I. Đường Tròn Ngoại Tiếp Và Nội Tiếp Tam Giác

1. Đường tròn ngoại tiếp tam giác

Định nghĩa:

Đường tròn ngoại tiếp tam giác là đường tròn đi qua cả 3 đỉnh của tam giác.

Tính chất quan trọng:

• Tâm O là giao điểm của 3 đường trung trực các cạnh
• Bán kính được ký hiệu là R (chữ hoa)
• Tâm O cách đều 3 đỉnh: OA = OB = OC = R
• Mọi tam giác đều có duy nhất một đường tròn ngoại tiếp

Vị trí tâm O phụ thuộc vào loại tam giác:

• Tam giác nhọn: Tâm O nằm bên trong tam giác
• Tam giác vuông: Tâm O là trung điểm cạnh huyền
• Tam giác tù: Tâm O nằm bên ngoài tam giác

2. Đường tròn nội tiếp tam giác

Định nghĩa:

Đường tròn nội tiếp tam giác là đường tròn tiếp xúc với cả 3 cạnh của tam giác.

Tính chất quan trọng:

• Tâm I là giao điểm của 3 đường phân giác các góc
• Bán kính được ký hiệu là r (chữ thường)
• Tâm I cách đều 3 cạnh, khoảng cách từ I đến mỗi cạnh đều bằng r
• Mọi tam giác đều có duy nhất một đường tròn nội tiếp

Vị trí tâm I:

• Tâm I luôn nằm bên trong tam giác (với mọi dạng tam giác)

3. Phân biệt ngoại tiếp và nội tiếp

Mẹo nhớ:

• R (HOA) = Rộng hơn = Ngoại tiếp (đi qua đỉnh)
• r (thường) = rút nhỏ = Nội tiếp (nằm trong)

II. Công Thức Bán Kính Đường Tròn Ngoại Tiếp (R)

1. Công thức cơ bản (Định lý sin mở rộng)

Công thức quan trọng nhất:

$$R = \frac{a}{2\sin A} = \frac{b}{2\sin B} = \frac{c}{2\sin C}$$

Trong đó:

• $a, b, c$: độ dài 3 cạnh của tam giác
• $A, B, C$: góc đối diện với cạnh $a, b, c$ tương ứng
• $R$: bán kính đường tròn ngoại tiếp

Ví dụ 1: Tam giác ABC có $a = BC = 10$ cm, $\widehat{A} = 30°$. Tính R.

Lời giải:

$$R = \frac{a}{2\sin A} = \frac{10}{2\sin 30°} = \frac{10}{2 \times 0.5} = \frac{10}{1} = 10 \text{ cm}$$

Đáp án: R = 10 cm

2. Công thức theo diện tích

$$R = \frac{abc}{4S}$$

Trong đó:

• $a, b, c$: độ dài 3 cạnh
• $S$: diện tích tam giác

Cách nhớ: “R bằng tích 3 cạnh chia cho 4 lần diện tích”

Ví dụ 2: Tam giác có 3 cạnh $a = 6$ cm, $b = 8$ cm, $c = 10$ cm. Biết diện tích $S = 24$ cm². Tính R.

Lời giải:

$$R = \frac{6 \times 8 \times 10}{4 \times 24} = \frac{480}{96} = 5 \text{ cm}$$

Đáp án: R = 5 cm

3. Công thức theo công thức Heron

Khi chỉ biết 3 cạnh mà không biết diện tích, ta kết hợp công thức Heron:

Bước 1: Tính nửa chu vi

$$p = \frac{a + b + c}{2}$$

Bước 2: Tính diện tích theo Heron

$$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$

Bước 3: Tính R

$$R = \frac{abc}{4S}$$

Ví dụ 3: Tam giác có $a = 5$ cm, $b = 6$ cm, $c = 7$ cm. Tính R.

Lời giải:

• Nửa chu vi: $p = \frac{5 + 6 + 7}{2} = 9$ cm
• Diện tích: $$S = \sqrt{9(9-5)(9-6)(9-7)} = \sqrt{9 \times 4 \times 3 \times 2} = \sqrt{216} = 6\sqrt{6} \text{ cm}^2$$
• Bán kính: $$R = \frac{5 \times 6 \times 7}{4 \times 6\sqrt{6}} = \frac{210}{24\sqrt{6}} = \frac{35}{4\sqrt{6}} = \frac{35\sqrt{6}}{24} \text{ cm}$$

Đáp án: $R = \frac{35\sqrt{6}}{24}$ cm

4. Công thức đặc biệt cho các tam giác

Tam giác vuông (góc C = 90°):

$$R = \frac{c}{2}$$

Với $c$ là cạnh huyền

Giải thích: Trong tam giác vuông, tâm đường tròn ngoại tiếp chính là trung điểm của cạnh huyền.

Ví dụ 4: Tam giác vuông có cạnh huyền 12 cm. Tính R.

Lời giải:

$$R = \frac{12}{2} = 6 \text{ cm}$$

Đáp án: R = 6 cm

Tam giác đều (cạnh a):

$$R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$$

Ví dụ 5: Tam giác đều có cạnh 6 cm. Tính R.

Lời giải:

$$R = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3} \text{ cm}$$

Đáp án: $R = 2\sqrt{3}$ cm (≈ 3.46 cm)

Tam giác cân:

Sử dụng công thức tổng quát $R = \frac{a}{2\sin A}$ với góc đáy hoặc góc ở đỉnh.

III. Công Thức Bán Kính Đường Tròn Nội Tiếp (r)

1. Công thức cơ bản (theo diện tích)

Công thức quan trọng nhất:

$$r = \frac{S}{p}$$

Trong đó:

• $S$: diện tích tam giác
• $p$: nửa chu vi $= \frac{a + b + c}{2}$

Cách nhớ: “r bằng diện tích chia cho nửa chu vi”

Ví dụ 6: Tam giác có chu vi 24 cm, diện tích 24 cm². Tính r.

Lời giải:

• Nửa chu vi: $p = \frac{24}{2} = 12$ cm
• Bán kính nội tiếp: $$r = \frac{24}{12} = 2 \text{ cm}$$

Đáp án: r = 2 cm

2. Công thức theo công thức Heron

Bước 1: Tính nửa chu vi

$$p = \frac{a + b + c}{2}$$

Bước 2: Tính diện tích

$$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$

Bước 3: Tính r

$$r = \frac{S}{p}$$

Hoặc công thức kết hợp:

$$r = \sqrt{\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}}$$

Ví dụ 7: Tam giác có $a = 5$ cm, $b = 6$ cm, $c = 7$ cm. Tính r.

Lời giải:

• Nửa chu vi: $p = \frac{5 + 6 + 7}{2} = 9$ cm
• Diện tích: $S = \sqrt{9 \times 4 \times 3 \times 2} = 6\sqrt{6}$ cm²
• Bán kính nội tiếp: $$r = \frac{6\sqrt{6}}{9} = \frac{2\sqrt{6}}{3} \text{ cm}$$

Đáp án: $r = \frac{2\sqrt{6}}{3}$ cm

3. Công thức theo 3 cạnh (trực tiếp)

$$r = (p – a)\tan\frac{A}{2} = (p – b)\tan\frac{B}{2} = (p – c)\tan\frac{C}{2}$$

Ví dụ 8: Tam giác ABC có $a = 8$ cm, $b = 6$ cm, $c = 10$ cm, $\widehat{A} = 60°$. Tính r.

Lời giải:

• Nửa chu vi: $p = \frac{8 + 6 + 10}{2} = 12$ cm
• Bán kính nội tiếp: $$r = (p – a)\tan\frac{A}{2} = (12 – 8)\tan 30° = 4 \times \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3} \text{ cm}$$

Đáp án: $r = \frac{4\sqrt{3}}{3}$ cm

4. Công thức đặc biệt cho các tam giác

Tam giác vuông (cạnh góc vuông a, b; cạnh huyền c):

$$r = \frac{a + b – c}{2}$$

Ví dụ 9: Tam giác vuông có hai cạnh góc vuông 3 cm và 4 cm, cạnh huyền 5 cm. Tính r.

Lời giải:

$$r = \frac{3 + 4 – 5}{2} = \frac{2}{2} = 1 \text{ cm}$$

Đáp án: r = 1 cm

Tam giác đều (cạnh a):

$$r = \frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{6}$$

Hoặc: $r = \frac{R}{2}$ (với tam giác đều)

Ví dụ 10: Tam giác đều có cạnh 6 cm. Tính r.

Lời giải:

$$r = \frac{6}{2\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{6} = \sqrt{3} \text{ cm}$$

Đáp án: $r = \sqrt{3}$ cm (≈ 1.73 cm)

Tam giác cân:

Sử dụng công thức tổng quát $r = \frac{S}{p}$

IV. Mối Liên Hệ Giữa R Và r

1. Công thức Euler

Khoảng cách giữa tâm ngoại tiếp O và tâm nội tiếp I:

$$OI^2 = R^2 – 2Rr$$

Hoặc:

$$OI = \sqrt{R(R – 2r)}$$

Ví dụ 11: Tam giác có $R = 5$ cm, $r = 2$ cm. Tính khoảng cách OI.

Lời giải:

$$OI = \sqrt{5(5 – 2 \times 2)} = \sqrt{5 \times 1} = \sqrt{5} \text{ cm}$$

Đáp án: $OI = \sqrt{5}$ cm (≈ 2.24 cm)

2. Bất đẳng thức Euler

$$R \geq 2r$$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi tam giác đều

Bất đẳng thức này cho thấy:

• Bán kính ngoại tiếp luôn ít nhất gấp đôi bán kính nội tiếp
• Chỉ có tam giác đều là $R = 2r$

3. Trường hợp đặc biệt

Tam giác đều:

• $R = 2r$
• $r = \frac{R}{2}$
• $OI = 0$ (tâm O trùng với tâm I)

Tam giác vuông:

• $R = \frac{c}{2}$ (với $c$ là cạnh huyền)
• $r = \frac{a + b – c}{2}$ (với $a, b$ là cạnh góc vuông)
• $R > 2r$ (luôn đúng cho tam giác vuông)

4. Công thức liên hệ với diện tích

$$S = pr = \frac{abc}{4R}$$

Từ đây suy ra:

$$Rr = \frac{abc}{4p}$$

Công thức này cho phép tính được một bán kính khi biết bán kính còn lại.

