I. GIỚI THIỆU VỀ CẤP SỐ NHÂN

1. Cấp số nhân là gì?

Định nghĩa: Cấp số nhân (viết tắt: CSN) là một dãy số mà mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng đứng trước nó nhân với một số không đổi.

Số không đổi đó gọi là công bội, ký hiệu: $q$

Công thức điều kiện: Dãy số $(u_n)$ là cấp số nhân khi và chỉ khi: $$u_{n+1} = u_n \cdot q \quad \text{với mọi } n \geq 1$$

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Dãy số: 2, 6, 18, 54, 162, …

• $u_1 = 2$
• $u_2 = 6 = 2 \times 3$
• $u_3 = 18 = 6 \times 3$
• $u_4 = 54 = 18 \times 3$
• Công bội $q = 3$ (dãy tăng nhanh)

Ví dụ 2: Dãy số: 1, -2, 4, -8, 16, …

• $u_1 = 1$
• $u_2 = -2 = 1 \times (-2)$
• $u_3 = 4 = -2 \times (-2)$
• Công bội $q = -2$ (dãy dao động)

Ví dụ 3: Dãy số: 5, 5, 5, 5, 5, …

• Công bội $q = 1$ (dãy không đổi – trường hợp đặc biệt)

Ví dụ 4: Dãy số: 8, 4, 2, 1, 0.5, …

• $u_1 = 8$
• $u_2 = 4 = 8 \times 0.5$
• Công bội $q = 0.5$ (dãy giảm, hội tụ về 0)

2. Phân biệt Cấp số nhân và Cấp số cộng

Đây là điểm rất quan trọng mà học sinh thường nhầm lẫn:

Cách nhận biết nhanh:

• Nếu hiệu các số hạng liên tiếp bằng nhau → Cấp số cộng
• Nếu tỉ số các số hạng liên tiếp bằng nhau → Cấp số nhân

3. Các khái niệm cơ bản

Cách đọc:

• $u_1$: “u một” (số hạng đầu)
• $u_n$: “u n” (số hạng thứ n)
• $q$: “q” hoặc “công bội”
• $S_n$: “S n” (tổng n số hạng đầu)

II. CÔNG BỘI – KHÁI NIỆM CỐT LÕI

1. Công bội là gì?

Định nghĩa: Công bội (ký hiệu $q$) là tỉ số giữa một số hạng bất kỳ với số hạng đứng trước nó trong cấp số nhân.

$$\boxed{q = \frac{u_{n+1}}{u_n} \quad (u_n \neq 0)}$$

Tính chất quan trọng: Công bội không đổi với mọi cặp số hạng liên tiếp trong cấp số nhân.

Ví dụ kiểm tra: Dãy 3, 6, 12, 24, 48, …

• $q_1 = \frac{6}{3} = 2$
• $q_2 = \frac{12}{6} = 2$
• $q_3 = \frac{24}{12} = 2$
• $q_4 = \frac{48}{24} = 2$

Vì tất cả đều bằng 2 → Đây là cấp số nhân với $q = 2$ ✓

2. Công thức tính công bội

📌 Công thức 1: Từ định nghĩa (hai số hạng liên tiếp)

$$\boxed{q = \frac{u_2}{u_1} = \frac{u_3}{u_2} = \frac{u_4}{u_3} = …}$$

Khi nào dùng: Khi biết ít nhất hai số hạng liên tiếp.

Ví dụ 1: Cho dãy số 3, 6, 12, 24, … $$q = \frac{6}{3} = 2$$

Ví dụ 2: Cho dãy số 16, 8, 4, 2, … $$q = \frac{8}{16} = \frac{1}{2} = 0.5$$

📌 Công thức 2: Từ hai số hạng bất kỳ

$$\boxed{q = \sqrt[m-n]{\frac{u_m}{u_n}}}$$

Điều kiện: $m \neq n$, $u_n \neq 0$

Khi nào dùng: Khi biết hai số hạng bất kỳ (không nhất thiết liên tiếp).

Ví dụ 3: Biết $u_2 = 6$ và $u_5 = 48$. Tính $q$?

Lời giải: $$q = \sqrt[5-2]{\frac{u_5}{u_2}} = \sqrt[3]{\frac{48}{6}} = \sqrt[3]{8} = 2$$

Kiểm tra: Từ $u_2 = 6$ với $q = 2$:

• $u_3 = 6 \times 2 = 12$
• $u_4 = 12 \times 2 = 24$
• $u_5 = 24 \times 2 = 48$ ✓

📌 Công thức 3: Từ số hạng đầu và số hạng thứ n

$$\boxed{q = \sqrt[n-1]{\frac{u_n}{u_1}}}$$

Khi nào dùng: Khi biết số hạng đầu $u_1$, số hạng thứ $n$ là $u_n$, và vị trí $n$.

Ví dụ 4: Biết $u_1 = 3$ và $u_5 = 48$. Tính $q$?

Lời giải: $$q = \sqrt[5-1]{\frac{u_5}{u_1}} = \sqrt[4]{\frac{48}{3}} = \sqrt[4]{16} = 2$$

Giải thích: Từ $u_1$ đến $u_5$ có 4 lần nhân với $q$, nên $u_5 = u_1 \times q^4$.

3. Ý nghĩa của công bội

Giá trị của công bội quyết định tính chất của dãy số:

Đặc điểm quan trọng:

• $|q| > 1$ → Dãy có xu hướng tăng về giá trị tuyệt đối (phân kỳ)
• $|q| < 1$ → Dãy có xu hướng giảm về 0 (hội tụ)
• $|q| = 1$ → Dãy không đổi hoặc dao động giữa hai giá trị

4. Cách tìm công bội q – Quy trình 3 bước

Bước 1: Xác định ít nhất 2 số hạng của dãy (tốt nhất là liên tiếp)

Bước 2: Tính tỉ số: $q = \frac{u_{k+1}}{u_k}$ (số sau chia số trước)

Bước 3: Kiểm tra với các cặp khác để xác nhận (nếu cần)

Lưu ý quan trọng:

• ✅ Nếu tỉ số không đổi → Đó là cấp số nhân
• ❌ Nếu tỉ số thay đổi → Không phải cấp số nhân
• ⚠️ Các số hạng phải khác 0 để có thể chia

Ví dụ kiểm tra:

Bài 1: Dãy số 2, 6, 18, 54, … có phải CSN không?

• $\frac{6}{2} = 3$
• $\frac{18}{6} = 3$
• $\frac{54}{18} = 3$
• Kết luận: Là CSN với $q = 3$ ✓

Bài 2: Dãy số 1, 3, 6, 10, … có phải CSN không?

• $\frac{3}{1} = 3$
• $\frac{6}{3} = 2$
• $\frac{10}{6} = \frac{5}{3}$
• Kết luận: Không phải CSN (tỉ số thay đổi) ✗

III. CÔNG THỨC SỐ HẠNG TỔNG QUÁT

1. Công thức số hạng thứ n

📌 Công thức tổng quát của cấp số nhân:

$$\boxed{u_n = u_1 \cdot q^{n-1}}$$

Trong đó:

• $u_n$: số hạng thứ $n$ (số cần tìm)
• $u_1$: số hạng đầu tiên
• $q$: công bội
• $n$: thứ tự số hạng ($n \geq 1$, $n \in \mathbb{N}^*$)

Đây là CÔNG THỨC QUAN TRỌNG NHẤT của cấp số nhân!

Cách nhớ: “Số đầu nhân công bội mũ (vị trí trừ 1)”

Giải thích:

• Từ $u_1$ đến $u_n$ có $(n-1)$ lần nhân với $q$
• $u_1 \rightarrow u_2 \rightarrow u_3 \rightarrow … \rightarrow u_n$
• Tổng cộng $(n-1)$ mũi tên = $(n-1)$ lần nhân $q$

2. Ví dụ minh họa

Bài 1: Cho CSN có $u_1 = 2$, $q = 3$. Tìm $u_7$?

Lời giải:

Áp dụng công thức: $$u_7 = u_1 \cdot q^{7-1}$$ $$= 2 \cdot 3^6$$ $$= 2 \cdot 729$$ $$= 1458$$

Kết luận: $u_7 = 1458$

Kiểm tra bằng cách liệt kê:

• $u_1 = 2$
• $u_2 = 6$
• $u_3 = 18$
• $u_4 = 54$
• $u_5 = 162$
• $u_6 = 486$
• $u_7 = 1458$ ✓

Bài 2: Cho cấp số nhân: 5, 10, 20, 40, … Tìm $u_{10}$?

Lời giải:

Bước 1: Xác định $u_1$ và $q$

• $u_1 = 5$
• $q = \frac{10}{5} = 2$

Bước 2: Áp dụng công thức $$u_{10} = u_1 \cdot q^{10-1}$$ $$= 5 \cdot 2^9$$ $$= 5 \cdot 512$$ $$= 2560$$

Kết luận: Số hạng thứ 10 là $u_{10} = 2560$

Bài 3: Cho CSN có $u_1 = 64$, $q = \frac{1}{2}$. Tìm $u_7$?

Lời giải: $$u_7 = 64 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^6$$ $$= 64 \cdot \frac{1}{64}$$ $$= 1$$

Kết luận: $u_7 = 1$

Nhận xét: Đây là CSN giảm dần (vì $0 < q < 1$)

3. Các công thức liên quan

📌 A. Tìm $u_1$ khi biết $u_n$, $q$, $n$:

$$\boxed{u_1 = \frac{u_n}{q^{n-1}}}$$

Ví dụ: Biết $u_7 = 1458$, $q = 3$, $n = 7$. Tìm $u_1$? $$u_1 = \frac{1458}{3^6} = \frac{1458}{729} = 2$$

📌 B. Tìm $q$ khi biết $u_n$, $u_1$, $n$:

$$\boxed{q = \sqrt[n-1]{\frac{u_n}{u_1}}}$$

Ví dụ: Cho CSN có $u_1 = 2$, $u_7 = 1458$. Tìm $q$? $$q = \sqrt[7-1]{\frac{1458}{2}} = \sqrt[6]{729} = \sqrt[6]{3^6} = 3$$

📌 C. Số hạng tổng quát từ $u_k$ (vị trí bất kỳ):

$$\boxed{u_n = u_k \cdot q^{n-k}}$$

Khi nào dùng: Khi biết số hạng tại vị trí $k$ thay vì $u_1$.

Ví dụ: Biết $u_5 = 80$, $q = 2$. Tìm $u_{10}$? $$u_{10} = u_5 \cdot q^{10-5} = 80 \cdot 2^5 = 80 \cdot 32 = 2560$$

📌 D. Tính chất tích đối xứng:

Trong CSN có $n$ số hạng: $$\boxed{u_1 \cdot u_n = u_2 \cdot u_{n-1} = u_3 \cdot u_{n-2} = …}$$

Ví dụ: Cho CSN: 2, 4, 8, 16, 32

• $u_1 \cdot u_5 = 2 \times 32 = 64$
• $u_2 \cdot u_4 = 4 \times 16 = 64$
• $u_3 \cdot u_3 = 8 \times 8 = 64$

Tất cả đều bằng nhau! ✓

4. Bài toán tìm vị trí số hạng

Dạng bài: Cho giá trị của một số hạng, tìm vị trí của nó trong dãy.

Bài 1: Số 2048 là số hạng thứ mấy của CSN: 2, 4, 8, 16, …?

Lời giải:

Bước 1: Xác định $u_1$, $q$, $u_n$

• $u_1 = 2$
• $q = \frac{4}{2} = 2$
• $u_n = 2048$

Bước 2: Áp dụng công thức $u_n = u_1 \cdot q^{n-1}$ $$2048 = 2 \cdot 2^{n-1}$$

Bước 3: Giải phương trình $$1024 = 2^{n-1}$$ $$2^{10} = 2^{n-1}$$ $$n – 1 = 10$$ $$n = 11$$

Kết luận: 2048 là số hạng thứ 11 của dãy.

Kiểm tra: $u_{11} = 2 \cdot 2^{10} = 2 \cdot 1024 = 2048$ ✓

Bài 2: Số $\frac{1}{64}$ có thuộc CSN: 16, 8, 4, 2, … không? Nếu có, là số hạng thứ mấy?

Lời giải:

Xác định:

• $u_1 = 16$, $q = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$
• Cần kiểm tra: $u_n = \frac{1}{64}$

Giải: $$\frac{1}{64} = 16 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$$ $$\frac{1}{64} = 16 \cdot \frac{1}{2^{n-1}}$$ $$\frac{1}{64} = \frac{16}{2^{n-1}}$$ $$2^{n-1} = 16 \times 64 = 1024 = 2^{10}$$ $$n – 1 = 10$$ $$n = 11$$

Kết luận: Có, $\frac{1}{64}$ là số hạng thứ 11.

IV. CÔNG THỨC TỔNG CẤP SỐ NHÂN HỮU HẠN

1. Công thức tổng n số hạng đầu

Tổng $n$ số hạng đầu tiên của cấp số nhân, ký hiệu $S_n$, được tính theo các công thức sau:

📌 Trường hợp $q \neq 1$:

$$\boxed{S_n = u_1 \cdot \frac{q^n – 1}{q – 1}}$$

Hoặc dạng tương đương:

$$\boxed{S_n = u_1 \cdot \frac{1 – q^n}{1 – q}}$$

Khi nào dùng dạng nào:

• Dùng công thức 1 ($\frac{q^n – 1}{q – 1}$) khi $q > 1$ (tử số dương)
• Dùng công thức 2 ($\frac{1 – q^n}{1 – q}$) khi $0 < q < 1$ (tránh âm ở tử)

Lưu ý: Hai công thức hoàn toàn tương đương, chỉ khác dấu ở cả tử và mẫu.

📌 Trường hợp $q = 1$:

$$\boxed{S_n = n \cdot u_1}$$

Giải thích: Khi $q = 1$, tất cả số hạng đều bằng $u_1$, nên: $$S_n = u_1 + u_1 + u_1 + … + u_1 = n \cdot u_1$$

📌 Công thức khác (từ $u_n$):

Nếu biết số hạng cuối $u_n$:

$$\boxed{S_n = \frac{u_n \cdot q – u_1}{q – 1}}$$

Khi nào dùng: Khi biết $u_1$, $u_n$, $q$ nhưng không biết $n$.

