Chọn đến phần học sinh cần nhanh chóng thông qua mục lục bằng cách click đến phần đó
- I. GIỚI THIỆU VỀ NGUYÊN HÀM HÀM HỢP
- 1. Hàm hợp là gì?
- 2. Nguyên hàm hàm hợp là gì?
- 3. Tại sao phải học nguyên hàm hàm hợp?
- 4. Cấu trúc bài viết
- II. CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM HÀM HỢP CƠ BẢN
- 1. Định lý về nguyên hàm hàm hợp
- 2. Công thức tổng quát
- 3. Các công thức nguyên hàm hàm hợp điển hình
- III. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
- 1. Phương pháp đổi biến số dạng 1 (Đổi biến trực tiếp)
- 2. