Trong toán học, tính liên tục của hàm số là một khái niệm quan trọng giúp ta hiểu được “độ mượt” của đồ thị hàm số. Nói một cách đơn giản, hàm số liên tục tại một điểm nghĩa là đồ thị của nó không bị “đứt gãy” hay “nhảy” tại điểm đó.

1. Hàm số liên tục tại một điểm

1.1. Định nghĩa

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên khoảng $(a; b)$ có chứa điểm $x_0$. Ta nói hàm số $f(x)$ liên tục tại điểm $x_0$ nếu:

$$\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$$

Điều này có nghĩa là khi $x$ tiến dần đến $x_0$ thì giá trị của hàm số cũng tiến dần đến giá trị $f(x_0)$.

Hàm số gián đoạn: Nếu hàm số $f(x)$ không liên tục tại điểm $x_0$, ta nói hàm số gián đoạn tại điểm đó. Trên đồ thị, điểm gián đoạn thường thể hiện bằng một “lỗ hổng” hoặc một bước nhảy.

Ví dụ 1: Xét tính liên tục của hàm số $f(x) = \dfrac{x + 1}{x – 1}$ tại điểm $x_0 = 2$.

Giải:

Hàm số $f(x) = \dfrac{x + 1}{x – 1}$ xác định trên $\mathbb{R} \setminus {1}$, do đó $x_0 = 2$ thuộc tập xác định.

Ta có: $$\lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2} \dfrac{x + 1}{x – 1} = \dfrac{2 + 1}{2 – 1} = \dfrac{3}{1} = 3$$

Và: $f(2) = \dfrac{2 + 1}{2 – 1} = 3$

Vì $\lim_{x \to 2} f(x) = 3 = f(2)$ nên hàm số $f(x)$ liên tục tại $x_0 = 2$.

Ví dụ 2: Xét tính liên tục của hàm dấu $s(x) = \begin{cases} 1 & \text{nếu } x > 0 \\ 0 & \text{nếu } x = 0 \\ -1 & \text{nếu } x < 0 \end{cases}$ tại điểm $x_0 = 0$.

Giải:

Ta tính giới hạn một phía:

$$\lim_{x \to 0^+} s(x) = \lim_{x \to 0^+} 1 = 1$$

$$\lim_{x \to 0^-} s(x) = \lim_{x \to 0^-} (-1) = -1$$

Vì $\lim_{x \to 0^+} s(x) = 1 \neq -1 = \lim_{x \to 0^-} s(x)$ nên không tồn tại $\lim_{x \to 0} s(x)$.

Vậy hàm số $s(x)$ gián đoạn tại $x_0 = 0$.

1.2. Điều kiện liên tục tại một điểm

Để kiểm tra tính liên tục của hàm số tại một điểm, ta cần xác minh ba điều kiện:

1. Hàm số xác định tại $x_0$: Giá trị $f(x_0)$ phải tồn tại
2. Giới hạn tồn tại: $\lim_{x \to x_0} f(x)$ phải tồn tại
3. Giới hạn bằng giá trị hàm số: $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$

Đặc biệt, với các hàm số được cho bởi nhiều công thức (hàm từng khúc):

$$\boxed{\text{Hàm số } f(x) \text{ liên tục tại } x_0 \Leftrightarrow \lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x) = f(x_0)}$$

Ví dụ 3: Xét tính liên tục của hàm số $f(x) = \begin{cases} -x & \text{nếu } x < 0 \\ 0 & \text{nếu } x = 0 \\ x^2 & \text{nếu } x > 0 \end{cases}$ tại điểm $x_0 = 0$.

Giải:

Ta tính giới hạn một phía:

$$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} x^2 = 0$$

$$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (-x) = 0$$

Và: $f(0) = 0$

Vì $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^-} f(x) = f(0) = 0$ nên hàm số $f(x)$ liên tục tại $x_0 = 0$.

2. Hàm số liên tục trên một khoảng, trên một đoạn

2.1. Định nghĩa

Liên tục trên khoảng: Hàm số $y = f(x)$ được gọi là liên tục trên khoảng $(a; b)$ nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó.

Liên tục trên đoạn: Hàm số $y = f(x)$ được gọi là liên tục trên đoạn $[a; b]$ nếu:

• Liên tục trên khoảng $(a; b)$
• $\lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)$ (liên tục phải tại $a$)
• $\lim_{x \to b^-} f(x) = f(b)$ (liên tục trái tại $b$)

Ý nghĩa hình học: Đồ thị của hàm số liên tục trên một khoảng là một đường cong liền mạch, không bị đứt đoạn trên khoảng đó.

