n = u_1 + u_2 + … + u_n = \dfrac{u_1(1 – q^n)}{1 – q}$$

Vì $|q| < 1$ nên $q^n \to 0$ khi $n \to +\infty$.

Do đó: $$\lim_{n \to +\infty} S_n = \lim_{n \to +\infty} \left[\dfrac{u_1}{1 – q} – \dfrac{u_1}{1 – q} \cdot q^n\right] = \dfrac{u_1}{1 – q}$$

Công thức tổng của cấp số nhân lùi vô hạn:

$$\boxed{S = u_1 + u_2 + … + u_n + … = \dfrac{u_1}{1 – q} \quad (|q| < 1)}$$

Ví dụ 7: Tính tổng $S = 1 – \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} – \dfrac{1}{8} + … + \left(-\dfrac{1}{2}\right)^{n-1} + …$

Giải:

Bước 1: Nhận dạng cấp số nhân.

Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với:

• Số hạng đầu: $u_1 = 1$
• Công bội: $q = -\dfrac{1}{2}$

Bước 2: Kiểm tra điều kiện.

Ta có $|q| = \left|-\dfrac{1}{2}\right| = \dfrac{1}{2} < 1$ ✓

Bước 3: Áp dụng công thức.

$$S = \dfrac{u_1}{1 – q} = \dfrac{1}{1 – \left(-\dfrac{1}{2}\right)} = \dfrac{1}{1 + \dfrac{1}{2}} = \dfrac{1}{\dfrac{3}{2}} = \dfrac{2}{3}$$

Ví dụ 8: Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn $2{,}222…$ dưới dạng phân số.

Giải:

Bước 1: Viết số thập phân dưới dạng tổng.

$$2{,}222… = 2 + 0{,}2 + 0{,}02 + 0{,}002 + …$$

$$= 2 + 2 \cdot \dfrac{1}{10} + 2 \cdot \dfrac{1}{10^2} + 2 \cdot \dfrac{1}{10^3} + …$$

Bước 2: Nhận dạng cấp số nhân lùi vô hạn.

Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với:

• Số hạng đầu: $u_1 = 2$
• Công bội: $q = \dfrac{1}{10}$

Bước 3: Kiểm tra và tính.

Vì $|q| = \dfrac{1}{10} < 1$ nên:

$$2{,}222… = \dfrac{u_1}{1 – q} = \dfrac{2}{1 – \dfrac{1}{10}} = \dfrac{2}{\dfrac{9}{10}} = \dfrac{20}{9}$$

Ví dụ 9: Tính tổng $S = 2 + \dfrac{2}{7} + \dfrac{2}{7^2} + … + \dfrac{2}{7^{n-1}} + …$

Giải:

Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với:

• Số hạng đầu: $u_1 = 2$
• Công bội: $q = \dfrac{1}{7}$

Vì $|q| = \dfrac{1}{7} < 1$ nên:

$$S = \dfrac{u_1}{1 – q} = \dfrac{2}{1 – \dfrac{1}{7}} = \dfrac{2}{\dfrac{6}{7}} = \dfrac{2 \cdot 7}{6} = \dfrac{14}{6} = \dfrac{7}{3}$$

3.3. Giải thích nghịch lí Zeno

Giả sử Achilles chạy với vận tốc 100 km/h, rùa đi với vận tốc 1 km/h và khoảng cách ban đầu $a = 100$ km.

Tính thời gian:

• $t_1$: thời gian Achilles đi từ $A_1$ đến $A_2$ (quãng đường 100 km): $t_1 = \dfrac{100}{100} = 1$ giờ
• Trong thời gian này, rùa đi được 1 km, nên $A_2R_2 = 1$ km
• $t_2$: thời gian Achilles đi từ $A_2$ đến $A_3$ (quãng đường 1 km): $t_2 = \dfrac{1}{100}$ giờ
• Tương tự: $t_3 = \dfrac{1}{100^2}$ giờ, …

Tổng thời gian: $$T = t_1 + t_2 + t_3 + … = 1 + \dfrac{1}{100} + \dfrac{1}{100^2} + … = \dfrac{1}{1 – \dfrac{1}{100}} = \dfrac{100}{99} \text{ giờ}$$

Kết luận: Achilles đuổi kịp rùa sau $\dfrac{100}{99}$ giờ (khoảng 1 giờ 36 giây).

Sai lầm của Zeno: Zeno cho rằng tổng của vô hạn số hạng phải là vô hạn. Thực tế, tổng của vô hạn số hạng có thể là một số hữu hạn!

4. Giới hạn vô cực của dãy số

Định nghĩa

Giới hạn dương vô cực: Dãy số $(u_n)$ có giới hạn $+\infty$ khi $n \to +\infty$ nếu $u_n$ có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Kí hiệu: $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$ hay $u_n \to +\infty$ khi $n \to +\infty$

Giới hạn âm vô cực: Dãy số $(u_n)$ có giới hạn $-\infty$ khi $n \to +\infty$ nếu $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} (-u_n) = +\infty$.

Kí hiệu: $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = -\infty$ hay $u_n \to -\infty$ khi $n \to +\infty$

Các giới hạn cơ bản

Các quy tắc giới hạn vô cực

Ví dụ 10: Tính $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} (n^2 – 2n)$.

Giải:

Ta có: $n^2 – 2n = n^2 \left(1 – \dfrac{2}{n}\right)$

Hơn nữa:

• $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} n^2 = +\infty$
• $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \left(1 – \dfrac{2}{n}\right) = 1 – 0 = 1 > 0$

Áp dụng quy tắc: $\lim u_n = +\infty$ và $\lim v_n = a > 0$ thì $\lim (u_n \cdot v_n) = +\infty$.

Do đó: $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} (n^2 – 2n) = +\infty$

Ví dụ 11: Tính $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} (n – \sqrt{n})$.

Giải:

Ta có: $n – \sqrt{n} = \sqrt{n}(\sqrt{n} – 1)$

Hơn nữa:

• $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \sqrt{n} = +\infty$
• $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} (\sqrt{n} – 1) = +\infty$

Do đó: $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} (n – \sqrt{n}) = +\infty$

5. Phương pháp giải các dạng toán

Dạng 1: Tính giới hạn dạng phân thức $\dfrac{P(n)}{Q(n)}$

Phương pháp: Chia cả tử và mẫu cho $n^k$ (với $k$ là bậc cao nhất).

Quy tắc so sánh bậc (để kiểm tra nhanh):

Mẹo nhớ: “Tử nhỏ → 0, Tử bằng → tỉ số hệ số, Tử lớn → vô cực”

Ví dụ 12: Tìm $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \dfrac{n^2 + n + 1}{2n^2 + 1}$.

Giải:

Bước 1: Xác định bậc của tử và mẫu.

• Bậc của tử: 2 (số hạng $n^2$)
• Bậc của mẫu: 2 (số hạng $2n^2$)

Bậc tử = Bậc mẫu = 2.

Bước 2: Chia cả tử và mẫu cho $n^2$.

$$\lim_{n \to +\infty} \dfrac{n^2 + n + 1}{2n^2 + 1} = \lim_{n \to +\infty} \dfrac{\dfrac{n^2}{n^2} + \dfrac{n}{n^2} + \dfrac{1}{n^2}}{\dfrac{2n^2}{n^2} + \dfrac{1}{n^2}}$$

$$= \lim_{n \to +\infty} \dfrac{1 + \dfrac{1}{n} + \dfrac{1}{n^2}}{2 + \dfrac{1}{n^2}}$$

Bước 3: Tính giới hạn.

Khi $n \to +\infty$: $\dfrac{1}{n} \to 0$ và $\dfrac{1}{n^2} \to 0$.

$$= \dfrac{1 + 0 + 0}{2 + 0} = \dfrac{1}{2}$$

Kiểm tra bằng quy tắc nhanh: Bậc tử = Bậc mẫu, nên $\lim = \dfrac{1}{2}$ (tỉ số hệ số bậc cao nhất). ✓

Ví dụ 13: Tìm giới hạn của dãy số $u_n = \dfrac{n^2 + 1}{2n – 1}$.

Giải:

Bước 1: Xác định bậc.

• Bậc của tử: 2
• Bậc của mẫu: 1

Bậc tử > Bậc mẫu.

Bước 2: Chia cả tử và mẫu cho $n$ (bậc của mẫu).

$$\lim_{n \to +\infty} \dfrac{n^2 + 1}{2n – 1} = \lim_{n \to +\infty} \dfrac{\dfrac{n^2 + 1}{n}}{\dfrac{2n – 1}{n}} = \lim_{n \to +\infty} \dfrac{n + \dfrac{1}{n}}{2 – \dfrac{1}{n}}$$

Bước 3: Phân tích.

• Tử số: $n + \dfrac{1}{n} \to +\infty$ khi $n \to +\infty$
• Mẫu số: $2 – \dfrac{1}{n} \to 2 > 0$ khi $n \to +\infty$

Áp dụng quy tắc: $\dfrac{+\infty}{a} = +\infty$ với $a > 0$.

$$\lim_{n \to +\infty} \dfrac{n^2 + 1}{2n – 1} = +\infty$$

Dạng 2: Tính giới hạn dạng $\sqrt{P(n)} – Q(n)$ (vô định $\infty – \infty$)

Phương pháp: Nhân và chia cho biểu thức liên hợp.

$$\sqrt{A} – B = \dfrac{(\sqrt{A} – B)(\sqrt{A} + B)}{\sqrt{A} + B} = \dfrac{A – B^2}{\sqrt{A} + B}$$

Ví dụ 14: Tìm $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \left(\sqrt{n^2 + 2n} – n\right)$.

Giải:

Bước 1: Nhận dạng.

Khi $n \to +\infty$: $\sqrt{n^2 + 2n} \to +\infty$ và $n \to +\infty$.

Đây là dạng vô định $\infty – \infty$.

Bước 2: Nhân và chia cho biểu thức liên hợp.

$$\sqrt{n^2 + 2n} – n = \dfrac{(\sqrt{n^2 + 2n} – n)(\sqrt{n^2 + 2n} + n)}{\sqrt{n^2 + 2n} + n}$$

Bước 3: Rút gọn tử số.

$$= \dfrac{(n^2 + 2n) – n^2}{\sqrt{n^2 + 2n} + n} = \dfrac{2n}{\sqrt{n^2 + 2n} + n}$$

Bước 4: Chia cả tử và mẫu cho $n$.

$$= \dfrac{\dfrac{2n}{n}}{\dfrac{\sqrt{n^2 + 2n}}{n} + \dfrac{n}{n}} = \dfrac{2}{\sqrt{\dfrac{n^2 + 2n}{n^2}} + 1} = \dfrac{2}{\sqrt{1 + \dfrac{2}{n}} + 1}$$

Bước 5: Tính giới hạn.

Khi $n \to +\infty$: $\dfrac{2}{n} \to 0$.

$$\lim_{n \to +\infty} \left(\sqrt{n^2 + 2n} – n\right) = \dfrac{2}{\sqrt{1 + 0} + 1} = \dfrac{2}{1 + 1} = 1$$

Ví dụ 15: Tìm giới hạn của dãy số $v_n = \sqrt{2n^2 + 1} – n$.

Giải:

Bước 1: Nhân liên hợp.

$$\sqrt{2n^2 + 1} – n = \dfrac{(\sqrt{2n^2 + 1} – n)(\sqrt{2n^2 + 1} + n)}{\sqrt{2n^2 + 1} + n}$$

$$= \dfrac{(2n^2 + 1) – n^2}{\sqrt{2n^2 + 1} + n} = \dfrac{n^2 + 1}{\sqrt{2n^2 + 1} + n}$$

Bước 2: Chia tử và mẫu cho $n$.

$$= \dfrac{n + \dfrac{1}{n}}{\sqrt{2 + \dfrac{1}{n^2}} + 1}$$

Bước 3: Tính giới hạn.

• Tử số: $n + \dfrac{1}{n} \to +\infty$
• Mẫu số: $\sqrt{2 + 0} + 1 = \sqrt{2} + 1 > 0$

$$\lim_{n \to +\infty} v_n = +\infty$$

Dạng 3: Tính giới hạn sử dụng quy tắc phép toán

Phương pháp: Áp dụng trực tiếp các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia, căn.

Ví dụ 16: Cho hai dãy số không âm $(u_n)$ và $(v_n)$ với $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = 2$ và $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} v_n = 3$. Tìm:

a) $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \dfrac{u_n^2}{v_n – u_n}$

b) $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \sqrt{u_n + 2v_n}$

Giải:

a) Áp dụng quy tắc tính giới hạn:

$$\lim_{n \to +\infty} \dfrac{u_n^2}{v_n – u_n} = \dfrac{\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n^2}{\displaystyle\lim_{n \to +\infty} (v_n – u_n)}$$

$$= \dfrac{\left(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n\right)^2}{\displaystyle\lim_{n \to +\infty} v_n – \displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n} = \dfrac{2^2}{3 – 2} = \dfrac{4}{1} = 4$$

b) Áp dụng quy tắc căn:

$$\lim_{n \to +\infty} \sqrt{u_n + 2v_n} = \sqrt{\lim_{n \to +\infty} (u_n + 2v_n)}$$

$$= \sqrt{\lim_{n \to +\infty} u_n + 2 \cdot \lim_{n \to +\infty} v_n} = \sqrt{2 + 2 \cdot 3} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$$

Dạng 4: Tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn

Phương pháp:

Ví dụ 17: Tính tổng $S = 3 – 1 + \dfrac{1}{3} – \dfrac{1}{9} + \dfrac{1}{27} – …$

Giải:

Bước 1: Xác định số hạng đầu.

$u_1 = 3$

Bước 2: Xác định công bội.

$q = \dfrac{u_2}{u_1} = \dfrac{-1}{3}$

Kiểm tra: $u_3 = u_2 \cdot q = (-1) \cdot \left(-\dfrac{1}{3}\right) = \dfrac{1}{3}$ ✓

Bước 3: Kiểm tra điều kiện.

$|q| = \dfrac{1}{3} < 1$ ✓

Bước 4: Áp dụng công thức.

$$S = \dfrac{u_1}{1 – q} = \dfrac{3}{1 – \left(-\dfrac{1}{3}\right)} = \dfrac{3}{1 + \dfrac{1}{3}} = \dfrac{3}{\dfrac{4}{3}} = \dfrac{9}{4}$$

Dạng 5: Viết số thập phân tuần hoàn dưới dạng phân số

Phương pháp:

1. Viết số thập phân dưới dạng tổng cấp số nhân lùi vô hạn
2. Áp dụng công thức tổng

Công thức nhanh:

Quy tắc: Chu kỳ có $k$ chữ số → mẫu là $k$ chữ số 9.

Ví dụ 18: Viết số $1,(12) = 1{,}121212…$ dưới dạng phân số.

Giải:

Cách 1: Dùng công thức nhanh

$$1{,}121212… = 1 + 0{,}121212… = 1 + \dfrac{12}{99} = 1 + \dfrac{4}{33} = \dfrac{33 + 4}{33} = \dfrac{37}{33}$$

Cách 2: Dùng cấp số nhân

$$1{,}121212… = 1 + 0{,}12 + 0{,}0012 + 0{,}000012 + …$$

$$= 1 + \dfrac{12}{100} + \dfrac{12}{100^2} + \dfrac{12}{100^3} + …$$

Phần sau là CSN lùi vô hạn với $u_1 = \dfrac{12}{100}$, $q = \dfrac{1}{100}$.

$$= 1 + \dfrac{\dfrac{12}{100}}{1 – \dfrac{1}{100}} = 1 + \dfrac{\dfrac{12}{100}}{\dfrac{99}{100}} = 1 + \dfrac{12}{99} = 1 + \dfrac{4}{33} = \dfrac{37}{33}$$

Ví dụ 19: Viết số $3,(102) = 3{,}102102102…$ dưới dạng phân số.

Giải:

$$3{,}102102… = 3 + 0{,}102102…$$

Chu kỳ có 3 chữ số (102), nên:

$$0{,}102102… = \dfrac{102}{999} = \dfrac{34}{333}$$

Do đó:

$$3{,}102102… = 3 + \dfrac{34}{333} = \dfrac{999 + 34}{333} = \dfrac{1033}{333}$$

Dạng 6: Tính giới hạn vô cực

Phương pháp: Đặt nhân tử chung là lũy thừa cao nhất, rồi áp dụng quy tắc.

Ví dụ 20: Tính $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} (2n^3 – n^2 + 5)$.

Giải:

Bước 1: Đặt nhân tử chung $n^3$ (lũy thừa cao nhất).

$$2n^3 – n^2 + 5 = n^3 \left(2 – \dfrac{1}{n} + \dfrac{5}{n^3}\right)$$

Bước 2: Tính giới hạn từng phần.

• $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} n^3 = +\infty$
• $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \left(2 – \dfrac{1}{n} + \dfrac{5}{n^3}\right) = 2 – 0 + 0 = 2 > 0$

Bước 3: Áp dụng quy tắc.

$$\lim_{n \to +\infty} (2n^3 – n^2 + 5) = +\infty$$

Dạng 7: Bài toán thực tế

Các dạng thường gặp:

• Bài toán quả bóng nảy
• Bài toán hàm lượng thuốc trong cơ thể
• Bài toán đường gấp khúc vô hạn

Ví dụ 21: Một quả bóng cao su được thả từ độ cao 5 m xuống mặt sàn. Sau mỗi lần chạm sàn, quả bóng nảy lên độ cao bằng $\dfrac{2}{3}$ độ cao trước đó. Giả sử $u_n$ là độ cao (mét) của quả bóng sau lần nảy lên thứ $n$.

a) Tìm công thức $u_n$.

b) Chứng minh rằng $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = 0$.

Giải:

a) Tìm công thức $u_n$.

• Độ cao ban đầu: $h_0 = 5$ m
• Sau lần nảy thứ 1: $u_1 = 5 \cdot \dfrac{2}{3}$
• Sau lần nảy thứ 2: $u_2 = u_1 \cdot \dfrac{2}{3} = 5 \cdot \left(\dfrac{2}{3}\right)^2$
• …
• Sau lần nảy thứ $n$: $u_n = 5 \cdot \left(\dfrac{2}{3}\right)^n$

b) Chứng minh $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = 0$.

Ta có: $u_n = 5 \cdot \left(\dfrac{2}{3}\right)^n$

Vì $\left|\dfrac{2}{3}\right| < 1$ nên $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \left(\dfrac{2}{3}\right)^n = 0$.

Do đó: $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = 5 \cdot 0 = 0$.

Ví dụ 22: Một bệnh nhân hằng ngày phải uống một viên thuốc 150 mg. Sau ngày đầu, trước mỗi lần uống, hàm lượng thuốc cũ trong cơ thể vẫn còn 5%.

a) Tính lượng thuốc có trong cơ thể sau khi uống viên thuốc của ngày thứ 5.

b) Ước tính lượng thuốc trong cơ thể nếu bệnh nhân sử dụng thuốc trong một thời gian dài.

Giải:

a) Gọi $a_n$ là lượng thuốc trong cơ thể sau khi uống viên thuốc ngày thứ $n$.

• Ngày 1: $a_1 = 150$ mg
• Ngày 2: Còn lại $5\%$ của $a_1$, uống thêm 150 mg: $a_2 = 0{,}05 \cdot 150 + 150 = 157{,}5$ mg
• Ngày 3: $a_3 = 0{,}05 \cdot 157{,}5 + 150 = 157{,}875$ mg
• Ngày 4: $a_4 = 0{,}05 \cdot 157{,}875 + 150 \approx 157{,}894$ mg
• Ngày 5: $a_5 = 0{,}05 \cdot 157{,}894 + 150 \approx 157{,}895$ mg

b) Công thức tổng quát: $a_{n+1} = 0{,}05 \cdot a_n + 150$

Khi $n$ rất lớn, $a_n$ tiến đến giá trị ổn định $L$ thỏa mãn:

$$L = 0{,}05 \cdot L + 150$$ $$0{,}95 \cdot L = 150$$ $$L = \dfrac{150}{0{,}95} = \dfrac{15000}{95} \approx 157{,}89 \text{ mg}$$

Vậy lượng thuốc trong cơ thể ổn định ở mức khoảng 157,89 mg.

Tổng kết

Bảng tóm tắt giới hạn cơ bản

Công thức quan trọng

Mẹo ghi nhớ

So sánh bậc phân thức: “Tử nhỏ → 0, Tử bằng → tỉ số, Tử lớn → vô cực”

Số thập phân tuần hoàn: Chu kỳ $k$ chữ số → mẫu là $k$ chữ số 9

Dạng $\infty – \infty$: Nhân liên hợp để khử dạng vô định

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh