I. GIỚI THIỆU VỀ BIÊN ĐỘ DAO ĐỘNG

1. Biên độ là gì?

Định nghĩa: Biên độ dao động là độ lệch cực đại của vật khỏi vị trí cân bằng trong quá trình dao động điều hòa.

Ký hiệu: $A$ (đơn vị: mét – m, hoặc centimet – cm)

Đặc điểm quan trọng:

• Biên độ luôn là số dương: $A > 0$
• Trong dao động điều hòa không có ma sát, biên độ không đổi theo thời gian
• Biên độ xác định phạm vi dao động của vật
• Li độ $x$ luôn thỏa mãn: $-A \leq x \leq A$

Ý nghĩa vật lý:

• Biên độ càng lớn, vật dao động càng xa vị trí cân bằng
• Biên độ đặc trưng cho “độ mạnh” của dao động
• Khi vật ở vị trí biên ($x = \pm A$), vận tốc bằng 0

2. Vai trò của biên độ

Xác định phạm vi dao động:

Vật dao động trong khoảng từ $-A$ đến $+A$ quanh vị trí cân bằng:

• Vị trí biên trái: $x_{min} = -A$
• Vị trí cân bằng: $x = 0$
• Vị trí biên phải: $x_{max} = +A$

Liên quan đến năng lượng:

Năng lượng dao động tỉ lệ với bình phương biên độ:

Con lắc lò xo: $$W = \frac{1}{2}kA^2 = \frac{1}{2}m\omega^2A^2$$

Con lắc đơn (dao động nhỏ): $$W = \frac{1}{2}m\omega^2A^2 = \frac{mgA^2}{2l}$$

Ảnh hưởng đến các đại lượng khác:

Biên độ quyết định các giá trị cực đại:

• Vận tốc cực đại: $v_{max} = \omega A$
• Gia tốc cực đại: $a_{max} = \omega^2 A$
• Lực hồi phục cực đại: $F_{max} = m\omega^2 A = kA$ (con lắc lò xo)

II. CÔNG THỨC TÍNH BIÊN ĐỘ TỪ ĐIỀU KIỆN BAN ĐẦU

1. Từ li độ và vận tốc tại thời điểm $t$

Công thức tổng quát:

$$\boxed{A = \sqrt{x^2 + \frac{v^2}{\omega^2}}}$$

Trong đó:

• $A$: Biên độ dao động (m)
• $x$: Li độ tại thời điểm $t$ (m)
• $v$: Vận tốc tại thời điểm $t$ (m/s)
• $\omega$: Tần số góc (rad/s)

Chứng minh:

Từ phương trình dao động: $x = A\cos(\omega t + \varphi)$

Suy ra vận tốc: $v = -A\omega\sin(\omega t + \varphi)$

Ta có: $$x^2 = A^2\cos^2(\omega t + \varphi)$$ $$\frac{v^2}{\omega^2} = A^2\sin^2(\omega t + \varphi)$$

Cộng hai vế: $$x^2 + \frac{v^2}{\omega^2} = A^2[\cos^2(\omega t + \varphi) + \sin^2(\omega t + \varphi)] = A^2$$

Vậy: $A = \sqrt{x^2 + \frac{v^2}{\omega^2}}$

Ví dụ 1: Con lắc lò xo dao động với tần số góc $\omega = 10$ rad/s. Tại một thời điểm, vật có li độ $x = 0.03$ m và vận tốc $v = 0.4$ m/s. Tính biên độ dao động.

Lời giải:

Áp dụng công thức: $$A = \sqrt{x^2 + \frac{v^2}{\omega^2}}$$

Thay số: $$A = \sqrt{(0.03)^2 + \frac{(0.4)^2}{(10)^2}}$$ $$= \sqrt{0.0009 + \frac{0.16}{100}}$$ $$= \sqrt{0.0009 + 0.0016}$$ $$= \sqrt{0.0025}$$ $$= 0.05 \text{ m} = 5 \text{ cm}$$

Kết luận: Biên độ dao động là 5 cm.

2. Từ năng lượng

Con lắc lò xo:

Năng lượng dao động: $W = \frac{1}{2}kA^2$

Suy ra: $$\boxed{A = \sqrt{\frac{2W}{k}}}$$

Hoặc nếu biết khối lượng $m$ và tần số góc $\omega$: $$\boxed{A = \sqrt{\frac{2W}{m\omega^2}}}$$

Con lắc đơn (dao động nhỏ):

Năng lượng: $W = \frac{mgA^2}{2l}$

Suy ra: $$\boxed{A = \sqrt{\frac{2Wl}{mg}}}$$

Trong đó $l$ là chiều dài dây treo, $g$ là gia tốc trọng trường.

Ví dụ 2: Con lắc lò xo có độ cứng $k = 100$ N/m, năng lượng dao động $W = 0.5$ J. Tính biên độ.

Lời giải:

Áp dụng công thức: $$A = \sqrt{\frac{2W}{k}} = \sqrt{\frac{2 \times 0.5}{100}} = \sqrt{\frac{1}{100}} = \sqrt{0.01} = 0.1 \text{ m} = 10 \text{ cm}$$

Kết luận: Biên độ là 10 cm.

3. Từ vị trí ban đầu và vận tốc ban đầu

Tại thời điểm $t = 0$: Vật ở vị trí $x_0$ với vận tốc $v_0$

Công thức tổng quát: $$\boxed{A = \sqrt{x_0^2 + \frac{v_0^2}{\omega^2}}}$$

Trường hợp đặc biệt:

a) Kéo vật đến vị trí $x_0$ rồi thả nhẹ ($v_0 = 0$):

$$\boxed{A = |x_0|}$$

Ví dụ: Kéo vật ra khỏi VTCB 8 cm rồi thả nhẹ

• $x_0 = 8$ cm, $v_0 = 0$
• $A = |x_0| = 8$ cm

b) Tại VTCB cho vận tốc $v_0$ ($x_0 = 0$):

$$\boxed{A = \frac{|v_0|}{\omega}}$$

Ví dụ: Vật đang ở VTCB, truyền vận tốc $v_0 = 60$ cm/s, $\omega = 20$ rad/s

• $A = \frac{60}{20} = 3$ cm

c) Tại vị trí $x_0 = \frac{A}{2}$ cho vận tốc:

Từ công thức: $A = \sqrt{x_0^2 + \frac{v_0^2}{\omega^2}}$

Với $x_0 = \frac{A}{2}$: $$A^2 = \frac{A^2}{4} + \frac{v_0^2}{\omega^2}$$ $$\frac{3A^2}{4} = \frac{v_0^2}{\omega^2}$$ $$v_0 = \frac{\sqrt{3}A\omega}{2}$$

4. Công thức đặc biệt cho con lắc lò xo

Nếu biết khối lượng $m$ và độ cứng $k$:

Vì $\omega^2 = \frac{k}{m}$, ta có:

$$\boxed{A = \sqrt{x^2 + \frac{mv^2}{k}}}$$

Ví dụ 3: Con lắc lò xo $m = 200$ g, $k = 80$ N/m. Tại $t$ có $x = 2$ cm, $v = 40$ cm/s. Tính $A$?

Lời giải:

Đổi đơn vị: $m = 0.2$ kg, $x = 0.02$ m, $v = 0.4$ m/s

$$A = \sqrt{x^2 + \frac{mv^2}{k}} = \sqrt{(0.02)^2 + \frac{0.2 \times (0.4)^2}{80}}$$ $$= \sqrt{0.0004 + \frac{0.032}{80}} = \sqrt{0.0004 + 0.0004} = \sqrt{0.0008}$$ $$= 0.0283 \text{ m} \approx 2.83 \text{ cm}$$

III. CÔNG THỨC TỔNG HỢP DAO ĐỘNG

1. Tổng hợp 2 dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số

Bài toán: Cho hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số:

Dao động 1: $x_1 = A_1\cos(\omega t + \varphi_1)$

Dao động 2: $x_2 = A_2\cos(\omega t + \varphi_2)$

Dao động tổng hợp: $x = x_1 + x_2 = A\cos(\omega t + \varphi)$

Mục tiêu: Tìm biên độ $A$ và pha ban đầu $\varphi$ của dao động tổng hợp.

