I. GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2

1. Phương trình bậc 2 là gì?

Định nghĩa: Phương trình bậc hai (hay phương trình bậc 2) là phương trình có dạng:

$$\boxed{ax^2 + bx + c = 0}$$

với điều kiện $a \neq 0$

Các thành phần:

• $a$: Hệ số bậc 2 (hệ số của $x^2$) – bắt buộc khác 0
  • Nếu $a = 0$, phương trình trở thành phương trình bậc nhất
• $b$: Hệ số bậc 1 (hệ số của $x$) – có thể bằng 0
• $c$: Hệ số tự do (số hạng không chứa $x$) – có thể bằng 0
• $x$: Ẩn số cần tìm (biến số)

Lưu ý quan trọng:

• Phương trình bậc 2 còn được gọi là phương trình bậc hai một ẩn
• Giá trị của $x$ thỏa mãn phương trình được gọi là nghiệm của phương trình
• Phương trình bậc 2 có thể có 0, 1 hoặc 2 nghiệm thực

2. Ví dụ và phân loại

Phương trình bậc 2 đầy đủ:

Là phương trình có đủ cả ba hệ số $a, b, c$ đều khác 0.

Ví dụ:

• $2x^2 – 5x + 3 = 0$ (có $a=2$, $b=-5$, $c=3$)
• $x^2 + 4x – 7 = 0$ (có $a=1$, $b=4$, $c=-7$)
• $-3x^2 + 2x + 1 = 0$ (có $a=-3$, $b=2$, $c=1$)

Phương trình bậc 2 không đầy đủ:

Là phương trình có một trong hai hệ số $b$ hoặc $c$ bằng 0.

Dạng 1: Thiếu $b$ (hệ số $b = 0$)

Dạng tổng quát: $ax^2 + c = 0$

Ví dụ:

• $x^2 + 4 = 0$ (có $a=1$, $b=0$, $c=4$)
• $2x^2 – 8 = 0$ (có $a=2$, $b=0$, $c=-8$)
• $-3x^2 + 12 = 0$ (có $a=-3$, $b=0$, $c=12$)

Dạng 2: Thiếu $c$ (hệ số $c = 0$)

Dạng tổng quát: $ax^2 + bx = 0$

Ví dụ:

• $x^2 – 5x = 0$ (có $a=1$, $b=-5$, $c=0$)
• $2x^2 + 6x = 0$ (có $a=2$, $b=6$, $c=0$)
• $-x^2 + 3x = 0$ (có $a=-1$, $b=3$, $c=0$)

Dạng 3: Chỉ có $a$ (cả $b$ và $c$ đều bằng 0 – trường hợp đặc biệt)

Dạng: $ax^2 = 0$ → chỉ có nghiệm duy nhất $x = 0$

II. CÔNG THỨC TỔNG QUÁT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2

1. Công thức nghiệm tổng quát (dùng Delta)

Đây là công thức quan trọng nhất và áp dụng được cho mọi phương trình bậc 2.

Cho phương trình: $ax^2 + bx + c = 0$ với $a \neq 0$

Bước 1: Tính biệt thức Delta

$$\boxed{\Delta = b^2 – 4ac}$$

Ý nghĩa: Delta ($\Delta$) quyết định số nghiệm của phương trình.

Bước 2: Xét dấu Delta và tìm nghiệm

Công thức gộp:

$$\boxed{x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \quad \text{(khi } \Delta \geq 0\text{)}}$$

Ví dụ 1: Giải phương trình $x^2 – 5x + 6 = 0$

Lời giải:

Bước 1: Xác định hệ số

• $a = 1$, $b = -5$, $c = 6$

Bước 2: Tính Delta $$\Delta = b^2 – 4ac = (-5)^2 – 4 \times 1 \times 6 = 25 – 24 = 1 > 0$$

Bước 3: Vì $\Delta > 0$ nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt: $$x_1 = \dfrac{-(-5) + \sqrt{1}}{2 \times 1} = \dfrac{5 + 1}{2} = \dfrac{6}{2} = 3$$

$$x_2 = \dfrac{-(-5) – \sqrt{1}}{2 \times 1} = \dfrac{5 – 1}{2} = \dfrac{4}{2} = 2$$

Kết luận: Phương trình có hai nghiệm $x_1 = 3$ và $x_2 = 2$.

Kiểm tra:

• Thay $x = 3$: $3^2 – 5(3) + 6 = 9 – 15 + 6 = 0$ ✓
• Thay $x = 2$: $2^2 – 5(2) + 6 = 4 – 10 + 6 = 0$ ✓

2. Công thức nghiệm thu gọn (dùng Delta phẩy)

Công thức này giúp tính toán nhanh hơn khi hệ số $b$ là số chẵn.