Ví dụ 4: Xét tính liên tục của hàm số $f(x) = \begin{cases} x – 1 & \text{nếu } x \in (0; 1) \\ 0 & \text{nếu } x = 1 \end{cases}$ trên nửa khoảng $(0; 1]$.

Giải:

Xét trên khoảng $(0; 1)$:

Với mọi $x_0 \in (0; 1)$, ta có $f(x) = x – 1$ là hàm đa thức bậc nhất.

$$\lim_{x \to x_0} f(x) = \lim_{x \to x_0} (x – 1) = x_0 – 1 = f(x_0)$$

Vậy hàm số liên tục trên khoảng $(0; 1)$.

Xét tại điểm biên $x = 1$:

$$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (x – 1) = 1 – 1 = 0 = f(1)$$

Vậy hàm số $f(x)$ liên tục trên nửa khoảng $(0; 1]$.

Ví dụ 5: Cho hàm số $f(x) = \dfrac{x + 1}{x – 1}$. Tìm các khoảng trên đó hàm số liên tục.

Giải:

Tập xác định của hàm số: $x – 1 \neq 0 \Leftrightarrow x \neq 1$

Vậy $D = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

Hàm số $f(x) = \dfrac{x + 1}{x – 1}$ là hàm phân thức hữu tỉ, liên tục trên tập xác định.

Kết luận: Hàm số liên tục trên các khoảng $(-\infty; 1)$ và $(1; +\infty)$.

3. Tính liên tục của các hàm số sơ cấp cơ bản

Các hàm số sơ cấp cơ bản đều liên tục trên tập xác định của chúng:

4. Tính chất của tổng, hiệu, tích, thương các hàm số liên tục

Giả sử hai hàm số $y = f(x)$ và $y = g(x)$ đều liên tục tại điểm $x_0$. Khi đó:

Ví dụ 6: Xét tính liên tục của hàm số $f(x) = \dfrac{\sin x}{x – 1}$.

Giải:

Tập xác định: $x – 1 \neq 0 \Leftrightarrow x \neq 1$, nên $D = \mathbb{R} \setminus {1}$.

Trên tập xác định:

• Tử số $\sin x$ là hàm lượng giác, liên tục trên $\mathbb{R}$
• Mẫu số $x – 1$ là hàm đa thức, liên tục trên $\mathbb{R}$

Theo tính chất thương của hai hàm liên tục, hàm số $f(x) = \dfrac{\sin x}{x – 1}$ liên tục trên $\mathbb{R} \setminus {1}$.

5. Định lý giá trị trung gian và ứng dụng

Định lý: Nếu hàm số $y = f(x)$ liên tục trên đoạn $[a; b]$ và $f(a) \cdot f(b) < 0$ (tức $f(a)$ và $f(b)$ trái dấu), thì tồn tại ít nhất một điểm $c \in (a; b)$ sao cho $f(c) = 0$.

Ý nghĩa hình học: Nếu đồ thị hàm số liên tục đi từ một điểm nằm dưới trục hoành đến một điểm nằm trên trục hoành (hoặc ngược lại), thì đồ thị phải cắt trục hoành ít nhất một lần.

Gợi ý: Xem Hình 5.8 trong sách giáo khoa để hiểu rõ hơn ý nghĩa hình học.

Ví dụ 7: Chứng minh rằng phương trình $x^5 + x^3 – 10 = 0$ có ít nhất một nghiệm.

Giải:

Đặt $f(x) = x^5 + x^3 – 10$.

Hàm số $f(x)$ là hàm đa thức nên liên tục trên $\mathbb{R}$, do đó liên tục trên đoạn $[0; 2]$.

Ta có: $$f(0) = 0^5 + 0^3 – 10 = -10 < 0$$ $$f(2) = 2^5 + 2^3 – 10 = 32 + 8 – 10 = 30 > 0$$

Vì $f(0) \cdot f(2) = (-10) \cdot 30 = -300 < 0$, theo định lý giá trị trung gian, tồn tại ít nhất một điểm $c \in (0; 2)$ sao cho $f(c) = 0$.

Kết luận: Phương trình $x^5 + x^3 – 10 = 0$ có ít nhất một nghiệm trong khoảng $(0; 2)$.

Ví dụ 8 (Bài toán thực tế): Một người lái xe từ địa điểm A đến địa điểm B trong thời gian 3 giờ. Biết quãng đường từ A đến B dài 180 km. Chứng tỏ rằng có ít nhất một thời điểm trên hành trình, xe chạy với vận tốc đúng bằng 60 km/h.

Giải:

Gọi $v(t)$ là vận tốc của xe tại thời điểm $t$ (giờ), với $t \in [0; 3]$.

Vận tốc thay đổi liên tục theo thời gian, nên $v(t)$ là hàm liên tục trên $[0; 3]$.

Vận tốc trung bình: $v_{tb} = \dfrac{180}{3} = 60$ km/h.

Phân tích các trường hợp:

• Nếu $v(t) = 60$ với mọi $t$: kết luận đã được chứng minh.
• Nếu tồn tại $t_1$ mà $v(t_1) < 60$ và $t_2$ mà $v(t_2) > 60$: Vì $v(t)$ liên tục và $v(t_1) < 60 < v(t_2)$, theo định lý giá trị trung gian, tồn tại $t_0$ sao cho $v(t_0) = 60$ km/h.
• Nếu $v(t) < 60$ với mọi $t$ hoặc $v(t) > 60$ với mọi $t$: quãng đường sẽ khác 180 km, mâu thuẫn.

Kết luận: Tồn tại ít nhất một thời điểm xe chạy với vận tốc 60 km/h.

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1: Tính giá trị hàm số dựa vào tính chất liên tục

Phương pháp:

• Sử dụng tính chất: Nếu $f(x)$ liên tục tại $x_0$ thì $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$
• Áp dụng các tính chất về giới hạn của tổng, hiệu, tích, thương
• Từ các điều kiện đã cho, thiết lập phương trình và giải tìm giá trị cần tìm

Nhận dạng: Đề bài cho hàm số liên tục và giá trị giới hạn, yêu cầu tìm giá trị hàm số tại một điểm.

Ví dụ 1: Cho $f(x)$ và $g(x)$ là các hàm số liên tục tại $x = 1$. Biết $f(1) = 2$ và $\lim_{x \to 1} [2f(x) – g(x)] = 3$. Tính $g(1)$.

Giải:

Bước 1: Phân tích dữ kiện.

• $f(x)$ liên tục tại $x = 1$ nên $\lim_{x \to 1} f(x) = f(1) = 2$
• $g(x)$ liên tục tại $x = 1$ nên $\lim_{x \to 1} g(x) = g(1)$

Bước 2: Áp dụng tính chất giới hạn.

$$\lim_{x \to 1} [2f(x) – g(x)] = 2\lim_{x \to 1} f(x) – \lim_{x \to 1} g(x) = 2 \cdot f(1) – g(1)$$

Bước 3: Thay số và giải phương trình.

Theo đề bài: $\lim_{x \to 1} [2f(x) – g(x)] = 3$

$$2 \cdot 2 – g(1) = 3$$ $$4 – g(1) = 3$$ $$g(1) = 1$$

Kết luận: $g(1) = 1$

Dạng 2: Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác định

Phương pháp:

Với hàm phân thức:

1. Tìm tập xác định (điều kiện mẫu khác 0)
2. Kết luận hàm số liên tục trên từng khoảng của tập xác định

Với hàm cho bởi nhiều công thức:

1. Xét tính liên tục trên từng miền (thường là hàm sơ cấp → liên tục)
2. Xét tính liên tục tại điểm “nối”: so sánh $\lim_{x \to x_0^-} f(x)$, $\lim_{x \to x_0^+} f(x)$ và $f(x_0)$
3. Kết luận

Nhận dạng: Đề bài cho hàm phân thức hoặc hàm từng khúc, yêu cầu xét tính liên tục.

Ví dụ 2: Xét tính liên tục của hàm số $f(x) = \dfrac{x}{x^2 + 5x + 6}$ trên tập xác định.

Giải:

Bước 1: Tìm tập xác định.

Mẫu số: $x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)$

Điều kiện: $(x + 2)(x + 3) \neq 0 \Leftrightarrow x \neq -2$ và $x \neq -3$

Tập xác định: $D = (-\infty; -3) \cup (-3; -2) \cup (-2; +\infty)$

Bước 2: Xét tính liên tục.

Hàm số $f(x) = \dfrac{x}{x^2 + 5x + 6}$ là hàm phân thức hữu tỉ, liên tục trên tập xác định.

Kết luận: Hàm số liên tục trên các khoảng $(-\infty; -3)$, $(-3; -2)$ và $(-2; +\infty)$.

Ví dụ 3: Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập xác định:

$$f(x) = \begin{cases} 1 + x^2 & \text{nếu } x < 1 \\ 4 – x & \text{nếu } x \geq 1 \end{cases}$$

Giải:

Bước 1: Xác định tập xác định.

Hàm số xác định với mọi $x \in \mathbb{R}$.

Bước 2: Xét tính liên tục trên từng miền.

• Với $x < 1$: $f(x) = 1 + x^2$ là hàm đa thức → liên tục trên $(-\infty; 1)$
• Với $x > 1$: $f(x) = 4 – x$ là hàm đa thức → liên tục trên $(1; +\infty)$

Bước 3: Xét tính liên tục tại điểm “nối” $x_0 = 1$.

Giới hạn trái: $$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (1 + x^2) = 1 + 1 = 2$$

Giới hạn phải: $$\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (4 – x) = 4 – 1 = 3$$

Giá trị hàm số: $$f(1) = 4 – 1 = 3$$

Bước 4: So sánh và kết luận.

Vì $\lim_{x \to 1^-} f(x) = 2 \neq 3 = \lim_{x \to 1^+} f(x)$ nên hàm số gián đoạn tại $x = 1$.

Kết luận: Hàm số liên tục trên $(-\infty; 1)$ và $[1; +\infty)$, gián đoạn tại $x = 1$.

Dạng 3: Tìm tham số để hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$

Phương pháp:

1. Xác định điểm “nối” giữa các công thức
2. Xét tính liên tục trên từng miền (thường đã liên tục sẵn)
3. Tại điểm “nối”, áp dụng điều kiện: $\lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x) = f(x_0)$
4. Giải phương trình tìm tham số

Nhận dạng: Hàm từng khúc có chứa tham số $m$, $a$, $b$,…

Mẹo nhớ: “Giới hạn trái = Giới hạn phải = Giá trị hàm số”

Ví dụ 4: Tìm giá trị của tham số $m$ để hàm số sau liên tục trên $\mathbb{R}$:

$$f(x) = \begin{cases} \sin x & \text{nếu } x \geq 0 \\ -x + m & \text{nếu } x < 0 \end{cases}$$

Giải:

Bước 1: Xác định điểm cần xét.

• Với $x > 0$: $f(x) = \sin x$ liên tục trên $(0; +\infty)$
• Với $x < 0$: $f(x) = -x + m$ liên tục trên $(-\infty; 0)$

Điểm cần xét: $x_0 = 0$ (điểm “nối” hai công thức).

Bước 2: Tính các giới hạn tại $x = 0$.

Giới hạn phải (dùng $\sin x$ vì $x \geq 0$): $$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \sin x = \sin 0 = 0$$

Giới hạn trái (dùng $-x + m$ vì $x < 0$): $$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (-x + m) = 0 + m = m$$

Giá trị hàm số (khi $x = 0 \geq 0$ nên dùng $\sin x$): $$f(0) = \sin 0 = 0$$

Bước 3: Áp dụng điều kiện liên tục.

Để hàm số liên tục tại $x = 0$: $$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0)$$ $$m = 0 = 0$$

Suy ra: $m = 0$

Bước 4: Kiểm tra.

Với $m = 0$, hàm số liên tục trên $(-\infty; 0)$, $(0; +\infty)$ và tại $x = 0$.

Kết luận: $m = 0$

Dạng 4: Bài toán thực tế – Viết công thức và xét tính liên tục

Phương pháp:

1. Đọc kỹ đề, xác định các mốc thay đổi công thức
2. Viết hàm số dạng từng khúc theo các điều kiện
3. Xét tính liên tục tại các điểm “nối”

Nhận dạng: Bài toán về giá cước, thuế, tiền lương theo bậc,…

Ví dụ 5: Một bảng giá cước taxi được cho như sau:

a) Viết công thức hàm số mô tả số tiền khách phải trả theo quãng đường di chuyển.

b) Xét tính liên tục của hàm số ở câu a.

Giải:

Câu a) Viết công thức hàm số

Gọi $x$ (km) là quãng đường, $f(x)$ (đồng) là số tiền phải trả.

Trường hợp 1: $0 < x \leq 0{,}5$ km

$$f(x) = 10000$$

Trường hợp 2: $0{,}5 < x \leq 30$ km

Tiền = Giá mở cửa + Giá km tiếp theo × Số km tính thêm

$$f(x) = 10000 + 13500(x – 0{,}5) = 13500x + 3250$$

Trường hợp 3: $x > 30$ km

Tiền cho 30 km đầu: $13500 \times 30 + 3250 = 408250$ đồng

$$f(x) = 408250 + 11000(x – 30) = 11000x + 78250$$

Công thức hàm số:

$$f(x) = \begin{cases} 10000 & \text{nếu } 0 < x \leq 0{,}5 \\ 13500x + 3250 & \text{nếu } 0{,}5 < x \leq 30 \\ 11000x + 78250 & \text{nếu } x > 30 \end{cases}$$

Câu b) Xét tính liên tục

Xét tại các điểm “nối”: $x = 0{,}5$ và $x = 30$.

Tại $x = 0{,}5$:

$$\lim_{x \to 0{,}5^-} f(x) = 10000$$

$$\lim_{x \to 0{,}5^+} f(x) = 13500 \times 0{,}5 + 3250 = 10000$$

$$f(0{,}5) = 10000$$

Vì $\lim_{x \to 0{,}5^-} f(x) = \lim_{x \to 0{,}5^+} f(x) = f(0{,}5)$ nên hàm số liên tục tại $x = 0{,}5$.

Tại $x = 30$:

$$\lim_{x \to 30^-} f(x) = 13500 \times 30 + 3250 = 408250$$

$$\lim_{x \to 30^+} f(x) = 11000 \times 30 + 78250 = 408250$$

$$f(30) = 13500 \times 30 + 3250 = 408250$$

Vì $\lim_{x \to 30^-} f(x) = \lim_{x \to 30^+} f(x) = f(30)$ nên hàm số liên tục tại $x = 30$.

Kết luận: Hàm số $f(x)$ liên tục trên $(0; +\infty)$.

Dạng 5: Chứng minh phương trình có nghiệm

Phương pháp:

1. Đưa phương trình về dạng $f(x) = 0$
2. Chứng minh $f(x)$ liên tục trên đoạn $[a; b]$
3. Tính $f(a)$ và $f(b)$, chứng minh $f(a) \cdot f(b) < 0$
4. Áp dụng định lý giá trị trung gian, kết luận

Nhận dạng: Đề bài yêu cầu chứng minh phương trình có nghiệm, có nghiệm trong khoảng $(a; b)$.

Mẹo chọn $a$, $b$: Thử các giá trị đơn giản như $0, 1, 2, -1,…$ để tìm cặp $(a, b)$ sao cho $f(a)$ và $f(b)$ trái dấu.

Ví dụ 6: Chứng minh phương trình $x^3 – 3x + 1 = 0$ có ba nghiệm phân biệt.

Giải:

Đặt $f(x) = x^3 – 3x + 1$. Đây là hàm đa thức nên liên tục trên $\mathbb{R}$.

Tìm các cặp giá trị trái dấu:

$$f(-2) = (-2)^3 – 3(-2) + 1 = -8 + 6 + 1 = -1 < 0$$ $$f(-1) = (-1)^3 – 3(-1) + 1 = -1 + 3 + 1 = 3 > 0$$ $$f(0) = 0^3 – 3(0) + 1 = 1 > 0$$ $$f(1) = 1^3 – 3(1) + 1 = -1 < 0$$ $$f(2) = 2^3 – 3(2) + 1 = 8 – 6 + 1 = 3 > 0$$

Áp dụng định lý giá trị trung gian:

• $f(-2) \cdot f(-1) = (-1) \cdot 3 < 0$ → có nghiệm $c_1 \in (-2; -1)$
• $f(0) \cdot f(1) = 1 \cdot (-1) < 0$ → có nghiệm $c_2 \in (0; 1)$
• $f(1) \cdot f(2) = (-1) \cdot 3 < 0$ → có nghiệm $c_3 \in (1; 2)$

Vì $(-2; -1)$, $(0; 1)$, $(1; 2)$ đôi một không giao nhau nên $c_1$, $c_2$, $c_3$ là ba nghiệm phân biệt.

Kết luận: Phương trình có ba nghiệm phân biệt.

Tổng kết

Bảng tóm tắt các dạng bài tập

Điều kiện liên tục cần nhớ

$$\boxed{\lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x) = f(x_0)}$$

Định lý giá trị trung gian

$$\boxed{f \text{ liên tục trên } [a; b], \quad f(a) \cdot f(b) < 0 \Rightarrow \exists c \in (a; b): f(c) = 0}$$

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh