I. GIỚI THIỆU VỀ KHOẢNG CÁCH TRONG TOÁN HỌC

1. Khái niệm khoảng cách

Định nghĩa: Khoảng cách giữa hai đối tượng hình học là độ dài của đoạn thẳng ngắn nhất nối hai đối tượng đó.

Khoảng cách là một khái niệm cơ bản và quan trọng trong toán học, đặc biệt là trong hình học. Nó cho phép chúng ta đo lường “mức độ xa gần” giữa các đối tượng trong không gian.

Tính chất của khoảng cách:

1. Không âm: $d(A, B) \geq 0$ với mọi A, B
2. Bằng 0 khi và chỉ khi trùng nhau: $d(A, B) = 0 \Leftrightarrow A \equiv B$
3. Tính đối xứng: $d(A, B) = d(B, A)$
4. Bất đẳng thức tam giác: $d(A, C) \leq d(A, B) + d(B, C)$

2. Các loại khoảng cách trong toán học

Hệ thống các loại khoảng cách được phân chia theo cấp học:

Trong mặt phẳng (Hình học phẳng – Lớp 10):

• Khoảng cách giữa hai điểm – Loại cơ bản nhất
• Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng – Độ dài đoạn vuông góc
• Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song – Khoảng cách không đổi

Trong không gian (Hình học không gian – Lớp 11, 12):

• Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng – Công thức quan trọng nhất
• Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng – Sử dụng tích có hướng
• Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song
• Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
• Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau – Phức tạp nhất

3. Cấu trúc bài viết

Bài viết được chia thành hai phần chính:

PHẦN 1: KHOẢNG CÁCH TRONG MẶT PHẲNG (LỚP 10)

• Khoảng cách giữa hai điểm
• Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng
• Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song

PHẦN 2: KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN (LỚP 11, 12)

• Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng (Công thức quan trọng nhất)
• Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng
• Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
• Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

PHỤ LỤC:

• Bảng công thức tổng hợp tra cứu nhanh
• Hơn 15 ví dụ minh họa có lời giải chi tiết
• Phương pháp giải nhanh và mẹo nhớ

PHẦN 1: KHOẢNG CÁCH TRONG MẶT PHẲNG (LỚP 10)

II. KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐIỂM

1. Công thức khoảng cách giữa hai điểm trong mặt phẳng tọa độ Oxy

Đây là công thức cơ bản nhất và là nền tảng cho mọi công thức khoảng cách khác.

Cho hai điểm: $A(x_A, y_A)$ và $B(x_B, y_B)$ trong mặt phẳng tọa độ Oxy.

Công thức:

$$\boxed{AB = \sqrt{(x_B – x_A)^2 + (y_B – y_A)^2}}$$

Cách nhớ: “Hiệu hoành độ bình phương cộng hiệu tung độ bình phương, rồi lấy căn”

Nguồn gốc công thức:

Công thức này xuất phát từ định lý Pythagore. Nếu ta kẻ hình chữ nhật với:

• Cạnh ngang: $|x_B – x_A|$ (song song trục Ox)
• Cạnh đứng: $|y_B – y_A|$ (song song trục Oy)
• Đường chéo chính là đoạn AB

Áp dụng định lý Pythagore: $$AB^2 = (x_B – x_A)^2 + (y_B – y_A)^2$$

Ví dụ 1: Tính khoảng cách giữa hai điểm $A(1, 2)$ và $B(4, 6)$

Lời giải:

Bước 1: Xác định tọa độ

• $A(1, 2)$: $x_A = 1, y_A = 2$
• $B(4, 6)$: $x_B = 4, y_B = 6$

Bước 2: Áp dụng công thức $$AB = \sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2}$$

Bước 3: Tính toán $$AB = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$

Kết luận: Khoảng cách $AB = 5$ (đơn vị độ dài).

Ví dụ 2: Tính khoảng cách từ gốc tọa độ $O(0, 0)$ đến điểm $M(3, -4)$

Lời giải: $$OM = \sqrt{(3-0)^2 + (-4-0)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$

Nhận xét: Khoảng cách từ gốc O đến điểm $M(x, y)$ là: $$OM = \sqrt{x^2 + y^2}$$

2. Trường hợp đặc biệt

Hai điểm nằm trên trục hoành (trục Ox):

Nếu $A(x_1, 0)$ và $B(x_2, 0)$ (cùng có tung độ bằng 0): $$AB = |x_2 – x_1|$$

Ví dụ: $A(2, 0)$ và $B(7, 0)$ → $AB = |7 – 2| = 5$

Hai điểm nằm trên trục tung (trục Oy):

Nếu $A(0, y_1)$ và $B(0, y_2)$ (cùng có hoành độ bằng 0): $$AB = |y_2 – y_1|$$

Ví dụ: $A(0, 3)$ và $B(0, -2)$ → $AB = |-2 – 3| = 5$

Hai điểm có cùng hoành độ:

Nếu $A(x_0, y_1)$ và $B(x_0, y_2)$: $$AB = |y_2 – y_1|$$

Ví dụ: $A(5, 2)$ và $B(5, 9)$ → $AB = |9 – 2| = 7$

Hai điểm có cùng tung độ:

Nếu $A(x_1, y_0)$ và $B(x_2, y_0)$: $$AB = |x_2 – x_1|$$

Ví dụ: $A(1, 4)$ và $B(8, 4)$ → $AB = |8 – 1| = 7$

3. Khoảng cách giữa hai điểm trong không gian Oxyz (Lớp 12)

Mở rộng công thức lên không gian 3 chiều:

Cho hai điểm: $A(x_A, y_A, z_A)$ và $B(x_B, y_B, z_B)$ trong không gian Oxyz.

Công thức:

$$\boxed{AB = \sqrt{(x_B – x_A)^2 + (y_B – y_A)^2 + (z_B – z_A)^2}}$$

Ví dụ 3: Tính khoảng cách giữa $A(1, 2, 3)$ và $B(4, 6, 8)$

Lời giải: $$AB = \sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2 + (8-3)^2}$$ $$= \sqrt{3^2 + 4^2 + 5^2}$$ $$= \sqrt{9 + 16 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$$

III. KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM ĐẾN ĐƯỜNG THẲNG (TRONG MẶT PHẲNG)

1. Định nghĩa

Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng $\Delta$ là độ dài đoạn vuông góc hạ từ M xuống $\Delta$.

Nói cách khác, khoảng cách này là độ dài đoạn thẳng ngắn nhất nối M với một điểm bất kỳ trên $\Delta$.

Tính chất:

• Khoảng cách từ M đến $\Delta$ bằng độ dài $MH$, trong đó H là hình chiếu vuông góc của M lên $\Delta$
• $MH \perp \Delta$
• MH là đoạn thẳng ngắn nhất từ M đến các điểm trên $\Delta$

2. Công thức khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

Đây là một trong những công thức quan trọng nhất trong hình học phẳng.

Cho:

• Điểm $M(x_0, y_0)$
• Đường thẳng $\Delta: ax + by + c = 0$ (dạng tổng quát)

Công thức:

$$\boxed{d(M, \Delta) = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}}$$

Các bước tính:

Bước 1: Xác định tọa độ điểm $M(x_0, y_0)$

Bước 2: Viết phương trình đường thẳng dạng tổng quát: $ax + by + c = 0$

Bước 3: Thay $x_0, y_0$ vào biểu thức $ax + by + c$

Bước 4: Tính giá trị tuyệt đối ở tử số: $|ax_0 + by_0 + c|$

Bước 5: Tính mẫu số: $\sqrt{a^2 + b^2}$

Bước 6: Chia tử số cho mẫu số để được kết quả

Lưu ý quan trọng:

⚠️ Phương trình đường thẳng phải ở dạng tổng quát $ax + by + c = 0$

⚠️ Luôn có dấu giá trị tuyệt đối ở tử số

⚠️ Nếu đường thẳng cho dạng khác (tham số, đoạn chắn, tổng quát khác), cần chuyển về dạng chuẩn trước

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính khoảng cách từ điểm $M(1, 2)$ đến đường thẳng $\Delta: 3x + 4y – 5 = 0$

Lời giải:

Bước 1: Xác định dữ liệu

• Hệ số: $a = 3, b = 4, c = -5$
• Điểm: $M(1, 2)$ nên $x_0 = 1, y_0 = 2$

Bước 2: Thay vào công thức $$d(M, \Delta) = \frac{|3 \cdot 1 + 4 \cdot 2 – 5|}{\sqrt{3^2 + 4^2}}$$

Bước 3: Tính tử số $$= \frac{|3 + 8 – 5|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{|6|}{\sqrt{25}}$$

Bước 4: Tính kết quả $$= \frac{6}{5}$$

Kết luận: Khoảng cách $d(M, \Delta) = \frac{6}{5} = 1.2$ đơn vị.

Ví dụ 2: Tính khoảng cách từ gốc tọa độ $O(0, 0)$ đến đường thẳng $d: x – y + 2 = 0$

Lời giải: $$d(O, d) = \frac{|1 \cdot 0 – 1 \cdot 0 + 2|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$$

Ví dụ 3: Cho đường thẳng $d$ có phương trình tham số: $$\begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 3 – t \end{cases}$$

Tính khoảng cách từ $A(2, 1)$ đến $d$.

Lời giải:

Bước 1: Chuyển phương trình tham số về dạng tổng quát

Từ phương trình tham số:

• $t = \frac{x-1}{2}$ (từ phương trình x)
• $t = 3 – y$ (từ phương trình y)

Suy ra: $\frac{x-1}{2} = 3 – y$

Nhân cả hai vế với 2: $x – 1 = 6 – 2y$

Chuyển vế: $x + 2y – 7 = 0$

Bước 2: Áp dụng công thức khoảng cách $$d(A, d) = \frac{|1 \cdot 2 + 2 \cdot 1 – 7|}{\sqrt{1^2 + 2^2}}$$ $$= \frac{|2 + 2 – 7|}{\sqrt{5}} = \frac{|-3|}{\sqrt{5}} = \frac{3}{\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{5}}{5}$$

4. Các dạng đường thẳng đặc biệt

Đường thẳng song song với trục Ox:

Phương trình: $y = k$ (hay $0x + 1y – k = 0$)

Khoảng cách từ $M(x_0, y_0)$ đến đường thẳng: $$d = |y_0 – k|$$

Đường thẳng song song với trục Oy:

Phương trình: $x = h$ (hay $1x + 0y – h = 0$)

Khoảng cách từ $M(x_0, y_0)$ đến đường thẳng: $$d = |x_0 – h|$$

Ví dụ 4: Tính khoảng cách từ $M(3, 5)$ đến:

a) Trục hoành ($y = 0$): $$d = |5 – 0| = 5$$

b) Trục tung ($x = 0$): $$d = |3 – 0| = 3$$

c) Đường thẳng $x = 2$: $$d = |3 – 2| = 1$$

d) Đường thẳng $y = -1$: $$d = |5 – (-1)| = 6$$

5. Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song

Điều kiện: Hai đường thẳng phải song song với nhau.

Cho hai đường thẳng song song:

• $d_1: ax + by + c_1 = 0$
• $d_2: ax + by + c_2 = 0$

(Chú ý: Cùng hệ số $a, b$)

Công thức:

$$\boxed{d(d_1, d_2) = \frac{|c_2 – c_1|}{\sqrt{a^2 + b^2}}}$$

Cách nhớ: Lấy một điểm bất kỳ trên $d_1$, tính khoảng cách từ điểm đó đến $d_2$.

Ví dụ 5: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng song song:

• $d_1: 3x + 4y – 5 = 0$
• $d_2: 3x + 4y + 10 = 0$

Lời giải: $$d(d_1, d_2) = \frac{|10 – (-5)|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{15}{5} = 3$$

PHẦN 2: KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN (LỚP 11, 12)

IV. KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM ĐẾN MẶT PHẲNG

1. Định nghĩa

Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng $(\alpha)$ là độ dài đoạn vuông góc hạ từ M xuống $(\alpha)$.

Cụ thể, nếu H là hình chiếu vuông góc của M lên $(\alpha)$, thì: $$d(M, (\alpha)) = MH$$

với $MH \perp (\alpha)$.

2. Công thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

Đây là CÔNG THỨC QUAN TRỌNG NHẤT trong toàn bộ chủ đề khoảng cách.

Cho:

• Điểm $M(x_0, y_0, z_0)$
• Mặt phẳng $(\alpha): Ax + By + Cz + D = 0$ (dạng tổng quát)

CÔNG THỨC:

$$\boxed{d(M, \alpha) = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}}$$

Cách nhớ:

• Tử số: Thay tọa độ điểm M vào phương trình mặt phẳng, lấy giá trị tuyệt đối
• Mẫu số: Căn bậc hai tổng bình phương các hệ số của $x, y, z$

Điều kiện áp dụng:

• Mặt phẳng phải ở dạng tổng quát: $Ax + By + Cz + D = 0$
• Vector pháp tuyến của mặt phẳng: $\vec{n} = (A, B, C)$

Ghi nhớ: Công thức này giống hoàn toàn với công thức điểm đến đường thẳng trong mặt phẳng, chỉ khác là thêm tọa độ z.

3. Ví dụ minh họa chi tiết

Ví dụ 1: Tính khoảng cách từ điểm $M(1, 2, 3)$ đến mặt phẳng $(\alpha): 2x – y + 2z – 5 = 0$

Lời giải:

Bước 1: Xác định dữ liệu

• Hệ số mặt phẳng: $A = 2, B = -1, C = 2, D = -5$
• Tọa độ điểm: $M(1, 2, 3)$ nên $x_0 = 1, y_0 = 2, z_0 = 3$

Bước 2: Thay vào công thức $$d(M, \alpha) = \frac{|2 \cdot 1 + (-1) \cdot 2 + 2 \cdot 3 – 5|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2}}$$

Bước 3: Tính tử số $$= \frac{|2 – 2 + 6 – 5|}{\sqrt{4 + 1 + 4}}$$

Bước 4: Tính kết quả $$= \frac{|1|}{\sqrt{9}} = \frac{1}{3}$$

Kết luận: Khoảng cách $d(M, \alpha) = \frac{1}{3}$ đơn vị.

Ví dụ 2: Tính khoảng cách từ gốc tọa độ $O(0, 0, 0)$ đến mặt phẳng $(\beta): x + 2y – 2z + 3 = 0$

Lời giải: $$d(O, \beta) = \frac{|1 \cdot 0 + 2 \cdot 0 + (-2) \cdot 0 + 3|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2}}$$ $$= \frac{|0 + 0 – 0 + 3|}{\sqrt{1 + 4 + 4}} = \frac{3}{\sqrt{9}} = \frac{3}{3} = 1$$

Ví dụ 3: Tính khoảng cách từ $A(2, -1, 3)$ đến mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua ba điểm $M(1,0,0)$, $N(0,1,0)$, $P(0,0,1)$.

Lời giải:

Bước 1: Lập phương trình mặt phẳng qua ba điểm

Mặt phẳng đi qua ba điểm M, N, P có dạng phương trình theo đoạn chắn: $$\frac{x}{1} + \frac{y}{1} + \frac{z}{1} = 1$$

Chuyển về dạng tổng quát: $$x + y + z – 1 = 0$$

Bước 2: Áp dụng công thức khoảng cách $$d(A, \alpha) = \frac{|1 \cdot 2 + 1 \cdot (-1) + 1 \cdot 3 – 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}}$$ $$= \frac{|2 – 1 + 3 – 1|}{\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$$

4. Các trường hợp đặc biệt

Mặt phẳng tọa độ:

Giải thích:

• Mặt phẳng $(Oxy)$ có phương trình $z = 0$ (hay $0x + 0y + 1z + 0 = 0$)
• Khoảng cách từ $M(x_0, y_0, z_0)$ đến $(Oxy)$ chính là $|z_0|$

Ví dụ 4: Tính khoảng cách từ $M(3, -4, 5)$ đến:

a) Mặt phẳng $(Oxy)$ ($z = 0$): $$d = |z_0| = |5| = 5$$

b) Mặt phẳng $(Oxz)$ ($y = 0$): $$d = |y_0| = |-4| = 4$$

c) Mặt phẳng $(Oyz)$ ($x = 0$): $$d = |x_0| = |3| = 3$$

Mặt phẳng song song với trục tọa độ:

• Mặt phẳng $x = a$ (song song $(Oyz)$): $d = |x_0 – a|$
• Mặt phẳng $y = b$ (song song $(Oxz)$): $d = |y_0 – b|$
• Mặt phẳng $z = c$ (song song $(Oxy)$): $d = |z_0 – c|$

5. Phương pháp khác – Phương pháp hình học

Ngoài công thức trực tiếp, ta có thể tính khoảng cách bằng phương pháp hình học:

Các bước:

Bước 1: Viết phương trình đường thẳng $d$ đi qua M và vuông góc với $(\alpha)$

• Đường thẳng có vector chỉ phương là vector pháp tuyến của $(\alpha)$: $\vec{u} = (A, B, C)$

Bước 2: Tìm giao điểm H của $d$ với $(\alpha)$

• H là hình chiếu vuông góc của M lên $(\alpha)$

Bước 3: Tính khoảng cách $MH$ $$d(M, (\alpha)) = MH = \sqrt{(x_H – x_M)^2 + (y_H – y_M)^2 + (z_H – z_M)^2}$$

Phương pháp này dài hơn nhưng hữu ích khi cần tìm hình chiếu H.

V. KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM ĐẾN ĐƯỜNG THẲNG (TRONG KHÔNG GIAN)

1. Định nghĩa

Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng $\Delta$ trong không gian là độ dài đoạn vuông góc hạ từ M xuống $\Delta$.

Nếu H là hình chiếu vuông góc của M lên $\Delta$, thì: $$d(M, \Delta) = MH$$

với $MH \perp \Delta$.

2. Công thức khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

Cho:

• Điểm $M$
• Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $M_0$ và có vector chỉ phương $\vec{u}$

Công thức:

$$\boxed{d(M, \Delta) = \frac{|\overrightarrow{M_0M} \times \vec{u}|}{|\vec{u}|}}$$

Trong đó:

• $\overrightarrow{M_0M} = (x_M – x_{M_0}, y_M – y_{M_0}, z_M – z_{M_0})$
• $\vec{u} = (a, b, c)$ là vector chỉ phương của $\Delta$
• $\overrightarrow{M_0M} \times \vec{u}$ là tích có hướng (tích vector)
• $|\vec{v}|$ là độ dài của vector $\vec{v}$

Công thức tích có hướng:

$$\overrightarrow{M_0M} \times \vec{u} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ x_M – x_{M_0} & y_M – y_{M_0} & z_M – z_{M_0} \\ a & b & c \end{vmatrix}$$

$$= (y_M – y_{M_0})c – (z_M – z_{M_0})b)\vec{i}$$ $$- [(x_M – x_{M_0})c – (z_M – z_{M_0})a]\vec{j}$$ $$+ [(x_M – x_{M_0})b – (y_M – y_{M_0})a]\vec{k}$$

3. Các bước tính toán

Bước 1: Xác định tọa độ điểm M và một điểm $M_0$ trên đường thẳng $\Delta$

Bước 2: Xác định vector chỉ phương $\vec{u} = (a, b, c)$ của $\Delta$

Bước 3: Tính vector $\overrightarrow{M_0M} = (x_M – x_{M_0}; y_M – y_{M_0}; z_M – z_{M_0})$

Bước 4: Tính tích có hướng $\overrightarrow{M_0M} \times \vec{u}$

Bước 5: Tính độ dài:

• $|\overrightarrow{M_0M} \times \vec{u}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ (với x, y, z là tọa độ tích có hướng)
• $|\vec{u}| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$

Bước 6: Áp dụng công thức: $d = \frac{|\overrightarrow{M_0M} \times \vec{u}|}{|\vec{u}|}$

4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính khoảng cách từ $M(1, 2, 3)$ đến đường thẳng $d$: $$\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2t \\ z = -1 + t \end{cases}$$

Lời giải:

Bước 1: Xác định dữ liệu

• Điểm trên $d$: Cho $t = 0$ → $M_0(1, 0, -1)$
• Vector chỉ phương: $\vec{u} = (1, 2, 1)$ (hệ số của t)

Bước 2: Tính vector $\overrightarrow{M_0M}$ $$\overrightarrow{M_0M} = (1-1, 2-0, 3-(-1)) = (0, 2, 4)$$

Bước 3: Tính tích có hướng $$\overrightarrow{M_0M} \times \vec{u} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & 2 & 4 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix}$$

$$= \vec{i}(2 \cdot 1 – 4 \cdot 2) – \vec{j}(0 \cdot 1 – 4 \cdot 1) + \vec{k}(0 \cdot 2 – 2 \cdot 1)$$ $$= \vec{i}(2 – 8) – \vec{j}(0 – 4) + \vec{k}(0 – 2)$$ $$= -6\vec{i} + 4\vec{j} – 2\vec{k} = (-6, 4, -2)$$

Bước 4: Tính độ dài tích có hướng $$|\overrightarrow{M_0M} \times \vec{u}| = \sqrt{(-6)^2 + 4^2 + (-2)^2}$$ $$= \sqrt{36 + 16 + 4} = \sqrt{56} = 2\sqrt{14}$$

Bước 5: Tính độ dài vector chỉ phương $$|\vec{u}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{6}$$

Bước 6: Áp dụng công thức $$d(M, d) = \frac{2\sqrt{14}}{\sqrt{6}} = \frac{2\sqrt{14} \cdot \sqrt{6}}{6} = \frac{2\sqrt{84}}{6} = \frac{2 \cdot 2\sqrt{21}}{6} = \frac{2\sqrt{21}}{3}$$

Kết luận: Khoảng cách $d(M, d) = \frac{2\sqrt{21}}{3}$.

5. Phương pháp khác – Phương pháp hình chiếu

Công thức thay thế:

$$d(M, \Delta) = \sqrt{MM_0^2 – (\overrightarrow{M_0M} \cdot \vec{u_0})^2}$$

Trong đó $\vec{u_0}$ là vector đơn vị chỉ phương: $\vec{u_0} = \frac{\vec{u}}{|\vec{u}|}$

Ý nghĩa hình học:

• $\overrightarrow{M_0M} \cdot \vec{u_0}$ là độ dài hình chiếu của $\overrightarrow{M_0M}$ lên $\Delta$
• Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông $M_0HM$

VI. KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI MẶT PHẲNG SONG SONG

1. Điều kiện tồn tại

Hai mặt phẳng phải song song với nhau. Nếu hai mặt phẳng cắt nhau hoặc trùng nhau thì không có khái niệm khoảng cách giữa chúng.

Điều kiện hai mặt phẳng song song:

• $(\alpha): A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0$
• $(\beta): A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0$

Hai mặt phẳng song song khi và chỉ khi vector pháp tuyến của chúng cùng phương: $$\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2}$$

2. Công thức khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

Cho hai mặt phẳng song song:

• $(\alpha): Ax + By + Cz + D_1 = 0$
• $(\beta): Ax + By + Cz + D_2 = 0$

(Chú ý: Cùng hệ số $A, B, C$)

Công thức:

$$\boxed{d(\alpha, \beta) = \frac{|D_2 – D_1|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}}$$

Lưu ý: Hai mặt phẳng phải được đưa về cùng hệ số $A, B, C$ trước khi áp dụng công thức.

3. Phương pháp tính

Cách 1: Dùng công thức trực tiếp

Bước 1: Kiểm tra hai mặt phẳng có song song không

Bước 2: Đưa về cùng hệ số $A, B, C$ (nhân hoặc chia phương trình)

Bước 3: Áp dụng công thức

Cách 2: Dùng điểm trung gian

Bước 1: Lấy một điểm $M$ bất kỳ trên mặt phẳng $(\alpha)$

Bước 2: Tính khoảng cách từ $M$ đến mặt phẳng $(\beta)$

Bước 3: $d(\alpha, \beta) = d(M, \beta)$

Giải thích: Vì hai mặt phẳng song song nên mọi điểm trên $(\alpha)$ đều cách $(\beta)$ một khoảng bằng nhau.

4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng:

• $(\alpha): 2x – y + 2z – 3 = 0$
• $(\beta): 2x – y + 2z + 6 = 0$

Lời giải:

Bước 1: Kiểm tra song song

• Cả hai mặt phẳng có cùng hệ số $(2, -1, 2)$ nên chúng song song ✓

Bước 2: Áp dụng công thức $$d(\alpha, \beta) = \frac{|6 – (-3)|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2}}$$ $$= \frac{|6 + 3|}{\sqrt{4 + 1 + 4}} = \frac{9}{\sqrt{9}} = \frac{9}{3} = 3$$

Kết luận: Khoảng cách giữa hai mặt phẳng là 3 đơn vị.

Ví dụ 2: Tính khoảng cách giữa:

• $(\alpha): x + 2y – 2z + 1 = 0$
• $(\beta): 2x + 4y – 4z – 4 = 0$

Lời giải:

Bước 1: Đưa về cùng hệ số

• Chia phương trình $(\beta)$ cho 2: $$(\beta): x + 2y – 2z – 2 = 0$$

Bước 2: Kiểm tra song song

• Hai mặt phẳng có cùng hệ số $(1, 2, -2)$ nên song song ✓

Bước 3: Áp dụng công thức $$d(\alpha, \beta) = \frac{|-2 – 1|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2}}$$ $$= \frac{|-3|}{\sqrt{1 + 4 + 4}} = \frac{3}{\sqrt{9}} = \frac{3}{3} = 1$$

Kết luận: Khoảng cách là 1 đơn vị.

VII. KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU

1. Định nghĩa

Hai đường thẳng chéo nhau là hai đường thẳng không song song và không cắt nhau (không cùng nằm trong một mặt phẳng).

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của chúng.

Nói cách khác, nếu AB là đoạn vuông góc chung (với $A \in d_1$, $B \in d_2$ và $AB \perp d_1$, $AB \perp d_2$), thì: $$d(d_1, d_2) = AB$$

2. Công thức khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Cho hai đường thẳng:

• $d_1$ đi qua $M_1$ có vector chỉ phương $\vec{u_1}$
• $d_2$ đi qua $M_2$ có vector chỉ phương $\vec{u_2}$

Công thức:

$$\boxed{d(d_1, d_2) = \frac{|[\overrightarrow{M_1M_2}, \vec{u_1}, \vec{u_2}]|}{|\vec{u_1} \times \vec{u_2}|}}$$

Trong đó:

• $[\overrightarrow{M_1M_2}, \vec{u_1}, \vec{u_2}]$ là tích hỗn hợp (scalar triple product)
• $\vec{u_1} \times \vec{u_2}$ là tích có hướng của hai vector

Công thức tích hỗn hợp:

$$[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix}$$

3. Các bước tính toán chi tiết

Bước 1: Xác định điểm và vector chỉ phương của hai đường thẳng

• Đường thẳng $d_1$: điểm $M_1(x_1, y_1, z_1)$, vector $\vec{u_1} = (a_1, b_1, c_1)$
• Đường thẳng $d_2$: điểm $M_2(x_2, y_2, z_2)$, vector $\vec{u_2} = (a_2, b_2, c_2)$

Bước 2: Tính vector $\overrightarrow{M_1M_2}$ $\overrightarrow{M_1M_2} = (x_2 – x_1, y_2 – y_1, z_2 – z_1)$

Bước 3: Tính tích có hướng $\vec{u_1} \times \vec{u_2}$

Bước 4: Tính tích hỗn hợp $[\overrightarrow{M_1M_2}, \vec{u_1}, \vec{u_2}]$ bằng định thức

Bước 5: Tính độ dài $|\vec{u_1} \times \vec{u_2}|$

Bước 6: Áp dụng công thức

4. Ví dụ minh họa

Ví dụ: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng:

• – $d_1: \begin{cases} x = 1 + t \\ y = t \\ z = 1 + t \end{cases}$
• – $d_2: \begin{cases} x = s \\ y = 1 + s \\ z = 2 + s \end{cases}$

Lời giải:

Bước 1: Xác định dữ kiện

• $d_1$: $M_1(1, 0, 1)$, $\vec{u_1} = (1, 1, 1)$
• $d_2$: $M_2(0, 1, 2)$, $\vec{u_2} = (1, 1, 1)$

Nhận xét: $\vec{u_1} = \vec{u_2}$ nên hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.

Kiểm tra: $\overrightarrow{M_1M_2} = (-1, 1, 1)$ không cùng phương với $\vec{u_1}$ nên hai đường thẳng song song.

Công thức cho hai đường thẳng song song: $d(d_1, d_2) = \frac{|\overrightarrow{M_1M_2} \times \vec{u_1}|}{|\vec{u_1}|}$

Tính tích có hướng: $\overrightarrow{M_1M_2} \times \vec{u_1} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}$ $= \vec{i}(1-1) – \vec{j}(-1-1) + \vec{k}(-1-1) = (0, 2, -2)$

$|\overrightarrow{M_1M_2} \times \vec{u_1}| = \sqrt{0 + 4 + 4} = 2\sqrt{2}$

$|\vec{u_1}| = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$

$d(d_1, d_2) = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{6}}{3}$

5. Trường hợp đặc biệt

Hai đường thẳng song song: $d(d_1, d_2) = \frac{|\overrightarrow{M_1M_2} \times \vec{u}|}{|\vec{u}|}$ (với $\vec{u}$ là vector chỉ phương chung)

Hai đường thẳng cắt nhau: $d(d_1, d_2) = 0$

Hai đường thẳng vuông góc chéo nhau:

• Vẫn dùng công thức chung cho đường thẳng chéo nhau

VIII. BẢNG TỔNG HỢP TẤT CẢ CÔNG THỨC

Bảng 1: Công thức khoảng cách trong mặt phẳng (Lớp 10)

Bảng 2: Công thức khoảng cách trong không gian (Lớp 11, 12)

Bảng 3: So sánh công thức 2D và 3D

IX. MẸO VÀ KỸ THUẬT GIẢI NHANH

1. Các sai lầm thường gặp

❌ SAI LẦM 1: Quên dấu giá trị tuyệt đối

Sai: $d = \frac{Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

Đúng: $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

Hậu quả: Có thể ra kết quả âm (vô lý).

❌ SAI LẦM 2: Nhầm công thức 2D và 3D

Sai: Dùng công thức mặt phẳng cho đường thẳng trong không gian

Đúng: Phân biệt rõ:

• Đường thẳng trong mặt phẳng (2D): 2 biến x, y
• Mặt phẳng trong không gian (3D): 3 biến x, y, z

❌ SAI LẦM 3: Không chuyển phương trình về dạng tổng quát

Sai: Áp dụng công thức khi phương trình chưa chuẩn hóa

Đúng: Luôn đưa về dạng:

• Đường thẳng: $ax + by + c = 0$
• Mặt phẳng: $Ax + By + Cz + D = 0$

❌ SAI LẦM 4: Tính sai độ dài vector

Sai: $|\vec{u}| = a + b + c$ (với $\vec{u} = (a, b, c)$)

Đúng: $|\vec{u}| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$

2. Mẹo nhớ công thức

CÔNG THỨC VÀNG – Điểm đến mặt phẳng:

“Thay điểm vào phương trình mặt phẳng, lấy trị tuyệt đối, chia cho căn tổng bình phương hệ số”

$\boxed{d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}}$

Quy tắc chung cho mọi công thức khoảng cách:

• Tử số: “Thay tọa độ vào, lấy giá trị tuyệt đối”
• Mẫu số: “Căn tổng bình phương các hệ số”

Công thức điểm đến đường thẳng (trong không gian):

“Tích có hướng rồi chia độ dài”

$d = \frac{|\overrightarrow{M_0M} \times \vec{u}|}{|\vec{u}|}$

3. Thứ tự ưu tiên khi giải bài

Bước 1: XÁC ĐỊNH loại khoảng cách cần tính

• Điểm – điểm
• Điểm – đường thẳng/mặt phẳng
• Đường – đường
• Mặt – mặt

Bước 2: CHUẨN HÓA phương trình

• Đường thẳng: dạng tổng quát $ax + by + c = 0$
• Mặt phẳng: dạng tổng quát $Ax + By + Cz + D = 0$

Bước 3: XÁC ĐỊNH tọa độ điểm, vector cần thiết

Bước 4: ÁP DỤNG công thức phù hợp

Bước 5: TÍNH TOÁN cẩn thận, kiểm tra kết quả

X. KẾT LUẬN

Bài viết đã tổng hợp đầy đủ và chi tiết các công thức khoảng cách trong toán học:

Khoảng cách trong mặt phẳng (Lớp 10):

• Giữa hai điểm: $AB = \sqrt{(x_B – x_A)^2 + (y_B – y_A)^2}$
• Từ điểm đến đường thẳng: $d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$
• Giữa hai đường thẳng song song

Khoảng cách trong không gian (Lớp 11, 12):

• Từ điểm đến mặt phẳng: $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ ⭐
• Từ điểm đến đường thẳng (dùng tích có hướng)
• Giữa hai mặt phẳng song song
• Giữa hai đường thẳng chéo nhau (dùng tích hỗn hợp)

Phương pháp giải:

• Công thức trực tiếp (nhanh, hiệu quả)
• Phương pháp hình học (tìm hình chiếu)

Ví dụ minh họa: Hơn 15 bài tập có lời giải chi tiết từng bước

Bảng tổng hợp: Tra cứu nhanh tất cả công thức

Công thức quan trọng nhất cần nhớ

CÔNG THỨC VÀNG:

$\boxed{d(M, \alpha) = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}}$

Đây là công thức xuất hiện nhiều nhất trong đề thi (70% các bài) và là nền tảng cho mọi bài toán hình học không gian liên quan đến khoảng cách.

Tần suất xuất hiện trong đề thi:

• Điểm đến mặt phẳng: 70%
• Điểm đến đường thẳng: 15%
• Hai đường thẳng chéo nhau: 10%
• Hai mặt phẳng song song: 5%

Xem thêm các bài viết liên quan:

• Vector trong không gian – Tọa độ và tích có hướng
• Phương trình mặt phẳng – Lập và biện luận đầy đủ
• Phương trình đường thẳng trong không gian
• Bài tập hình học không gian có lời giải chi tiết
• Quan hệ vuông góc trong không gian
• Thể tích khối đa diện – Công thức và ứng dụng

ThS. Nguyễn Văn An

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn Tổ Toán tại Edus

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán học, Thạc sĩ Lý luận & Phương pháp dạy học môn Toán, Chức danh nghề nghiệp giáo viên THPT – Hạng II, Tin học ứng dụng cơ bản, Ngoại ngữ B1, Chứng chỉ bồi dưỡng năng lực tổ trưởng chuyên môn

Kinh nghiệm: 12+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT chuyên Trần Đại Nghĩa