2. Chứng minh công thức tổng

Cho: $S_n = u_1 + u_2 + u_3 + … + u_n$

Bước 1: Viết tổng $$S_n = u_1 + u_1q + u_1q^2 + … + u_1q^{n-1}$$

Bước 2: Nhân cả hai vế với $q$ $$qS_n = u_1q + u_1q^2 + u_1q^3 + … + u_1q^n$$

Bước 3: Lấy $qS_n – S_n$ $$qS_n – S_n = u_1q^n – u_1$$ $$S_n(q – 1) = u_1(q^n – 1)$$

Bước 4: Chia cả hai vế cho $(q – 1)$ $$S_n = \frac{u_1(q^n – 1)}{q – 1}$$

Đây chính là công thức tổng cấp số nhân! ✓

3. Ví dụ tính tổng

Ví dụ 1: Tính tổng 6 số hạng đầu của CSN: 2, 6, 18, 54, …

Lời giải:

Xác định:

• $u_1 = 2$
• $q = \frac{6}{2} = 3$
• $n = 6$

Áp dụng công thức (vì $q = 3 > 1$, dùng $\frac{q^n – 1}{q – 1}$): $$S_6 = 2 \cdot \frac{3^6 – 1}{3 – 1}$$ $$= 2 \cdot \frac{729 – 1}{2}$$ $$= 2 \cdot \frac{728}{2}$$ $$= 2 \cdot 364$$ $$= 728$$

Kết luận: $S_6 = 728$

Kiểm tra bằng cách cộng trực tiếp:

• $S_6 = 2 + 6 + 18 + 54 + 162 + 486 = 728$ ✓

Ví dụ 2: Tính tổng: $S = 2 + 4 + 8 + 16 + … + 1024$

Lời giải:

Bước 1: Xác định CSN

• $u_1 = 2$
• $q = \frac{4}{2} = 2$
• $u_n = 1024$

Bước 2: Tìm số lượng số hạng $n$ $$1024 = 2 \cdot 2^{n-1}$$ $$512 = 2^{n-1}$$ $$2^9 = 2^{n-1}$$ $$n – 1 = 9$$ $$n = 10$$

Bước 3: Tính tổng $$S_{10} = 2 \cdot \frac{2^{10} – 1}{2 – 1}$$ $$= 2 \cdot (1024 – 1)$$ $$= 2 \cdot 1023$$ $$= 2046$$

Kết luận: $S = 2046$

Ví dụ 3: Tính tổng 5 số hạng đầu của CSN: 8, 4, 2, 1, 0.5, …

Lời giải:

Xác định:

• $u_1 = 8$
• $q = \frac{4}{8} = 0.5$
• $n = 5$

Áp dụng công thức (vì $q = 0.5 < 1$, dùng $\frac{1 – q^n}{1 – q}$): $$S_5 = 8 \cdot \frac{1 – (0.5)^5}{1 – 0.5}$$ $$= 8 \cdot \frac{1 – 0.03125}{0.5}$$ $$= 8 \cdot \frac{0.96875}{0.5}$$ $$= 8 \cdot 1.9375$$ $$= 15.5$$

Kết luận: $S_5 = 15.5$

V. CÔNG THỨC CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN

1. Cấp số nhân lùi vô hạn là gì?

Định nghĩa: Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân có:

• Vô số số hạng (số lượng số hạng tiến đến vô cùng: $n \to \infty$)
• Công bội thỏa mãn $|q| < 1$ (trị tuyệt đối công bội nhỏ hơn 1)
• Tổng hội tụ về một giá trị xác định (không tiến đến vô cùng)

Điều kiện tồn tại: $-1 < q < 1$ (hoặc viết $|q| < 1$)

Tại sao gọi là “lùi”? Vì với $|q| < 1$, các số hạng ngày càng nhỏ lại (tiến dần về 0).

Ví dụ các CSN lùi vô hạn:

Ví dụ 1: $$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + …$$

• $u_1 = 1$, $q = \frac{1}{2} = 0.5$
• $|q| = 0.5 < 1$ ✓ → Là CSN lùi vô hạn

Ví dụ 2: $$4 – 2 + 1 – \frac{1}{2} + \frac{1}{4} – …$$

• $u_1 = 4$, $q = -\frac{1}{2} = -0.5$
• $|q| = 0.5 < 1$ ✓ → Là CSN lùi vô hạn (dao động nhưng hội tụ)

Ví dụ 3 (KHÔNG phải CSN lùi): $$1 + 2 + 4 + 8 + 16 + …$$

• $q = 2$
• $|q| = 2 > 1$ ✗ → Không phải CSN lùi (phân kỳ, tổng tiến đến vô cùng)

2. Công thức tổng cấp số nhân lùi vô hạn

📌 Công thức (CỰC KỲ QUAN TRỌNG):

$$\boxed{S = \frac{u_1}{1 – q} \quad \text{với } |q| < 1}$$

Điều kiện bắt buộc: $-1 < q < 1$ (hay $|q| < 1$)

Cách nhớ: “Số đầu chia (1 trừ công bội)”

Chứng minh:

Từ công thức tổng hữu hạn: $$S_n = u_1 \cdot \frac{1 – q^n}{1 – q}$$

Khi $n \to \infty$ và $|q| < 1$:

• $q^n \to 0$ (vì nhân liên tục số nhỏ hơn 1)

Do đó: $$S = \lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} u_1 \cdot \frac{1 – q^n}{1 – q} = u_1 \cdot \frac{1 – 0}{1 – q} = \frac{u_1}{1 – q}$$

3. Ví dụ minh họa

Bài 1: Tính tổng: $S = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27} + …$

Lời giải:

Bước 1: Nhận dạng CSN

• $u_1 = 1$
• $q = \frac{1/3}{1} = \frac{1}{3}$

Bước 2: Kiểm tra điều kiện

• $|q| = \frac{1}{3} < 1$ ✓ → Có thể tính tổng vô hạn

Bước 3: Áp dụng công thức $$S = \frac{u_1}{1 – q} = \frac{1}{1 – \frac{1}{3}} = \frac{1}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2} = 1.5$$

Kết luận: $S = \frac{3}{2} = 1.5$

Bài 2: Tính tổng: $S = 6 – 2 + \frac{2}{3} – \frac{2}{9} + …$

Lời giải:

Bước 1: Xác định $u_1$ và $q$

• $u_1 = 6$
• $q = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$

Bước 2: Kiểm tra điều kiện

• $|q| = |-\frac{1}{3}| = \frac{1}{3} < 1$ ✓

Bước 3: Tính tổng $$S = \frac{6}{1 – (-\frac{1}{3})} = \frac{6}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{6}{\frac{4}{3}} = 6 \times \frac{3}{4} = \frac{18}{4} = \frac{9}{2} = 4.5$$

Kết luận: $S = 4.5$

Bài 3: Tính tổng: $S = 12 + 6 + 3 + 1.5 + …$

Lời giải:

Xác định:

• $u_1 = 12$
• $q = \frac{6}{12} = 0.5$
• $|q| = 0.5 < 1$ ✓

Tính: $$S = \frac{12}{1 – 0.5} = \frac{12}{0.5} = 24$$

Kết luận: $S = 24$

4. Ứng dụng: Chuyển số thập phân tuần hoàn sang phân số

Đây là ứng dụng rất hay của CSN lùi vô hạn!

Bài toán: Chuyển $0.\overline{3} = 0.3333…$ sang phân số

Lời giải:

Bước 1: Viết dưới dạng tổng $$0.3333… = 0.3 + 0.03 + 0.003 + 0.0003 + …$$ $$= \frac{3}{10} + \frac{3}{100} + \frac{3}{1000} + \frac{3}{10000} + …$$

Bước 2: Nhận dạng CSN lùi vô hạn

• $u_1 = \frac{3}{10}$
• $q = \frac{3/100}{3/10} = \frac{3}{100} \times \frac{10}{3} = \frac{1}{10} = 0.1$
• $|q| = 0.1 < 1$ ✓

Bước 3: Áp dụng công thức $$S = \frac{\frac{3}{10}}{1 – \frac{1}{10}} = \frac{\frac{3}{10}}{\frac{9}{10}} = \frac{3}{10} \times \frac{10}{9} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$$

Kết luận: $0.\overline{3} = \frac{1}{3}$ ✓

Bài toán 2: Chuyển $0.\overline{45} = 0.454545…$ sang phân số

Lời giải: $$0.454545… = 0.45 + 0.0045 + 0.000045 + …$$ $$= \frac{45}{100} + \frac{45}{10000} + \frac{45}{1000000} + …$$

CSN với:

• $u_1 = \frac{45}{100}$
• $q = \frac{1}{100} = 0.01$

$$S = \frac{\frac{45}{100}}{1 – \frac{1}{100}} = \frac{\frac{45}{100}}{\frac{99}{100}} = \frac{45}{99} = \frac{5}{11}$$

Vậy: $0.\overline{45} = \frac{5}{11}$

5. Lưu ý quan trọng về điều kiện

⚠️ Điều kiện tồn tại tổng vô hạn: $|q| < 1$

Các trường hợp KHÔNG có tổng vô hạn:

Kết luận: Chỉ khi $|q| < 1$ thì CSN mới có tổng vô hạn xác định!

VI. BẢNG CÔNG THỨC TỔNG HỢP

A. Công thức công bội

B. Công thức số hạng tổng quát

C. Công thức tổng hữu hạn

D. Công thức tổng vô hạn

E. So sánh CSC và CSN – Bảng tổng hợp

VII. TÍNH CHẤT CỦA CẤP SỐ NHÂN

1. Tính chất ba số lập thành CSN

Định lý: Ba số $a$, $b$, $c$ (khác 0) lập thành cấp số nhân khi và chỉ khi:

$$\boxed{b^2 = ac}$$

Hoặc viết dưới dạng tỉ số: $$\frac{b}{a} = \frac{c}{b}$$

Ý nghĩa: Số ở giữa là trung bình nhân (căn bậc hai của tích hai số hai đầu).

Ví dụ 1: Kiểm tra ba số 2, 4, 8 có lập thành CSN không?

Lời giải:

• Tính $b^2 = 4^2 = 16$
• Tính $ac = 2 \times 8 = 16$
• Vì $16 = 16$ ✓
• Kết luận: Ba số lập thành CSN

Ví dụ 2: Kiểm tra ba số 3, 6, 10 có lập thành CSN không?

Lời giải:

• $b^2 = 6^2 = 36$
• $ac = 3 \times 10 = 30$
• Vì $36 \neq 30$ ✗
• Kết luận: Ba số KHÔNG lập thành CSN

Ví dụ 3: Ba số $4$, $x$, $16$ lập thành CSN. Tìm $x$?

Lời giải:

Điều kiện: $$x^2 = 4 \times 16 = 64$$ $$x = \pm 8$$

Kết luận: $x = 8$ hoặc $x = -8$

Kiểm tra:

• Với $x = 8$: Dãy 4, 8, 16 có $q = 2$ ✓
• Với $x = -8$: Dãy 4, -8, 16 có $q = -2$ ✓

2. Tính chất tích đối xứng

Định lý: Trong cấp số nhân có $n$ số hạng, tích của hai số hạng cách đều hai đầu bằng tích của số hạng đầu và số hạng cuối:

$$\boxed{u_1 \cdot u_n = u_2 \cdot u_{n-1} = u_3 \cdot u_{n-2} = … = u_k \cdot u_{n-k+1}}$$

Ví dụ: Cho CSN: 2, 4, 8, 16, 32

Kiểm tra:

• $u_1 \cdot u_5 = 2 \times 32 = 64$
• $u_2 \cdot u_4 = 4 \times 16 = 64$
• $u_3 \cdot u_3 = 8 \times 8 = 64$

Tất cả đều bằng nhau! ✓

Chứng minh: $$u_k \cdot u_{n-k+1} = (u_1 q^{k-1}) \cdot (u_1 q^{n-k})$$ $$= u_1^2 q^{k-1+n-k} = u_1^2 q^{n-1}$$ $$= u_1 \cdot (u_1 q^{n-1}) = u_1 \cdot u_n$$

3. Tính chất logarit

Định lý: Nếu $u_1, u_2, u_3, …, u_n$ là cấp số nhân với các số hạng dương và $q > 0, q \neq 1$ thì:

$$\boxed{\log u_1, \log u_2, \log u_3, …, \log u_n \text{ là cấp số cộng}}$$

Công sai của CSC: $d = \log q$

Chứng minh:

• Cho CSN: $u_n = u_1 \cdot q^{n-1}$
• Lấy logarit: $\log u_n = \log(u_1 \cdot q^{n-1})$
• $= \log u_1 + \log q^{n-1}$
• $= \log u_1 + (n-1)\log q$

Đây chính là công thức CSC với số hạng đầu $\log u_1$ và công sai $d = \log q$ ✓

Ví dụ: Cho CSN: 2, 4, 8, 16, 32

• $\log_2 2 = 1$
• $\log_2 4 = 2$
• $\log_2 8 = 3$
• $\log_2 16 = 4$
• $\log_2 32 = 5$

Dãy 1, 2, 3, 4, 5 là CSC với $d = 1 = \log_2 2$ (công bội CSN) ✓

VIII. DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP

Dạng 1: Nhận biết CSN và tìm công bội

Bài 1: Dãy số nào sau đây là cấp số nhân? Tìm công bội.

a) 1, 3, 9, 27, 81, …
b) 2, 4, 6, 8, 10, …
c) 16, -8, 4, -2, 1, …

Lời giải:

Câu a) Dãy: 1, 3, 9, 27, 81, …

• Kiểm tra: $\frac{3}{1} = 3$, $\frac{9}{3} = 3$, $\frac{27}{9} = 3$
• Kết luận: Là CSN với $q = 3$ ✓

Câu b) Dãy: 2, 4, 6, 8, 10, …

• Kiểm tra: $\frac{4}{2} = 2$, $\frac{6}{4} = 1.5$, $\frac{8}{6} = \frac{4}{3}$
• Tỉ số thay đổi (2, 1.5, 4/3, …)
• Kết luận: Không phải CSN (Đây là CSC với $d = 2$) ✗

Câu c) Dãy: 16, -8, 4, -2, 1, …

• Kiểm tra: $\frac{-8}{16} = -0.5$, $\frac{4}{-8} = -0.5$, $\frac{-2}{4} = -0.5$
• Kết luận: Là CSN với $q = -0.5$ ✓

Dạng 2: Tìm số hạng đầu và công bội

Bài 2: Cho cấp số nhân có $u_2 = 6$ và $u_5 = 162$. Tìm $u_1$ và $q$?

Lời giải:

Phương pháp: Lập hệ phương trình

Từ công thức $u_n = u_1 \cdot q^{n-1}$:

$$\begin{cases} u_2 = u_1 \cdot q = 6 \quad (1) \\ u_5 = u_1 \cdot q^4 = 162 \quad (2) \end{cases}$$

Giải hệ:

Chia phương trình $(2)$ cho $(1)$: $$\frac{u_1 \cdot q^4}{u_1 \cdot q} = \frac{162}{6}$$ $$q^3 = 27$$ $$q = 3$$

Thay $q = 3$ vào phương trình $(1)$: $$u_1 \cdot 3 = 6$$ $$u_1 = 2$$

Kết luận: $u_1 = 2$, $q = 3$

Kiểm tra:

• $u_2 = 2 \times 3 = 6$ ✓
• $u_5 = 2 \times 3^4 = 2 \times 81 = 162$ ✓

Dạng 3: Tính tổng hữu hạn

Bài 3: Tính tổng: $S = 3 + 6 + 12 + 24 + … + 768$

Lời giải:

Bước 1: Nhận dạng CSN

• $u_1 = 3$
• $q = \frac{6}{3} = 2$
• $u_n = 768$

Bước 2: Tìm số lượng số hạng $n$ $$768 = 3 \cdot 2^{n-1}$$ $$256 = 2^{n-1}$$ $$2^8 = 2^{n-1}$$ $$n – 1 = 8$$ $$n = 9$$

Bước 3: Tính tổng $$S_9 = 3 \cdot \frac{2^9 – 1}{2 – 1}$$ $$= 3 \cdot (512 – 1)$$ $$= 3 \times 511$$ $$= 1533$$

Kết luận: $S = 1533$

Dạng 4: Tính tổng vô hạn

Bài 4: Tính tổng: $S = 2 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + …$

Lời giải:

Bước 1: Nhận dạng CSN lùi vô hạn

• $u_1 = 2$
• $q = \frac{1}{2} = 0.5$

Bước 2: Kiểm tra điều kiện

• $|q| = 0.5 < 1$ ✓ → Có thể tính tổng vô hạn

Bước 3: Áp dụng công thức $$S = \frac{u_1}{1 – q} = \frac{2}{1 – \frac{1}{2}} = \frac{2}{\frac{1}{2}} = 2 \times 2 = 4$$

Kết luận: $S = 4$

Dạng 5: Ba số lập thành CSN

Bài 5: Ba số $x-1$, $x+1$, $3x+3$ lập thành cấp số nhân. Tìm $x$?

Lời giải:

Điều kiện: Số ở giữa bình phương bằng tích hai số hai đầu: $$(x+1)^2 = (x-1)(3x+3)$$

Khai triển: $$x^2 + 2x + 1 = (x-1) \cdot 3(x+1)$$ $$x^2 + 2x + 1 = 3(x^2 – 1)$$ $$x^2 + 2x + 1 = 3x^2 – 3$$ $$0 = 2x^2 – 2x – 4$$ $$x^2 – x – 2 = 0$$

Giải phương trình: $$(x-2)(x+1) = 0$$ $$x = 2 \text{ hoặc } x = -1$$

Kiểm tra:

Với $x = 2$:

• Ba số: $1, 3, 9$
• Tỉ số: $\frac{3}{1} = 3$, $\frac{9}{3} = 3$ ✓

Với $x = -1$:

• Ba số: $-2, 0, 0$
• Không phải CSN (có số 0) ✗

Kết luận: $x = 2$

IX. MẸO VÀ LƯU Ý

1. Mẹo nhớ công thức

Phân biệt CSC và CSN:

CSC (Cấp số cộng): $u_n = u_1 + (n-1)d$ (CỘNG d)
CSN (Cấp số nhân): $u_n = u_1 \cdot q^{n-1}$ (NHÂN với $q$ mũ $(n-1)$)

Tổng vô hạn CSN:

Nhớ: $S = \frac{u_1}{1-q}$ (CHỈ khi $|q| < 1$)
Mẹo: “Số đầu chia (1 trừ công bội)”

Tổng hữu hạn CSN:

Nhớ: $S_n = u_1 \frac{q^n-1}{q-1}$ (khi $q \neq 1$)
Mẹo: “Số đầu nhân (q mũ n trừ 1) chia (q trừ 1)”

2. Các sai lầm thường gặp

❌ SAI LẦM 1: Nhầm CSN với CSC

Cách phân biệt:

• CSC: Hiệu số không đổi → $u_{n+1} – u_n = d$
• CSN: Tỉ số không đổi → $\frac{u_{n+1}}{u_n} = q$

❌ SAI LẦM 2: Quên điều kiện $|q| < 1$ cho tổng vô hạn

SAI: Tính $S = 1 + 2 + 4 + 8 + …$ bằng công thức $\frac{u_1}{1-q}$

ĐÚNG: Kiểm tra $|q| = 2 > 1$ → Không có tổng vô hạn ✓

❌ SAI LẦM 3: Quên trừ 1 trong số mũ

SAI: $u_n = u_1 \cdot q^n$

ĐÚNG: $u_n = u_1 \cdot q^{n-1}$ ✓

Giải thích: Từ vị trí 1 đến vị trí $n$ chỉ có $(n-1)$ lần nhân với $q$!

❌ SAI LẦM 4: Chia cho 0 khi tính công bội

SAI: Tính công bội từ dãy: 3, 0, 0, …

Lý do: Không thể chia cho 0 → Dãy có chứa số 0 không phải CSN (trừ trường hợp đặc biệt $q = 0$)

❌ SAI LẦM 5: Dùng sai công thức tổng khi $q = 1$

SAI: Khi $q = 1$, dùng $S_n = u_1 \frac{q^n-1}{q-1}$ (chia cho 0!)