Điều kiện áp dụng: Khi $b = 2b’$ (tức là $b$ chẵn)

Bước 1: Tính biệt thức thu gọn

$$\boxed{\Delta’ = (b’)^2 – ac}$$

với $b’ = \dfrac{b}{2}$

Bước 2: Tìm nghiệm

Công thức gộp:

$$\boxed{x_{1,2} = \dfrac{-b’ \pm \sqrt{\Delta’}}{a} \quad \text{(khi } \Delta’ \geq 0\text{)}}$$

Ví dụ 2: Giải phương trình $2x^2 – 8x + 6 = 0$

Lời giải:

Bước 1: Xác định hệ số

• $a = 2$, $b = -8$ (chẵn), $c = 6$
• $b’ = \dfrac{-8}{2} = -4$

Bước 2: Tính Delta phẩy $$\Delta’ = (b’)^2 – ac = (-4)^2 – 2 \times 6 = 16 – 12 = 4 > 0$$

Bước 3: Vì $\Delta’ > 0$ nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt: $$x_1 = \dfrac{-b’ + \sqrt{\Delta’}}{a} = \dfrac{-(-4) + \sqrt{4}}{2} = \dfrac{4 + 2}{2} = \dfrac{6}{2} = 3$$

$$x_2 = \dfrac{-b’ – \sqrt{\Delta’}}{a} = \dfrac{-(-4) – \sqrt{4}}{2} = \dfrac{4 – 2}{2} = \dfrac{2}{2} = 1$$

Kết luận: Phương trình có hai nghiệm $x_1 = 3$ và $x_2 = 1$.

So sánh: Dùng $\Delta’$ nhanh hơn dùng $\Delta$ vì các số nhỏ hơn và không có mẫu số 2 ở công thức nghiệm.

3. Sơ đồ tư duy giải phương trình bậc 2

            Phương trình: ax² + bx + c = 0
                          ↓
                  Kiểm tra a ≠ 0?
                     ↙        ↘
                  Có           Không
                  ↓            ↓
              b chẵn?      PT bậc nhất
              ↙    ↘
            Có      Không
            ↓       ↓
          Dùng Δ'  Dùng Δ
            ↓       ↓
         Tính Δ' hoặc Δ
                ↓
           Xét dấu Δ
         ↙      ↓      ↘
     Δ > 0    Δ = 0   Δ < 0
        ↓        ↓        ↓
    2 nghiệm  Nghiệm kép  Vô nghiệm

Quy trình lựa chọn phương pháp:

1. Kiểm tra $a \neq 0$ (nếu $a = 0$ không phải PT bậc 2)
2. Nếu $b$ chẵn → Dùng $\Delta’$ (nhanh hơn)
3. Nếu $b$ lẻ → Dùng $\Delta$ (chuẩn)
4. Tính và xét dấu biệt thức
5. Kết luận nghiệm theo bảng công thức

Tra cứu nhanh công thức

Nhẩm nghiệm nhanh

III. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2

Phương pháp 1: Giải bằng công thức Delta

Phạm vi áp dụng: Mọi phương trình bậc 2 (phương pháp tổng quát nhất)

Các bước thực hiện:

Bước 1: Đưa phương trình về dạng chuẩn $ax^2 + bx + c = 0$

Bước 2: Xác định các hệ số $a, b, c$

Bước 3: Tính biệt thức $\Delta = b^2 – 4ac$

Bước 4: Kết luận nghiệm theo dấu của $\Delta$

• Nếu $\Delta > 0$: Hai nghiệm phân biệt
• Nếu $\Delta = 0$: Nghiệm kép
• Nếu $\Delta < 0$: Vô nghiệm

Ví dụ 3: Giải phương trình $3x^2 – 7x + 2 = 0$

Lời giải:

Bước 1: Phương trình đã ở dạng chuẩn

Bước 2: Xác định hệ số: $a = 3$, $b = -7$, $c = 2$

Bước 3: Tính Delta: $$\Delta = b^2 – 4ac = (-7)^2 – 4 \times 3 \times 2 = 49 – 24 = 25 > 0$$

Bước 4: Vì $\Delta > 0$, phương trình có hai nghiệm phân biệt: $$x_1 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-(-7) + \sqrt{25}}{2 \times 3} = \dfrac{7 + 5}{6} = \dfrac{12}{6} = 2$$

$$x_2 = \dfrac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-(-7) – \sqrt{25}}{2 \times 3} = \dfrac{7 – 5}{6} = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$$

Kết luận: Phương trình có hai nghiệm $x_1 = 2$ và $x_2 = \dfrac{1}{3}$.

Phương pháp 2: Giải bằng Delta phẩy

Phạm vi áp dụng: Khi hệ số $b$ chẵn (giúp tính toán đơn giản hơn)

Ưu điểm: Số trong tính toán nhỏ hơn, không có mẫu số 2 trong công thức nghiệm

Ví dụ 4: Giải phương trình $x^2 + 6x + 8 = 0$

Lời giải:

Bước 1: Xác định hệ số: $a = 1$, $b = 6$ (chẵn), $c = 8$

• $b’ = \dfrac{b}{2} = \dfrac{6}{2} = 3$

Bước 2: Tính Delta phẩy: $$\Delta’ = (b’)^2 – ac = 3^2 – 1 \times 8 = 9 – 8 = 1 > 0$$

Bước 3: Vì $\Delta’ > 0$, phương trình có hai nghiệm phân biệt: $$x_1 = \dfrac{-b’ + \sqrt{\Delta’}}{a} = \dfrac{-3 + \sqrt{1}}{1} = -3 + 1 = -2$$

$$x_2 = \dfrac{-b’ – \sqrt{\Delta’}}{a} = \dfrac{-3 – \sqrt{1}}{1} = -3 – 1 = -4$$

Kết luận: Phương trình có hai nghiệm $x_1 = -2$ và $x_2 = -4$.

Phương pháp 3: Phân tích thành nhân tử

Phạm vi áp dụng: Khi phương trình có thể phân tích được (các hệ số đẹp, dễ nhẩm)

Kỹ thuật phân tích:

Kỹ thuật 1: Đặt nhân tử chung

• $x(ax + b) = 0$

Kỹ thuật 2: Sử dụng hằng đẳng thức

• $a^2 – b^2 = (a-b)(a+b)$
• $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$
• $a^2 – 2ab + b^2 = (a-b)^2$

Kỹ thuật 3: Nhóm hạng tử

• Tách hạng tử giữa thành tổng hai số rồi nhóm lại

Ví dụ 5: Giải phương trình $x^2 – 5x + 6 = 0$

Lời giải:

Phân tích: Cần tìm hai số có tổng là 5 và tích là 6. Đó là 2 và 3.

Tách hạng tử: $$x^2 – 5x + 6 = x^2 – 2x – 3x + 6$$

Nhóm và đặt nhân tử: $$= x(x – 2) – 3(x – 2)$$ $$= (x – 2)(x – 3)$$

Giải: $$(x – 2)(x – 3) = 0$$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} x – 2 = 0 \\ x – 3 = 0 \end{cases}$$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} x = 2 \\ x = 3 \end{cases}$$

Kết luận: Phương trình có hai nghiệm $x_1 = 2$ và $x_2 = 3$.

Ví dụ 6: Giải phương trình $x^2 – 9 = 0$

Lời giải:

Nhận xét: Đây là dạng hiệu hai bình phương

Áp dụng hằng đẳng thức: $$x^2 – 9 = x^2 – 3^2 = (x – 3)(x + 3) = 0$$

Giải: $$(x – 3)(x + 3) = 0$$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} x – 3 = 0 \\ x + 3 = 0 \end{cases}$$
$$\Leftrightarrow \begin{cases} x = 3 \\ x = -3 \end{cases}$$

Kết luận: Phương trình có hai nghiệm $x_1 = 3$ và $x_2 = -3$.

Phương pháp 4: Nhẩm nghiệm bằng định lý Vi-ét

Phạm vi áp dụng: Khi $a = 1$ và các hệ số là số nguyên không quá lớn

Nguyên tắc: Tìm hai số $x_1$ và $x_2$ thỏa mãn:

• Tổng: $x_1 + x_2 = -b$
• Tích: $x_1 \cdot x_2 = c$

Ưu điểm: Rất nhanh, không cần tính Delta

Ví dụ 7: Giải phương trình $x^2 – 7x + 12 = 0$

Lời giải:

Phân tích:

• Cần tìm hai số có tổng bằng 7 và tích bằng 12
• Thử các cặp ước của 12: (1,12), (2,6), (3,4)
• Cặp (3, 4) có: $3 + 4 = 7$ ✓ và $3 \times 4 = 12$ ✓

Kết luận: Phương trình có hai nghiệm $x_1 = 3$ và $x_2 = 4$.

Kiểm tra:

• $x_1 + x_2 = 3 + 4 = 7 = -(-7)$ ✓
• $x_1 \cdot x_2 = 3 \times 4 = 12$ ✓

Phương pháp 5: Giải phương trình không đầy đủ

Dạng 1: Phương trình thiếu $b$ (dạng $ax^2 + c = 0$)

Phương pháp giải:

Bước 1: Chuyển vế: $ax^2 = -c$

Bước 2: Chia hai vế cho $a$: $x^2 = -\dfrac{c}{a}$

Bước 3: Kết luận:

• Nếu $-\dfrac{c}{a} > 0$: Hai nghiệm $x = \pm\sqrt{-\dfrac{c}{a}}$
• Nếu $-\dfrac{c}{a} = 0$: Nghiệm $x = 0$
• Nếu $-\dfrac{c}{a} < 0$: Vô nghiệm

Ví dụ 8: Giải phương trình $2x^2 – 8 = 0$

Lời giải:

Bước 1: Chuyển vế: $$2x^2 = 8$$

Bước 2: Chia hai vế cho 2: $$x^2 = 4$$

Bước 3: Vì $4 > 0$ nên: $$x = \pm\sqrt{4} = \pm 2$$

Kết luận: Phương trình có hai nghiệm $x_1 = 2$ và $x_2 = -2$.

Dạng 2: Phương trình thiếu $c$ (dạng $ax^2 + bx = 0$)

Phương pháp giải: Đặt nhân tử chung $x$ ra ngoài

$$ax^2 + bx = 0 \Leftrightarrow x(ax + b) = 0$$

Kết luận: Phương trình luôn có hai nghiệm:

• $x_1 = 0$
• $x_2 = -\dfrac{b}{a}$

Ví dụ 9: Giải phương trình $3x^2 – 6x = 0$

Lời giải:

Đặt nhân tử chung: $$3x^2 – 6x = 0$$ $$\Leftrightarrow 3x(x – 2) = 0$$ $$\Leftrightarrow x(x – 2) = 0$$

Giải: $$\begin{cases} x = 0 \\ x – 2 = 0 \end{cases}$$
$$\Leftrightarrow \begin{cases} x = 0 \\ x = 2 \end{cases}$$

Kết luận: Phương trình có hai nghiệm $x_1 = 0$ và $x_2 = 2$.

Lưu ý: Phương trình dạng $ax^2 + bx = 0$ luôn có nghiệm $x = 0$, đừng quên nghiệm này!

Phương pháp 6: Hoàn thành bình phương

Phạm vi áp dụng: Phương pháp lý thuyết, ít dùng trong thực tế

Nguyên tắc: Biến đổi phương trình về dạng $(x + p)^2 = q$

Các bước:

1. Chia hai vế cho $a$ (nếu $a \neq 1$)
2. Chuyển $c$ sang vế phải
3. Thêm và bớt một số để tạo hằng đẳng thức bình phương
4. Giải phương trình $(x + p)^2 = q$

Ví dụ 10: Giải phương trình $x^2 + 6x + 5 = 0$

Lời giải:

Bước 1: Chuyển vế số hạng tự do: $$x^2 + 6x = -5$$

Bước 2: Thêm $9$ vào hai vế để tạo bình phương: $$x^2 + 6x + 9 = -5 + 9$$ $$x^2 + 6x + 9 = 4$$

Bước 3: Viết dưới dạng bình phương: $$(x + 3)^2 = 4$$

Bước 4: Giải: $$x + 3 = \pm\sqrt{4} = \pm 2$$

$$\begin{cases} x + 3 = 2 \\ x + 3 = -2 \end{cases}$$

$$\Leftrightarrow \begin{cases} x = -1 \\ x = -5 \end{cases}$$

Kết luận: Phương trình có hai nghiệm $x_1 = -1$ và $x_2 = -5$.

V. CÁC DẠNG BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2

Dạng 1: Giải phương trình cơ bản

Đây là dạng bài cơ bản nhất, áp dụng trực tiếp công thức Delta hoặc các phương pháp đã học.

Bài 1: Giải các phương trình sau:

a) $x^2 – 4x + 3 = 0$

b) $2x^2 + 5x – 3 = 0$

c) $x^2 – 2x + 5 = 0$

Hướng dẫn giải:

Câu a) $x^2 – 4x + 3 = 0$

• Hệ số: $a = 1$, $b = -4$, $c = 3$
• $\Delta = (-4)^2 – 4 \times 1 \times 3 = 16 – 12 = 4 > 0$
• $x_1 = \dfrac{4 + 2}{2} = 3$, $x_2 = \dfrac{4 – 2}{2} = 1$

Đáp án: $x_1 = 3$, $x_2 = 1$

Câu b) $2x^2 + 5x – 3 = 0$

• Hệ số: $a = 2$, $b = 5$, $c = -3$
• $\Delta = 5^2 – 4 \times 2 \times (-3) = 25 + 24 = 49 > 0$
• $x_1 = \dfrac{-5 + 7}{4} = \dfrac{1}{2}$, $x_2 = \dfrac{-5 – 7}{4} = -3$

Đáp án: $x_1 = \dfrac{1}{2}$, $x_2 = -3$

Câu c) $x^2 – 2x + 5 = 0$

• Hệ số: $a = 1$, $b = -2$, $c = 5$
• $\Delta = (-2)^2 – 4 \times 1 \times 5 = 4 – 20 = -16 < 0$

Đáp án: Phương trình vô nghiệm

Dạng 2: Giải phương trình có tham số

Dạng này yêu cầu biện luận số nghiệm theo tham số $m$.

Bài 2: Giải và biện luận phương trình theo tham số $m$: $$x^2 – 2mx + m – 2 = 0$$

Hướng dẫn giải:

Bước 1: Xác định hệ số

• $a = 1$, $b = -2m$, $c = m – 2$

Bước 2: Tính Delta phẩy (vì $b$ chẵn)

• $b’ = -m$
• $\Delta’ = (b’)^2 – ac = (-m)^2 – 1(m-2) = m^2 – m + 2$

Bước 3: Xét dấu Delta phẩy $$\Delta’ = m^2 – m + 2 = \left(m – \dfrac{1}{2}\right)^2 + \dfrac{7}{4}$$

Vì $\left(m – \dfrac{1}{2}\right)^2 \geq 0$ nên $\Delta’ \geq \dfrac{7}{4} > 0$ với mọi $m$

Kết luận: Phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi $m$.

Nghiệm: $$x_{1,2} = \dfrac{m \pm \sqrt{m^2 – m + 2}}{1} = m \pm \sqrt{m^2 – m + 2}$$

Dạng 3: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm

Bài 3: Tìm tất cả các giá trị của $m$ để phương trình $x^2 – 2x + m = 0$ có:

a) Hai nghiệm phân biệt

b) Nghiệm kép

c) Vô nghiệm

Hướng dẫn giải:

Xác định: $a = 1$, $b = -2$, $c = m$

Tính Delta phẩy: $$\Delta’ = (b’)^2 – ac = (-1)^2 – 1 \cdot m = 1 – m$$

Câu a) Có 2 nghiệm phân biệt:

Điều kiện: $\Delta’ > 0$ $$1 – m > 0 \Leftrightarrow m < 1$$

Đáp án: $m < 1$

Câu b) Có nghiệm kép:

Điều kiện: $\Delta’ = 0$ $$1 – m = 0 \Leftrightarrow m = 1$$

Đáp án: $m = 1$

Câu c) Vô nghiệm:

Điều kiện: $\Delta’ < 0$ $$1 – m < 0 \Leftrightarrow m > 1$$

Đáp án: $m > 1$

Dạng 4: Tìm nghiệm thỏa mãn điều kiện

Bài 4: Tìm $m$ để phương trình $x^2 – (m+1)x + m = 0$ có:

a) Hai nghiệm dương phân biệt

b) Hai nghiệm âm phân biệt

Hướng dẫn giải:

Sử dụng định lý Vi-ét:

• Tổng nghiệm: $S = x_1 + x_2 = m + 1$
• Tích nghiệm: $P = x_1 \cdot x_2 = m$

Câu a) Hai nghiệm dương phân biệt:

Điều kiện: $$\begin{cases} \Delta > 0 \ S > 0 \ P > 0 \end{cases}$$

Tính Delta: $$\begin{cases} \Delta > 0 \\ S > 0 \\ P > 0 \end{cases}$$

Hệ điều kiện: $$\begin{cases} (m-1)^2 > 0 \\ m + 1 > 0 \\ m > 0 \end{cases}$$

$$\Leftrightarrow \begin{cases} m \neq 1 \\ m > -1 \\ m > 0 \end{cases}$$

$$\Leftrightarrow m > 0 \text{ và } m \neq 1$$

Đáp án: $m > 0$ và $m \neq 1$

Câu b) Hai nghiệm âm phân biệt:

Điều kiện: $$\begin{cases} \Delta > 0 \\ S < 0 \\ P > 0 \end{cases}$$

$$\Leftrightarrow \begin{cases} m \neq 1 \\ m + 1 < 0 \\ m > 0 \end{cases}$$

$$\Leftrightarrow \begin{cases} m \neq 1 \\ m < -1 \\ m > 0 \end{cases}$$

Hệ này vô nghiệm (không tồn tại $m$ thỏa mãn đồng thời $m < -1$ và $m > 0$)

Đáp án: Không tồn tại $m$

Dạng 5: Phương trình chứa ẩn ở mẫu

Bài 5: Giải phương trình: $$\dfrac{x+1}{x-2} = \dfrac{3x}{x+1}$$

Hướng dẫn giải:

Bước 1: Tìm ĐKXĐ (Điều kiện xác định) $$x \neq 2 \text{ và } x \neq -1$$

Bước 2: Quy đồng và khử mẫu $$(x+1)(x+1) = 3x(x-2)$$ $$(x+1)^2 = 3x^2 – 6x$$ $$x^2 + 2x + 1 = 3x^2 – 6x$$

Bước 3: Chuyển vế và rút gọn $$0 = 3x^2 – 6x – x^2 – 2x – 1$$ $$0 = 2x^2 – 8x – 1$$ $$2x^2 – 8x – 1 = 0$$

Bước 4: Giải phương trình bậc 2

• $a = 2$, $b = -8$, $c = -1$
• $b’ = -4$
• $\Delta’ = 16 – 2(-1) = 16 + 2 = 18 > 0$
• $x_1 = \dfrac{4 + \sqrt{18}}{2} = \dfrac{4 + 3\sqrt{2}}{2}$
• $x_2 = \dfrac{4 – \sqrt{18}}{2} = \dfrac{4 – 3\sqrt{2}}{2}$

Bước 5: Kiểm tra ĐKXĐ

• $x_1 = \dfrac{4 + 3\sqrt{2}}{2} \approx 4.12 \neq 2, -1$ ✓
• $x_2 = \dfrac{4 – 3\sqrt{2}}{2} \approx -0.12 \neq 2, -1$ ✓

Kết luận: Phương trình có hai nghiệm $x_1 = \dfrac{4 + 3\sqrt{2}}{2}$ và $x_2 = \dfrac{4 – 3\sqrt{2}}{2}$

Dạng 6: Phương trình tích

Bài 6: Giải phương trình: $$(x^2 – 4)(2x^2 + 3x – 2) = 0$$

Hướng dẫn giải:

Nguyên tắc: Tích bằng 0 khi ít nhất một thừa số bằng 0

$$\begin{cases} x^2 – 4 = 0 \\ \text{hoặc} \\ 2x^2 + 3x – 2 = 0 \end{cases}$$

Giải phương trình 1: $x^2 – 4 = 0$ $$x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$$

Giải phương trình 2: $2x^2 + 3x – 2 = 0$

• $\Delta = 9 + 16 = 25 > 0$
• $x = \dfrac{-3 \pm 5}{4}$
• $x_1 = \dfrac{1}{2}$, $x_2 = -2$

Kết luận: Tập nghiệm $S = \left\{-2; \dfrac{1}{2}; 2\right\}$

Lưu ý: Nghiệm $x = -2$ xuất hiện ở cả hai phương trình, chỉ tính một lần.

Dạng 7: Phương trình chứa căn

Bài 7: Giải phương trình: $$\sqrt{x^2 – 3x + 2} = x – 1$$

Hướng dẫn giải:

Bước 1: Tìm ĐKXĐ

Điều kiện 1: $x^2 – 3x + 2 \geq 0$

Phân tích: $(x-1)(x-2) \geq 0$

Suy ra: $x \leq 1$ hoặc $x \geq 2$

Điều kiện 2: $x – 1 \geq 0$ (vế phải phải không âm)

Suy ra: $x \geq 1$

ĐKXĐ chung: $x = 1$ hoặc $x \geq 2$

Bước 2: Bình phương hai vế $$x^2 – 3x + 2 = (x-1)^2$$ $$x^2 – 3x + 2 = x^2 – 2x + 1$$ $$-3x + 2 = -2x + 1$$ $$-x = -1$$ $$x = 1$$

Bước 3: Kiểm tra ĐKXĐ

$x = 1$ thỏa mãn ĐKXĐ ✓

Kiểm tra lại phương trình gốc: $$\sqrt{1 – 3 + 2} = 1 – 1$$ $$\sqrt{0} = 0$$ ✓

Kết luận: Phương trình có nghiệm duy nhất $x = 1$

Dạng 8: Hệ phương trình chứa bậc 2

Bài 8: Giải hệ phương trình: $$\begin{cases} x + y = 5 \\ xy = 6 \end{cases}$$

Hướng dẫn giải:

Phương pháp: Sử dụng định lý Vi-ét ngược

Nhận xét: $x$ và $y$ là hai nghiệm của phương trình bậc 2 có:

• Tổng nghiệm: $S = 5$
• Tích nghiệm: $P = 6$

Lập phương trình:

Phương trình bậc 2 có hai nghiệm $x$ và $y$: $$t^2 – St + P = 0$$ $$t^2 – 5t + 6 = 0$$

Giải phương trình:

• $\Delta = 25 – 24 = 1 > 0$
• $t_1 = \dfrac{5 + 1}{2} = 3$
• $t_2 = \dfrac{5 – 1}{2} = 2$

Kết luận:

• Cặp nghiệm 1: $(x, y) = (2, 3)$
• Cặp nghiệm 2: $(x, y) = (3, 2)$

Kiểm tra:

• $2 + 3 = 5$ ✓ và $2 \times 3 = 6$ ✓
• $3 + 2 = 5$ ✓ và $3 \times 2 = 6$ ✓

VI. MẸO VÀ LƯU Ý KHI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2

1. Lựa chọn phương pháp giải

Thứ tự ưu tiên khi giải phương trình bậc 2:

Bước 1: Kiểm tra dạng đặc biệt

✅ Phương trình thiếu $c$ ($ax^2 + bx = 0$)

• Đặt $x$ ra ngoài: $x(ax + b) = 0$
• Rất nhanh, luôn có nghiệm $x = 0$

✅ Phương trình thiếu $b$ ($ax^2 + c = 0$)

• Chuyển vế: $x^2 = -\dfrac{c}{a}$
• Giải đơn giản

✅ Dạng hiệu hai bình phương ($x^2 – a^2 = 0$)

• Phân tích: $(x-a)(x+a) = 0$

Bước 2: Thử nhẩm nghiệm

✅ Kiểm tra $a + b + c = 0$

• Nếu đúng → $x_1 = 1$, $x_2 = \dfrac{c}{a}$

✅ Kiểm tra $a – b + c = 0$

• Nếu đúng → $x_1 = -1$, $x_2 = -\dfrac{c}{a}$

✅ Nhẩm bằng Vi-ét (nếu $a = 1$)

• Tìm hai số có tổng $-b$ và tích $c$

Bước 3: Phân tích nhân tử

✅ Nếu hệ số đẹp, dễ tách

• Phân tích thành tích các nhân tử

Bước 4: Dùng công thức

✅ Nếu $b$ chẵn → Dùng $\Delta’$ (nhanh hơn)

✅ Nếu $b$ lẻ → Dùng $\Delta$ (chuẩn)

2. Các lỗi thường gặp

❌ LỖI 1: Quên kiểm tra $a \neq 0$

Sai:

• Giải $mx^2 + 3x – 2 = 0$ mà không xét trường hợp $m = 0$

Đúng:

• Phải xét riêng: Nếu $m = 0$ → phương trình bậc nhất $3x – 2 = 0$

❌ LỖI 2: Sai dấu khi tính $\Delta$

Sai:

• Phương trình $x^2 + 3x – 2 = 0$
• Tính sai: $\Delta = 3^2 – 4 \times (-2) = 9 – 8 = 1$ ❌

Đúng:

• $\Delta = 3^2 – 4 \times 1 \times (-2) = 9 + 8 = 17$ ✓
• Lưu ý: $b^2$ luôn dương, kể cả khi $b < 0$

❌ LỖI 3: Quên nghiệm $x = 0$

Sai:

• Giải $2x^2 – 6x = 0$
• Chia hai vế cho $x$: $2x – 6 = 0 \Rightarrow x = 3$ ❌
• Bỏ sót nghiệm $x = 0$

Đúng:

• Đặt nhân tử: $2x(x – 3) = 0$
• $x = 0$ hoặc $x = 3$ ✓

❌ LỖI 4: Kết luận sai khi $\Delta < 0$

Sai:

• $\Delta < 0$ → Phương trình có nghiệm $x = …$ ❌

Đúng:

• $\Delta < 0$ → Phương trình vô nghiệm (trong tập số thực) ✓

❌ LỖI 5: Nhầm công thức nghiệm

Sai:

• $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{a}$ ❌ (thiếu mẫu số 2)

Đúng:

• $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$ ✓

3. Mẹo tính nhanh

Mẹo 1: Kiểm tra nhanh có nghiệm không

✅ Nếu $a$ và $c$ trái dấu ($ac < 0$)

• Phương trình luôn có 2 nghiệm (vì $\Delta > 0$)
• Không cần tính Delta

Ví dụ: $2x^2 + 3x – 5 = 0$

• $a = 2 > 0$, $c = -5 < 0$ → $ac < 0$
• Kết luận ngay: Có 2 nghiệm phân biệt

Mẹo 2: Nhận biết nghiệm đặc biệt

✅ Quy tắc 1: Nếu $a + b + c = 0$

• $x_1 = 1$
• $x_2 = \dfrac{c}{a}$

Ví dụ: $2x^2 – 5x + 3 = 0$

• Kiểm tra: $2 + (-5) + 3 = 0$ ✓
• Nghiệm: $x_1 = 1$, $x_2 = \dfrac{3}{2}$

✅ Quy tắc 2: Nếu $a – b + c = 0$

• $x_1 = -1$
• $x_2 = -\dfrac{c}{a}$

Ví dụ: $3x^2 + 4x + 1 = 0$

• Kiểm tra: $3 – 4 + 1 = 0$ ✓
• Nghiệm: $x_1 = -1$, $x_2 = -\dfrac{1}{3}$

Mẹo 3: Rút gọn trước khi giải

✅ Nếu các hệ số có ước chung

• Chia cả hai vế cho ước chung

Ví dụ: $6x^2 – 12x + 6 = 0$

• Chia cho 6: $x^2 – 2x + 1 = 0$
• $(x – 1)^2 = 0$
• $x = 1$

4. Kiểm tra kết quả

Cách 1: Thế nghiệm vào phương trình gốc

✅ Thay giá trị nghiệm vào phương trình ban đầu ✅ Kiểm tra xem có thỏa mãn không

Ví dụ: Phương trình $x^2 – 5x + 6 = 0$ có nghiệm $x = 2$

• Thay $x = 2$: $2^2 – 5(2) + 6 = 4 – 10 + 6 = 0$ ✓

Cách 2: Kiểm tra bằng định lý Vi-ét

✅ Tính tổng nghiệm: $x_1 + x_2$ ✅ So sánh với $-\dfrac{b}{a}$

✅ Tính tích nghiệm: $x_1 \cdot x_2$ ✅ So sánh với $\dfrac{c}{a}$

Ví dụ: Phương trình $x^2 – 5x + 6 = 0$ có nghiệm $x_1 = 2$, $x_2 = 3$

• $x_1 + x_2 = 2 + 3 = 5 = -\dfrac{-5}{1}$ ✓
• $x_1 \cdot x_2 = 2 \times 3 = 6 = \dfrac{6}{1}$ ✓

VII. ỨNG DỤNG THỰC TẾ

1. Trong vật lý – Chuyển động ném xiên

Bài toán: Phương trình độ cao của vật ném xiên: $$h(t) = h_0 + v_0t – \dfrac{1}{2}gt^2$$

Trong đó:

• $h(t)$: Độ cao tại thời điểm $t$ (mét)
• $h_0$: Độ cao ban đầu (mét)
• $v_0$: Vận tốc ban đầu (m/s)
• $g \approx 10$ m/s² (gia tốc trọng trường)
• $t$: Thời gian (giây)

Ứng dụng:

• Tìm thời gian chạm đất: Giải $h(t) = 0$
• Tìm độ cao cực đại: Tìm đỉnh parabol

2. Trong kinh tế – Tối ưu hóa lợi nhuận

Hàm lợi nhuận: $$P(x) = -ax^2 + bx – c$$

Trong đó:

• $P(x)$: Lợi nhuận (triệu đồng)
• $x$: Sản lượng (nghìn sản phẩm)
• $a > 0$: Hệ số chi phí biên tăng

Ứng dụng:

• Tìm sản lượng tối ưu: Tìm đỉnh parabol
• Phân tích điểm hòa vốn: Giải $P(x) = 0$

3. Trong hình học – Diện tích cực đại

Bài toán: Chu vi hình chữ nhật là 40m. Tìm cạnh để diện tích lớn nhất.

Giải:

• Gọi chiều dài: $x$ (m), $0 < x < 20$
• Chiều rộng: $20 – x$ (m)
• Diện tích: $S(x) = x(20-x) = -x^2 + 20x$

Tìm cực đại:

• Đây là parabol hướng xuống ($a = -1 < 0$)
• Đỉnh tại $x_I = -\dfrac{20}{2(-1)} = 10$ m
• $S_{max} = -100 + 200 = 100$ m²

Kết luận: Hình chữ nhật là hình vuông cạnh 10m, diện tích lớn nhất 100m².

5. Bài toán thực tế mẫu

Đề bài: Một người bắn mũi tên lên trời. Độ cao của mũi tên sau $t$ giây được cho bởi công thức: $h(t) = -5t^2 + 20t + 1 \quad \text{(mét)}$

Câu hỏi: a) Tìm thời điểm mũi tên đạt độ cao 16 mét b) Tìm thời điểm mũi tên rơi xuống đất c) Tìm độ cao lớn nhất mà mũi tên đạt được

Lời giải:

Câu a) Tìm thời điểm độ cao 16m:

Giải phương trình: $h(t) = 16$ $-5t^2 + 20t + 1 = 16$ $-5t^2 + 20t – 15 = 0$

Chia cho -5: $t^2 – 4t + 3 = 0$

Phân tích: $(t – 1)(t – 3) = 0$

Nghiệm: $t_1 = 1$ giây, $t_2 = 3$ giây

Kết luận: Mũi tên đạt độ cao 16m tại hai thời điểm:

• Lúc đi lên: $t = 1$ giây
• Lúc rơi xuống: $t = 3$ giây

Câu b) Tìm thời điểm chạm đất:

Giải phương trình: $h(t) = 0$ $-5t^2 + 20t + 1 = 0$

Nhân -1: $5t^2 – 20t – 1 = 0$

Áp dụng công thức:

• $a = 5$, $b = -20$, $c = -1$
• $b’ = -10$
• $\Delta’ = 100 + 5 = 105 > 0$
• $t = \dfrac{10 \pm \sqrt{105}}{5}$

Vì $t > 0$ nên: $t = \dfrac{10 + \sqrt{105}}{5} \approx \dfrac{10 + 10.25}{5} \approx 4.05 \text{ giây}$

Kết luận: Mũi tên chạm đất sau khoảng 4.05 giây.

Câu c) Tìm độ cao lớn nhất:

Đây là bài toán tìm đỉnh parabol.

Hệ số $a = -5 < 0$ nên parabol hướng xuống, có độ cao lớn nhất tại đỉnh.

Thời điểm đạt độ cao lớn nhất: $t_I = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{20}{2(-5)} = \dfrac{20}{10} = 2 \text{ giây}$

Độ cao lớn nhất: $h_{max} = h(2) = -5(2)^2 + 20(2) + 1$ $= -5 \times 4 + 40 + 1$ $= -20 + 40 + 1 = 21 \text{ mét}$

Kết luận: Mũi tên đạt độ cao lớn nhất 21 mét sau 2 giây.

VIII. KẾT LUẬN

Tổng kết

Bài viết đã trình bày đầy đủ và chi tiết về cách giải phương trình bậc 2:

✅ Định nghĩa và phân loại:

• Dạng chuẩn: $ax^2 + bx + c = 0$ với $a \neq 0$
• Phương trình đầy đủ và không đầy đủ
• Lịch sử và ứng dụng thực tế

✅ Công thức chính:

• Delta: $\Delta = b^2 – 4ac$
• Delta phẩy: $\Delta’ = (b’)^2 – ac$ (khi $b$ chẵn)
• Nghiệm: $x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$ hoặc $x_{1,2} = \dfrac{-b’ \pm \sqrt{\Delta’}}{a}$
• Vi-ét: $x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}$, $x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a}$

✅ 6 phương pháp giải:

1. Công thức Delta/Delta phẩy (tổng quát nhất)
2. Phân tích thành nhân tử (nhanh nếu làm được)
3. Nhẩm nghiệm bằng Vi-ét (khi $a=1$)
4. Giải phương trình không đầy đủ (đơn giản nhất)
5. Hoàn thành bình phương (lý thuyết)
6. Các phương pháp đặc biệt (nhẩm nhanh)

✅ 8 dạng bài tập:

• Giải phương trình cơ bản
• Phương trình có tham số
• Tìm điều kiện có nghiệm
• Nghiệm thỏa mãn điều kiện
• Phương trình chứa ẩn ở mẫu
• Phương trình tích
• Phương trình chứa căn
• Hệ phương trình

✅ Mẹo và lưu ý:

• Quy trình lựa chọn phương pháp
• 5 lỗi thường gặp và cách tránh
• 3 mẹo tính nhanh
• 2 cách kiểm tra kết quả

✅ Ứng dụng thực tế:

• Vật lý: chuyển động ném xiên
• Kinh tế: tối ưu hóa lợi nhuận
• Hình học: diện tích cực đại
• Kỹ thuật: thiết kế kết cấu

Xem thêm các chủ đề liên quan:

Cơ bản:

• [Công thức Delta – Biệt thức phương trình bậc 2 chi tiết]
• [Định lý Vi-ét và ứng dụng giải bài tập]
• [Hàm số bậc 2 – Đồ thị parabol]
• [Phương trình quy về bậc 2]

Nâng cao:

• [Phương trình bậc 2 chứa tham số]
• [Hệ phương trình bậc 2 – Phương pháp giải]
• [Phương trình vô tỉ đưa về bậc 2]
• [Bất phương trình bậc 2]

Bài tập:

• [100+ Bài tập phương trình bậc 2 có lời giải chi tiết]
• [Đề thi phương trình bậc 2 – Tổng hợp đề thi hay]
• [Bài tập phương trình bậc 2 thực tế]

ThS. Nguyễn Văn An

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn Tổ Toán tại Edus

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán học, Thạc sĩ Lý luận & Phương pháp dạy học môn Toán, Chức danh nghề nghiệp giáo viên THPT – Hạng II, Tin học ứng dụng cơ bản, Ngoại ngữ B1, Chứng chỉ bồi dưỡng năng lực tổ trưởng chuyên môn

Kinh nghiệm: 12+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT chuyên Trần Đại Nghĩa