2. Công thức biên độ tổng hợp

Công thức tổng quát:

$$\boxed{A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2\cos(\varphi_2 – \varphi_1)}}$$

Hoặc viết gọn với độ lệch pha $\Delta\varphi = \varphi_2 – \varphi_1$:

$$\boxed{A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2\cos\Delta\varphi}}$$

Chứng minh bằng phương pháp vectơ quay (Fresnel):

Biểu diễn mỗi dao động bằng một vectơ:

• Dao động $x_1 = A_1\cos(\omega t + \varphi_1)$ → Vectơ $\vec{A_1}$ có độ dài $A_1$, hợp với trục Ox góc $\varphi_1$
• Dao động $x_2 = A_2\cos(\omega t + \varphi_2)$ → Vectơ $\vec{A_2}$ có độ dài $A_2$, hợp với trục Ox góc $\varphi_2$

Dao động tổng hợp: $\vec{A} = \vec{A_1} + \vec{A_2}$

Áp dụng định lý hàm cos trong tam giác: $$A^2 = A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2\cos(\varphi_2 – \varphi_1)$$

Ví dụ 4: Cho $A_1 = 3$ cm, $A_2 = 4$ cm, độ lệch pha $\Delta\varphi = 60°$. Tính biên độ tổng hợp.

Lời giải:

Áp dụng công thức: $$A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2\cos\Delta\varphi}$$ $$= \sqrt{3^2 + 4^2 + 2 \times 3 \times 4 \times \cos 60°}$$ $$= \sqrt{9 + 16 + 24 \times 0.5}$$ $$= \sqrt{25 + 12}$$ $$= \sqrt{37} \approx 6.08 \text{ cm}$$

Kết luận: Biên độ tổng hợp là khoảng 6.08 cm.

3. Các trường hợp đặc biệt

a) Hai dao động cùng pha

Điều kiện: $\Delta\varphi = 0°, 360°, 720°, …$ (hay $\Delta\varphi = 2k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$)

$$\cos\Delta\varphi = \cos 0° = 1$$

Công thức: $$\boxed{A = A_1 + A_2} \quad \text{(Biên độ cực đại)}$$

Ví dụ: $x_1 = 3\cos(\omega t)$ cm, $x_2 = 4\cos(\omega t)$ cm

• Cùng pha vì $\varphi_1 = \varphi_2 = 0$
• $A = 3 + 4 = 7$ cm

b) Hai dao động ngược pha

Điều kiện: $\Delta\varphi = 180°, 540°, …$ (hay $\Delta\varphi = (2k+1)\pi$, $k \in \mathbb{Z}$)

$$\cos\Delta\varphi = \cos 180° = -1$$

Công thức: $$\boxed{A = |A_1 – A_2|} \quad \text{(Biên độ cực tiểu)}$$

Ví dụ: $x_1 = 5\cos(\omega t)$ cm, $x_2 = 3\cos(\omega t + \pi)$ cm

• Ngược pha vì $\Delta\varphi = \pi$
• $A = |5 – 3| = 2$ cm

c) Hai dao động vuông pha

Điều kiện: $\Delta\varphi = 90°, 270°, …$ (hay $\Delta\varphi = \frac{(2k+1)\pi}{2}$, $k \in \mathbb{Z}$)

$$\cos\Delta\varphi = \cos 90° = 0$$

Công thức: $$\boxed{A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2}} \quad \text{(Định lý Pythagore)}$$

Ví dụ: $x_1 = 6\cos(\omega t)$ cm, $x_2 = 8\cos(\omega t + \frac{\pi}{2})$ cm

• Vuông pha vì $\Delta\varphi = \frac{\pi}{2}$
• $A = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ cm

4. Giới hạn biên độ tổng hợp

Định lý: Với mọi độ lệch pha $\Delta\varphi$, biên độ tổng hợp luôn thỏa mãn:

$$\boxed{|A_1 – A_2| \leq A \leq A_1 + A_2}$$

Giải thích:

• Cực đại: $A_{max} = A_1 + A_2$ khi hai dao động cùng pha ($\Delta\varphi = 0°$)
• Cực tiểu: $A_{min} = |A_1 – A_2|$ khi hai dao động ngược pha ($\Delta\varphi = 180°$)

Ví dụ: $A_1 = 8$ cm, $A_2 = 5$ cm

• $A_{min} = |8 – 5| = 3$ cm (ngược pha)
• $A_{max} = 8 + 5 = 13$ cm (cùng pha)
• Với mọi $\Delta\varphi$ khác: $3 \leq A \leq 13$ cm

5. Công thức pha ban đầu của dao động tổng hợp

Công thức:

$$\boxed{\tan\varphi = \frac{A_1\sin\varphi_1 + A_2\sin\varphi_2}{A_1\cos\varphi_1 + A_2\cos\varphi_2}}$$

Ví dụ 5: $x_1 = 3\cos(\omega t)$ cm, $x_2 = 4\cos(\omega t + \frac{\pi}{2})$ cm

Lời giải:

Bước 1: Tính biên độ tổng hợp

• $\varphi_1 = 0$, $\varphi_2 = \frac{\pi}{2}$
• $A = \sqrt{9 + 16 + 0} = 5$ cm (vuông pha)

Bước 2: Tính pha ban đầu $$\tan\varphi = \frac{3\sin 0 + 4\sin\frac{\pi}{2}}{3\cos 0 + 4\cos\frac{\pi}{2}} = \frac{0 + 4}{3 + 0} = \frac{4}{3}$$

$$\varphi = \arctan\frac{4}{3} \approx 53.13° \approx 0.927 \text{ rad}$$

Kết luận: $x = 5\cos(\omega t + 0.927)$ cm

6. Phương pháp Fresnel (Vectơ quay)

Nguyên tắc: Biểu diễn mỗi dao động điều hòa bằng một vectơ quay:

• Dao động $x_i = A_i\cos(\omega t + \varphi_i)$
• Tương ứng với vectơ $\vec{A_i}$ có:
  • Độ dài (môđun): $A_i$
  • Góc với trục Ox: $\varphi_i$
  • Quay đều với tốc độ góc $\omega$

Tổng hợp: Dao động tổng hợp $\leftrightarrow$ Tổng vectơ: $$\vec{A} = \vec{A_1} + \vec{A_2}$$

Định lý hình bình hành:

Vẽ hai vectơ $\vec{A_1}$ và $\vec{A_2}$ từ cùng một gốc, góc giữa chúng là $\Delta\varphi = \varphi_2 – \varphi_1$.

Theo định lý hàm cos: $$A^2 = A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2\cos\Delta\varphi$$

Ưu điểm phương pháp Fresnel:

• Trực quan, dễ hình dung
• Tổng hợp được nhiều dao động
• Áp dụng cho bài toán giao thoa sóng

IV. CÔNG THỨC BIÊN ĐỘ TRONG CÁC BÀI TOÁN ĐẶC BIỆT

1. Con lắc lò xo treo thẳng đứng

Biên độ từ chiều dài lò xo:

Gọi:

• $l_0$: Chiều dài tự nhiên của lò xo
• $\Delta l_0$: Độ giãn của lò xo ở vị trí cân bằng
• $l_{min}$: Chiều dài nhỏ nhất của lò xo
• $l_{max}$: Chiều dài lớn nhất của lò xo

Công thức:

$$\boxed{A = \frac{l_{max} – l_{min}}{2}}$$

Giải thích:

• Tại vị trí cao nhất (biên trên): $l_{min} = l_0 + \Delta l_0 – A$
• Tại vị trí thấp nhất (biên dưới): $l_{max} = l_0 + \Delta l_0 + A$
• Lấy hiệu: $l_{max} – l_{min} = 2A$

Ví dụ 6: Con lắc lò xo treo thẳng đứng dao động điều hòa. Chiều dài lò xo biến thiên từ 30 cm đến 40 cm. Tính biên độ.

Lời giải: $$A = \frac{l_{max} – l_{min}}{2} = \frac{40 – 30}{2} = 5 \text{ cm}$$

Kết luận: Biên độ dao động là 5 cm.

2. Lực đàn hồi cực đại/cực tiểu

Con lắc lò xo treo thẳng đứng:

Lực đàn hồi: $F_{đh} = k|l – l_0|$

Tại VTCB: $F_{đh_0} = k\Delta l_0 = mg$

Lực đàn hồi cực đại và cực tiểu:

$$\boxed{F_{đh_{max}} = k(\Delta l_0 + A)}$$

$$\boxed{F_{đh_{min}} = k|\Delta l_0 – A|}$$

Phân tích 3 trường hợp:

a) Nếu $A < \Delta l_0$: Lò xo luôn giãn

$$F_{đh_{min}} = k(\Delta l_0 – A) > 0$$

Lò xo không bao giờ về đúng chiều dài tự nhiên.

b) Nếu $A = \Delta l_0$: Lò xo vừa hết giãn

$$F_{đh_{min}} = 0$$

Lò xo vừa đúng về chiều dài tự nhiên tại vị trí cao nhất.

c) Nếu $A > \Delta l_0$: Lò xo có lúc nén

$$F_{đh_{min}} = k(A – \Delta l_0)$$

Lò xo bị nén ở phần trên vị trí cân bằng.

Ví dụ 7: Con lắc lò xo $k = 100$ N/m, $m = 100$ g treo thẳng đứng. Lấy $g = 10$ m/s².

a) Tính $\Delta l_0$ b) Nếu $A = 3$ cm, tính $F_{đh_{max}}$ và $F_{đh_{min}}$

Lời giải:

Câu a: $$\Delta l_0 = \frac{mg}{k} = \frac{0.1 \times 10}{100} = 0.01 \text{ m} = 1 \text{ cm}$$

Câu b:

• $A = 3$ cm $> \Delta l_0 = 1$ cm → Lò xo có lúc nén
• $F_{đh_{max}} = k(\Delta l_0 + A) = 100 \times (0.01 + 0.03) = 4$ N
• $F_{đh_{min}} = k(A – \Delta l_0) = 100 \times (0.03 – 0.01) = 2$ N

3. Biên độ thay đổi (có ma sát)

Dao động tắt dần:

Khi có ma sát, biên độ giảm dần theo thời gian:

$$\boxed{A_n = A_0 – n\Delta A}$$

Trong đó:

• $A_0$: Biên độ ban đầu
• $A_n$: Biên độ sau $n$ chu kỳ
• $\Delta A$: Độ giảm biên độ sau mỗi chu kỳ

Con lắc lò xo nằm ngang có ma sát:

$$\boxed{\Delta A = \frac{4\mu mg}{k}}$$

Với:

• $\mu$: Hệ số ma sát trượt
• $m$: Khối lượng vật
• $g$: Gia tốc trọng trường
• $k$: Độ cứng lò xo

Sau $n$ chu kỳ: $$\boxed{A_n = A_0 – \frac{4n\mu mg}{k}}$$

Số chu kỳ dao động đến khi dừng:

Vật dừng lại khi $A_n = 0$: $$0 = A_0 – n_{max}\Delta A$$ $$\boxed{n_{max} = \frac{A_0}{\Delta A} = \frac{kA_0}{4\mu mg}}$$

Ví dụ 8: Con lắc lò xo nằm ngang, $k = 40$ N/m, $m = 100$ g, $\mu = 0.1$, $A_0 = 10$ cm. Lấy $g = 10$ m/s². Tính biên độ sau 5 chu kỳ.

Lời giải:

Bước 1: Tính độ giảm biên độ mỗi chu kỳ: $$\Delta A = \frac{4\mu mg}{k} = \frac{4 \times 0.1 \times 0.1 \times 10}{40} = \frac{0.4}{40} = 0.01 \text{ m} = 1 \text{ cm}$$

Bước 2: Tính biên độ sau 5 chu kỳ: $$A_5 = A_0 – 5\Delta A = 10 – 5 \times 1 = 5 \text{ cm}$$

Kết luận: Sau 5 chu kỳ, biên độ còn 5 cm.

V. BẢNG CÔNG THỨC TÓM TẮT

A. Biên độ từ điều kiện ban đầu

B. Biên độ tổng hợp

C. Công thức đặc biệt

VI. MẸO VÀ LƯU Ý

1. Các sai lầm thường gặp

❌ SAI LẦM 1: Quên bình phương trong công thức

Sai: $$A = x + \frac{v}{\omega}$$ ❌

Đúng: $$A = \sqrt{x^2 + \frac{v^2}{\omega^2}}$$ ✓

Phải có dấu căn và bình phương cả $x$ lẫn $\frac{v}{\omega}$

❌ SAI LẦM 2: Nhầm công thức tổng hợp cùng pha

Sai: Cùng pha thì $$A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2}$$ ❌

Đúng: Cùng pha thì $$A = A_1 + A_2$$ ✓

Công thức $\sqrt{A_1^2 + A_2^2}$ chỉ đúng khi vuông pha ($\Delta\varphi = 90°$)

❌ SAI LẦM 3: Hiểu sai về biên độ tổng hợp

Sai: Biên độ tổng hợp luôn lớn hơn mỗi biên độ thành phần ❌

Đúng: Biên độ tổng hợp có thể nhỏ hơn nếu hai dao động ngược pha ✓

Ví dụ: $A_1 = 5$ cm, $A_2 = 3$ cm ngược pha

• $A = |5 – 3| = 2$ cm < 3 cm < 5 cm

❌ SAI LẦM 4: Quên trị tuyệt đối

Sai: $A = A_1 – A_2$ (khi ngược pha) ❌

Đúng: $A = |A_1 – A_2|$ ✓

Biên độ luôn dương, phải có trị tuyệt đối.

2. Mẹo nhớ công thức

Mẹo 1: Công thức biên độ từ điều kiện ban đầu

“Căn tổng bình phương $x$ và $v$ chia omega”

$$A = \sqrt{x^2 + \left(\frac{v}{\omega}\right)^2}$$

Cách nhớ: Giống định lý Pythagore: $c = \sqrt{a^2 + b^2}$

Mẹo 2: Công thức tổng hợp

“Căn tổng bình phương cộng 2 lần tích nhân cos độ lệch pha”

$$A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2\cos\Delta\varphi}$$

Cách nhớ: Giống định lý hàm cos trong tam giác: $$c^2 = a^2 + b^2 + 2ab\cos C$$

Mẹo 3: Ba trường hợp đặc biệt của tổng hợp

Nhớ theo góc:

• Cùng pha ($0°$): Cộng trực tiếp → $A_1 + A_2$
• Vuông pha ($90°$): Định lý Pythagore → $\sqrt{A_1^2 + A_2^2}$
• Ngược pha ($180°$): Trừ có trị tuyệt đối → $|A_1 – A_2|$

Nhớ theo chữ cái:

• Cùng pha → Cộng
• Vuông pha → Với căn (Pythagore)
• Ngược pha → Trừ có tuyệt đối (Nhỏ nhất)

Mẹo 4: Kiểm tra nhanh kết quả

Sau khi tính biên độ tổng hợp, luôn kiểm tra:

$$|A_1 – A_2| \leq A \leq A_1 + A_2$$

Nếu $A$ nằm ngoài khoảng này → Sai!

3. Đơn vị cần chú ý

Đơn vị trong công thức:

Lưu ý:

• Khi tính toán, phải thống nhất đơn vị
• Thường đổi tất cả về đơn vị SI (m, m/s, rad/s)
• Kết quả có thể đổi về cm nếu đề yêu cầu

Đổi đơn vị góc:

• $180° = \pi$ rad
• $90° = \frac{\pi}{2}$ rad
• $60° = \frac{\pi}{3}$ rad
• $45° = \frac{\pi}{4}$ rad
• $30° = \frac{\pi}{6}$ rad

VII. BÀI TẬP MẪU

Bài 1: Biên độ từ điều kiện ban đầu

Đề bài: Con lắc lò xo dao động điều hòa với tần số góc $\omega = 20$ rad/s. Tại một thời điểm, vật có li độ $x = 4$ cm và vận tốc $v = 60$ cm/s. Tính biên độ dao động.

Lời giải:

Áp dụng công thức: $$A = \sqrt{x^2 + \frac{v^2}{\omega^2}}$$

Thay số (đơn vị cm): $$A = \sqrt{4^2 + \frac{60^2}{20^2}} = \sqrt{16 + \frac{3600}{400}} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \text{ cm}$$

Đáp án: $A = 5$ cm

Bài 2: Thả nhẹ từ vị trí

Đề bài: Kéo vật ra khỏi vị trí cân bằng 8 cm rồi thả nhẹ. Tính biên độ dao động.

Lời giải:

Vật được thả nhẹ nghĩa là $v_0 = 0$.

Vị trí ban đầu: $x_0 = 8$ cm

$$A = |x_0| = 8 \text{ cm}$$

Đáp án: $A = 8$ cm

Bài 3: Tổng hợp dao động cùng pha

Đề bài: Hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số:

• $x_1 = 3\cos(\omega t)$ (cm)
• $x_2 = 4\cos(\omega t)$ (cm)

Tính biên độ dao động tổng hợp.

Lời giải:

Hai dao động có pha ban đầu giống nhau ($\varphi_1 = \varphi_2 = 0$) → Cùng pha

Độ lệch pha: $\Delta\varphi = 0$

Biên độ tổng hợp: $$A = A_1 + A_2 = 3 + 4 = 7 \text{ cm}$$

Đáp án: $A = 7$ cm

Bài 4: Tổng hợp dao động ngược pha

Đề bài: Hai dao động điều hòa:

• $x_1 = 5\cos(\omega t)$ (cm)
• $x_2 = 3\cos(\omega t + \pi)$ (cm)

Tính biên độ tổng hợp.

Lời giải:

Độ lệch pha: $\Delta\varphi = \pi$ (180°) → Ngược pha

Biên độ tổng hợp: $$A = |A_1 – A_2| = |5 – 3| = 2 \text{ cm}$$

Đáp án: $A = 2$ cm

Bài 5: Tổng hợp dao động vuông pha

Đề bài: Hai dao động:

• $x_1 = 6\cos(\omega t)$ (cm)
• $x_2 = 8\cos(\omega t + \frac{\pi}{2})$ (cm)

Tính biên độ tổng hợp.

Lời giải:

Độ lệch pha: $\Delta\varphi = \frac{\pi}{2}$ (90°) → Vuông pha

Biên độ tổng hợp: $$A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \text{ cm}$$

Đáp án: $A = 10$ cm

Bài 6: Tổng hợp dao động tổng quát

Đề bài: Hai dao động có biên độ $A_1 = 8$ cm, $A_2 = 6$ cm và độ lệch pha $\Delta\varphi = 120°$. Tính biên độ tổng hợp.

Lời giải:

Áp dụng công thức tổng quát: $$A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2\cos\Delta\varphi}$$

Thay số: $$A = \sqrt{8^2 + 6^2 + 2 \times 8 \times 6 \times \cos 120°}$$ $$= \sqrt{64 + 36 + 96 \times (-0.5)}$$ $$= \sqrt{100 – 48}$$ $$= \sqrt{52} \approx 7.21 \text{ cm}$$

Kiểm tra: $|8 – 6| = 2 \leq 7.21 \leq 8 + 6 = 14$ ✓

Đáp án: $A \approx 7.21$ cm

Bài 7: Từ chiều dài lò xo

Đề bài: Con lắc lò xo treo thẳng đứng dao động điều hòa. Chiều dài lò xo biến thiên từ 20 cm đến 32 cm. Tính biên độ dao động.

Lời giải:

Áp dụng công thức: $$A = \frac{l_{max} – l_{min}}{2} = \frac{32 – 20}{2} = \frac{12}{2} = 6 \text{ cm}$$

Đáp án: $A = 6$ cm

VIII. ỨNG DỤNG VÀ Ý NGHĨA

1. Tổng hợp sóng – Giao thoa

Hiện tượng giao thoa sóng:

Khi hai sóng điều hòa cùng tần số gặp nhau, chúng tổng hợp tạo ra sóng mới với biên độ phụ thuộc vào độ lệch pha.

Giao thoa sóng âm:

• Vị trí cực đại (giao thoa cực đại): Hai sóng cùng pha
  • Biên độ: $A = A_1 + A_2$
  • Cường độ âm cực đại
• Vị trí cực tiểu (giao thoa cực tiểu): Hai sóng ngược pha
  • Biên độ: $A = |A_1 – A_2|$
  • Cường độ âm cực tiểu (có thể bằng 0 nếu $A_1 = A_2$)

Ứng dụng:

• Thiết kế phòng thu âm (giảm tiếng ồn)
• Tai nghe chống ồn chủ động
• Đo tốc độ sóng âm

2. Dao động cưỡng bức và cộng hưởng

Dao động cưỡng bức:

Khi tác dụng lực tuần hoàn lên hệ dao động: $$F = F_0\cos(\omega_f t)$$

Vật dao động với tần số của lực cưỡng bức $\omega_f$.

Hiện tượng cộng hưởng:

Khi $\omega_f = \omega_0$ (tần số cưỡng bức = tần số riêng):

• Biên độ dao động đạt cực đại: $A_{max}$
• Năng lượng truyền hiệu quả nhất

Ứng dụng:

• Thiết kế nhạc cụ (hộp cộng hưởng guitar, violin)
• Tránh cộng hưởng phá hủy (cầu, nhà cao tầng)
• Mạch cộng hưởng trong radio

3. Đo lường dao động

Đo biên độ để xác định năng lượng:

Năng lượng $W \propto A^2$

Từ biên độ dao động, ta tính được:

• Năng lượng cơ học của hệ
• Công suất tiêu tán (nếu có ma sát)
• Mức độ ổn định của kết cấu

Ứng dụng:

• Giám sát dao động của cầu, nhà cao tầng
• Đo độ rung của máy móc
• Kiểm tra chất lượng sản phẩm

4. Âm nhạc và âm thanh

Tổng hợp âm thanh:

Âm thanh phức tạp = Tổng hợp nhiều âm đơn giản (sóng hình sin)

Hòa âm:

• Các thành phần dao động cùng pha hoặc lệch pha ít
• Biên độ tổng hợp lớn
• Âm thanh trong, hài hòa

Tiếng ồn:

• Các thành phần dao động lệch pha ngẫu nhiên
• Biên độ tổng hợp biến đổi không đều
• Âm thanh rối, khó chịu

Ứng dụng:

• Thiết kế nhạc cụ
• Xử lý âm thanh kỹ thuật số
• Tổng hợp giọng nói

IX. KẾT LUẬN

Bài viết đã trình bày đầy đủ về biên độ dao động điều hòa:

Biên độ từ điều kiện ban đầu:

• Công thức tổng quát: $A = \sqrt{x^2 + \frac{v^2}{\omega^2}}$
• Từ năng lượng: $A = \sqrt{\frac{2W}{k}}$
• Các trường hợp đặc biệt: thả nhẹ, cho vận tốc

Biên độ tổng hợp:

• Công thức chung: $A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2\cos\Delta\varphi}$
• Ba trường hợp đặc biệt: cùng pha, ngược pha, vuông pha
• Giới hạn: $|A_1 – A_2| \leq A \leq A_1 + A_2$

Công thức đặc biệt:

• Con lắc lò xo treo đứng
• Lực đàn hồi cực đại/cực tiểu
• Dao động có ma sát

Bài tập mẫu: 7 bài tập có lời giải chi tiết

2 CÔNG THỨC QUAN TRỌNG NHẤT

1. Công thức biên độ từ điều kiện ban đầu:

$$\boxed{A = \sqrt{x^2 + \frac{v^2}{\omega^2}}}$$

Khi nào dùng: Biết li độ và vận tốc tại một thời điểm

2. Công thức tổng hợp dao động:

$$\boxed{A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2\cos\Delta\varphi}}$$

Các trường hợp đặc biệt:

• Cùng pha ($\Delta\varphi = 0°$): $A = A_1 + A_2$
• Ngược pha ($\Delta\varphi = 180°$): $A = |A_1 – A_2|$
• Vuông pha ($\Delta\varphi = 90°$): $A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2}$

Giới hạn luôn đúng: $|A_1 – A_2| \leq A \leq A_1 + A_2$

Lời khuyên học tập

Học thuộc 2 công thức chính – Đây là nền tảng để giải mọi bài toán về biên độ

Nhớ kỹ 3 trường hợp đặc biệt của tổng hợp dao động (cùng pha, vuông pha, ngược pha)

Luôn kiểm tra giới hạn – Sau khi tính $A$ tổng hợp, kiểm tra xem có nằm trong $[|A_1-A_2|, A_1+A_2]$ không

Chú ý đơn vị – Thống nhất đơn vị trước khi tính (rad cho góc, m hoặc cm cho li độ)

Luyện tập nhiều – Làm nhiều bài tập để quen với các dạng và cách biến đổi

Hiểu vật lý – Không chỉ nhớ công thức mà phải hiểu ý nghĩa vật lý của biên độ

Cô Trần Thị Bình

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn Tổ Lý – Hóa – Sinh tại Edus

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Vật lý, Hoá Học, Bằng Thạc sĩ, Chức danh nghề nghiệp Giáo viên THPT – Hạng II, Tin học ứng dụng cơ bản, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 12+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Gia Định