V. Các Dạng Bài Tập

Dạng 1: Tính R khi biết cạnh và góc

Bài 1: Tam giác ABC có $a = 8$ cm, $\widehat{A} = 45°$. Tính R.

Lời giải:

$$R = \frac{a}{2\sin A} = \frac{8}{2\sin 45°} = \frac{8}{2 \times \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{8}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2} \text{ cm}$$

Đáp án: $R = 4\sqrt{2}$ cm (≈ 5.66 cm)

Bài 2: Tam giác ABC có $b = 10$ cm, $\widehat{B} = 60°$. Tính R.

Lời giải:

$$R = \frac{b}{2\sin B} = \frac{10}{2\sin 60°} = \frac{10}{2 \times \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{10}{\sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{3}}{3} \text{ cm}$$

Đáp án: $R = \frac{10\sqrt{3}}{3}$ cm (≈ 5.77 cm)

Bài 3: Tam giác ABC có $c = 12$ cm, $\widehat{C} = 90°$. Tính R.

Lời giải:

Vì góc C = 90° nên đây là tam giác vuông với cạnh huyền $c = 12$ cm.

$$R = \frac{c}{2} = \frac{12}{2} = 6 \text{ cm}$$

Đáp án: R = 6 cm

Bài 4: Tam giác ABC có $a = 14$ cm, $\widehat{A} = 30°$. Tính R.

Lời giải:

$$R = \frac{a}{2\sin A} = \frac{14}{2\sin 30°} = \frac{14}{2 \times 0.5} = \frac{14}{1} = 14 \text{ cm}$$

Đáp án: R = 14 cm

Bài 5: Tam giác ABC có $b = 6$ cm, $\widehat{B} = 45°$. Tính R.

Lời giải:

$$R = \frac{b}{2\sin B} = \frac{6}{2\sin 45°} = \frac{6}{2 \times \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2} \text{ cm}$$

Đáp án: $R = 3\sqrt{2}$ cm (≈ 4.24 cm)

Bài 6: Tam giác ABC có $a = 9$ cm, $\widehat{A} = 60°$. Tính R.

Lời giải:

$$R = \frac{a}{2\sin A} = \frac{9}{2\sin 60°} = \frac{9}{2 \times \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{9}{\sqrt{3}} = 3\sqrt{3} \text{ cm}$$

Đáp án: $R = 3\sqrt{3}$ cm (≈ 5.20 cm)

Bài 7: Tam giác đều có cạnh 8 cm. Tính R.

Lời giải:

Áp dụng công thức tam giác đều:

$$R = \frac{a\sqrt{3}}{3} = \frac{8\sqrt{3}}{3} \text{ cm}$$

Đáp án: $R = \frac{8\sqrt{3}}{3}$ cm (≈ 4.62 cm)

Bài 8: Tam giác vuông có cạnh huyền 20 cm. Tính R.

Lời giải:

$$R = \frac{c}{2} = \frac{20}{2} = 10 \text{ cm}$$

Đáp án: R = 10 cm

Dạng 2: Tính R khi biết 3 cạnh

Bài 9: Tam giác có $a = 7$ cm, $b = 8$ cm, $c = 9$ cm. Tính R.

Lời giải:

• Nửa chu vi: $p = \frac{7 + 8 + 9}{2} = 12$ cm
• Diện tích: $$S = \sqrt{12 \times 5 \times 4 \times 3} = \sqrt{720} = 12\sqrt{5} \text{ cm}^2$$
• Bán kính: $$R = \frac{7 \times 8 \times 9}{4 \times 12\sqrt{5}} = \frac{504}{48\sqrt{5}} = \frac{21}{2\sqrt{5}} = \frac{21\sqrt{5}}{10} \text{ cm}$$

Đáp án: $R = \frac{21\sqrt{5}}{10}$ cm (≈ 4.70 cm)

Bài 10: Tam giác có $a = 5$ cm, $b = 12$ cm, $c = 13$ cm. Tính R.

Lời giải:

Nhận xét: $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$ → Tam giác vuông

$$R = \frac{c}{2} = \frac{13}{2} = 6.5 \text{ cm}$$

Đáp án: R = 6.5 cm

Bài 11: Tam giác có $a = 10$ cm, $b = 10$ cm, $c = 12$ cm. Tính R.

Lời giải:

• Nửa chu vi: $p = \frac{10 + 10 + 12}{2} = 16$ cm
• Diện tích: $$S = \sqrt{16 \times 6 \times 6 \times 4} = \sqrt{2304} = 48 \text{ cm}^2$$
• Bán kính: $$R = \frac{10 \times 10 \times 12}{4 \times 48} = \frac{1200}{192} = 6.25 \text{ cm}$$

Đáp án: R = 6.25 cm

Bài 12: Tam giác có $a = 6$ cm, $b = 8$ cm, $c = 10$ cm. Tính R.

Lời giải:

Nhận xét: $6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2$ → Tam giác vuông

$$R = \frac{c}{2} = \frac{10}{2} = 5 \text{ cm}$$

Đáp án: R = 5 cm

Bài 13: Tam giác có $a = 4$ cm, $b = 5$ cm, $c = 6$ cm. Tính R.

Lời giải:

• Nửa chu vi: $p = \frac{4 + 5 + 6}{2} = 7.5$ cm
• Diện tích: $$S = \sqrt{7.5 \times 3.5 \times 2.5 \times 1.5} = \sqrt{98.4375} \approx 9.92 \text{ cm}^2$$
• Bán kính: $$R = \frac{4 \times 5 \times 6}{4 \times 9.92} = \frac{120}{39.68} \approx 3.02 \text{ cm}$$

Đáp án: R ≈ 3.02 cm

Bài 14: Tam giác đều có cạnh 12 cm. Tính R.

Lời giải:

$$R = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3} \text{ cm}$$

Đáp án: $R = 4\sqrt{3}$ cm (≈ 6.93 cm)

Bài 15: Tam giác có $a = 9$ cm, $b = 12$ cm, $c = 15$ cm. Tính R.

Lời giải:

Nhận xét: $9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225 = 15^2$ → Tam giác vuông

$$R = \frac{c}{2} = \frac{15}{2} = 7.5 \text{ cm}$$

Đáp án: R = 7.5 cm

Bài 16: Tam giác có $a = 13$ cm, $b = 14$ cm, $c = 15$ cm. Tính R.

Lời giải:

• Nửa chu vi: $p = \frac{13 + 14 + 15}{2} = 21$ cm
• Diện tích: $$S = \sqrt{21 \times 8 \times 7 \times 6} = \sqrt{7056} = 84 \text{ cm}^2$$
• Bán kính: $$R = \frac{13 \times 14 \times 15}{4 \times 84} = \frac{2730}{336} = \frac{65}{8} = 8.125 \text{ cm}$$

Đáp án: R = 8.125 cm

Dạng 3: Tính r khi biết diện tích và chu vi

Bài 17: Tam giác có chu vi 30 cm, diện tích 30 cm². Tính r.

Lời giải:

• Nửa chu vi: $p = \frac{30}{2} = 15$ cm
• Bán kính nội tiếp: $$r = \frac{S}{p} = \frac{30}{15} = 2 \text{ cm}$$

Đáp án: r = 2 cm

Bài 18: Tam giác có chu vi 24 cm, diện tích 20 cm². Tính r.

Lời giải:

• Nửa chu vi: $p = \frac{24}{2} = 12$ cm
• Bán kính nội tiếp: $$r = \frac{20}{12} = \frac{5}{3} \text{ cm}$$

Đáp án: $r = \frac{5}{3}$ cm (≈ 1.67 cm)

Bài 19: Tam giác có chu vi 36 cm, diện tích 54 cm². Tính r.

Lời giải:

• Nửa chu vi: $p = \frac{36}{2} = 18$ cm
• Bán kính nội tiếp: $$r = \frac{54}{18} = 3 \text{ cm}$$

Đáp án: r = 3 cm

Bài 20: Tam giác có chu vi 42 cm, diện tích 84 cm². Tính r.

Lời giải:

• Nửa chu vi: $p = \frac{42}{2} = 21$ cm
• Bán kính nội tiếp: $$r = \frac{84}{21} = 4 \text{ cm}$$

Đáp án: r = 4 cm

Bài 21: Tam giác có chu vi 18 cm, diện tích 12 cm². Tính r.

Lời giải:

• Nửa chu vi: $p = \frac{18}{2} = 9$ cm
• Bán kính nội tiếp: $$r = \frac{12}{9} = \frac{4}{3} \text{ cm}$$

Đáp án: $r = \frac{4}{3}$ cm (≈ 1.33 cm)

Bài 22: Tam giác có chu vi 48 cm, diện tích 96 cm². Tính r.

Lời giải:

• Nửa chu vi: $p = \frac{48}{2} = 24$ cm
• Bán kính nội tiếp: $$r = \frac{96}{24} = 4 \text{ cm}$$

Đáp án: r = 4 cm

Bài 23: Tam giác có chu vi 60 cm, diện tích 150 cm². Tính r.

Lời giải:

• Nửa chu vi: $p = \frac{60}{2} = 30$ cm
• Bán kính nội tiếp: $$r = \frac{150}{30} = 5 \text{ cm}$$

Đáp án: r = 5 cm

Bài 24: Tam giác có chu vi 50 cm, diện tích 100 cm². Tính r.

Lời giải:

• Nửa chu vi: $p = \frac{50}{2} = 25$ cm
• Bán kính nội tiếp: $$r = \frac{100}{25} = 4 \text{ cm}$$

Đáp án: r = 4 cm

Dạng 4: Tính r khi biết 3 cạnh

Bài 25: Tam giác có $a = 6$ cm, $b = 8$ cm, $c = 10$ cm. Tính r.

Lời giải:

Nhận xét: $6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2$ → Tam giác vuông

$$r = \frac{a + b – c}{2} = \frac{6 + 8 – 10}{2} = \frac{4}{2} = 2 \text{ cm}$$

Đáp án: r = 2 cm

Bài 26: Tam giác có $a = 5$ cm, $b = 6$ cm, $c = 7$ cm. Tính r.

Lời giải:

• Nửa chu vi: $p = \frac{5 + 6 + 7}{2} = 9$ cm
• Diện tích: $S = \sqrt{9 \times 4 \times 3 \times 2} = 6\sqrt{6}$ cm²
• Bán kính nội tiếp: $$r = \frac{6\sqrt{6}}{9} = \frac{2\sqrt{6}}{3} \text{ cm}$$

Đáp án: $r = \frac{2\sqrt{6}}{3}$ cm (≈ 1.63 cm)

Bài 27: Tam giác có $a = 5$ cm, $b = 12$ cm, $c = 13$ cm. Tính r.

Lời giải:

Nhận xét: $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$ → Tam giác vuông

$$r = \frac{5 + 12 – 13}{2} = \frac{4}{2} = 2 \text{ cm}$$

Đáp án: r = 2 cm

Bài 28: Tam giác có $a = 7$ cm, $b = 8$ cm, $c = 9$ cm. Tính r.

Lời giải:

• Nửa chu vi: $p = \frac{7 + 8 + 9}{2} = 12$ cm
• Diện tích: $S = \sqrt{12 \times 5 \times 4 \times 3} = 12\sqrt{5}$ cm²
• Bán kính nội tiếp: $$r = \frac{12\sqrt{5}}{12} = \sqrt{5} \text{ cm}$$

Đáp án: $r = \sqrt{5}$ cm (≈ 2.24 cm)

Bài 29: Tam giác có $a = 9$ cm, $b = 12$ cm, $c = 15$ cm. Tính r.

Lời giải:

Nhận xét: $9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225 = 15^2$ → Tam giác vuông

$$r = \frac{9 + 12 – 15}{2} = \frac{6}{2} = 3 \text{ cm}$$

Đáp án: r = 3 cm

Bài 30: Tam giác có $a = 13$ cm, $b = 14$ cm, $c = 15$ cm. Tính r.

Lời giải:

• Nửa chu vi: $p = \frac{13 + 14 + 15}{2} = 21$ cm
• Diện tích: $S = \sqrt{21 \times 8 \times 7 \times 6} = 84$ cm²
• Bán kính nội tiếp: $$r = \frac{84}{21} = 4 \text{ cm}$$

Đáp án: r = 4 cm

Bài 31: Tam giác đều có cạnh 12 cm. Tính r.

Lời giải:

$$r = \frac{12\sqrt{3}}{6} = 2\sqrt{3} \text{ cm}$$

Đáp án: $r = 2\sqrt{3}$ cm (≈ 3.46 cm)

Bài 32: Tam giác có $a = 8$ cm, $b = 15$ cm, $c = 17$ cm. Tính r.

Lời giải:

Nhận xét: $8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289 = 17^2$ → Tam giác vuông

$$r = \frac{8 + 15 – 17}{2} = \frac{6}{2} = 3 \text{ cm}$$

Đáp án: r = 3 cm

Dạng 5: Bài toán tam giác đều

Bài 33: Tam giác đều có cạnh 12 cm. Tính R và r.

Lời giải:

• Bán kính ngoại tiếp: $$R = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3} \text{ cm}$$
• Bán kính nội tiếp: $$r = \frac{12\sqrt{3}}{6} = 2\sqrt{3} \text{ cm}$$
• Kiểm tra: $R = 4\sqrt{3} = 2 \times 2\sqrt{3} = 2r$ ✓

Đáp án: $R = 4\sqrt{3}$ cm, $r = 2\sqrt{3}$ cm

Bài 34: Tam giác đều có cạnh 18 cm. Tính R và r.

Lời giải:

• Bán kính ngoại tiếp: $$R = \frac{18\sqrt{3}}{3} = 6\sqrt{3} \text{ cm}$$
• Bán kính nội tiếp: $$r = \frac{18\sqrt{3}}{6} = 3\sqrt{3} \text{ cm}$$

Đáp án: $R = 6\sqrt{3}$ cm, $r = 3\sqrt{3}$ cm

Bài 35: Tam giác đều có cạnh 9 cm. Tính R và r.

Lời giải:

• Bán kính ngoại tiếp: $$R = \frac{9\sqrt{3}}{3} = 3\sqrt{3} \text{ cm}$$
• Bán kính nội tiếp: $$r = \frac{9\sqrt{3}}{6} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \text{ cm}$$

Đáp án: $R = 3\sqrt{3}$ cm, $r = \frac{3\sqrt{3}}{2}$ cm

Bài 36: Tam giác đều có cạnh 15 cm. Tính R và r.

Lời giải:

• Bán kính ngoại tiếp: $$R = \frac{15\sqrt{3}}{3} = 5\sqrt{3} \text{ cm}$$
• Bán kính nội tiếp: $$r = \frac{15\sqrt{3}}{6} = \frac{5\sqrt{3}}{2} \text{ cm}$$

Đáp án: $R = 5\sqrt{3}$ cm, $r = \frac{5\sqrt{3}}{2}$ cm

Bài 37: Tam giác đều có cạnh 24 cm. Tính R và r.

Lời giải:

• Bán kính ngoại tiếp: $$R = \frac{24\sqrt{3}}{3} = 8\sqrt{3} \text{ cm}$$
• Bán kính nội tiếp: $$r = \frac{24\sqrt{3}}{6} = 4\sqrt{3} \text{ cm}$$

Đáp án: $R = 8\sqrt{3}$ cm, $r = 4\sqrt{3}$ cm

Bài 38: Tam giác đều có $R = 6$ cm. Tính độ dài cạnh và r.

Lời giải:

• Từ $R = \frac{a\sqrt{3}}{3}$: $$6 = \frac{a\sqrt{3}}{3}$$ $$a = \frac{18}{\sqrt{3}} = 6\sqrt{3} \text{ cm}$$
• Bán kính nội tiếp: $$r = \frac{R}{2} = \frac{6}{2} = 3 \text{ cm}$$

Đáp án: $a = 6\sqrt{3}$ cm, $r = 3$ cm

Bài 39: Tam giác đều có $r = 4$ cm. Tính độ dài cạnh và R.

Lời giải:

• Từ $r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$: $$4 = \frac{a\sqrt{3}}{6}$$ $$a = \frac{24}{\sqrt{3}} = 8\sqrt{3} \text{ cm}$$
• Bán kính ngoại tiếp: $$R = 2r = 2 \times 4 = 8 \text{ cm}$$

Đáp án: $a = 8\sqrt{3}$ cm, $R = 8$ cm

Bài 40: Tam giác đều có chu vi 36 cm. Tính R và r.

Lời giải:

• Cạnh tam giác: $a = \frac{36}{3} = 12$ cm
• Bán kính ngoại tiếp: $$R = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3} \text{ cm}$$
• Bán kính nội tiếp: $$r = \frac{12\sqrt{3}}{6} = 2\sqrt{3} \text{ cm}$$

Đáp án: $R = 4\sqrt{3}$ cm, $r = 2\sqrt{3}$ cm

Dạng 6: Tính cạnh khi biết R hoặc r

Bài 41: Tam giác đều có $R = 8$ cm. Tính độ dài cạnh.

Lời giải:

Từ công thức $R = \frac{a\sqrt{3}}{3}$:

$$8 = \frac{a\sqrt{3}}{3}$$

$$a = \frac{24}{\sqrt{3}} = \frac{24\sqrt{3}}{3} = 8\sqrt{3} \text{ cm}$$

Đáp án: $a = 8\sqrt{3}$ cm (≈ 13.86 cm)

Bài 42: Tam giác đều có $r = 5$ cm. Tính độ dài cạnh.

Lời giải:

Từ công thức $r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$:

$$5 = \frac{a\sqrt{3}}{6}$$

$$a = \frac{30}{\sqrt{3}} = \frac{30\sqrt{3}}{3} = 10\sqrt{3} \text{ cm}$$

Đáp án: $a = 10\sqrt{3}$ cm (≈ 17.32 cm)

Bài 43: Tam giác vuông có $R = 7.5$ cm. Tính cạnh huyền.

Lời giải:

Từ công thức $R = \frac{c}{2}$:

$$7.5 = \frac{c}{2}$$

$$c = 15 \text{ cm}$$

Đáp án: c = 15 cm

Bài 44: Tam giác đều có $R = 10$ cm. Tính r.

Lời giải:

$$r = \frac{R}{2} = \frac{10}{2} = 5 \text{ cm}$$

Đáp án: r = 5 cm

Bài 45: Tam giác vuông có cạnh huyền 26 cm. Tính R.

Lời giải:

$$R = \frac{26}{2} = 13 \text{ cm}$$

Đáp án: R = 13 cm

Bài 46: Tam giác đều có diện tích $48\sqrt{3}$ cm². Tính R và r.

Lời giải:

• Từ $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$: $$48\sqrt{3} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$$ $$a^2 = 192$$ $$a = 8\sqrt{3} \text{ cm}$$
• Bán kính ngoại tiếp: $$R = \frac{8\sqrt{3} \times \sqrt{3}}{3} = \frac{24}{3} = 8 \text{ cm}$$
• Bán kính nội tiếp: $$r = \frac{R}{2} = 4 \text{ cm}$$

Đáp án: $R = 8$ cm, $r = 4$ cm

Bài 47: Tam giác vuông có hai cạnh góc vuông 6 cm và 8 cm. Tính R và r.

Lời giải:

• Cạnh huyền: $c = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10$ cm
• Bán kính ngoại tiếp: $$R = \frac{10}{2} = 5 \text{ cm}$$
• Bán kính nội tiếp: $$r = \frac{6 + 8 – 10}{2} = 2 \text{ cm}$$

Đáp án: $R = 5$ cm, $r = 2$ cm

Bài 48: Tam giác có chu vi 30 cm và $r = 3$ cm. Tính diện tích.

Lời giải:

• Nửa chu vi: $p = \frac{30}{2} = 15$ cm
• Từ công thức $r = \frac{S}{p}$: $$S = r \times p = 3 \times 15 = 45 \text{ cm}^2$$

Đáp án: S = 45 cm²

Dạng 7: Bài toán tổng hợp

Bài 49: Tam giác ABC có $AB = 5$ cm, $AC = 6$ cm, $BC = 7$ cm.

a) Tính diện tích tam giác
b) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp R
c) Tính bán kính đường tròn nội tiếp r
d) Tính khoảng cách OI

Lời giải:

a) Tính diện tích:

• Nửa chu vi: $p = \frac{5 + 6 + 7}{2} = 9$ cm
• Diện tích: $$S = \sqrt{9 \times 4 \times 3 \times 2} = \sqrt{216} = 6\sqrt{6} \text{ cm}^2$$

b) Tính R: $$R = \frac{5 \times 6 \times 7}{4 \times 6\sqrt{6}} = \frac{210}{24\sqrt{6}} = \frac{35\sqrt{6}}{24} \text{ cm}$$

c) Tính r: $$r = \frac{6\sqrt{6}}{9} = \frac{2\sqrt{6}}{3} \text{ cm}$$

d) Tính OI: $$OI = \sqrt{R(R – 2r)}$$

Thay số vào tính được kết quả.

Đáp án:

• a) $S = 6\sqrt{6}$ cm²
• b) $R = \frac{35\sqrt{6}}{24}$ cm
• c) $r = \frac{2\sqrt{6}}{3}$ cm
• d) Tính theo công thức Euler

Bài 50: Tam giác vuông có cạnh góc vuông 12 cm và 16 cm.

a) Tính cạnh huyền
b) Tính diện tích
c) Tính R
d) Tính r

Lời giải:

a) Cạnh huyền: $$c = \sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20 \text{ cm}$$

b) Diện tích: $$S = \frac{1}{2} \times 12 \times 16 = 96 \text{ cm}^2$$

c) Bán kính ngoại tiếp: $$R = \frac{20}{2} = 10 \text{ cm}$$

d) Bán kính nội tiếp: $$r = \frac{12 + 16 – 20}{2} = \frac{8}{2} = 4 \text{ cm}$$

Đáp án: $c = 20$ cm, $S = 96$ cm², $R = 10$ cm, $r = 4$ cm

Bài 51: Tam giác có $R = 10$ cm, $r = 4$ cm. Tính khoảng cách OI.

Lời giải:

$$OI = \sqrt{R(R – 2r)} = \sqrt{10(10 – 2 \times 4)} = \sqrt{10 \times 2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \text{ cm}$$

Đáp án: $OI = 2\sqrt{5}$ cm (≈ 4.47 cm)

Bài 52: Tam giác có chu vi 48 cm, diện tích 96 cm².

a) Tính r
b) Nếu biết tam giác có 3 cạnh 13 cm, 14 cm, 21 cm, tính R

Lời giải:

a) Tính r:

• Nửa chu vi: $p = \frac{48}{2} = 24$ cm $$r = \frac{96}{24} = 4 \text{ cm}$$

b) Tính R: $$R = \frac{13 \times 14 \times 21}{4 \times 96} = \frac{3822}{384} = \frac{637}{64} \approx 9.95 \text{ cm}$$

Đáp án: $r = 4$ cm, $R \approx 9.95$ cm

Bài 53: Tam giác đều có chu vi 54 cm.

a) Tính độ dài cạnh
b) Tính diện tích
c) Tính R
d) Tính r
e) Kiểm tra $R = 2r$

Lời giải:

a) Độ dài cạnh: $a = \frac{54}{3} = 18$ cm

b) Diện tích: $$S = \frac{18^2\sqrt{3}}{4} = \frac{324\sqrt{3}}{4} = 81\sqrt{3} \text{ cm}^2$$

c) Bán kính ngoại tiếp: $$R = \frac{18\sqrt{3}}{3} = 6\sqrt{3} \text{ cm}$$

d) Bán kính nội tiếp: $$r = \frac{18\sqrt{3}}{6} = 3\sqrt{3} \text{ cm}$$

e) Kiểm tra: $R = 6\sqrt{3} = 2 \times 3\sqrt{3} = 2r$ ✓

Đáp án: $a = 18$ cm, $S = 81\sqrt{3}$ cm², $R = 6\sqrt{3}$ cm, $r = 3\sqrt{3}$ cm

Bài 54: Tam giác có $a = 10$ cm, $b = 12$ cm, $\widehat{C} = 60°$.

a) Tính cạnh c
b) Tính diện tích
c) Tính R
d) Tính r

Lời giải:

a) Tính cạnh c (định lý cosin): $$c^2 = 10^2 + 12^2 – 2 \times 10 \times 12 \times \cos 60°$$ $$c^2 = 100 + 144 – 240 \times 0.5 = 124$$ $$c = 2\sqrt{31} \text{ cm}$$

b) Diện tích: $$S = \frac{1}{2} \times 10 \times 12 \times \sin 60° = \frac{1}{2} \times 10 \times 12 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 30\sqrt{3} \text{ cm}^2$$

c) Bán kính ngoại tiếp: $$R = \frac{c}{2\sin C} = \frac{2\sqrt{31}}{2\sin 60°} = \frac{2\sqrt{31}}{2 \times \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2\sqrt{31}}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{93}}{3} \text{ cm}$$

d) Bán kính nội tiếp:

• Nửa chu vi: $p = \frac{10 + 12 + 2\sqrt{31}}{2} = 11 + \sqrt{31}$ cm $$r = \frac{30\sqrt{3}}{11 + \sqrt{31}} \text{ cm}$$

Đáp án: $c = 2\sqrt{31}$ cm, $S = 30\sqrt{3}$ cm², các kết quả R và r như trên

Bài 55: Tam giác có $R = 15$ cm, diện tích $S = 108$ cm². Biết chu vi là 72 cm. Tính r.

Lời giải:

• Nửa chu vi: $p = \frac{72}{2} = 36$ cm
• Bán kính nội tiếp: $$r = \frac{S}{p} = \frac{108}{36} = 3 \text{ cm}$$

Đáp án: r = 3 cm

Bài 56: Tam giác có chu vi 60 cm, $R = 12.5$ cm, $r = 5$ cm.

a) Tính diện tích
b) Kiểm tra công thức $R \geq 2r$
c) Tính khoảng cách OI

Lời giải:

a) Diện tích:

• Nửa chu vi: $p = 30$ cm $$S = r \times p = 5 \times 30 = 150 \text{ cm}^2$$

b) Kiểm tra: $R = 12.5$ và $2r = 10$
→ $12.5 > 10$ nên $R > 2r$ ✓ (không phải tam giác đều)

c) Khoảng cách OI: $$OI = \sqrt{12.5(12.5 – 2 \times 5)} = \sqrt{12.5 \times 2.5} = \sqrt{31.25} \approx 5.59 \text{ cm}$$

Đáp án: $S = 150$ cm², $R > 2r$ (thỏa mãn), $OI \approx 5.59$ cm

VI. Bảng Công Thức Tổng Hợp

Bảng 1: Công thức bán kính ngoại tiếp R

Bảng 2: Công thức bán kính nội tiếp r

Bảng 3: So sánh R và r

VII. Mẹo Và Lưu Ý

1. Các sai lầm thường gặp

❌ SAI:

• Nhầm R và r (nhầm ngoại tiếp và nội tiếp)
• Quên công thức đặc biệt cho tam giác vuông và đều
• Tính sai diện tích theo Heron
• Nhầm chu vi và nửa chu vi (p)
• Quên quy tắc $R \geq 2r$

✅ ĐÚNG:

• R (chữ HOA) = ngoại tiếp (đi qua 3 đỉnh)
• r (chữ thường) = nội tiếp (tiếp xúc 3 cạnh)
• Luôn có $R \geq 2r$, dấu bằng khi tam giác đều
• Tam giác vuông: $R = \frac{c}{2}$ và $r = \frac{a+b-c}{2}$

2. Mẹo nhớ công thức

Mẹo 1: Phân biệt R và r

• R (HOA) = Rộng hơn = Ngoại tiếp (đi qua đỉnh)
• r (thường) = rút nhỏ = Nội tiếp (nằm trong)

Mẹo 2: Công thức nội tiếp

• “r = S chia p” → $r = \frac{S}{p}$
• Diện tích chia nửa chu vi

Mẹo 3: Tam giác vuông

• R = nửa cạnh huyền
• r = (tổng 2 cạnh góc vuông trừ cạnh huyền) chia 2

Mẹo 4: Tam giác đều

• $R = 2r$ (duy nhất tam giác đều có tính chất này)
• $R = \frac{a\sqrt{3}}{3}$ và $r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$

3. Thứ tự giải bài tập

1. Xác định loại tam giác: Vuông? Đều? Thường?
2. Kiểm tra dữ kiện: Biết những gì? (cạnh, góc, diện tích, chu vi)
3. Chọn công thức phù hợp: Dùng công thức đặc biệt nếu có
4. Tính toán cẩn thận: Chú ý khai căn và rút gọn
5. Kiểm tra kết quả: $R > r$ và $R \geq 2r$

VIII. Kết Luận

Tổng kết

Bài viết đã trình bày đầy đủ công thức bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp, bao gồm:

Bán kính ngoại tiếp R:

• Công thức chính: $R = \frac{a}{2\sin A} = \frac{abc}{4S}$
• Tam giác vuông: $R = \frac{c}{2}$
• Tam giác đều: $R = \frac{a\sqrt{3}}{3}$

Bán kính nội tiếp r:

• Công thức chính: $r = \frac{S}{p}$
• Tam giác vuông: $r = \frac{a+b-c}{2}$
• Tam giác đều: $r = \frac{a\sqrt{3}}{6} = \frac{R}{2}$

Mối liên hệ: $R \geq 2r$, dấu “=” khi và chỉ khi tam giác đều

56 bài tập đa dạng với lời giải chi tiết

Phụ Lục: Bảng Tra Cứu Nhanh

Công thức tổng quát luôn đúng:

• $R = \frac{a}{2\sin A}$
• $r = \frac{S}{p}$

Công thức Euler: $OI = \sqrt{R(R – 2r)}$

Bất đẳng thức: $R \geq 2r$ (dấu “=” khi tam giác đều)

ThS. Nguyễn Văn An

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn Tổ Toán tại Edus

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán học, Thạc sĩ Lý luận & Phương pháp dạy học môn Toán, Chức danh nghề nghiệp giáo viên THPT – Hạng II, Tin học ứng dụng cơ bản, Ngoại ngữ B1, Chứng chỉ bồi dưỡng năng lực tổ trưởng chuyên môn

Kinh nghiệm: 12+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT chuyên Trần Đại Nghĩa