Chọn đến phần học sinh cần nhanh chóng thông qua mục lục bằng cách click đến phần đó
- I. GIỚI THIỆU VỀ GIỚI HẠN
- 1. Giới hạn là gì?
- 2. Cấu trúc bài viết
- II. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
- 1. Định nghĩa giới hạn dãy số
- 2. Các giới hạn cơ bản của dãy số
- 3. Quy tắc tính giới hạn dãy số
- 4. Định lý kẹp (Sandwich Theorem)
- 5. Giới hạn dãy số dạng phân thức
- III. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
- 1. Định nghĩa giới hạn hàm số
- 2. Các giới hạn cơ bản của hàm số
- 3. Quy tắc tính giới hạn hàm số
- 4. Giới hạn vô cực
- 5. Giới hạn một bên
- IV. CÁC DẠNG VÔ ĐỊNH VÀ CÁCH KHỬ
- 1. Bảy dạng vô định cơ bản
- 2. Dạng $\frac{0}{0}$
- 3. Dạng $\frac{\infty}{\infty}$
- 4. Dạng $0 \cdot \infty$
- 5. Dạng $\infty – \infty$
- 6. Dạng $1^\infty$, $0^0$, $\infty^0$
- V. GIỚI HẠN ĐẶC BIỆT QUAN TRỌNG
- 1. Số e và giới hạn cơ bản
- 2. Giới hạn lượng giác
- 3. Giới hạn mũ và logarit
- 4. Giới hạn so sánh tốc độ
- VI. QUY TẮC L'HOSPITAL
- 1. Nội dung quy tắc
- 2. Ví dụ áp dụng
- 3. Lưu ý khi dùng L'Hospital
- VII. BẢNG CÔNG THỨC TÓM TẮT
- Bảng 1: Giới hạn cơ bản
- Bảng 2: Khử vô định
- Bảng 3: Top 5 công thức phải nhớ
- VIII. MẸO VÀ KỸ THUẬT TÍNH GIỚI HẠN
- 1. Thứ tự ưu tiên khi giải
- 2. Các sai lầm thường gặp
- 3. Checklist giải bài
- IX. BÀI TẬP MẪU
- X. KẾT LUẬN
- Tổng kết
- Top 3 công thức quan trọng nhất
I. GIỚI THIỆU VỀ GIỚI HẠN
1. Giới hạn là gì?
Định nghĩa trực quan:
Giới hạn là giá trị mà một hàm số hoặc dãy số “tiến gần tới” khi biến số của nó tiến đến một giá trị nhất định hoặc vô cực.
Ký hiệu toán học:
Giới hạn hàm số: $$\lim_{x \to a} f(x) = L$$
Đọc là: “Giới hạn của f(x) khi x tiến tới a bằng L”
Giới hạn dãy số: $$\lim_{n \to \infty} u_n = L$$
Đọc là: “Giới hạn của $u_n$ khi n tiến tới vô cực bằng L”
Ý nghĩa hình học:
- Về mặt đồ thị: Khi x tiến gần đến a, giá trị của f(x) tiến gần đến L
- Có thể hình dung như việc “chạm” đến một giá trị mà không nhất thiết phải đạt tới nó
Ví dụ trực quan: $$\lim_{x \to 2} (x + 1) = 3$$
Khi x tiến gần đến 2 (như 1.9, 1.99, 1.999…), thì x + 1 tiến gần đến 3.
2. Cấu trúc bài viết
Bài viết được tổ chức theo thứ tự từ cơ bản đến nâng cao:
- Phần II: Giới hạn của dãy số (cơ bản nhất)
- Phần III: Giới hạn của hàm số
- Phần IV: Các dạng vô định và cách khử (quan trọng nhất)
- Phần V: Giới hạn đặc biệt cần nhớ
- Phần VI: Quy tắc L’Hospital (công cụ mạnh)
- Phần VII-X: Bảng công thức, kỹ thuật, bài tập và kết luận
II. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
1. Định nghĩa giới hạn dãy số
Định nghĩa chính xác:
Dãy số $(u_n)$ có giới hạn L khi $n \to \infty$, ký hiệu: $$\lim_{n \to \infty} u_n = L$$
Nếu với mọi $\varepsilon > 0$ (dù nhỏ bất kỳ), tồn tại số tự nhiên $N$ sao cho: $$|u_n – L| < \varepsilon \quad \forall n > N$$
Hiểu đơn giản: Khi n đủ lớn, $u_n$ nằm gần L tùy ý.
Phân loại:
Dãy hội tụ: Có giới hạn hữu hạn ($\lim u_n = L$ với $L \in \mathbb{R}$)
Dãy phân kỳ:
- Giới hạn vô cực: $\lim u_n = +\infty$ hoặc $-\infty$
- Không có giới hạn: dao động, không ổn định
Ví dụ:
- Hội tụ: $u_n = \frac{1}{n}$ → $\lim u_n = 0$
- Phân kỳ: $u_n = n$ → $\lim u_n = +\infty$
- Không có giới hạn: $u_n = (-1)^n$
2. Các giới hạn cơ bản của dãy số
Bảng công thức quan trọng:
| Dãy số | Giới hạn | Điều kiện |
|---|---|---|
| $\lim_{n \to \infty} c$ | $c$ | $c$ là hằng số |
| $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}$ | $0$ | |
| $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^k}$ | $0$ | $k > 0$ |
| $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n}}$ | $0$ | |
| $\lim_{n \to \infty} q^n$ | $0$ | $|q| < 1$ |
| $\lim_{n \to \infty} q^n$ | $+\infty$ | $q > 1$ |
| $\lim_{n \to \infty} q^n$ | Không tồn tại | $q \leq -1$ |
| $\lim_{n \to \infty} n^k$ | $+\infty$ | $k > 0$ |
Giải thích chi tiết:
Công thức 1: $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$
Khi n càng lớn (1, 10, 100, 1000…), $\frac{1}{n}$ càng nhỏ (1, 0.1, 0.01, 0.001…)
Công thức 2: $\lim_{n \to \infty} q^n = 0$ với $|q| < 1$
Ví dụ: $\left(\frac{1}{2}\right)^n$ → 0 vì $\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}$… tiến về 0
3. Quy tắc tính giới hạn dãy số
Định lý: Nếu $\lim_{n \to \infty} u_n = L$ và $\lim_{n \to \infty} v_n = M$ thì:
Quy tắc cộng trừ: $$\boxed{\lim (u_n \pm v_n) = L \pm M}$$
Quy tắc nhân: $$\boxed{\lim (u_n \cdot v_n) = L \cdot M}$$
Quy tắc chia: $$\boxed{\lim \frac{u_n}{v_n} = \frac{L}{M}}$$ (với điều kiện $M \neq 0$)
Quy tắc nhân hằng số: $$\boxed{\lim (c \cdot u_n) = c \cdot L}$$
Lưu ý quan trọng: Các quy tắc này chỉ áp dụng khi cả hai giới hạn đều tồn tại và hữu hạn.
4. Định lý kẹp (Sandwich Theorem)
Định lý:
Nếu $u_n \leq v_n \leq w_n$ với mọi n và: $$\lim_{n \to \infty} u_n = \lim_{n \to \infty} w_n = L$$
Thì: $$\boxed{\lim_{n \to \infty} v_n = L}$$
Hình dung: Nếu $v_n$ bị “kẹp” giữa $u_n$ và $w_n$, và cả hai đều tiến về L, thì $v_n$ cũng phải tiến về L.
Ví dụ ứng dụng:
Tính $\lim_{n \to \infty} \frac{\sin n}{n}$
Ta có: $-1 \leq \sin n \leq 1$
Chia cho n: $-\frac{1}{n} \leq \frac{\sin n}{n} \leq \frac{1}{n}$
Vì $\lim \left(-\frac{1}{n}\right) = \lim \frac{1}{n} = 0$
Nên $\lim \frac{\sin n}{n} = 0$ ✓
5. Giới hạn dãy số dạng phân thức
Công thức quan trọng:
Cho dãy số dạng: $$u_n = \frac{a_k n^k + a_{k-1}n^{k-1} + … + a_0}{b_m n^m + b_{m-1}n^{m-1} + … + b_0}$$
Thì:
$$\boxed{\lim_{n \to \infty} u_n = \begin{cases} 0 & \text{nếu } k < m \\ \frac{a_k}{b_m} & \text{nếu } k = m \\ \pm\infty & \text{nếu } k > m \end{cases}}$$
Cách nhớ: So sánh bậc của tử số và mẫu số.
Ví dụ 1: Bậc tử = Bậc mẫu $$\lim_{n \to \infty} \frac{3n^2 + 5n – 1}{2n^2 – 7n + 3}$$
Bậc cao nhất: $n^2$ (ở cả tử và mẫu)
Lấy tỷ lệ hệ số cao nhất: $\frac{3}{2}$
Ví dụ 2: Bậc tử < Bậc mẫu $$\lim_{n \to \infty} \frac{5n + 3}{2n^2 + 1} = 0$$
Ví dụ 3: Bậc tử > Bậc mẫu $$\lim_{n \to \infty} \frac{n^3 – 2n}{n^2 + 5} = +\infty$$
III. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
1. Định nghĩa giới hạn hàm số
Giới hạn tại một điểm:
$$\lim_{x \to a} f(x) = L$$
Nghĩa là: Khi x tiến gần đến a (nhưng $x \neq a$), f(x) tiến gần đến L.
Giới hạn trái: $$\lim_{x \to a^-} f(x) = L^-$$
x tiến đến a từ bên trái (x < a)
Giới hạn phải: $$\lim_{x \to a^+} f(x) = L^+$$
x tiến đến a từ bên phải (x > a)
Điều kiện tồn tại giới hạn:
$$\boxed{\lim_{x \to a} f(x) = L \Leftrightarrow \lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = L}$$
Ví dụ: Hàm dấu (sign function)
$$f(x) = \begin{cases} -1 & \text{nếu } x < 0 \\ 0 & \text{nếu } x = 0 \\ 1 & \text{nếu } x > 0 \end{cases}$$
- $\lim_{x \to 0^-} f(x) = -1$
- $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 1$
- Giới hạn trái ≠ Giới hạn phải → $\lim_{x \to 0} f(x)$ không tồn tại
2. Các giới hạn cơ bản của hàm số
Bảng công thức nền tảng:
| Hàm số | Giới hạn | Ghi chú |
|---|---|---|
| $\lim_{x \to a} c$ | $c$ | Hằng số |
| $\lim_{x \to a} x$ | $a$ | Hàm đồng nhất |
| $\lim_{x \to a} x^n$ | $a^n$ | Lũy thừa |
| $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$ | $1$ | ⭐ Cực kỳ quan trọng |
| $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x}$ | $1$ | |
| $\lim_{x \to 0} \frac{1 – \cos x}{x}$ | $0$ | |
| $\lim_{x \to 0} \frac{1 – \cos x}{x^2}$ | $\frac{1}{2}$ | ⭐ Quan trọng |
| $\lim_{x \to 0} \frac{e^x – 1}{x}$ | $1$ | ⭐ Cực kỳ quan trọng |
| $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x}$ | $1$ | ⭐ Cực kỳ quan trọng |
| $\lim_{x \to 0} \frac{a^x – 1}{x}$ | $\ln a$ | $a > 0, a \neq 1$ |
⭐ = Công thức bắt buộc phải nhớ thuộc lòng!