ĐÚNG: Khi $q = 1$, dùng $S_n = n \cdot u_1$ ✓

3. Lưu ý quan trọng

Kiểm tra CSN:

• Tính tỉ số các cặp số hạng liên tiếp
• Nếu tất cả tỉ số bằng nhau → Đó là CSN
• Nếu tỉ số thay đổi → Không phải CSN

Tổng vô hạn chỉ tồn tại khi: $-1 < q < 1$ (hay $|q| < 1$)

Nhớ:

• $|q| \geq 1$ → KHÔNG có tổng vô hạn
• $q = 1$ → $S = n \cdot u_1$ (tổng hữu hạn)
• $q = -1$ → Dãy dao động, không có tổng xác định

Công thức tổng khác nhau theo q:

• Nếu $q \neq 1$: Dùng $S_n = u_1 \frac{q^n-1}{q-1}$
• Nếu $q = 1$: Dùng $S_n = n \cdot u_1$
• Luôn kiểm tra giá trị $q$ trước khi chọn công thức!

Chú ý dấu của q:

• $q > 0$ → Các số hạng cùng dấu
• $q < 0$ → Các số hạng đổi dấu (dao động)
• $|q| < 1$ → Dãy hội tụ về 0
• $|q| > 1$ → Dãy phân kỳ (tăng về giá trị tuyệt đối)

Khi giải bài tập:

• Bước 1: Xác định $u_1$, $q$, $n$
• Bước 2: Chọn công thức phù hợp
• Bước 3: Kiểm tra điều kiện (nếu có)
• Bước 4: Tính toán cẩn thận
• Bước 5: Kiểm tra lại kết quả

X. KẾT LUẬN

Bài viết đã trình bày đầy đủ và chi tiết về cấp số nhân:

Định nghĩa: Dãy số có tỉ số không đổi giữa các số hạng liên tiếp

Công bội:

• $q = \frac{u_{n+1}}{u_n}$ (tỉ số hai số hạng liên tiếp)
• $q = \sqrt[m-n]{\frac{u_m}{u_n}}$ (từ hai số hạng bất kỳ)
• $q = \sqrt[n-1]{\frac{u_n}{u_1}}$ (từ đầu và cuối)

Số hạng tổng quát:

• $u_n = u_1 \cdot q^{n-1}$ (Công thức quan trọng nhất)

Tổng hữu hạn:

• $S_n = u_1 \frac{q^n-1}{q-1}$ (khi $q \neq 1$)
• $S_n = n \cdot u_1$ (khi $q = 1$)

Tổng vô hạn (CSN lùi):

• $S = \frac{u_1}{1-q}$ (CHỈ khi $|q| < 1$)

Tính chất:

• Ba số lập CSN: $b^2 = ac$
• Tích đối xứng: $u_1 \cdot u_n = u_2 \cdot u_{n-1}$
• Logarit CSN → CSC

Bài tập: 5 dạng bài thường gặp với lời giải chi tiết

4 CÔNG THỨC QUAN TRỌNG NHẤT – HỌC THUỘC

$\boxed{q = \frac{u_2}{u_1}}$ (Công bội)

$\boxed{u_n = u_1 \cdot q^{n-1}}$ (Số hạng thứ n)

$\boxed{S_n = u_1 \cdot \frac{q^n – 1}{q – 1} \quad (q \neq 1)}$ (Tổng hữu hạn)

$\boxed{S = \frac{u_1}{1 – q} \quad (|q| < 1)}$ (Tổng vô hạn)

Ghi nhớ bốn công thức này là nắm được 95% kiến thức về cấp số nhân!

Lời khuyên học tập

📌 Phân biệt rõ CSN và CSC – Nhớ: CSN là NHÂN, CSC là CỘNG

📌 Học thuộc 4 công thức chính – Viết ra giấy và luyện tập nhiều lần

📌 Nhớ điều kiện $|q| < 1$ – CHỈ khi đó mới có tổng vô hạn

📌 Chú ý số mũ $(n-1)$ – Không phải $n$, mà là $(n-1)$!

📌 Kiểm tra $q = 1$ – Dùng công thức riêng: $S_n = n \cdot u_1$

📌 Luyện tập đa dạng – Từ nhận biết, tính toán đến ứng dụng

📌 Làm bài tập theo chủ đề – Mỗi dạng làm 5-10 bài để thành thạo

📌 Kiểm tra kết quả – Luôn thay ngược lại để đảm bảo chính xác

📌 Hiểu rõ ý nghĩa – Không chỉ học thuộc mà phải hiểu tại sao

ThS. Nguyễn Văn An

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn Tổ Toán tại Edus

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán học, Thạc sĩ Lý luận & Phương pháp dạy học môn Toán, Chức danh nghề nghiệp giáo viên THPT – Hạng II, Tin học ứng dụng cơ bản, Ngoại ngữ B1, Chứng chỉ bồi dưỡng năng lực tổ trưởng chuyên môn

Kinh nghiệm: 12+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT chuyên Trần Đại Nghĩa