I. GIỚI THIỆU VỀ QUỸ ĐẠO ELECTRON

1. Mô hình nguyên tử Bohr

Năm 1913, nhà vật lý Niels Bohr đưa ra mô hình nguyên tử cách mạng, giải thích cấu trúc nguyên tử hydro:

Tiên đề 1 – Quỹ đạo dừng:

• Electron chuyển động quanh hạt nhân theo các quỹ đạo tròn xác định, gọi là quỹ đạo dừng
• Trên mỗi quỹ đạo dừng, electron có năng lượng xác định và không bức xạ năng lượng
• Các quỹ đạo được đánh số bằng số lượng tử chính n: n = 1, 2, 3, 4, 5, …

Tiên đề 2 – Bức xạ và hấp thụ:

• Khi electron chuyển từ quỹ đạo năng lượng cao xuống thấp → phát ra photon
• Khi electron hấp thụ photon → nhảy lên quỹ đạo cao hơn

Tên gọi các quỹ đạo:

• n = 1: Lớp K (quỹ đạo gần nhất)
• n = 2: Lớp L
• n = 3: Lớp M
• n = 4: Lớp N
• n = 5: Lớp O

Đặc điểm quan trọng:

• Quỹ đạo có dạng đường tròn với bán kính xác định
• Bán kính quỹ đạo tăng theo n²
• Electron ở quỹ đạo gần hạt nhân → năng lượng thấp hơn

2. Bán kính quỹ đạo

Bán kính Bohr ($a_0$ hoặc $r_1$):

Quỹ đạo đầu tiên (n = 1, lớp K) có bán kính đặc biệt, gọi là bán kính Bohr:

$$\boxed{a_0 = r_1 = 0.53 , Å = 5.3 \times 10^{-11} , m}$$

Đơn vị:

• Angstrom (Å): $1 , Å = 10^{-10} , m$ (đơn vị phổ biến trong nguyên tử)
• Mét (m): Đơn vị SI

Ý nghĩa:

• $a_0$ là đơn vị chuẩn để đo kích thước nguyên tử
• Đường kính nguyên tử hydro khoảng $2a_0 \approx 1 , Å$
• Tất cả các quỹ đạo khác được tính theo $a_0$

Lưu ý quan trọng:

• Bán kính Bohr $a_0$ là hằng số, không đổi
• Các ký hiệu: $a_0 = r_1 = r_0$ (cùng ý nghĩa)

II. CÔNG THỨC BÁN KÍNH QUỸ ĐẠO

1. Công thức bán kính quỹ đạo thứ n

📌 CÔNG THỨC CƠ BẢN:

$$\boxed{r_n = n^2 a_0}$$

Hoặc viết dưới dạng:

$$\boxed{r_n = n^2 r_1}$$

Trong đó:

• $r_n$: Bán kính của quỹ đạo thứ n (m hoặc Å)
• $n$: Số lượng tử chính (n = 1, 2, 3, 4, 5, …)
• $a_0 = r_1 = 0.53 , Å = 5.3 \times 10^{-11} , m$ (bán kính Bohr)

Quy luật quan trọng:

Bán kính quỹ đạo tỉ lệ với bình phương của số lượng tử chính ($r_n \propto n^2$)

Giải thích:

• Quỹ đạo K (n=1): $r_1 = 1^2 \times a_0 = a_0$
• Quỹ đạo L (n=2): $r_2 = 2^2 \times a_0 = 4a_0$
• Quỹ đạo M (n=3): $r_3 = 3^2 \times a_0 = 9a_0$
• Khoảng cách giữa các quỹ đạo tăng nhanh theo n²

2. Bảng bán kính các quỹ đạo

Nhận xét:

• Bán kính tăng rất nhanh: $1a_0, 4a_0, 9a_0, 16a_0, 25a_0, …$
• Quỹ đạo L có bán kính gấp 4 lần quỹ đạo K
• Quỹ đạo M có bán kính gấp 9 lần quỹ đạo K

3. Ví dụ tính bán kính

Ví dụ 1: Tính bán kính quỹ đạo L (n = 2) của nguyên tử hydro.

Lời giải: $$r_2 = n^2 \times a_0 = 2^2 \times a_0 = 4a_0$$ $$r_2 = 4 \times 0.53 = 2.12 , Å$$

Kết luận: Bán kính quỹ đạo L là $4a_0 = 2.12 , Å$.

Ví dụ 2: Tính bán kính quỹ đạo M (n = 3) theo đơn vị mét.

Lời giải: $$r_3 = 3^2 \times a_0 = 9a_0$$ $$r_3 = 9 \times 5.3 \times 10^{-11} = 4.77 \times 10^{-10} , m$$

Kết luận: Bán kính quỹ đạo M là $9a_0 = 4.77 \times 10^{-10} , m$.

Ví dụ 3: Quỹ đạo N có bán kính gấp bao nhiêu lần quỹ đạo K?

Lời giải: $$\frac{r_4}{r_1} = \frac{4^2 \times a_0}{1^2 \times a_0} = \frac{16a_0}{a_0} = 16$$

Kết luận: Quỹ đạo N có bán kính gấp 16 lần quỹ đạo K.

III. CÔNG THỨC CHIỀU DÀI QUỸ ĐẠO

1. Công thức chiều dài quỹ đạo tròn

Vì electron chuyển động trên quỹ đạo tròn có bán kính $r_n$, chiều dài quỹ đạo chính là chu vi của đường tròn.

📌 CÔNG THỨC QUAN TRỌNG NHẤT:

$$\boxed{L_n = 2\pi r_n}$$

Thay $r_n = n^2 a_0$ vào:

$$\boxed{L_n = 2\pi n^2 a_0}$$

Hoặc viết dưới dạng tỉ lệ:

$$\boxed{L_n = n^2 L_1}$$

Trong đó:

• $L_n$: Chiều dài quỹ đạo thứ n (m hoặc Å)
• $r_n = n^2 a_0$: Bán kính quỹ đạo thứ n
• $L_1 = 2\pi a_0$: Chiều dài quỹ đạo K (quỹ đạo đầu tiên)
• $n$: Số lượng tử chính
• $\pi \approx 3.14159$

Đây chính là công thức TRẢ LỜI câu hỏi:

“Chiều dài quỹ đạo thứ n bằng mấy $a_0$?”

Trả lời: Chiều dài quỹ đạo thứ n bằng $2\pi n^2$ lần $a_0$.

2. Công thức chi tiết và giá trị số

Chiều dài quỹ đạo thứ n:

$$L_n = 2\pi n^2 a_0$$

Với $a_0 = 0.53 , Å$:

$$L_n = 2\pi n^2 \times 0.53 \approx 3.33 \times n^2 , \text{(Å)}$$

Với $a_0 = 5.3 \times 10^{-11} , m$:

$$L_n = 2\pi n^2 \times 5.3 \times 10^{-11} \approx 3.33 \times n^2 \times 10^{-10} , \text{(m)}$$

Lưu ý:

• Hệ số $2\pi \approx 6.28$
• $2\pi \times 0.53 \approx 3.33$

3. Bảng chiều dài các quỹ đạo

Quy luật: Chiều dài quỹ đạo tỉ lệ với $n^2$ ($L_n \propto n^2$)

So sánh:

• $L_2 = 4L_1$ (quỹ đạo L dài gấp 4 lần quỹ đạo K)
• $L_3 = 9L_1$ (quỹ đạo M dài gấp 9 lần quỹ đạo K)
• $L_4 = 16L_1$ (quỹ đạo N dài gấp 16 lần quỹ đạo K)

4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính chiều dài quỹ đạo K (n = 1).

Lời giải: $$L_1 = 2\pi \times 1^2 \times a_0 = 2\pi a_0$$ $$L_1 = 2\pi \times 0.53 \approx 3.33 , Å$$

Kết luận: Chiều dài quỹ đạo K là $2\pi a_0 \approx 3.33 , Å$.

Ví dụ 2: Tính chiều dài quỹ đạo L (n = 2).

Phương pháp 1: Dùng công thức trực tiếp $$L_2 = 2\pi \times 2^2 \times a_0 = 8\pi a_0$$ $$L_2 = 8\pi \times 0.53 \approx 13.32 , Å$$

Phương pháp 2: Dùng tỉ lệ $$L_2 = 2^2 \times L_1 = 4L_1 = 4 \times 3.33 = 13.32 , Å$$

Kết luận: Chiều dài quỹ đạo L là $8\pi a_0 \approx 13.32 , Å$.

Ví dụ 3: Chiều dài quỹ đạo M bằng mấy $a_0$?

Lời giải: $$L_3 = 2\pi \times 3^2 \times a_0 = 2\pi \times 9 \times a_0 = 18\pi a_0$$

Trả lời: Chiều dài quỹ đạo M bằng $18\pi a_0$ (hoặc xấp xỉ $56.55 a_0$).

Ví dụ 4: Tính chiều dài quỹ đạo N theo đơn vị mét.

Lời giải: $$L_4 = 2\pi \times 4^2 \times a_0 = 32\pi a_0$$ $$L_4 = 32\pi \times 5.3 \times 10^{-11}$$ $$L_4 = 32 \times 3.14159 \times 5.3 \times 10^{-11}$$ $$L_4 \approx 5.33 \times 10^{-9} , m$$

Kết luận: Chiều dài quỹ đạo N là $32\pi a_0 \approx 5.33 \times 10^{-9} , m = 53.3 , Å$.

IV. TRẢ LỜI CÂU HỎI: “CHIỀU DÀI QUỸ ĐẠO BẰNG MẤY $a_0$?”

1. Công thức tổng quát

Câu hỏi: Chiều dài quỹ đạo thứ n bằng mấy $a_0$?

Trả lời:

$$\boxed{L_n = 2\pi n^2 , a_0}$$

Vậy chiều dài quỹ đạo thứ n bằng $2\pi n^2$ lần $a_0$.

Hoặc tính giá trị số: $$L_n \approx 6.28 \times n^2 , a_0$$

2. Bảng tóm tắt đầy đủ

3. Cách nhớ nhanh (3 bước)

Bước 1: Xác định số lượng tử n của quỹ đạo

• Quỹ đạo K: n = 1
• Quỹ đạo L: n = 2
• Quỹ đạo M: n = 3
• …

Bước 2: Tính bình phương $n^2$

• $1^2 = 1$
• $2^2 = 4$
• $3^2 = 9$
• $4^2 = 16$
• $5^2 = 25$

Bước 3: Nhân với $2\pi a_0$ $$L_n = 2\pi n^2 a_0$$

Ví dụ: Quỹ đạo M (n = 3)

• Bước 1: n = 3
• Bước 2: $n^2 = 9$
• Bước 3: $L_3 = 2\pi \times 9 \times a_0 = 18\pi a_0$

4. So sánh chiều dài giữa các quỹ đạo

Công thức so sánh:

$$\boxed{\frac{L_m}{L_n} = \frac{m^2}{n^2}}$$

Ví dụ 1: So sánh chiều dài quỹ đạo L và K?

$$\frac{L_2}{L_1} = \frac{2^2}{1^2} = \frac{4}{1} = 4$$

Kết luận: Quỹ đạo L dài gấp 4 lần quỹ đạo K.

Ví dụ 2: So sánh chiều dài quỹ đạo N và M?

$$\frac{L_4}{L_3} = \frac{4^2}{3^2} = \frac{16}{9} \approx 1.78$$

Kết luận: Quỹ đạo N dài gấp 1.78 lần quỹ đạo M.

Ví dụ 3: Quỹ đạo M dài hơn quỹ đạo L bao nhiêu lần?

$$\frac{L_3}{L_2} = \frac{3^2}{2^2} = \frac{9}{4} = 2.25$$

Kết luận: Quỹ đạo M dài gấp 2.25 lần quỹ đạo L.

V. CÔNG THỨC LIÊN QUAN

1. Vận tốc electron trên quỹ đạo

Công thức:

$$\boxed{v_n = \frac{v_1}{n}}$$

Trong đó:

• $v_n$: Vận tốc electron trên quỹ đạo thứ n (m/s)
• $v_1 \approx 2.2 \times 10^6 , m/s$: Vận tốc trên quỹ đạo K
• $n$: Số lượng tử chính

Quy luật: Vận tốc giảm khi n tăng ($v_n \propto \frac{1}{n}$)

Giải thích: Electron ở quỹ đạo xa hạt nhân → lực hút yếu → vận tốc nhỏ hơn.

Ví dụ:

• Quỹ đạo K: $v_1 = 2.2 \times 10^6 , m/s$
• Quỹ đạo L: $v_2 = \frac{v_1}{2} = 1.1 \times 10^6 , m/s$
• Quỹ đạo M: $v_3 = \frac{v_1}{3} \approx 0.73 \times 10^6 , m/s$

2. Chu kỳ quay của electron

Định nghĩa: Chu kỳ T là thời gian electron hoàn thành một vòng quay quanh hạt nhân.

Công thức:

$$T_n = \frac{L_n}{v_n} = \frac{2\pi n^2 a_0}{v_1/n} = \frac{2\pi n^3 a_0}{v_1}$$

Hoặc:

$$\boxed{T_n = n^3 T_1}$$

Trong đó:

• $T_n$: Chu kỳ trên quỹ đạo thứ n (s)
• $T_1$: Chu kỳ trên quỹ đạo K
• $T_1 = \frac{2\pi a_0}{v_1} \approx 1.5 \times 10^{-16} , s$

Quy luật: Chu kỳ tỉ lệ với $n^3$ ($T_n \propto n^3$)

Ví dụ:

• $T_2 = 2^3 T_1 = 8T_1$
• $T_3 = 3^3 T_1 = 27T_1$

3. Tần số quay

Công thức:

$$\boxed{f_n = \frac{1}{T_n} = \frac{1}{n^3 T_1}}$$

Quy luật: Tần số tỉ lệ nghịch với $n^3$ ($f_n \propto \frac{1}{n^3}$)

Ví dụ:

• $f_2 = \frac{f_1}{8}$ (tần số quay ở L giảm 8 lần so với K)

4. Năng lượng quỹ đạo

Công thức:

$$\boxed{E_n = -\frac{13.6}{n^2} , \text{(eV)}}$$

Hoặc:

$$E_n = -\frac{13.6 , \text{eV}}{n^2}$$

Trong đó:

• $E_n$: Năng lượng electron trên quỹ đạo thứ n (eV)
• 13.6 eV: Năng lượng ion hóa hydro
• Dấu âm: Electron bị liên kết với hạt nhân

Giá trị năng lượng:

• $E_1 = -13.6 , eV$ (quỹ đạo K – năng lượng thấp nhất)
• $E_2 = -3.4 , eV$ (quỹ đạo L)
• $E_3 = -1.51 , eV$ (quỹ đạo M)
• $E_{\infty} = 0 , eV$ (electron thoát ra khỏi nguyên tử)

Quy luật: Năng lượng tăng (ít âm hơn) khi n tăng.

VI. BẢNG CÔNG THỨC TỔNG HỢP

A. Công thức chính

B. Mối liên hệ giữa các đại lượng

$$\boxed{L_n = 2\pi r_n = 2\pi n^2 a_0 = n^2 L_1}$$

Các quy luật tỉ lệ:

• $r_n \propto n^2$ (bán kính tỉ lệ bình phương n)
• $L_n \propto n^2$ (chiều dài tỉ lệ bình phương n)
• $v_n \propto \frac{1}{n}$ (vận tốc tỉ lệ nghịch với n)
• $T_n \propto n^3$ (chu kỳ tỉ lệ lập phương n)
• $E_n \propto -\frac{1}{n^2}$ (năng lượng tỉ lệ nghịch bình phương n)

C. Bảng giá trị các quỹ đạo

VII. MẸO VÀ LƯU Ý

1. Mẹo nhớ công thức

CÔNG THỨC CỐT LÕI:

Bán kính: $$\boxed{r_n = n^2 a_0}$$ Cách nhớ: “Bán kính bằng n bình phương nhân $a_0$”

Chiều dài: $$\boxed{L_n = 2\pi r_n = 2\pi n^2 a_0}$$ Cách nhớ: “Chiều dài = Chu vi đường tròn = 2 pi nhân bán kính”

NHỚ GIÁ TRỊ BÁN KÍNH BOHR:

$$\boxed{a_0 = 0.53 , Å = 5.3 \times 10^{-11} , m}$$

Cách nhớ: “Không năm ba” (0.53) hoặc “Năm ba” (53)

QUY TẮC TỈ LỆ:

Chiều dài quỹ đạo tỉ lệ với bình phương của n.

$$L_2 = 4L_1, \quad L_3 = 9L_1, \quad L_4 = 16L_1$$

2. Các sai lầm thường gặp

❌ SAI LẦM 1: Quên hệ số $2\pi$ trong công thức chiều dài

Sai:

• $L_n = n^2 a_0$ (thiếu $2\pi$)

Đúng:

• $L_n = 2\pi n^2 a_0$ ✓

Giải thích: Chiều dài là chu vi đường tròn: $L = 2\pi r$

❌ SAI LẦM 2: Nhầm công thức bán kính

Sai:

• $r_n = n \times a_0$ (thiếu bình phương)

Đúng:

• $r_n = n^2 a_0$ ✓

Lưu ý: Phải là n bình phương ($n^2$), không phải n.

❌ SAI LẦM 3: Quên đơn vị

Sai:

• Tính $L_n$ nhưng không ghi đơn vị

Đúng:

• Ghi rõ đơn vị: Å (Angstrom) hoặc m (mét) ✓

Chuyển đổi: $1 , Å = 10^{-10} , m$

❌ SAI LẦM 4: Nhầm công thức chiều dài

Sai:

• $L_n = \pi n^2 a_0$ (thiếu số 2)
• $L_n = 2n^2 a_0$ (thiếu $\pi$)

Đúng:

• $L_n = 2\pi n^2 a_0$ ✓

3. Quy trình giải bài tập (3 bước)

BƯỚC 1: XÁC ĐỊNH SỐ LƯỢNG TỬ n

• Đọc đề xác định quỹ đạo: K (n=1), L (n=2), M (n=3), N (n=4), O (n=5)

BƯỚC 2: ÁP DỤNG CÔNG THỨC

• Nếu tính bán kính: $r_n = n^2 a_0$
• Nếu tính chiều dài: $L_n = 2\pi n^2 a_0$

BƯỚC 3: TÍNH TOÁN VÀ GHI ĐƠN VỊ

• Thay số vào công thức
• Ghi rõ đơn vị kết quả (Å hoặc m)

4. Đơn vị và chuyển đổi

Đơn vị Angstrom: $$1 , Å = 10^{-10} , m = 0.1 , nm$$

Bán kính Bohr: $$a_0 = 0.53 , Å = 5.3 \times 10^{-11} , m$$

Chuyển đổi:

• Từ Å sang m: nhân $10^{-10}$
• Từ m sang Å: chia $10^{-10}$ (hoặc nhân $10^{10}$)

VIII. BÀI TẬP MẪU

Bài 1: Tính chiều dài quỹ đạo K

Đề bài: Tính chiều dài quỹ đạo K của nguyên tử hydro. Cho $a_0 = 0.53 , Å$.

Lời giải:

Quỹ đạo K có $n = 1$.

Áp dụng công thức: $$L_1 = 2\pi \times 1^2 \times a_0 = 2\pi \times a_0$$ $$L_1 = 2 \times 3.14159 \times 0.53 \approx 3.33 , Å$$

Kết luận: Chiều dài quỹ đạo K là $L_1 = 2\pi a_0 \approx 3.33 , Å$.

Bài 2: Chiều dài quỹ đạo M bằng mấy $a_0$?

Đề bài: Xác định chiều dài quỹ đạo M theo đơn vị $a_0$.

Lời giải:

Quỹ đạo M có $n = 3$.

Áp dụng công thức: $$L_3 = 2\pi \times 3^2 \times a_0 = 2\pi \times 9 \times a_0 = 18\pi a_0$$

Tính giá trị số: $$L_3 = 18 \times 3.14159 \times a_0 \approx 56.55 , a_0$$

Trả lời: Chiều dài quỹ đạo M bằng $18\pi a_0$ (hoặc xấp xỉ $56.55 , a_0$).

Bài 3: So sánh chiều dài

Đề bài: Chiều dài quỹ đạo N gấp mấy lần chiều dài quỹ đạo K?

Lời giải:

Áp dụng công thức so sánh: $$\frac{L_n}{L_1} = \frac{n^2}{1^2} = n^2$$

Với quỹ đạo N: $n = 4$ $$\frac{L_4}{L_1} = \frac{4^2}{1^2} = 16$$

Kết luận: Chiều dài quỹ đạo N gấp 16 lần chiều dài quỹ đạo K.

Bài 4: Tính bán kính và chiều dài

Đề bài: Xét quỹ đạo L của nguyên tử hydro. a) Bán kính quỹ đạo L bằng mấy $a_0$? b) Chiều dài quỹ đạo L bằng mấy $a_0$?

Lời giải:

Quỹ đạo L có $n = 2$.

Câu a) Bán kính: $$r_2 = 2^2 \times a_0 = 4a_0$$

Câu b) Chiều dài: $$L_2 = 2\pi \times r_2 = 2\pi \times 4a_0 = 8\pi a_0$$

Kết luận:

• a) Bán kính: $r_2 = 4a_0$
• b) Chiều dài: $L_2 = 8\pi a_0$ (hoặc $\approx 25.13 , a_0$)

Bài 5: Tính giá trị cụ thể

Đề bài: Tính chiều dài quỹ đạo N theo đơn vị mét. Cho $a_0 = 5.3 \times 10^{-11} , m$.

Lời giải:

Quỹ đạo N có $n = 4$.

Áp dụng công thức: $$L_4 = 2\pi \times 4^2 \times a_0 = 2\pi \times 16 \times a_0= 32\pi a_0$$

Thay số: $$L_4 = 32\pi \times 5.3 \times 10^{-11}$$ $$= 32 \times 3.14159 \times 5.3 \times 10^{-11}$$ $$\approx 5.33 \times 10^{-9} , m$$

Kết luận: Chiều dài quỹ đạo N là $L_4 = 32\pi a_0 \approx 5.33 \times 10^{-9} , m$ hoặc $53.3 , Å$.

Bài 6: Bài toán tổng hợp

Đề bài: Cho nguyên tử hydro có electron ở quỹ đạo M. a) Tính bán kính quỹ đạo (theo Å) b) Tính chiều dài quỹ đạo (theo Å) c) So sánh chiều dài quỹ đạo M với quỹ đạo L

Cho $a_0 = 0.53 , Å$.

Lời giải:

Câu a) Bán kính quỹ đạo M ($n = 3$): $$r_3 = 3^2 \times a_0 = 9 \times 0.53 = 4.77 , Å$$

Câu b) Chiều dài quỹ đạo M: $$L_3 = 2\pi \times r_3 = 2\pi \times 4.77 \approx 29.97 , Å$$

Hoặc: $$L_3 = 2\pi \times 9 \times a_0 = 18\pi \times 0.53 \approx 29.97 , Å$$

Câu c) So sánh với quỹ đạo L ($n = 2$): $$\frac{L_3}{L_2} = \frac{3^2}{2^2} = \frac{9}{4} = 2.25$$

Kết luận:

• a) Bán kính: $r_3 = 4.77 , Å$
• b) Chiều dài: $L_3 \approx 29.97 , Å$
• c) Quỹ đạo M dài gấp 2.25 lần quỹ đạo L

IX. KẾT LUẬN

Bài viết đã trình bày đầy đủ và chi tiết về công thức tính chiều dài quỹ đạo của electron:

Bán kính quỹ đạo: $$r_n = n^2 a_0$$

Chiều dài quỹ đạo: $$L_n = 2\pi n^2 a_0$$

Trả lời câu hỏi: Chiều dài quỹ đạo thứ n bằng $2\pi n^2$ lần $a_0$

6 bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Công thức liên quan: Vận tốc, chu kỳ, năng lượng

Cô Trần Thị Bình

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn Tổ Lý – Hóa – Sinh tại Edus

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Vật lý, Hoá Học, Bằng Thạc sĩ, Chức danh nghề nghiệp Giáo viên THPT – Hạng II, Tin học ứng dụng cơ bản, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 12+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Gia Định