Mở rộng công thức lượng giác:
$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(ax)}{x} = a$$
$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(ax)}{\sin(bx)} = \frac{a}{b}$$
$$\lim_{x \to 0} \frac{\tan(ax)}{x} = a$$
3. Quy tắc tính giới hạn hàm số
Các quy tắc tương tự dãy số:
Nếu $\lim_{x \to a} f(x) = L$ và $\lim_{x \to a} g(x) = M$ thì:
- $\lim [f(x) \pm g(x)] = L \pm M$
- $\lim [f(x) \cdot g(x)] = L \cdot M$
- $\lim \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L}{M}$ (nếu $M \neq 0$)
- $\lim [c \cdot f(x)] = c \cdot L$
Giới hạn hàm hợp:
Nếu $\lim_{x \to a} g(x) = b$ và f liên tục tại b, thì: $$\boxed{\lim_{x \to a} f(g(x)) = f\left(\lim_{x \to a} g(x)\right) = f(b)}$$
Ví dụ: $$\lim_{x \to 0} e^{\sin x} = e^{\lim_{x \to 0} \sin x} = e^0 = 1$$
4. Giới hạn vô cực
Bảng giới hạn khi $x \to \infty$:
| Dạng | Kết quả | Điều kiện |
|---|---|---|
| $\lim_{x \to +\infty} x^n$ | $+\infty$ | $n > 0$ |
| $\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x^n}$ | $0$ | $n > 0$ |
| $\lim_{x \to +\infty} e^x$ | $+\infty$ | |
| $\lim_{x \to -\infty} e^x$ | $0$ | |
| $\lim_{x \to +\infty} \ln x$ | $+\infty$ | |
| $\lim_{x \to 0^+} \ln x$ | $-\infty$ | |
| $\lim_{x \to +\infty} a^x$ | $+\infty$ | $a > 1$ |
| $\lim_{x \to +\infty} a^x$ | $0$ | $0 < a < 1$ |
Giới hạn hàm phân thức khi $x \to \infty$:
$$\lim_{x \to \infty} \frac{a_nx^n + …}{b_mx^m + …} = \begin{cases} 0 & \text{nếu } n < m \\ \frac{a_n}{b_m} & \text{nếu } n = m \\ \pm\infty & \text{nếu } n > m \end{cases}$$
5. Giới hạn một bên
Định nghĩa:
Giới hạn trái (x → a⁻): x tiến đến a từ bên trái
Giới hạn phải (x → a⁺): x tiến đến a từ bên phải
Ví dụ quan trọng:
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty$$
$$\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty$$
Do giới hạn trái ≠ giới hạn phải, nên $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x}$ không tồn tại.
Ứng dụng: Kiểm tra tính liên tục của hàm số tại một điểm.
IV. CÁC DẠNG VÔ ĐỊNH VÀ CÁCH KHỬ
1. Bảy dạng vô định cơ bản
Khi tính giới hạn, ta có thể gặp các dạng vô định – những dạng không xác định được ngay:
- $\frac{0}{0}$ – Tử và mẫu đều tiến về 0
- $\frac{\infty}{\infty}$ – Tử và mẫu đều tiến về vô cực
- $0 \cdot \infty$ – Nhân 0 với vô cực
- $\infty – \infty$ – Trừ hai vô cực
- $0^0$ – 0 mũ 0
- $1^\infty$ – 1 mũ vô cực
- $\infty^0$ – Vô cực mũ 0
Lưu ý: Các dạng này KHÔNG có giá trị xác định, cần khử vô định bằng các phương pháp đặc biệt.
2. Dạng $\frac{0}{0}$
Đây là dạng vô định phổ biến nhất.
Phương pháp 1: Phân tích thành nhân tử và rút gọn
Ví dụ 1: $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 – 1}{x – 1}$
Lời giải:
Thế x = 1: $\frac{0}{0}$ (vô định)
Phân tích tử số: $= \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x+1)}{x-1}$
Rút gọn: $= \lim_{x \to 1} (x+1) = 2$
Phương pháp 2: Nhân liên hợp (với căn thức)
Ví dụ 2: $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+1} – 1}{x}$
Lời giải:
Nhân cả tử và mẫu với $(\sqrt{x+1} + 1)$:
$= \lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{x+1} – 1)(\sqrt{x+1} + 1)}{x(\sqrt{x+1} + 1)}$
$= \lim_{x \to 0} \frac{(x+1) – 1}{x(\sqrt{x+1} + 1)}$
$= \lim_{x \to 0} \frac{x}{x(\sqrt{x+1} + 1)}$
$= \lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{x+1} + 1} = \frac{1}{2}$
Phương pháp 3: Dùng giới hạn đặc biệt
Ví dụ 3: $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{2x}$
Lời giải:
Biến đổi để xuất hiện $\frac{\sin 3x}{3x}$:
$= \lim_{x \to 0} \frac{3 \sin 3x}{3 \cdot 2x} = \frac{3}{2} \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x} = \frac{3}{2} \cdot 1 = \frac{3}{2}$
3. Dạng $\frac{\infty}{\infty}$
Phương pháp: Chia cả tử và mẫu cho lũy thừa cao nhất
Ví dụ 4: $\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 5x – 1}{2x^2 – 7x + 3}$
Lời giải:
Thế $x = \infty$: $\frac{\infty}{\infty}$ (vô định)
Chia cả tử và mẫu cho $x^2$ (lũy thừa cao nhất):
$= \lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{5}{x} – \frac{1}{x^2}}{2 – \frac{7}{x} + \frac{3}{x^2}}$
Khi $x \to \infty$: $\frac{5}{x} \to 0$, $\frac{1}{x^2} \to 0$…
$= \frac{3 + 0 – 0}{2 – 0 + 0} = \frac{3}{2}$
Công thức tổng quát:
$\boxed{\lim_{x \to \infty} \frac{a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + …}{b_mx^m + b_{m-1}x^{m-1} + …} = \begin{cases} 0 & \text{nếu } n < m \\ \frac{a_n}{b_m} & \text{nếu } n = m \\ \pm\infty & \text{nếu } n > m \end{cases}}$
4. Dạng $0 \cdot \infty$
Phương pháp: Chuyển về $\frac{0}{0}$ hoặc $\frac{\infty}{\infty}$
Ví dụ 5: $\lim_{x \to 0^+} x \ln x$
Lời giải:
Khi $x \to 0^+$: $x \to 0$ và $\ln x \to -\infty$ → Dạng $0 \cdot (-\infty)$
Chuyển thành phân thức: $= \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln x}{\frac{1}{x}}$
Dạng $\frac{-\infty}{\infty}$ → Dùng L’Hospital (sẽ nói ở phần VI)
5. Dạng $\infty – \infty$
Phương pháp 1: Nhân liên hợp (nếu có căn)
Ví dụ 6: $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + x} – x)$
Lời giải:
Khi $x \to \infty$: $\sqrt{x^2 + x} \to \infty$ và $x \to \infty$ → Dạng $\infty – \infty$
Nhân liên hợp: $= \lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{x^2+x} – x)(\sqrt{x^2+x} + x)}{\sqrt{x^2+x} + x}$
$= \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + x – x^2}{\sqrt{x^2+x} + x}$
$= \lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{x^2+x} + x}$
Chia cả tử và mẫu cho x:
$= \lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x}} + 1} = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}$
Phương pháp 2: Quy đồng (nếu là phân thức)
Ví dụ 7: $\lim_{x \to 1} \left(\frac{1}{x-1} – \frac{2}{x^2-1}\right)$
Lời giải:
Quy đồng mẫu số: $= \lim_{x \to 1} \frac{x+1 – 2}{(x-1)(x+1)}$
$= \lim_{x \to 1} \frac{x-1}{(x-1)(x+1)}$
$= \lim_{x \to 1} \frac{1}{x+1} = \frac{1}{2}$
6. Dạng $1^\infty$, $0^0$, $\infty^0$
Công thức đặc biệt cho dạng $1^\infty$:
$\lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}} = e$
Công thức tổng quát:
Nếu $\lim f(x) = 1$ và $\lim g(x) = \infty$ thì:
$\boxed{\lim [f(x)]^{g(x)} = e^{\lim [f(x) – 1] \cdot g(x)}}$
Ví dụ 8: $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{3}{x}\right)^{2x}$
Lời giải:
Áp dụng công thức: $= e^{\lim_{x \to \infty} \frac{3}{x} \cdot 2x}$
