Tình huống thực tiễn: Trong bóng đá, công nghệ Goal-line được sử dụng để xác định xem bóng đã hoàn toàn vượt qua vạch vôi hay chưa, từ đó giúp trọng tài đưa ra quyết định về một bàn thắng có được ghi hay không.

Yếu tố hình học giúp xác định bóng đã vượt qua vạch vôi chính là hình chiếu của quả bóng trên mặt sân theo phương thẳng đứng. Khi hình chiếu nằm hoàn toàn qua vạch vôi, bàn thắng được công nhận.

1. Phép chiếu song song

1.1. Định nghĩa

Cho mặt phẳng $(\alpha)$ và đường thẳng $\Delta$ cắt $(\alpha)$. Với mỗi điểm $M$ trong không gian, ta xác định điểm $M’$ như sau:

• Nếu $M$ thuộc $\Delta$ thì $M’$ là giao điểm của $(\alpha)$ và $\Delta$.
• Nếu $M$ không thuộc $\Delta$ thì $M’$ là giao điểm của $(\alpha)$ và đường thẳng qua $M$ song song với $\Delta$.

Định nghĩa:

• Điểm $M’$ được gọi là hình chiếu song song của điểm $M$ trên mặt phẳng $(\alpha)$ theo phương $\Delta$.
• Phép đặt tương ứng mỗi điểm $M$ với hình chiếu $M’$ của nó được gọi là phép chiếu song song lên $(\alpha)$ theo phương $\Delta$.
• Mặt phẳng $(\alpha)$ được gọi là mặt phẳng chiếu.
• Phương $\Delta$ được gọi là phương chiếu.

1.2. Hình chiếu của một hình

Cho hình $\mathcal{H}$. Tập hợp $\mathcal{H}’$ các hình chiếu $M’$ của các điểm $M$ thuộc $\mathcal{H}$ qua phép chiếu song song được gọi là hình chiếu của $\mathcal{H}$ qua phép chiếu song song đó.

Ví dụ thực tế:

• Bóng đổ của người, cây cối dưới ánh mặt trời chính là hình chiếu song song (vì các tia sáng mặt trời gần như song song)
• Hình chiếu của chữ cái “A” trên mặt đất

Chú ý: Nếu một đường thẳng cùng phương với phương chiếu thì hình chiếu của đường thẳng đó là một điểm. Kể từ đây, khi xét hình chiếu của đường thẳng, ta chỉ xét các đường thẳng không cùng phương với phương chiếu.

1.3. Ví dụ

Ví dụ 1: Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A’B’C’$.

a) Xác định hình chiếu của điểm $A$ trên mặt phẳng $(A’B’C’)$ theo phương $CC’$.

b) Gọi $M$ là một điểm thuộc đoạn thẳng $AB$. Xác định hình chiếu của $M$ trên mặt phẳng $(A’B’C’)$ theo phương $CC’$.

Giải:

a) Vì $ABC.A’B’C’$ là hình lăng trụ nên $AA’ // BB’ // CC’$.

Đường thẳng qua $A$ song song với $CC’$ chính là đường thẳng $AA’$.

Đường thẳng $AA’$ cắt mặt phẳng $(A’B’C’)$ tại $A’$.

Vậy $A’$ là hình chiếu của $A$ trên mặt phẳng $(A’B’C’)$ theo phương $CC’$.

b) Trong mặt phẳng $(ABB’A’)$, vẽ $MM’ // AA’$ với $M’$ thuộc $A’B’$.

Khi đó $MM’ // AA’ // CC’$.

Vì $M’$ thuộc mặt phẳng $(A’B’C’)$ nên $M’$ là hình chiếu của $M$ trên mặt phẳng $(A’B’C’)$ theo phương $CC’$.

2. Tính chất của phép chiếu song song

Ba tính chất cơ bản

Tính chất 1: Phép chiếu song song biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó.

Phép chiếu song song biến đường thẳng thành đường thẳng, tia thành tia, đoạn thẳng thành đoạn thẳng.

Tính chất 2: Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.

Tính chất 3: Phép chiếu song song giữ nguyên tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng cùng nằm trên một đường thẳng hoặc nằm trên hai đường thẳng song song.

$$\frac{AB}{CD} = \frac{A’B’}{C’D’}$$

Mẹo nhớ “3 BẢO TOÀN”

Phép chiếu song song bảo toàn:

Hệ quả quan trọng

Từ 3 tính chất trên, ta có các hệ quả:

Lưu ý: Hình chiếu của hai đường thẳng cắt nhau có thể là hai đường thẳng cắt nhau hoặc song song (khi giao điểm nằm trên phương chiếu).

Ví dụ

Ví dụ 2: Cho hình bình hành $ABCD$ và gọi $A’B’C’D’$ là hình chiếu của $ABCD$ trên mặt phẳng $(P)$ theo phương $\Delta$. Chứng minh rằng tứ giác $A’B’C’D’$ là hình bình hành.

Giải:

Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AB // CD$.

Theo tính chất 2, hình chiếu của hai đường thẳng song song là hai đường thẳng song song.

Do đó hình chiếu của $AB$ là $A’B’$ song song với hình chiếu của $CD$ là $C’D’$.

Vậy $A’B’ // C’D’$.

Tương tự, vì $AD // BC$ nên $A’D’ // B’C’$.

Tứ giác $A’B’C’D’$ có $A’B’ // C’D’$ và $A’D’ // B’C’$ nên là hình bình hành.

Ví dụ 3: Cho tam giác $ABC$ có $M$ là trung điểm của $BC$. Một phép chiếu song song biến tam giác $ABC$ thành tam giác $A’B’C’$, biến $M$ thành $M’$. Chứng minh rằng $A’M’$ là đường trung tuyến của tam giác $A’B’C’$.

Giải:

Vì $M$ là trung điểm của $BC$ nên $B$, $M$, $C$ thẳng hàng theo thứ tự đó và $\dfrac{BM}{MC} = 1$.

Theo tính chất 1, phép chiếu song song biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và giữ nguyên thứ tự.

Do đó $B’$, $M’$, $C’$ thẳng hàng theo thứ tự đó.

Theo tính chất 3, phép chiếu song song giữ nguyên tỉ số độ dài.

Do đó $\dfrac{B’M’}{M’C’} = \dfrac{BM}{MC} = 1$.

Suy ra $M’$ là trung điểm của $B’C’$.

Vậy $A’M’$ là đường trung tuyến của tam giác $A’B’C’$.

3. Hình biểu diễn của một hình không gian

Định nghĩa

Hình biểu diễn của một hình trong không gian là hình chiếu song song của hình đó trên một mặt phẳng theo một phương chiếu nào đó hoặc hình đồng dạng với hình chiếu đó.

Ý nghĩa: Khi vẽ các hình không gian (tứ diện, hình lập phương, hình lăng trụ,…) trên giấy, ta thực chất đang vẽ hình biểu diễn của chúng.

Quy tắc vẽ hình biểu diễn

Khi hình phẳng nằm trong mặt phẳng không song song với phương chiếu, hình biểu diễn có các tính chất:

Mẹo nhớ:

• “Tứ giác đặc biệt → bình hành”: Vuông, chữ nhật, thoi, bình hành đều có 2 cặp cạnh đối song song → hình biểu diễn là bình hành
• “Tròn → méo (elip)”: Hình tròn biến thành hình elip

Liên hệ thực tế

Hình chiếu bằng, hình chiếu đứng, hình chiếu cạnh của một vật thể (môn Công nghệ 8 và Công nghệ 10) chính là hình biểu diễn của vật thể đó.

Ví dụ

Ví dụ 4: Vẽ hình biểu diễn của hình lăng trụ $ABCD.A’B’C’D’$ có mặt đáy $ABCD$ là hình thang, $AB$ song song với $CD$ và $AB = 2CD$.

Giải:

Bước 1: Xác định đặc điểm hình biểu diễn

• Hình lăng trụ có các mặt bên là hình bình hành → hình biểu diễn cũng có các mặt bên là hình bình hành
• Hình thang $ABCD$ có $AB // CD$ và $AB = 2CD$ → hình biểu diễn là hình thang có độ dài một đáy gấp đôi đáy còn lại

Bước 2: Vẽ hình

• Vẽ hình thang $ABCD$ với $AB // CD$, $AB = 2CD$
• Vẽ các cạnh bên $AA’$, $BB’$, $CC’$, $DD’$ song song và bằng nhau
• Nối $A’B’C’D’$ được mặt đáy trên
• Vẽ nét liền cho cạnh nhìn thấy, nét đứt cho cạnh khuất

4. Phương pháp giải các dạng toán

Dạng 1: Xác định hình chiếu của điểm, đoạn thẳng

Phương pháp:

Mẹo: Trong hình lăng trụ, hình hộp, các cạnh bên song song với nhau nên thường được chọn làm phương chiếu.

Ví dụ 5: Cho hình hộp $ABCD.EFGH$. Xác định hình chiếu của điểm $A$ trên mặt phẳng $(DCGH)$:

a) Theo phương $BC$

b) Theo phương $BG$

Giải:

a) Theo phương $BC$:

Bước 1: Vẽ đường thẳng qua $A$ song song với $BC$.

Trong hình hộp, $AD // BC$ (vì $ABCD$ là hình bình hành).

Vậy đường thẳng qua $A$ song song với $BC$ chính là đường thẳng $AD$.

Bước 2: Tìm giao điểm của $AD$ với mặt phẳng $(DCGH)$.

Đường thẳng $AD$ cắt mặt phẳng $(DCGH)$ tại điểm $D$.

Bước 3: Kết luận.

Vậy hình chiếu của $A$ trên mặt phẳng $(DCGH)$ theo phương $BC$ là điểm $D$.

b) Theo phương $BG$:

Bước 1: Vẽ đường thẳng qua $A$ song song với $BG$.

Trong hình hộp, $AE // BF // CG // DH$ (các cạnh bên) và $EH // FG // AD // BC$.

Ta có $BG$ là đường chéo của mặt bên $BCGF$.

Đường thẳng qua $A$ song song với $BG$ nằm trong mặt phẳng $(ADHE)$.

Vì $ADHE$ và $BCGF$ là hai mặt đối diện của hình hộp, đường thẳng qua $A$ song song với $BG$ chính là đường thẳng $AH$.

Bước 2: Tìm giao điểm của $AH$ với mặt phẳng $(DCGH)$.

Đường thẳng $AH$ cắt mặt phẳng $(DCGH)$ tại điểm $H$.

Bước 3: Kết luận.

Vậy hình chiếu của $A$ trên mặt phẳng $(DCGH)$ theo phương $BG$ là điểm $H$.

Dạng 2: Chứng minh tính chất của hình chiếu

Phương pháp: Sử dụng 3 tính chất cơ bản của phép chiếu song song.

Ví dụ 6: Chứng minh rằng hình chiếu song song của một hình thang là một hình thang.

Giải:

Gọi hình thang là $ABCD$ với $AB // CD$.

Gọi $A’B’C’D’$ là hình chiếu của $ABCD$ qua một phép chiếu song song.

Bước 1: Chứng minh $A’B’ // C’D’$.

Vì $AB // CD$ nên theo tính chất 2, hình chiếu của hai đường thẳng song song là hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.

Do đó $A’B’ // C’D’$ hoặc $A’B’$ trùng $C’D’$.

Vì $A$, $B$, $C$, $D$ không thẳng hàng nên $A’$, $B’$, $C’$, $D’$ cũng không thẳng hàng (theo TC1).

Suy ra $A’B’$ không trùng $C’D’$.

Vậy $A’B’ // C’D’$.

Bước 2: Chứng minh $A’D’$ không song song với $B’C’$.

Vì $ABCD$ là hình thang (không phải hình bình hành) nên $AD$ cắt $BC$.

Gọi $I$ là giao điểm của $AD$ và $BC$, và $I’$ là hình chiếu của $I$.

Theo TC1, $I’$ nằm trên cả $A’D’$ và $B’C’$.

Do đó $A’D’$ và $B’C’$ cắt nhau tại $I’$.

Vậy $A’D’$ không song song với $B’C’$.

Bước 3: Kết luận.

Tứ giác $A’B’C’D’$ có $A’B’ // C’D’$ và $A’D’$ cắt $B’C’$ nên là hình thang.

Ví dụ 7: Phép chiếu song song biến tam giác $ABC$ thành tam giác $A’B’C’$. Chứng minh rằng phép chiếu đó biến trọng tâm của tam giác $ABC$ thành trọng tâm của tam giác $A’B’C’$.

Giải:

Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ và $G’$ là hình chiếu của $G$.

Gọi $M$ là trung điểm của $BC$ và $M’$ là hình chiếu của $M$.

Bước 1: Chứng minh $M’$ là trung điểm của $B’C’$.

Vì $M$ là trung điểm của $BC$ nên $B$, $M$, $C$ thẳng hàng và $\dfrac{BM}{MC} = 1$.

Theo TC1: $B’$, $M’$, $C’$ thẳng hàng.

Theo TC3: $\dfrac{B’M’}{M’C’} = \dfrac{BM}{MC} = 1$.

Vậy $M’$ là trung điểm của $B’C’$.

Bước 2: Chứng minh $A’M’$ là trung tuyến của tam giác $A’B’C’$.

Vì $M’$ là trung điểm của $B’C’$ nên $A’M’$ là đường trung tuyến của tam giác $A’B’C’$.

Bước 3: Chứng minh $G’$ là trọng tâm của tam giác $A’B’C’$.

Vì $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ nên $G$ nằm trên trung tuyến $AM$ và $\dfrac{AG}{GM} = 2$.

Theo TC1: $A’$, $G’$, $M’$ thẳng hàng, tức là $G’$ nằm trên trung tuyến $A’M’$.

Theo TC3: $\dfrac{A’G’}{G’M’} = \dfrac{AG}{GM} = 2$.

Vậy $G’$ nằm trên trung tuyến $A’M’$ và chia trung tuyến theo tỉ số $2:1$ tính từ đỉnh.

Kết luận: $G’$ là trọng tâm của tam giác $A’B’C’$.

Ví dụ 8: Một phép chiếu song song biến tam giác $ABC$ thành tam giác $A’B’C’$. Chứng minh rằng phép chiếu đó biến đường trung bình của tam giác $ABC$ thành đường trung bình của tam giác $A’B’C’$.

Giải:

Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $AC$.

Khi đó $MN$ là đường trung bình của tam giác $ABC$.

Gọi $M’$, $N’$ lần lượt là hình chiếu của $M$ và $N$.

Bước 1: Chứng minh $M’$ là trung điểm của $A’B’$.

Vì $M$ là trung điểm của $AB$ nên $A$, $M$, $B$ thẳng hàng và $\dfrac{AM}{MB} = 1$.

Theo TC1: $A’$, $M’$, $B’$ thẳng hàng.

Theo TC3: $\dfrac{A’M’}{M’B’} = \dfrac{AM}{MB} = 1$.

Vậy $M’$ là trung điểm của $A’B’$.

Bước 2: Chứng minh $N’$ là trung điểm của $A’C’$ (tương tự Bước 1).

Vì $N$ là trung điểm của $AC$ nên $A$, $N$, $C$ thẳng hàng và $\dfrac{AN}{NC} = 1$.

Theo TC1: $A’$, $N’$, $C’$ thẳng hàng.

Theo TC3: $\dfrac{A’N’}{N’C’} = \dfrac{AN}{NC} = 1$.

Vậy $N’$ là trung điểm của $A’C’$.

Bước 3: Kết luận.

Vì $M’$ là trung điểm của $A’B’$ và $N’$ là trung điểm của $A’C’$ nên $M’N’$ là đường trung bình của tam giác $A’B’C’$.

Dạng 3: Vẽ hình biểu diễn

Phương pháp:

Quy tắc cần nhớ:

• Các cạnh song song trong không gian → vẽ song song trên hình biểu diễn
• Giữ đúng tỉ lệ các đoạn thẳng trên cùng đường hoặc đường song song
• Tam giác đều, vuông, cân → vẽ tam giác bất kỳ
• Hình vuông, chữ nhật → vẽ hình bình hành

Ví dụ 9: Vẽ hình biểu diễn của hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành.

Giải:

Bước 1: Xác định đặc điểm.

• Đáy $ABCD$ là hình bình hành → hình biểu diễn của đáy cũng là hình bình hành
• Có đỉnh $S$ nối với 4 đỉnh của đáy

Bước 2: Vẽ hình.

• Vẽ hình bình hành $ABCD$ (đáy)
• Chọn vị trí điểm $S$ (thường ở phía trên)
• Nối $S$ với $A$, $B$, $C$, $D$
• Vẽ nét liền cho $SA$, $SB$, $SC$ (cạnh thấy)
• Vẽ nét đứt cho $SD$ và các cạnh $AD$, $DC$ (cạnh khuất)

Ví dụ 10: Vẽ hình biểu diễn của hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang, $AB$ song song với $CD$ và $AB = 2$ cm, $CD = 6$ cm.

Giải:

Bước 1: Xác định đặc điểm.

• Đáy $ABCD$ là hình thang với $AB // CD$
• Tỉ số $\dfrac{AB}{CD} = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$
• Hình biểu diễn của đáy là hình thang với tỉ số hai đáy bằng $\dfrac{1}{3}$

Bước 2: Vẽ hình.

• Vẽ hình thang $ABCD$ với $AB // CD$ và $AB = \dfrac{1}{3}CD$
• Chọn vị trí điểm $S$ (thường ở phía trên, có thể lệch sang một bên)
• Nối $S$ với $A$, $B$, $C$, $D$
• Vẽ nét liền, nét đứt phù hợp

Dạng 4: Xác định mệnh đề đúng/sai

Phương pháp: Dựa vào các tính chất của phép chiếu song song để phân tích.

Kiến thức cần nhớ:

Ví dụ 11: Xét tính đúng/sai của các mệnh đề sau:

a) Phép chiếu song song biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng.

b) Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng cắt nhau.

c) Phép chiếu song song biến tam giác đều thành tam giác cân.

d) Phép chiếu song song biến hình vuông thành hình bình hành.

Giải:

a) Đúng.

Theo tính chất 1, phép chiếu song song biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng.

b) Sai.

Theo tính chất 2, phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau, không phải cắt nhau.

c) Sai.

Phép chiếu song song biến tam giác đều thành tam giác, nhưng tam giác đó không nhất thiết là tam giác cân. Nó có thể là tam giác bất kỳ.

d) Đúng.

Hình vuông có hai cặp cạnh đối song song. Theo tính chất 2, hình chiếu của hai cạnh đối diện cũng song song. Do đó hình chiếu của hình vuông là hình bình hành.

Dạng 5: Bài toán thực tế (bóng đổ)

Phương pháp:

• Ánh sáng mặt trời có các tia sáng gần như song song → bóng đổ là hình chiếu song song
• Phương chiếu = phương của tia sáng
• Mặt phẳng chiếu = mặt đất (hoặc bề mặt nhận bóng)

Áp dụng tính chất:

• Hai đoạn thẳng song song → bóng song song
• Tỉ số độ dài được bảo toàn

Ví dụ 12: Trong hình bên, $AB$ và $CD$ là bóng của hai thanh chắn của một chiếc thang dưới ánh mặt trời. Giải thích tại sao $AB$ song song với $CD$.

Giải:

Bước 1: Nhận diện phép chiếu song song.

Dưới ánh mặt trời, các tia sáng gần như song song với nhau.

Do đó bóng đổ của các vật thể trên mặt đất là hình chiếu song song theo phương các tia sáng.

Bước 2: Áp dụng tính chất.

Hai thanh chắn của chiếc thang song song với nhau (vì thang có các thanh ngang song song).

Gọi hai thanh chắn thật là $A_0B_0$ và $C_0D_0$ với $A_0B_0 // C_0D_0$.

$AB$ là bóng (hình chiếu) của $A_0B_0$.

$CD$ là bóng (hình chiếu) của $C_0D_0$.

Bước 3: Kết luận.

Theo tính chất 2 của phép chiếu song song, hình chiếu của hai đường thẳng song song là hai đường thẳng song song.

Vì $A_0B_0 // C_0D_0$ nên $AB // CD$.

Vậy $AB$ song song với $CD$.

Ví dụ 13 (Bài toán mở đầu): Trong công nghệ Goal-line, khi một bàn thắng được ghi thì hình chiếu của quả bóng trên mặt đất theo phương thẳng đứng có vị trí như thế nào so với vạch vôi?

Giải:

Công nghệ Goal-line sử dụng phép chiếu song song theo phương thẳng đứng (vuông góc với mặt sân).

Hình chiếu của quả bóng trên mặt sân chính là “bóng” của quả bóng khi chiếu thẳng đứng xuống.

Khi bàn thắng được ghi:

Quả bóng đã vượt qua hoàn toàn vạch vôi → hình chiếu của quả bóng (theo phương thẳng đứng) nằm hoàn toàn bên trong khung thành, tức là đã vượt qua vạch vôi.

Tổng kết

Bảng tóm tắt kiến thức

Mẹo ghi nhớ

“3 BẢO TOÀN”: Thẳng hàng – Song song – Tỉ số

Hệ quả quan trọng: Trung điểm → trung điểm, Trọng tâm → trọng tâm

Hình biểu diễn: “Vuông, chữ nhật, thoi, bình hành → đều vẽ bình hành”

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh