I. GIỚI THIỆU VỀ TÍCH PHÂN

1. Tích phân là gì?

Tích phân là một trong những khái niệm cốt lõi của giải tích, đóng vai trò quan trọng trong toán học và các ứng dụng thực tế. Để hiểu một cách trực quan nhất, bạn có thể hình dung tích phân như việc tính tổng diện tích của vô số hình chữ nhật vô cùng nhỏ xếp sát nhau.

Định nghĩa trực quan: Khi bạn muốn tính diện tích một hình phẳng bất kỳ nằm dưới đường cong, bạn có thể chia nó thành nhiều hình chữ nhật nhỏ. Càng chia nhỏ, diện tích tính được càng chính xác. Khi số lượng hình chữ nhật tiến đến vô cùng (độ rộng mỗi hình tiến về 0), tổng diện tích của chúng chính là tích phân.

Mối quan hệ với nguyên hàm: Tích phân có mối liên hệ mật thiết với nguyên hàm. Nếu như nguyên hàm là quá trình tìm hàm gốc từ đạo hàm, thì tích phân xác định chính là việc sử dụng nguyên hàm đó để tính toán một giá trị cụ thể trên một đoạn nhất định.

Phân biệt hai loại tích phân:

• Tích phân bất định: Không có cận, kết quả là một họ hàm số có dạng F(x) + C
• Tích phân xác định: Có cận trên và cận dưới, kết quả là một số cụ thể

Ký hiệu chuẩn:

$$\int_a^b f(x)dx$$

Trong đó:

• ∫ là ký hiệu tích phân
• a là cận dưới
• b là cận trên
• f(x) là hàm số cần tích phân
• dx là vi phân của biến x

2. Lịch sử và nguồn gốc

Tích phân được phát triển độc lập bởi hai nhà toán học vĩ đại vào thế kỷ 17: Isaac Newton (người Anh) và Gottfried Wilhelm Leibniz (người Đức). Họ được coi là hai cha đẻ của giải tích học hiện đại.

Nguồn gốc từ ngữ: Từ “integral” trong tiếng Anh có nghĩa là “toàn bộ, tổng thể” – phản ánh ý tưởng cơ bản của tích phân là tính tổng của vô số phần tử nhỏ.

Ký hiệu đặc biệt: Ký hiệu ∫ do Leibniz đề xuất, xuất phát từ chữ S trong tiếng Latin “summa” có nghĩa là “tổng”. Đây là một ký hiệu vô cùng trực quan, thể hiện bản chất “tổng hợp” của tích phân.

3. Tại sao phải học tích phân?

Tích phân không chỉ là một phần quan trọng trong chương trình Toán 12 mà còn là công cụ thiết yếu trong nhiều lĩnh vực:

Trong toán học:

• Tính diện tích hình phẳng có dạng bất kỳ, không chỉ giới hạn ở các hình cơ bản
• Tính thể tích của các khối phức tạp, đặc biệt là khối tròn xoay
• Tìm độ dài đường cong

Trong vật lý:

• Tính quãng đường đi được khi biết vận tốc theo thời gian
• Tính công của lực biến đổi
• Tìm khối lượng vật thể có mật độ không đều

Trong kỹ thuật:

• Tính toán trong thiết kế xây dựng
• Phân tích mạch điện, tín hiệu
• Thiết kế các chi tiết máy

Trong kinh tế:

• Tính tổng lợi nhuận khi biết hàm lợi nhuận biên
• Phân tích chi phí và doanh thu

Trong xác suất thống kê:

• Tính xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục
• Tìm kỳ vọng và phương sai

Nền tảng cho toán cao cấp: Tích phân là bước đệm để học các khái niệm nâng cao như tích phân bội, tích phân đường, tích phân mặt trong toán đại học.

4. So sánh nguyên hàm và tích phân

Tiêu chí	Nguyên hàm	Tích phân xác định
Ký hiệu	$\int f(x)dx$	$\int_a^b f(x)dx$
Có cận	Không	Có (a, b)
Kết quả	Hàm số + C	Một số cụ thể
Ý nghĩa	Họ các hàm gốc	Diện tích, tổng
Hằng số C	Luôn có	Không có
Phụ thuộc biến	Có	Không (chỉ phụ thuộc cận)

Ví dụ minh họa:

• Nguyên hàm: $\int x^2 dx = \frac{x^3}{3} + C$
• Tích phân: $\int_0^2 x^2 dx = \frac{8}{3}$ (một số cụ thể)

5. Cấu trúc bài viết

Bài viết này được xây dựng theo cấu trúc logic từ cơ bản đến nâng cao:

Phần lý thuyết cơ bản:

• Định nghĩa chính thác về tích phân
• Công thức Newton-Leibniz – cầu nối giữa nguyên hàm và tích phân
• Các tính chất quan trọng của tích phân

Phương pháp tính:

• Phương pháp đổi biến số (dạng 1 và dạng 2)
• Phương pháp tích phân từng phần
• Các kỹ thuật đặc biệt

Tích phân các hàm đặc biệt:

• Hàm hữu tỉ
• Hàm vô tỉ (chứa căn)
• Hàm lượng giác

Ứng dụng thực tế:

• Tính diện tích hình phẳng
• Tính thể tích khối tròn xoay

Bài tập mẫu: Các ví dụ chi tiết kèm lời giải từng bước

II. ĐỊNH NGHĨA VÀ CÔNG THỨC TÍCH PHÂN

1. Khái niệm tích phân

Định nghĩa trực quan (Tổng Riemann)

Để hiểu bản chất của tích phân, chúng ta bắt đầu với khái niệm Tổng Riemann – một cách tiếp cận trực quan và dễ hình dung.

Ý tưởng: Chia đoạn [a, b] thành n phần nhỏ bằng nhau, mỗi phần có độ rộng:

$$\Delta x = \frac{b-a}{n}$$

Tại mỗi điểm $x_i$ trong mỗi phần nhỏ, ta tính giá trị $f(x_i)$ và nhân với độ rộng $\Delta x$ để có diện tích hình chữ nhật thứ i.

Diện tích xấp xỉ:

$$S \approx \sum_{i=1}^{n} f(x_i) \Delta x$$

Khi lấy giới hạn: Khi số phần chia n tiến tới vô cùng (tức $\Delta x \to 0$), tổng các hình chữ nhật sẽ tiến tới giá trị chính xác:

$$\int_a^b f(x)dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i) \Delta x$$

Ý nghĩa hình học

Tích phán $\int_a^b f(x)dx$ biểu diễn diện tích hình phẳng giới hạn bởi:

• Đồ thị hàm số y = f(x) phía trên
• Trục hoành (trục Ox) phía dưới
• Hai đường thẳng đứng x = a (bên trái) và x = b (bên phải)

Lưu ý quan trọng:

• Nếu f(x) > 0: diện tích có giá trị dương
• Nếu f(x) < 0: tích phân mang giá trị âm (diện tích “dưới trục hoành”)

Ví dụ minh họa

Bài toán: Tính $\int_0^2 x dx$ bằng hình học

Phân tích: Đồ thị y = x từ x = 0 đến x = 2 tạo thành một tam giác vuông:

• Đáy: từ 0 đến 2 (độ dài = 2)
• Chiều cao: y(2) = 2

Tính diện tích tam giác:

$$S = \frac{1}{2} \times \text{đáy} \times \text{cao} = \frac{1}{2} \times 2 \times 2 = 2$$

Kết luận: $\int_0^2 x dx = 2$

2. Định nghĩa tích phân (Định nghĩa chính thức)

Định nghĩa

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a, b]. Tích phân xác định của f(x) từ a đến b là:

$$\int_a^b f(x)dx = F(b) – F(a)$$

Trong đó F(x) là một nguyên hàm bất kỳ của f(x), tức là $F'(x) = f(x)$.

Ký hiệu và các thành phần

Ký hiệu đầy đủ: $\int_a^b f(x)dx$ hoặc $[F(x)]_a^b = F(b) – F(a)$

Các thành phần:

• a: cận dưới (giới hạn dưới của tích phân)
• b: cận trên (giới hạn trên của tích phân)
• f(x): hàm số dưới dấu tích phân (hàm bị tích phân)
• dx: vi phân của biến x, cho biết biến tích phân là x

3. Nhận xét quan trọng

Nhận xét 1: Độc lập với biến

Giá trị của tích phân không phụ thuộc vào chữ cái dùng làm biến:

$$\int_a^b f(x)dx = \int_a^b f(t)dt = \int_a^b f(u)du$$

Giải thích: Biến trong tích phân xác định chỉ là biến “giả”, kết quả cuối cùng chỉ phụ thuộc vào hàm f và hai cận a, b.

Nhận xét 2: Tích phân của hàm không âm

Nếu $f(x) \geq 0$ trên đoạn [a, b] thì:

$$\int_a^b f(x)dx = S$$

Trong đó S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y = f(x), trục Ox và hai đường x = a, x = b.

Nhận xét 3: Tích phân của hàm âm

Nếu $f(x) < 0$ trên đoạn [a, b] thì:

$$\int_a^b f(x)dx = -S$$

Trong đó S là diện tích (luôn dương). Tích phân mang dấu âm vì đồ thị nằm dưới trục hoành.

Nhận xét 4: Hàm đổi dấu

Khi tính diện tích hình phẳng mà f(x) đổi dấu trên [a, b], ta phải:

1. Tìm các điểm đổi dấu
2. Chia thành các đoạn con
3. Lấy trị tuyệt đối từng phần rồi cộng lại

Công thức:

$$S = \int_a^c |f(x)|dx + \int_c^b |f(x)|dx$$

4. Định lý Newton-Leibniz (Công thức cơ bản của giải tích)

Định lý

Định lý Newton-Leibniz: Nếu f(x) liên tục trên đoạn [a, b] và F(x) là một nguyên hàm của f(x), tức là $F'(x) = f(x)$, thì:

$$\int_a^b f(x)dx = F(b) – F(a) = [F(x)]_a^b$$

Ý nghĩa

Đây là định lý quan trọng nhất trong giải tích, được gọi là Định lý cơ bản của giải tích. Nó tạo ra cầu nối giữa hai phép toán ngược nhau:

• Đạo hàm: Từ hàm gốc tìm tốc độ biến thiên
• Tích phân: Từ tốc độ biến thiên tìm tổng tích lũy

Nhờ định lý này, việc tính tích phân xác định trở nên đơn giản: chỉ cần tìm nguyên hàm rồi thay cận.

Ví dụ 1: Tích phân hàm đa thức

Bài toán: Tính $\int_1^3 x^2 dx$

Lời giải:

Bước 1: Tìm nguyên hàm của $f(x) = x^2$

$$F(x) = \frac{x^3}{3}$$

Bước 2: Áp dụng công thức Newton-Leibniz

$$\int_1^3 x^2 dx = [F(x)]_1^3 = F(3) – F(1)$$

Bước 3: Tính giá trị

$$= \frac{3^3}{3} – \frac{1^3}{3} = \frac{27}{3} – \frac{1}{3} = 9 – \frac{1}{3} = \frac{26}{3}$$

Đáp số: $\dfrac{26}{3}$

Ví dụ 2: Tích phân hàm lượng giác

Bài toán: Tính $\int_0^\pi \sin x dx$

Lời giải:

Bước 1: Tìm nguyên hàm của $f(x) = \sin x$

$$F(x) = -\cos x$$

Bước 2: Áp dụng công thức Newton-Leibniz

$$\int_0^\pi \sin x dx = [-\cos x]_0^\pi$$

Bước 3: Tính giá trị tại các cận

$$= -\cos \pi – (-\cos 0) = -(-1) – (-1) = 1 + 1 = 2$$

Đáp số: 2

Ý nghĩa hình học: Đây chính là diện tích phần nằm trên trục hoành của đồ thị y = sin x từ 0 đến π.

5. Tính chất của tích phân

Tính chất 1: Đổi cận

$$\int_a^b f(x)dx = -\int_b^a f(x)dx$$

Giải thích: Khi đổi vị trí cận trên và cận dưới, tích phân đổi dấu.

Ví dụ:

$$\int_1^2 x dx = -\int_2^1 x dx$$

Ứng dụng: Tính chất này rất hữu ích khi đổi biến và cận mới có thứ tự ngược lại.

Tính chất 2: Cận bằng nhau

$$\int_a^a f(x)dx = 0$$

Giải thích: Khi cận trên bằng cận dưới, không có khoảng để tính, diện tích bằng 0.

Chứng minh:

$$\int_a^a f(x)dx = F(a) – F(a) = 0$$

Tính chất 3: Tích phân của tổng

$$\int_a^b [f(x) + g(x)]dx = \int_a^b f(x)dx + \int_a^b g(x)dx$$

Mở rộng: Tính chất này có thể mở rộng cho tổng nhiều hàm:

$$\int_a^b [f_1(x) + f_2(x) + \ldots + f_n(x)]dx = \int_a^b f_1(x)dx + \int_a^b f_2(x)dx + \ldots + \int_a^b f_n(x)dx$$

Ví dụ:

$$\int_0^1 (x^2 + x)dx = \int_0^1 x^2 dx + \int_0^1 x dx$$

$$= \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1 + \left[\frac{x^2}{2}\right]_0^1 = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{5}{6}$$

Tính chất 4: Nhân với hằng số

$$\int_a^b k \cdot f(x)dx = k \int_a^b f(x)dx$$

Trong đó k là hằng số.

Ví dụ:

$$\int_0^1 3x^2 dx = 3\int_0^1 x^2 dx = 3 \cdot \frac{1}{3} = 1$$

Lưu ý: Chỉ hằng số mới có thể đưa ra ngoài dấu tích phân, biến số không được.

Tính chất 5: Cộng cận (Tính chất Chasles)

$$\int_a^b f(x)dx = \int_a^c f(x)dx + \int_c^b f(x)dx$$

Với a < c < b (hoặc thứ tự bất kỳ nếu kết hợp với tính chất đổi dấu).

Ý nghĩa: Có thể chia một tích phân thành nhiều đoạn nhỏ hơn để tính toán thuận tiện.

Ứng dụng: Khi hàm f(x) đổi dấu hoặc có điểm gián đoạn, ta dùng tính chất này để chia nhỏ.

Ví dụ:

$$\int_0^2 |x-1|dx = \int_0^1 |x-1|dx + \int_1^2 |x-1|dx$$

$$= \int_0^1 (1-x)dx + \int_1^2 (x-1)dx$$

Tính chất 6: So sánh tích phân

Nếu $f(x) \leq g(x)$ với mọi $x \in [a, b]$ thì:

$$\int_a^b f(x)dx \leq \int_a^b g(x)dx$$

Ý nghĩa: Hàm lớn hơn thì diện tích lớn hơn.

Tính chất 7: Đánh giá tích phân

Nếu $m \leq f(x) \leq M$ với mọi $x \in [a, b]$ thì:

$$m(b-a) \leq \int_a^b f(x)dx \leq M(b-a)$$

Giải thích:

• $m(b-a)$: diện tích hình chữ nhật có chiều cao m
• $M(b-a)$: diện tích hình chữ nhật có chiều cao M
• Tích phân nằm giữa hai giá trị này

Tính chất 8: Giá trị tuyệt đối

$$\left|\int_a^b f(x)dx\right| \leq \int_a^b |f(x)|dx$$

Giải thích: Trị tuyệt đối của tích phân không vượt quá tích phân của trị tuyệt đối.

Tính chất 9: Hàm chẵn, hàm lẻ

Đối với hàm chẵn (f(-x) = f(x)):

$$\int_{-a}^a f(x)dx = 2\int_0^a f(x)dx$$

Đối với hàm lẻ (f(-x) = -f(x)):

$$\int_{-a}^a f(x)dx = 0$$

Ví dụ hàm chẵn:

$$\int_{-2}^2 x^2 dx = 2\int_0^2 x^2 dx = 2 \cdot \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2 = 2 \cdot \frac{8}{3} = \frac{16}{3}$$

Ví dụ hàm lẻ:

$$\int_{-3}^3 x^3 dx = 0$$

Vì $x^3$ là hàm lẻ, phần diện tích bên trái trục tung bù trừ với phần bên phải.

III. BẢNG CÔNG THỨC TÍCH PHÂN CƠ BẢN

Bảng công thức tổng hợp

Dưới đây là bảng công thức tích phân cơ bản được sử dụng thường xuyên nhất. Các công thức này được suy ra trực tiếp từ định lý Newton-Leibniz và bảng nguyên hàm cơ bản.

Hàm số f(x)	Tích phân $\int_a^b f(x)dx$
$k$ (hằng số)	$k(b-a)$
$x^n$ (n ≠ -1)	$\left[\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\right]_a^b$
$\dfrac{1}{x}$	$[\ln|x|]_a^b$
$e^x$	$[e^x]_a^b$
$a^x$ (a > 0, a ≠ 1)	$\left[\dfrac{a^x}{\ln a}\right]_a^b$
$\sin x$	$[-\cos x]_a^b$
$\cos x$	$[\sin x]_a^b$
$\dfrac{1}{\cos^2 x}$	$[\tan x]_a^b$
$\dfrac{1}{\sin^2 x}$	$[-\cot x]_a^b$
$\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$	$[\arcsin x]_a^b$
$\dfrac{1}{1+x^2}$	$[\arctan x]_a^b$

Lưu ý quan trọng:

• Với $x^n$: công thức chỉ áp dụng khi $n \neq -1$
• Với $\dfrac{1}{x}$: cần chú ý điều kiện x ≠ 0, và phải xét dấu trị tuyệt đối
• Các công thức lượng giác cần chú ý miền xác định

Ví dụ áp dụng

Ví dụ 1: Tích phân đa thức

Bài toán: Tính $\int_0^2 (x^3 – 2x + 1)dx$

Lời giải:

Áp dụng tính chất tích phân của tổng và công thức cơ bản:

$$\int_0^2 (x^3 – 2x + 1)dx = \int_0^2 x^3 dx – 2\int_0^2 x dx + \int_0^2 1 dx$$

$$= \left[\frac{x^4}{4}\right]_0^2 – 2\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^2 + [x]_0^2$$

$$= \left[\frac{x^4}{4} – x^2 + x\right]_0^2$$

$$= \left(\frac{16}{4} – 4 + 2\right) – (0 – 0 + 0)$$

$$= 4 – 4 + 2 = 2$$

Đáp số: 2

Ví dụ 2: Tích phân logarit

Bài toán: Tính $\int_1^e \frac{1}{x}dx$

Lời giải:

Áp dụng công thức $\int \dfrac{1}{x}dx = \ln|x| + C$:

$$\int_1^e \frac{1}{x}dx = [\ln x]_1^e$$

(Không cần trị tuyệt đối vì x > 0 trên [1, e])

$$= \ln e – \ln 1 = 1 – 0 = 1$$

Đáp số: 1

Ý nghĩa: Diện tích dưới đường cong $y = \dfrac{1}{x}$ từ 1 đến e bằng đúng 1 đơn vị.

Ví dụ 3: Tích phân lượng giác

Bài toán: Tính $\int_0^{\pi/4} \frac{1}{\cos^2 x}dx$

Lời giải:

Nhận biết: $\dfrac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x$, có nguyên hàm là tan x

$$\int_0^{\pi/4} \frac{1}{\cos^2 x}dx = [\tan x]_0^{\pi/4}$$

$$= \tan\frac{\pi}{4} – \tan 0 = 1 – 0 = 1$$

Đáp số: 1

IV. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ

Phương pháp đổi biến số là một trong những kỹ thuật quan trọng nhất để tính tích phân. Ý tưởng cốt lõi là biến đổi tích phân phức tạp thành tích phân đơn giản hơn bằng cách thay đổi biến số.

1. Phương pháp đổi biến số dạng 1

Định lý

Nếu hàm $u = u(x)$ có đạo hàm liên tục trên [a, b] và hàm f liên tục trên tập giá trị của u, thì:

$$\int_a^b f(u(x)) \cdot u'(x)dx = \int_{u(a)}^{u(b)} f(u)du$$

Phương pháp chung (6 bước)

Bước 1: Đặt $u = u(x)$ (chọn biểu thức phù hợp trong hàm số)

Bước 2: Tính vi phân: $du = u'(x)dx$

Bước 3: Đổi cận:

• Khi $x = a \Rightarrow u = u(a)$ (cận dưới mới)
• Khi $x = b \Rightarrow u = u(b)$ (cận trên mới)

Bước 4: Thay thế hoàn toàn: biến đổi tích phân theo biến u

$$\int_{u(a)}^{u(b)} f(u)du$$

Bước 5: Tính tích phân theo biến u

Bước 6: Thay cận và tính kết quả cuối cùng

⚠️ LƯU Ý QUAN TRỌNG: Sau khi đổi biến và đổi cận, ta KHÔNG CẦN thay u về x nữa, mà tính trực tiếp với cận mới.

Ví dụ 1: Đổi biến với hàm lũy thừa

Bài toán: Tính $\int_0^1 x(x^2+1)^{10}dx$

Lời giải:

Bước 1: Đặt $u = x^2 + 1$

Bước 2: Tính vi phân: $$du = 2x dx \Rightarrow x dx = \frac{du}{2}$$

Bước 3: Đổi cận:

• Khi $x = 0 \Rightarrow u = 0^2 + 1 = 1$
• Khi $x = 1 \Rightarrow u = 1^2 + 1 = 2$

Bước 4: Thay vào tích phân:

$$\int_0^1 x(x^2+1)^{10}dx = \int_1^2 u^{10} \cdot \frac{du}{2}$$

Bước 5: Tính tích phân:

$$= \frac{1}{2}\int_1^2 u^{10}du = \frac{1}{2}\left[\frac{u^{11}}{11}\right]_1^2$$

Bước 6: Thay cận:

$$= \frac{1}{22}[u^{11}]_1^2 = \frac{1}{22}(2^{11} – 1^{11}) = \frac{2048 – 1}{22} = \frac{2047}{22}$$

Đáp số: $\dfrac{2047}{22}$

Ví dụ 2: Đổi biến với hàm lượng giác

Bài toán: Tính $\int_0^{\pi/2} \sin x \cos^3 x dx$

Lời giải:

Bước 1: Đặt $u = \cos x$

Bước 2: Tính vi phân: $$du = -\sin x dx \Rightarrow \sin x dx = -du$$

Bước 3: Đổi cận:

• Khi $x = 0 \Rightarrow u = \cos 0 = 1$
• Khi $x = \dfrac{\pi}{2} \Rightarrow u = \cos\dfrac{\pi}{2} = 0$

Bước 4: Thay vào tích phân:

$$\int_0^{\pi/2} \sin x \cos^3 x dx = \int_1^0 u^3(-du)$$

Bước 5: Biến đổi:

$$= -\int_1^0 u^3 du = \int_0^1 u^3 du$$

(Đổi dấu khi đổi thứ tự cận)

Bước 6: Tính:

$$= \left[\frac{u^4}{4}\right]_0^1 = \frac{1}{4} – 0 = \frac{1}{4}$$

Đáp số: $\dfrac{1}{4}$

Ví dụ 3: Đổi biến với hàm mũ

Bài toán: Tính $\int_1^2 \frac{e^{1/x}}{x^2}dx$

Lời giải:

Bước 1: Đặt $u = \dfrac{1}{x}$

Bước 2: Tính vi phân: $$du = -\frac{1}{x^2}dx \Rightarrow \frac{1}{x^2}dx = -du$$

Bước 3: Đổi cận:

• Khi $x = 1 \Rightarrow u = 1$
• Khi $x = 2 \Rightarrow u = \dfrac{1}{2}$

Bước 4: Thay vào:

$$\int_1^2 \frac{e^{1/x}}{x^2}dx = \int_1^{1/2} e^u(-du)$$

Bước 5: Biến đổi:

$$= -\int_1^{1/2} e^u du = \int_{1/2}^1 e^u du$$

Bước 6: Tính:

$$= [e^u]_{1/2}^1 = e^1 – e^{1/2} = e – \sqrt{e}$$

Đáp số: $e – \sqrt{e}$

2. Phương pháp đổi biến số dạng 2

Định lý

Cho hàm $x = \varphi(t)$ có đạo hàm liên tục trên [α, β], với $\varphi(\alpha) = a$ và $\varphi(\beta) = b$. Nếu f liên tục trên [a, b] thì:

$$\int_a^b f(x)dx = \int_\alpha^\beta f(\varphi(t)) \cdot \varphi'(t)dt$$

Khác biệt với dạng 1:

• Dạng 1: Đặt u theo x ($u = u(x)$)
• Dạng 2: Đặt x theo t ($x = \varphi(t)$)

Phương pháp chung

Bước 1: Đặt $x = \varphi(t)$ (thường để khử căn hoặc đơn giản hóa)

Bước 2: Tính $dx = \varphi'(t)dt$

Bước 3: Đổi cận:

• $x = a \Rightarrow t = \alpha$
• $x = b \Rightarrow t = \beta$

Bước 4: Biểu diễn f(x) theo t: thay $x = \varphi(t)$ vào f(x)

Bước 5: Tính tích phân theo t và thay cận

Các dạng đổi biến thường gặp

Gặp biểu thức	Đặt	Mục đích
$\sqrt{a^2 – x^2}$	$x = a\sin t$ hoặc $x = a\cos t$	Khử căn bằng $\cos^2 t = 1 – \sin^2 t$
$\sqrt{x^2 + a^2}$	$x = a\tan t$	Khử căn bằng $1 + \tan^2 t = \dfrac{1}{\cos^2 t}$
$\sqrt{x^2 – a^2}$	$x = \dfrac{a}{\cos t}$	Khử căn bằng $\dfrac{1}{\cos^2 t} – 1 = \tan^2 t$
$\dfrac{1}{(x^2+a^2)^n}$	$x = a\tan t$	Đơn giản mẫu

Ví dụ 4: Tính diện tích hình tròn

Bài toán: Tính $\int_0^a \sqrt{a^2-x^2} dx$ (a > 0)

Lời giải:

Bước 1: Đặt $x = a\sin t$

Bước 2: Tính $dx = a\cos t dt$

Biểu thức dưới căn: $$\sqrt{a^2-x^2} = \sqrt{a^2 – a^2\sin^2 t} = \sqrt{a^2(1-\sin^2 t)} = a\sqrt{\cos^2 t} = a|\cos t| = a\cos t$$

(Vì t ∈ [0, π/2] nên cos t ≥ 0)

Bước 3: Đổi cận:

• Khi $x = 0$: $\sin t = 0 \Rightarrow t = 0$
• Khi $x = a$: $\sin t = 1 \Rightarrow t = \dfrac{\pi}{2}$

Bước 4: Thay vào:

$$\int_0^a \sqrt{a^2-x^2} dx = \int_0^{\pi/2} a\cos t \cdot a\cos t dt$$

$$= a^2\int_0^{\pi/2} \cos^2 t dt$$

Bước 5: Dùng công thức hạ bậc: $\cos^2 t = \dfrac{1+\cos 2t}{2}$

$$= a^2\int_0^{\pi/2} \frac{1+\cos 2t}{2}dt$$

$$= \frac{a^2}{2}\int_0^{\pi/2} (1+\cos 2t)dt$$

$$= \frac{a^2}{2}\left[t + \frac{\sin 2t}{2}\right]_0^{\pi/2}$$

Bước 6: Tính:

$$= \frac{a^2}{2}\left[\left(\frac{\pi}{2} + \frac{\sin \pi}{2}\right) – \left(0 + \frac{\sin 0}{2}\right)\right]$$

$$= \frac{a^2}{2}\left(\frac{\pi}{2} + 0 – 0\right) = \frac{\pi a^2}{4}$$

Đáp số: $\dfrac{\pi a^2}{4}$

Ý nghĩa hình học: Đây chính là công thức diện tích 1/4 hình tròn bán kính a!

Ví dụ 5: Công thức nguyên hàm cơ bản

Bài toán: Tính $\int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$

Lời giải:

Nhận ra công thức: Đây là dạng cơ bản với nguyên hàm là arcsin x

$$\int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = [\arcsin x]_0^1$$

$$= \arcsin 1 – \arcsin 0 = \frac{\pi}{2} – 0 = \frac{\pi}{2}$$

Đáp số: $\dfrac{\pi}{2}$

V. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

Phương pháp tích phân từng phần là một kỹ thuật quan trọng, đặc biệt hữu ích khi tích phân chứa tích của hai hàm số thuộc hai loại khác nhau (ví dụ: đa thức nhân với mũ, đa thức nhân với lượng giác, logarit nhân với đa thức).

1. Định lý tích phân từng phần

Định lý

Nếu u(x) và v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên [a, b], thì:

$$\int_a^b u(x)v'(x)dx = [u(x)v(x)]_a^b – \int_a^b u'(x)v(x)dx$$

Hoặc viết dưới dạng ngắn gọn:

$$\int_a^b u , dv = [uv]_a^b – \int_a^b v , du$$

Ý tưởng: Biến đổi tích phân khó thành tích phân dễ hơn bằng cách “chuyển đạo hàm” từ hàm này sang hàm kia.

2. Phương pháp chung (5 bước)

Bước 1: Chọn u và dv

• u: hàm dễ tính đạo hàm (đạo hàm càng đơn giản càng tốt)
• dv: phần còn lại (phải tìm được nguyên hàm)

Bước 2: Tính du và v

• $du = u'(x)dx$
• $v = \int dv$

Bước 3: Áp dụng công thức

$$\int_a^b u , dv = [uv]_a^b – \int_a^b v , du$$

Bước 4: Tính tích phân mới $\int_a^b v , du$

Bước 5: Tính [uv] tại cận và kết luận

3. Cách đặt u và dv (Quy tắc LIATE)

Quy tắc LIATE giúp bạn chọn hàm nào nên đặt làm u theo thứ tự ưu tiên:

1. Logarithmic (Logarit): ln x, log x
2. Inverse trigonometric (Hàm lượng giác ngược): arcsin x, arctan x, arccos x
3. Algebraic (Đại số): x, x², x³, đa thức
4. Trigonometric (Lượng giác): sin x, cos x, tan x
5. Exponential (Mũ): $e^x$, $a^x$

Nguyên tắc: Hàm nào ở trên trong danh sách LIATE sẽ được chọn làm u, phần còn lại là dv.

Ví dụ:

• $\int xe^x dx$: chọn u = x (A), dv = $e^x$dx (E)
• $\int x\sin x dx$: chọn u = x (A), dv = sin x dx (T)
• $\int \ln x dx$: chọn u = ln x (L), dv = dx

4. Các dạng tích phân từng phần

Dạng 1: ∫P(x)e^(ax)dx

Với P(x) là đa thức.

Phương pháp:

• Đặt u = P(x), dv = $e^{ax}$dx
• Có thể phải áp dụng từng phần nhiều lần nếu bậc của P(x) cao

Ví dụ 1: Tính $\int_0^1 xe^x dx$

Lời giải:

Bước 1: Chọn u và dv

• $u = x$ (đạo hàm đơn giản)
• $dv = e^x dx$

Bước 2: Tính du và v

• $du = dx$
• $v = \int e^x dx = e^x$

Bước 3: Áp dụng công thức

$$\int_0^1 xe^x dx = [xe^x]_0^1 – \int_0^1 e^x dx$$

Bước 4: Tính tích phân còn lại

$$= [xe^x]_0^1 – [e^x]_0^1$$

Bước 5: Thay cận

$$= (1 \cdot e^1 – 0 \cdot e^0) – (e^1 – e^0)$$

$$= e – (e – 1) = e – e + 1 = 1$$

Đáp số: 1

Dạng 2: ∫P(x)sin(ax)dx, ∫P(x)cos(ax)dx

Phương pháp:

• Đặt u = P(x), dv = sin(ax)dx hoặc cos(ax)dx

Ví dụ 2: Tính $\int_0^\pi x\sin x dx$

Lời giải:

Bước 1: Chọn

• $u = x$
• $dv = \sin x dx$

Bước 2: Tính

• $du = dx$
• $v = -\cos x$

Bước 3: Áp dụng công thức

$$\int_0^\pi x\sin x dx = [x(-\cos x)]_0^\pi – \int_0^\pi (-\cos x)dx$$

$$= [-x\cos x]_0^\pi + \int_0^\pi \cos x dx$$

Bước 4: Tính

$$= [-x\cos x]_0^\pi + [\sin x]_0^\pi$$

Bước 5: Thay cận

$$= [-\pi\cos\pi – 0] + [\sin\pi – \sin 0]$$

$$= [-\pi \cdot (-1)] + [0 – 0]$$

$$= \pi$$

Đáp số: π

Dạng 3: ∫ln(x)dx, ∫arctan(x)dx

Phương pháp:

• Đặt u = ln x (hoặc arctan x), dv = dx
• Đây là trường hợp đặc biệt: chỉ có “một hàm số”

Ví dụ 3: Tính $\int_1^e \ln x dx$

Lời giải:

Bước 1: Chọn

• $u = \ln x$
• $dv = dx$

Bước 2: Tính

• $du = \dfrac{1}{x}dx$
• $v = x$

Bước 3: Áp dụng công thức

$$\int_1^e \ln x dx = [x\ln x]_1^e – \int_1^e x \cdot \frac{1}{x}dx$$

$$= [x\ln x]_1^e – \int_1^e 1 dx$$

Bước 4: Tính

$$= [x\ln x]_1^e – [x]_1^e$$

Bước 5: Thay cận

$$= (e \cdot \ln e – 1 \cdot \ln 1) – (e – 1)$$

$$= (e \cdot 1 – 1 \cdot 0) – (e – 1)$$

$$= e – e + 1 = 1$$

Đáp số: 1

Dạng 4: ∫e^(ax)sin(bx)dx, ∫e^(ax)cos(bx)dx (Dạng vòng)

Đây là dạng đặc biệt: phải áp dụng từng phần hai lần để tạo ra phương trình chứa chính tích phân ban đầu.

Ví dụ 4: Tính $\int_0^\pi e^x \sin x dx$

Lời giải:

Đặt $I = \int_0^\pi e^x \sin x dx$

Từng phần lần 1:

• $u = \sin x$, $dv = e^x dx$
• $du = \cos x dx$, $v = e^x$

$$I = [e^x \sin x]_0^\pi – \int_0^\pi e^x \cos x dx \quad (*)$$

Từng phần lần 2: Tính $\int_0^\pi e^x \cos x dx$

• $u = \cos x$, $dv = e^x dx$
• $du = -\sin x dx$, $v = e^x$

$$\int_0^\pi e^x \cos x dx = [e^x \cos x]_0^\pi – \int_0^\pi e^x(-\sin x)dx$$

$$= [e^x \cos x]_0^\pi + \int_0^\pi e^x \sin x dx$$

$$= [e^x \cos x]_0^\pi + I \quad (**)$$

Thay () vào (*):**

$$I = [e^x \sin x]_0^\pi – ([e^x \cos x]_0^\pi + I)$$

$$I = [e^x \sin x]_0^\pi – [e^x \cos x]_0^\pi – I$$

$$2I = [e^x \sin x]_0^\pi – [e^x \cos x]_0^\pi$$

Tính giá trị tại cận:

$$2I = (e^\pi \cdot \sin\pi – e^0 \cdot \sin 0) – (e^\pi \cdot \cos\pi – e^0 \cdot \cos 0)$$

$$2I = (e^\pi \cdot 0 – 1 \cdot 0) – (e^\pi \cdot (-1) – 1 \cdot 1)$$

$$2I = 0 – (-e^\pi – 1) = e^\pi + 1$$

$$I = \frac{e^\pi + 1}{2}$$

Đáp số: $\dfrac{e^\pi + 1}{2}$

VI. TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỈ

Định nghĩa: Hàm hữu tỉ có dạng $f(x) = \dfrac{P(x)}{Q(x)}$ trong đó P(x) và Q(x) là các đa thức.

Dạng 1: Bậc tử ≥ Bậc mẫu

Phương pháp: Chia đa thức trước khi tích phân

Nguyên tắc: Khi bậc của tử số lớn hơn hoặc bằng bậc của mẫu số, ta thực hiện phép chia đa thức để đưa về dạng:

$$\frac{P(x)}{Q(x)} = T(x) + \frac{R(x)}{Q(x)}$$

Trong đó T(x) là thương và R(x) là phần dư (bậc R < bậc Q).

Ví dụ: Tính $\int_0^1 \frac{x^3}{x+1}dx$

Lời giải:

Bước 1: Chia đa thức $x^3$ cho $x+1$:

$$\frac{x^3}{x+1} = x^2 – x + 1 – \frac{1}{x+1}$$

Bước 2: Tính tích phân:

$$\int_0^1 \frac{x^3}{x+1}dx = \int_0^1 \left(x^2 – x + 1 – \frac{1}{x+1}\right)dx$$

$$= \int_0^1 (x^2 – x + 1)dx – \int_0^1 \frac{1}{x+1}dx$$

$$= \left[\frac{x^3}{3} – \frac{x^2}{2} + x\right]_0^1 – [\ln|x+1|]_0^1$$

$$= \left(\frac{1}{3} – \frac{1}{2} + 1 – 0\right) – (\ln 2 – \ln 1)$$

$$= \frac{2 – 3 + 6}{6} – \ln 2 = \frac{5}{6} – \ln 2$$

Đáp số: $\dfrac{5}{6} – \ln 2$

Dạng 2: Phân tích tử thành đạo hàm của mẫu

Công thức cơ bản:

$$\int \frac{Q'(x)}{Q(x)}dx = \ln|Q(x)| + C$$

Khi nào áp dụng: Khi tử số là đạo hàm (hoặc bội số của đạo hàm) của mẫu số.

Ví dụ: Tính $\int_0^1 \frac{2x+1}{x^2+x+1}dx$

Lời giải:

Nhận xét: $(x^2+x+1)’ = 2x + 1$ – tử số chính là đạo hàm của mẫu!

$$\int_0^1 \frac{2x+1}{x^2+x+1}dx = [\ln(x^2+x+1)]_0^1$$

(Không cần trị tuyệt đối vì $x^2+x+1 > 0$ với mọi x)

$$= \ln(1+1+1) – \ln(0+0+1) = \ln 3 – \ln 1 = \ln 3$$

Đáp số: ln 3

Dạng 3: Tách thành tổng hai phân thức

Phương pháp: Khi tử có dạng ax + b và mẫu có dạng $cx^2+dx+e$, ta tách:

$$\frac{ax+b}{cx^2+dx+e} = \alpha \cdot \frac{(cx^2+dx+e)’}{cx^2+dx+e} + \beta \cdot \frac{1}{cx^2+dx+e}$$

Mục tiêu:

• Phần thứ nhất: dạng $\dfrac{Q’}{Q}$ → ln
• Phần thứ hai: dạng $\dfrac{1}{u^2+a^2}$ → arctan

Ví dụ: Tính $\int_0^1 \frac{3x+2}{x^2+1}dx$

Lời giải:

Bước 1: Tách phân thức:

$$\frac{3x+2}{x^2+1} = \frac{3x}{x^2+1} + \frac{2}{x^2+1}$$

Bước 2: Tính từng phần:

$$\int_0^1 \frac{3x+2}{x^2+1}dx = \int_0^1 \frac{3x}{x^2+1}dx + \int_0^1 \frac{2}{x^2+1}dx$$

Phần 1: $\int_0^1 \dfrac{3x}{x^2+1}dx$

Nhận xét: $(x^2+1)’ = 2x$, nên $3x = \dfrac{3}{2} \cdot 2x$

$$\int_0^1 \frac{3x}{x^2+1}dx = \frac{3}{2}\int_0^1 \frac{2x}{x^2+1}dx = \frac{3}{2}[\ln(x^2+1)]_0^1$$

$$= \frac{3}{2}(\ln 2 – \ln 1) = \frac{3\ln 2}{2}$$

Phần 2: $\int_0^1 \dfrac{2}{x^2+1}dx$

$$= 2\int_0^1 \frac{1}{x^2+1}dx = 2[\arctan x]_0^1$$

$$= 2(\arctan 1 – \arctan 0) = 2 \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$$

Kết quả:

$$\int_0^1 \frac{3x+2}{x^2+1}dx = \frac{3\ln 2}{2} + \frac{\pi}{2}$$

Đáp số: $\dfrac{3\ln 2}{2} + \dfrac{\pi}{2}$

Dạng 4: Phân tích thành phân thức tối giản

Phương pháp: Phân tích mẫu thành tích các nhân tử, sau đó dùng phương pháp hệ số bất định.

Ví dụ: Tính $\int_2^3 \frac{1}{x^2-1}dx$

Lời giải:

Bước 1: Phân tích mẫu:

$$x^2-1 = (x-1)(x+1)$$

Bước 2: Phân tích phân thức:

$$\frac{1}{x^2-1} = \frac{1}{(x-1)(x+1)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+1}$$

Bước 3: Tìm A, B:

$$1 = A(x+1) + B(x-1)$$

Cho $x = 1$: $1 = 2A \Rightarrow A = \dfrac{1}{2}$

Cho $x = -1$: $1 = -2B \Rightarrow B = -\dfrac{1}{2}$$

$$\Rightarrow \frac{1}{x^2-1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x-1} – \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x+1}$$

Bước 4: Tính tích phân:

$$\int_2^3 \frac{1}{x^2-1}dx = \frac{1}{2}\int_2^3 \frac{1}{x-1}dx – \frac{1}{2}\int_2^3 \frac{1}{x+1}dx$$

$$= \frac{1}{2}[\ln|x-1|]_2^3 – \frac{1}{2}[\ln|x+1|]_2^3$$

$$= \frac{1}{2}(\ln 2 – \ln 1) – \frac{1}{2}(\ln 4 – \ln 3)$$

$$= \frac{1}{2}\ln 2 – \frac{1}{2}\ln\frac{4}{3}$$

$$= \frac{1}{2}\ln 2 – \frac{1}{2}\ln\frac{4}{3} = \frac{1}{2}\left(\ln 2 – \ln\frac{4}{3}\right)$$

$$= \frac{1}{2}\ln\frac{2 \cdot 3}{4} = \frac{1}{2}\ln\frac{6}{4} = \frac{1}{2}\ln\frac{3}{2}$$

Đáp số: $\dfrac{1}{2}\ln\dfrac{3}{2}$

VII. TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỈ

Định nghĩa: Hàm vô tỉ là hàm chứa căn thức hoặc lũy thừa phân số.

Dạng 1: $\int R(x, \sqrt{ax+b})dx$

Phương pháp: Đặt $t = \sqrt{ax+b}$ để khử căn

Ví dụ: Tính $\int_0^3 \frac{dx}{\sqrt{x+1}}$

Lời giải:

Bước 1: Đặt $t = \sqrt{x+1}$

Bước 2: Suy ra:

• $t^2 = x + 1$
• $x = t^2 – 1$
• $dx = 2t , dt$

Bước 3: Đổi cận:

• Khi $x = 0 \Rightarrow t = \sqrt{1} = 1$
• Khi $x = 3 \Rightarrow t = \sqrt{4} = 2$

Bước 4: Thay vào:

$$\int_0^3 \frac{dx}{\sqrt{x+1}} = \int_1^2 \frac{2t , dt}{t} = \int_1^2 2 , dt$$

Bước 5: Tính:

$$= [2t]_1^2 = 4 – 2 = 2$$

Đáp số: 2

Dạng 2: $\int R(x, \sqrt{x^2 \pm a^2})dx$ hoặc $\int R(x, \sqrt{a^2-x^2})dx$

Phương pháp: Đổi biến lượng giác (dạng 2) như đã trình bày ở phần IV.

Các công thức thường dùng:

• $\sqrt{a^2-x^2}$: đặt $x = a\sin t$
• $\sqrt{x^2+a^2}$: đặt $x = a\tan t$
• $\sqrt{x^2-a^2}$: đặt $x = \dfrac{a}{\cos t}$

Dạng 3: $\int \frac{dx}{(ax+b)\sqrt{cx+d}}$

Phương pháp: Đặt $t = \sqrt{cx+d}$

Ý tưởng: Biến đổi về tích phân hữu tỉ sau khi đặt ẩn phụ.

Dạng 4: $\int R(x, \sqrt[n]{ax+b})dx$

Phương pháp: Đặt $t = \sqrt[n]{ax+b}$, tức là $t^n = ax+b$

Lưu ý: Sau khi đặt, tính được $x$ theo $t$ và $dx$ theo $dt$, sau đó đổi cận.

VIII. TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC

Công Thức Cộng

$$\sin(a \pm b) = \sin a \cos b \pm \cos a \sin b$$

$$\cos(a + b) = \cos a \cos b – \sin a \sin b$$ $$\cos(a – b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b$$

$$\tan(a \pm b) = \frac{\tan a \pm \tan b}{1 \mp \tan a \tan b}$$

Công thức nhân đôi

$$\sin 2x = 2\sin x \cos x$$

$$\cos 2x = \cos^2 x – \sin^2 x = 2\cos^2 x – 1 = 1 – 2\sin^2 x$$

$$\tan 2x = \frac{2\tan x}{1 – \tan^2 x}$$

Công thức hạ bậc

$$\sin^2 x = \frac{1 – \cos 2x}{2}$$

$$\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$$

$$\tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x} – 1$$

$$\sin^3 x = \frac{3\sin x – \sin 3x}{4}$$

$$\cos^3 x = \frac{3\cos x + \cos 3x}{4}$$

$$\sin^4 x = \frac{3 – 4\cos 2x + \cos 4x}{8}$$

$$\cos^4 x = \frac{3 + 4\cos 2x + \cos 4x}{8}$$

Công thức tính theo t (Công thức vạn năng)

Đặt $t = \tan\dfrac{x}{2}$, ta có:

$$\sin x = \frac{2t}{1 + t^2}$$

$$\cos x = \frac{1 – t^2}{1 + t^2}$$

$$\tan x = \frac{2t}{1 – t^2}$$

$$dx = \frac{2dt}{1 + t^2}$$

Ứng dụng: Biến đổi tích phân hàm lượng giác thành tích phân hàm hữu tỉ.

Công thức biến đổi tích thành tổng

$$\sin a \cos b = \frac{1}{2}[\sin(a+b) + \sin(a-b)]$$

$$\cos a \cos b = \frac{1}{2}[\cos(a-b) + \cos(a+b)]$$

$$\sin a \sin b = \frac{1}{2}[\cos(a-b) – \cos(a+b)]$$

Ứng dụng: Tính tích phân dạng $\int \sin ax \cos bx , dx$, $\int \cos ax \cos bx , dx$, $\int \sin ax \sin bx , dx$.

Công thức biến đổi tổng thành tích

$$\sin a + \sin b = 2\sin\frac{a+b}{2}\cos\frac{a-b}{2}$$

$$\sin a – \sin b = 2\cos\frac{a+b}{2}\sin\frac{a-b}{2}$$

$$\cos a + \cos b = 2\cos\frac{a+b}{2}\cos\frac{a-b}{2}$$

$$\cos a – \cos b = -2\sin\frac{a+b}{2}\sin\frac{a-b}{2}$$

Công thức đặc biệt:

$$\sin x + \cos x = \sqrt{2}\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$$

$$a\sin x + b\cos x = \sqrt{a^2+b^2}\sin(x + \varphi)$$

với $\tan\varphi = \dfrac{b}{a}$

Ứng dụng: Rút gọn tổng/hiệu các hàm lượng giác trước khi tích phân.

2. Dạng 1: $\int \sin^m x \cos^n x , dx$

Trường hợp 1: m hoặc n lẻ

Phương pháp: Tách phần lẻ ra, đổi biến phần chẵn

Ví dụ: Tính $\int_0^{\pi/2} \sin^3 x , dx$

Lời giải:

Bước 1: Tách $\sin^3 x$:

$$\sin^3 x = \sin^2 x \cdot \sin x = (1-\cos^2 x)\sin x$$

Bước 2: Đặt $u = \cos x$

• $du = -\sin x , dx$
• $\sin x , dx = -du$

Bước 3: Đổi cận:

• Khi $x = 0 \Rightarrow u = \cos 0 = 1$
• Khi $x = \dfrac{\pi}{2} \Rightarrow u = \cos\dfrac{\pi}{2} = 0$

Bước 4: Thay vào:

$$\int_0^{\pi/2} (1-\cos^2 x)\sin x , dx = \int_1^0 (1-u^2)(-du)$$

$$= -\int_1^0 (1-u^2)du = \int_0^1 (1-u^2)du$$

Bước 5: Tính:

$$= \left[u – \frac{u^3}{3}\right]_0^1 = 1 – \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$$

Đáp số: $\dfrac{2}{3}$

Trường hợp 2: m, n đều chẵn

Phương pháp: Dùng công thức hạ bậc

Ví dụ: Tính $\int_0^{\pi/2} \sin^2 x , dx$

Lời giải:

Bước 1: Áp dụng công thức hạ bậc:

$$\sin^2 x = \frac{1-\cos 2x}{2}$$

Bước 2: Tính tích phân:

$$\int_0^{\pi/2} \sin^2 x , dx = \int_0^{\pi/2} \frac{1-\cos 2x}{2}dx$$

$$= \frac{1}{2}\int_0^{\pi/2} (1-\cos 2x)dx$$

$$= \frac{1}{2}\left[x – \frac{\sin 2x}{2}\right]_0^{\pi/2}$$

Bước 3: Thay cận:

$$= \frac{1}{2}\left[\left(\frac{\pi}{2} – \frac{\sin \pi}{2}\right) – \left(0 – \frac{\sin 0}{2}\right)\right]$$

$$= \frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{2} – 0\right) = \frac{\pi}{4}$$

Đáp số: $\dfrac{\pi}{4}$

3. Dạng 2: $\int \tan^m x , dx$ hoặc $\int \cot^m x , dx$

Phương pháp: Dùng công thức $\tan^2 x = \dfrac{1}{\cos^2 x} – 1$ hoặc $\cot^2 x = \dfrac{1}{\sin^2 x} – 1$

Ví dụ: Tính $\int_0^{\pi/4} \tan^2 x , dx$

Lời giải:

Bước 1: Biến đổi:

$$\tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x} – 1$$

Bước 2: Tích phân:

$$\int_0^{\pi/4} \tan^2 x , dx = \int_0^{\pi/4} \left(\frac{1}{\cos^2 x} – 1\right)dx$$

$$= \int_0^{\pi/4} \frac{1}{\cos^2 x}dx – \int_0^{\pi/4} 1 , dx$$

$$= [\tan x]_0^{\pi/4} – [x]_0^{\pi/4}$$

Bước 3: Thay cận:

$$= \left(\tan\frac{\pi}{4} – \tan 0\right) – \left(\frac{\pi}{4} – 0\right)$$

$$= (1 – 0) – \frac{\pi}{4} = 1 – \frac{\pi}{4}$$

Đáp số: $1 – \dfrac{\pi}{4}$

4. Dạng 3: $\int R(\sin x, \cos x)dx$

Phương pháp phổ biến: Đặt $t = \tan\dfrac{x}{2}$ (công thức vạn năng)

Các công thức biến đổi:

$$\sin x = \frac{2t}{1+t^2}, \quad \cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}, \quad dx = \frac{2dt}{1+t^2}$$

Khi nào dùng:

• Khi các phương pháp khác không hiệu quả
• Khi hàm số có cả sin x và cos x phức tạp

Lưu ý: Phương pháp này khá phức tạp, chỉ dùng khi cần thiết. Trong nhiều bài toán, các phương pháp đơn giản hơn như biến đổi lượng giác hoặc đổi biến thông thường hiệu quả hơn.

IX. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN

1. Tính diện tích hình phẳng

a. Diện tích giới hạn bởi 1 đường cong và trục hoành

Công thức tổng quát:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $y = f(x)$, trục Ox, $x = a$, $x = b$:

$$S = \int_a^b |f(x)|dx$$

Phân tích theo dấu của f(x):

• Nếu $f(x) \geq 0$ trên $[a, b]$: $$S = \int_a^b f(x)dx$$
• Nếu $f(x) \leq 0$ trên $[a, b]$: $$S = -\int_a^b f(x)dx = \int_a^b |f(x)|dx$$
• Nếu $f(x)$ đổi dấu tại $x = c$ trên $[a, b]$: $$S = \left|\int_a^c f(x)dx\right| + \left|\int_c^b f(x)dx\right|$$

Lưu ý quan trọng: Diện tích luôn là số dương, do đó phải dùng trị tuyệt đối khi hàm số âm.

Ví dụ 1: Hàm không âm

Bài toán: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y = x^2$, trục Ox, $x = 0$, $x = 2$.

Lời giải:

Bước 1: Xét dấu: $f(x) = x^2 \geq 0$ trên $[0, 2]$

Bước 2: Áp dụng công thức:

$$S = \int_0^2 x^2 dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2 = \frac{8}{3} – 0 = \frac{8}{3}$$

Đáp số: $\dfrac{8}{3}$ (đvdt)

Minh họa: Đây là diện tích vùng nằm dưới parabol $y = x^2$ từ 0 đến 2.

Ví dụ 2: Hàm đổi dấu

Bài toán: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y = \sin x$, trục Ox, $x = 0$, $x = 2\pi$.

Lời giải:

Bước 1: Tìm điểm đổi dấu:

• $\sin x = 0$ trên $[0, 2\pi]$ tại $x = 0, \pi, 2\pi$
• Trên $[0, \pi]$: $\sin x \geq 0$
• Trên $[\pi, 2\pi]$: $\sin x \leq 0$

Bước 2: Tính diện tích từng phần:

$$S = \int_0^\pi \sin x , dx + \int_\pi^{2\pi} |\sin x| dx$$

$$= \int_0^\pi \sin x , dx – \int_\pi^{2\pi} \sin x , dx$$

(Vì sin x < 0 trên $[\pi, 2\pi]$, nên $|\sin x| = -\sin x$)

Bước 3: Tính từng tích phân:

Phần 1: $$\int_0^\pi \sin x , dx = [-\cos x]_0^\pi = -\cos\pi – (-\cos 0) = -(-1) + 1 = 2$$

Phần 2: $$-\int_\pi^{2\pi} \sin x , dx = -[-\cos x]_\pi^{2\pi} = -(-\cos 2\pi + \cos\pi)$$ $$= -(-1 – 1) = 2$$

Bước 4: Tổng hợp:

$$S = 2 + 2 = 4$$

Đáp số: 4 (đvdt)

Ý nghĩa: Mặc dù $\int_0^{2\pi} \sin x , dx = 0$ (vì phần dương và âm triệt tiêu nhau), nhưng diện tích là 4 vì ta lấy trị tuyệt đối.

b. Diện tích giới hạn bởi 2 đường cong

Công thức:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y = f(x)$ và $y = g(x)$ với $a \leq x \leq b$:

$$S = \int_a^b |f(x) – g(x)|dx$$

Nếu $f(x) \geq g(x)$ trên $[a, b]$:

$$S = \int_a^b [f(x) – g(x)]dx$$

Phương pháp giải:

Bước 1: Tìm hoành độ giao điểm: giải phương trình $f(x) = g(x)$

Bước 2: Xác định hàm nào ở trên (so sánh giá trị tại một điểm bất kỳ trong khoảng)

Bước 3: Áp dụng công thức và tính tích phân

Ví dụ 3: Diện tích giữa đường thẳng và parabol

Bài toán: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y = x^2$ và $y = 2x$.

Lời giải:

Bước 1: Tìm giao điểm:

$$x^2 = 2x \Leftrightarrow x^2 – 2x = 0 \Leftrightarrow x(x-2) = 0$$

$$\Leftrightarrow x = 0 \text{ hoặc } x = 2$$

Bước 2: Xác định hàm nào ở trên:

Thử tại $x = 1$: $f(1) = 1^2 = 1$, $g(1) = 2 \cdot 1 = 2$

Vậy trên $[0, 2]$: $2x \geq x^2$ (đường thẳng ở trên parabol)

Bước 3: Tính diện tích:

$$S = \int_0^2 (2x – x^2)dx = \left[x^2 – \frac{x^3}{3}\right]_0^2$$

$$= \left(4 – \frac{8}{3}\right) – 0 = \frac{12 – 8}{3} = \frac{4}{3}$$

Đáp số: $\dfrac{4}{3}$ (đvdt)

Ví dụ 4: Diện tích hàm đổi dấu

Bài toán: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y = x^3 – 3x$ và trục Ox.

Lời giải:

Bước 1: Tìm nghiệm:

$$x^3 – 3x = 0 \Leftrightarrow x(x^2 – 3) = 0$$

$$\Leftrightarrow x = 0, , x = \pm\sqrt{3}$$

Bước 2: Xét dấu của $f(x) = x^3 – 3x$:

Khoảng	$(-\infty, -\sqrt{3})$	$(-\sqrt{3}, 0)$	$(0, \sqrt{3})$	$(\sqrt{3}, +\infty)$
Dấu	–	+	–	+

Bước 3: Tính diện tích:

Do tính đối xứng qua gốc tọa độ của hàm lẻ, ta có thể tính:

$$S = 2\int_0^{\sqrt{3}} |x^3-3x| dx$$

Vì $x^3 – 3x \leq 0$ trên $[0, \sqrt{3}]$:

$$S = 2\int_0^{\sqrt{3}} (3x – x^3)dx$$

$$= 2\left[\frac{3x^2}{2} – \frac{x^4}{4}\right]_0^{\sqrt{3}}$$

$$= 2\left(\frac{3 \cdot 3}{2} – \frac{9}{4}\right)$$

$$= 2\left(\frac{9}{2} – \frac{9}{4}\right) = 2 \cdot \frac{18-9}{4} = 2 \cdot \frac{9}{4} = \frac{9}{2}$$

Đáp số: $\dfrac{9}{2}$ (đvdt)

2. Thể tích vật thể và khối tròn xoay

a. Thể tích vật thể

Công thức:

Nếu $S(x)$ là diện tích thiết diện vuông góc với trục Ox tại điểm x, thì thể tích vật thể từ $x = a$ đến $x = b$ là:

$$V = \int_a^b S(x)dx$$

Ý nghĩa: Chia vật thể thành vô số lát mỏng vuông góc với trục, mỗi lát có diện tích $S(x)$ và độ dày $dx$. Thể tích là tổng của tất cả các lát.

b. Thể tích khối tròn xoay

Công thức 1: Quay quanh trục Ox

Khi quay hình phẳng giới hạn bởi $y = f(x)$, trục Ox, $x = a$, $x = b$ quanh trục Ox:

$$V = \pi\int_a^b [f(x)]^2 dx = \pi\int_a^b y^2 dx$$

Giải thích:

• Khi quay quanh Ox, mỗi thiết diện vuông góc là hình tròn bán kính $r = |f(x)|$
• Diện tích thiết diện: $S(x) = \pi r^2 = \pi[f(x)]^2$

Công thức 2: Quay quanh trục Oy

Khi quay hình phẳng giới hạn bởi $x = g(y)$, trục Oy, $y = c$, $y = d$ quanh trục Oy:

$$V = \pi\int_c^d [g(y)]^2 dy = \pi\int_c^d x^2 dy$$

Lưu ý: Cần biểu diễn x theo y trước khi tính.

Ví dụ 5: Thể tích khối parabol tròn xoay

Bài toán: Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi $y = x^2$, trục Ox, $x = 0$, $x = 2$ quanh trục Ox.

Lời giải:

Áp dụng công thức quay quanh Ox:

$$V = \pi\int_0^2 (x^2)^2 dx = \pi\int_0^2 x^4 dx$$

$$= \pi\left[\frac{x^5}{5}\right]_0^2 = \pi \cdot \frac{32}{5} = \frac{32\pi}{5}$$

Đáp số: $\dfrac{32\pi}{5}$ (đvtt)

Ví dụ 6: Thể tích khối nón cụt

Bài toán: Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi $y = \sqrt{x}$, $x = 0$, $x = 4$, trục Ox quanh trục Ox.

Lời giải:

$$V = \pi\int_0^4 (\sqrt{x})^2 dx = \pi\int_0^4 x , dx$$

$$= \pi\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^4 = \pi \cdot \frac{16}{2} = 8\pi$$

Đáp số: $8\pi$ (đvtt)

Ý nghĩa: Đây chính là thể tích hình nón có bán kính đáy $r = 2$ và chiều cao $h = 4$.

Công thức hình nón: $V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h = \dfrac{1}{3}\pi \cdot 4 \cdot 4 = \dfrac{16\pi}{3}$…

Khoan đã! Có vẻ khác. Hãy kiểm tra lại: Đây không phải hình nón mà là parabol xoay. Kết quả $8\pi$ là chính xác cho hình parabol.

Ví dụ 7: Thể tích giữa hai đường cong

Bài toán: Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi $y = x^2$ và $y = 2x$ quanh trục Ox.

Lời giải:

Bước 1: Tìm giao điểm (đã tính ở Ví dụ 3): $x = 0$ và $x = 2$

Bước 2: Xác định hàm trên và dưới: $2x \geq x^2$ trên $[0, 2]$

Bước 3: Thể tích = Thể tích lớn – Thể tích nhỏ

$$V = \pi\int_0^2 (2x)^2 dx – \pi\int_0^2 (x^2)^2 dx$$

$$= \pi\int_0^2 (4x^2 – x^4)dx$$

$$= \pi\left[\frac{4x^3}{3} – \frac{x^5}{5}\right]_0^2$$

$$= \pi\left(\frac{4 \cdot 8}{3} – \frac{32}{5}\right)$$

$$= \pi\left(\frac{32}{3} – \frac{32}{5}\right) = \pi \cdot 32\left(\frac{1}{3} – \frac{1}{5}\right)$$

$$= 32\pi \cdot \frac{5-3}{15} = 32\pi \cdot \frac{2}{15} = \frac{64\pi}{15}$$

Đáp số: $\dfrac{64\pi}{15}$ (đvtt)

X. MẸO VÀ KỸ THUẬT

1. Các sai lầm thường gặp

❌ SAI LẦM 1: Quên đổi cận khi đổi biến

Ví dụ sai: $$\int_0^1 2x(x^2+1)^3 dx$$ Đặt $u = x^2+1$, tính $\int (u^3)du = \dfrac{u^4}{4}$, rồi thay $u = x^2+1$ và tính với cận 0 và 1.

Giải thích: Sau khi đổi biến, cận cũng phải đổi theo! Cận mới là $u(0) = 1$ và $u(1) = 2$.

Làm đúng: Tính trực tiếp $\left[\dfrac{u^4}{4}\right]_1^2$ mà không thay về x.

❌ SAI LẦM 2: Đổi biến nhưng vẫn thay về x

Ví dụ sai: $$\int_0^{\pi/2} \sin x \cos^2 x , dx$$ Đặt $u = \cos x$, tính được $-\dfrac{u^3}{3}$, rồi thay $u = \cos x$ và tính $\left[-\dfrac{\cos^3 x}{3}\right]_0^{\pi/2}$.

Giải thích: Khi đã đổi cận, KHÔNG CẦN thay về biến cũ!

Làm đúng: Cận mới là 1 và 0, tính luôn $\left[-\dfrac{u^3}{3}\right]_1^0$.

❌ SAI LẦM 3: Bỏ qua dấu trị tuyệt đối khi tính diện tích

Ví dụ sai: $$S = \int_{-1}^1 x^3 dx = \left[\frac{x^4}{4}\right]_{-1}^1 = \frac{1}{4} – \frac{1}{4} = 0$$

Giải thích: Diện tích KHÔNG THỂ bằng 0! Hàm $x^3$ đổi dấu tại $x = 0$.

Làm đúng: $$S = \int_{-1}^0 |x^3| dx + \int_0^1 |x^3| dx = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$$

❌ SAI LẦM 4: Nhầm công thức thể tích (quên π)

Ví dụ sai: $$V = \int_0^2 x^2 dx = \frac{8}{3}$$

Giải thích: Khi quay quanh trục, phải nhân với $\pi$!

Làm đúng: $$V = \pi\int_0^2 (x)^2 dx = \frac{8\pi}{3}$$

2. Kiểm tra kết quả

✅ Kiểm tra 1: Diện tích, thể tích phải dương

• Nếu tính được diện tích âm → Sai! Phải lấy trị tuyệt đối
• Nếu thể tích âm → Sai công thức hoặc tính toán

✅ Kiểm tra 2: Ước lượng bằng hình học

Ví dụ: Tính $\int_0^2 \sqrt{4-x^2} dx$

Đây là $\dfrac{1}{4}$ hình tròn bán kính 2, nên: $$S = \frac{1}{4}\pi r^2 = \frac{1}{4}\pi \cdot 4 = \pi$$

Nếu tính ra kết quả khác π → Sai!

✅ Kiểm tra 3: So sánh với tính chất tích phân

Nếu $f(x) \leq g(x)$ trên $[a,b]$ thì: $$\int_a^b f(x)dx \leq \int_a^b g(x)dx$$

3. Thứ tự ưu tiên khi giải bài tập

Bước 1: Xem có công thức trực tiếp không?

• Nếu nhận ra dạng cơ bản → Áp dụng ngay

Bước 2: Thử đổi biến

• Tìm biểu thức u và u’ trong hàm số
• Nếu thấy → Đặt u ngay

Bước 3: Thử từng phần

• Nếu là tích của 2 hàm khác loại (đa thức × mũ, đa thức × lượng giác, ln × đại số)
• Áp dụng quy tắc LIATE

Bước 4: Phân tích, biến đổi

• Hàm hữu tỉ → Phân tích
• Hàm lượng giác → Dùng công thức

Ví dụ minh họa:

Bài: Tính $\int_0^1 \dfrac{2x}{x^2+1}dx$

Phân tích:

• Không có công thức trực tiếp đơn giản
• Nhận thấy: $(x^2+1)’ = 2x$ → Đổi biến!

$$\int_0^1 \frac{2x}{x^2+1}dx = [\ln(x^2+1)]_0^1 = \ln 2$$

Kết luận: Thứ tự quan sát đúng giúp tiết kiệm thời gian!

XI. KẾT LUẬN

Tổng kết kiến thức

Qua bài viết này, chúng ta đã hệ thống hóa toàn bộ kiến thức về tích phân từ cơ bản đến nâng cao:

✅ Nền tảng lý thuyết:

• Định nghĩa tích phân qua Tổng Riemann
• Định lý Newton-Leibniz – công thức vàng của giải tích
• 9 tính chất quan trọng của tích phân

✅ Bảng công thức cơ bản:

• 11 công thức nguyên hàm thường dùng nhất
• Công thức cho hàm đa thức, mũ, logarit, lượng giác

✅ Phương pháp tính:

• Đổi biến số: Dạng 1 (đặt u theo x) và Dạng 2 (đặt x theo t)
• Tích phân từng phần: Quy tắc LIATE và 4 dạng phổ biến
• Các kỹ thuật đặc biệt

✅ Tích phân các hàm đặc biệt:

• Hàm hữu tỉ: 4 dạng phân tích
• Hàm vô tỉ: Khử căn bằng đổi biến
• Hàm lượng giác: Công thức hạ bậc, đổi biến

✅ Ứng dụng thực tế:

• Tính diện tích hình phẳng (1 đường cong, 2 đường cong)
• Tính thể tích khối tròn xoay (quanh Ox, Oy)