$= e^{\lim_{x \to \infty} 6} = e^6$
V. GIỚI HẠN ĐẶC BIỆT QUAN TRỌNG
1. Số e và giới hạn cơ bản
Định nghĩa số e:
$\boxed{e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \approx 2.71828…}$
Các biến thể quan trọng:
$\lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}} = e$
$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e$
$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{k}{x}\right)^x = e^k$
$\lim_{x \to 0} \left(1 + kx\right)^{\frac{1}{x}} = e^k$
2. Giới hạn lượng giác
Bảng công thức cốt lõi:
| Công thức | Giá trị | Độ ưu tiên |
|---|---|---|
| $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$ | $1$ | ⭐⭐⭐ |
| $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x}$ | $1$ | ⭐⭐ |
| $\lim_{x \to 0} \frac{1 – \cos x}{x^2}$ | $\frac{1}{2}$ | ⭐⭐ |
| $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(ax)}{x}$ | $a$ | ⭐⭐⭐ |
| $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(ax)}{\sin(bx)}$ | $\frac{a}{b}$ | ⭐⭐ |
| $\lim_{x \to 0} \frac{\tan(ax)}{x}$ | $a$ | ⭐ |
| $\lim_{x \to 0} \frac{1 – \cos(ax)}{x^2}$ | $\frac{a^2}{2}$ | ⭐ |
3. Giới hạn mũ và logarit
Bảng công thức:
| Công thức | Giá trị | Độ ưu tiên |
|---|---|---|
| $\lim_{x \to 0} \frac{e^x – 1}{x}$ | $1$ | ⭐⭐⭐ |
| $\lim_{x \to 0} \frac{a^x – 1}{x}$ | $\ln a$ | ⭐⭐ |
| $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x}$ | $1$ | ⭐⭐⭐ |
| $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+ax)}{x}$ | $a$ | ⭐⭐ |
| $\lim_{x \to 0} \frac{e^{ax} – 1}{x}$ | $a$ | ⭐⭐ |
4. Giới hạn so sánh tốc độ
Thứ tự tăng từ CHẬM đến NHANH:
$\boxed{\ln x \ll x^\alpha \ll e^x \ll x! \ll x^x}$
(với $\alpha > 0$)
Ý nghĩa: Khi $x \to \infty$:
- $\ln x$ tăng chậm nhất
- $x^x$ tăng nhanh nhất
Ứng dụng quan trọng:
$\lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x^\alpha} = 0 \quad (\forall \alpha > 0)$
$\lim_{x \to \infty} \frac{x^n}{e^x} = 0 \quad (\forall n)$
$\lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty \quad (\forall n)$
Kết luận: Hàm mũ “mạnh” hơn hàm lũy thừa, hàm lũy thừa “mạnh” hơn hàm logarit.
VI. QUY TẮC L’HOSPITAL
1. Nội dung quy tắc
Điều kiện áp dụng: Chỉ dùng cho dạng $\frac{0}{0}$ hoặc $\frac{\infty}{\infty}$
Quy tắc L’Hospital:
Nếu $\lim \frac{f(x)}{g(x)}$ có dạng $\frac{0}{0}$ hoặc $\frac{\infty}{\infty}$ thì:
$\boxed{\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}}$
(nếu giới hạn vế phải tồn tại)
Hiểu đơn giản: Đạo hàm riêng tử số và mẫu số.
2. Ví dụ áp dụng
Ví dụ 1: Dạng $\frac{0}{0}$
$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x – x}{x^3}$
Lời giải:
Dạng $\frac{0}{0}$, áp dụng L’Hospital lần 1: $= \lim_{x \to 0} \frac{\cos x – 1}{3x^2}$
Vẫn dạng $\frac{0}{0}$, áp dụng lần 2: $= \lim_{x \to 0} \frac{-\sin x}{6x}$
Vẫn dạng $\frac{0}{0}$, áp dụng lần 3: $= \lim_{x \to 0} \frac{-\cos x}{6} = -\frac{1}{6}$
Ví dụ 2: Dạng $\frac{\infty}{\infty}$
$\lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{e^x}$
Lời giải:
Dạng $\frac{\infty}{\infty}$, áp dụng L’Hospital lần 1: $= \lim_{x \to \infty} \frac{2x}{e^x}$
Vẫn dạng $\frac{\infty}{\infty}$, áp dụng lần 2: $= \lim_{x \to \infty} \frac{2}{e^x} = 0$
3. Lưu ý khi dùng L’Hospital
⚠️ Chỉ dùng cho $\frac{0}{0}$ và $\frac{\infty}{\infty}$
⚠️ KHÔNG áp dụng trực tiếp cho:
- $0 \cdot \infty$ (phải chuyển thành phân thức trước)
- $\infty – \infty$ (phải biến đổi trước)
- $1^\infty$, $0^0$, $\infty^0$ (dùng công thức đặc biệt)
⚠️ Đạo hàm riêng tử và mẫu, KHÔNG dùng quy tắc đạo hàm thương
⚠️ Có thể áp dụng nhiều lần liên tiếp nếu vẫn còn vô định
⚠️ Kiểm tra sau mỗi lần áp dụng xem còn vô định không
VII. BẢNG CÔNG THỨC TÓM TẮT
Bảng 1: Giới hạn cơ bản
| Loại | Công thức | Ghi chú |
|---|---|---|
| Dãy số | $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^k} = 0$ | $k > 0$ |
| Hàm lũy thừa | $\lim_{x \to \infty} x^n = \infty$ | $n > 0$ |
| Hàm mũ | $\lim_{x \to 0} \frac{e^x-1}{x} = 1$ | ⭐ Rất quan trọng |
| Hàm logarit | $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1$ | ⭐ Rất quan trọng |
| Hàm lượng giác | $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ | ⭐ Quan trọng nhất |
| Số e | $\lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n = e$ | Định nghĩa e |
Bảng 2: Khử vô định
| Dạng vô định | Phương pháp | Ví dụ |
|---|---|---|
| $\frac{0}{0}$ | Phân tích, rút gọn, nhân liên hợp, L’Hospital | $\frac{x^2-1}{x-1}$ |
| $\frac{\infty}{\infty}$ | Chia lũy thừa cao nhất, L’Hospital | $\frac{3x^2}{2x^2+1}$ |
| $0 \cdot \infty$ | Chuyển thành $\frac{0}{0}$ hoặc $\frac{\infty}{\infty}$ | $x \ln x$ |
| $\infty – \infty$ | Nhân liên hợp, quy đồng | $\sqrt{x^2+x}-x$ |
| $1^\infty$ | Dùng $e^{\lim (f-1) \cdot g}$ | $(1+\frac{1}{x})^x$ |
Bảng 3: Top 5 công thức phải nhớ
| STT | Công thức | Độ quan trọng |
|---|---|---|
| 1 | $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ | ⭐⭐⭐⭐⭐ |
| 2 | $\lim_{x \to 0} \frac{e^x – 1}{x} = 1$ | ⭐⭐⭐⭐⭐ |
| 3 | $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1$ | ⭐⭐⭐⭐⭐ |
| 4 | $\lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n = e$ | ⭐⭐⭐⭐ |
| 5 | $\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$ | ⭐⭐⭐ |
VIII. MẸO VÀ KỸ THUẬT TÍNH GIỚI HẠN
1. Thứ tự ưu tiên khi giải
BƯỚC 1: Thế trực tiếp (nếu không vô định)
BƯỚC 2: Rút gọn đại số (phân tích thành nhân tử, giản ước)
BƯỚC 3: Nhân liên hợp (nếu có căn thức)
BƯỚC 4: Dùng giới hạn đặc biệt ($\frac{\sin x}{x}$, $\frac{e^x-1}{x}$, $\frac{\ln(1+x)}{x}$)
BƯỚC 5: L’Hospital (khi các cách trên không hiệu quả và thỏa điều kiện)
2. Các sai lầm thường gặp
❌ SAI LẦM 1: $\lim (f + g) = \lim f + \lim g$ khi một trong hai không tồn tại
Đúng: Chỉ áp dụng khi cả hai giới hạn đều tồn tại
❌ SAI LẦM 2: Dùng L’Hospital cho dạng không phải $\frac{0}{0}$ hoặc $\frac{\infty}{\infty}$
Ví dụ sai: $\lim_{x \to 0} \frac{e^x}{x} \text{ (dạng } \frac{1}{0}\text{, không phải vô định)}$
❌ SAI LẦM 3: Áp dụng quy tắc đạo hàm thương khi dùng L’Hospital
Sai: $\lim \frac{f}{g} = \lim \frac{f’ \cdot g – f \cdot g’}{g^2}$
Đúng: $\lim \frac{f}{g} = \lim \frac{f’}{g’}$ (đạo hàm riêng)
❌ SAI LẦM 4: Quên kiểm tra điều kiện tồn tại giới hạn
3. Checklist giải bài
Bước 1: Xác định dạng giới hạn (dãy số hay hàm số, x → bao nhiêu)
Bước 2: Thế thử xem có vô định không?
- Không vô định → Kết quả trực tiếp
- Có vô định → Xác định dạng vô định
Bước 3: Chọn phương pháp phù hợp với dạng vô định
Bước 4: Tính toán cẩn thận, kiểm tra từng bước
Bước 5: Kiểm tra kết quả có hợp lý không?
IX. BÀI TẬP MẪU
Bài 1: Giới hạn hàm phân thức (dạng $\frac{0}{0}$)
Đề bài: $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 – 4}{x – 2}$
Lời giải:
Thế x = 2: $\frac{0}{0}$ (vô định)
Phân tích tử số: $= \lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x+2)}{x-2}$
Rút gọn: $= \lim_{x \to 2} (x+2) = 4$
Bài 2: Giới hạn có căn (dạng $\frac{0}{0}$)
Đề bài: $\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x} – 1}{x – 1}$
Lời giải:
Nhân liên hợp: $= \lim_{x \to 1} \frac{(\sqrt{x} – 1)(\sqrt{x} + 1)}{(x – 1)(\sqrt{x} + 1)}$
$= \lim_{x \to 1} \frac{x – 1}{(x – 1)(\sqrt{x} + 1)}$
$= \lim_{x \to 1} \frac{1}{\sqrt{x} + 1} = \frac{1}{2}$
Bài 3: Giới hạn lượng giác
Đề bài: $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{3x}$
Lời giải:
Biến đổi: $= \lim_{x \to 0} \frac{5 \sin 5x}{5 \cdot 3x} = \frac{5}{3} \lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{5x} = \frac{5}{3} \cdot 1 = \frac{5}{3}$
Bài 4: Giới hạn vô cực (dạng $\frac{\infty}{\infty}$)
Đề bài: $\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 1}{x^2 – 5}$
Lời giải:
Chia cả tử và mẫu cho $x^2$: $= \lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{1}{x^2}}{1 – \frac{5}{x^2}} = \frac{3 + 0}{1 – 0} = 3$
Bài 5: Giới hạn dạng $1^\infty$
Đề bài: $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{x}\right)^{3x}$
Lời giải:
Áp dụng công thức: $= e^{\lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} \cdot 3x} = e^{\lim_{x \to \infty} 6} = e^6$
X. KẾT LUẬN
Tổng kết
Bài viết đã tổng hợp đầy đủ công thức giới hạn từ cơ bản đến nâng cao:
Giới hạn dãy số: Công thức cơ bản, quy tắc tính, định lý kẹp
Giới hạn hàm số: Định nghĩa, giới hạn một bên, các công thức đặc biệt
Bảy dạng vô định: $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty}{\infty}$, $0 \cdot \infty$, $\infty – \infty$, $1^\infty$, $0^0$, $\infty^0$
Phương pháp khử vô định: Phân tích, nhân liên hợp, chia lũy thừa, L’Hospital
Giới hạn đặc biệt: Lượng giác, mũ, logarit, số e
Quy tắc L’Hospital: Điều kiện và cách áp dụng
5 bài tập mẫu với lời giải chi tiết
Top 3 công thức quan trọng nhất
SỐ 1: $\boxed{\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1}$
SỐ 2: $\boxed{\lim_{x \to 0} \frac{e^x – 1}{x} = 1}$
SỐ 3: $\boxed{\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1}$
Học thuộc 3 công thức này là đã giải được 80% bài tập giới hạn!
ThS. Nguyễn Văn An
(Người kiểm duyệt, ra đề)
Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn Tổ Toán tại Edus
Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán học, Thạc sĩ Lý luận & Phương pháp dạy học môn Toán, Chức danh nghề nghiệp giáo viên THPT – Hạng II, Tin học ứng dụng cơ bản, Ngoại ngữ B1, Chứng chỉ bồi dưỡng năng lực tổ trưởng chuyên môn
Kinh nghiệm: 12+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT chuyên Trần Đại Nghĩa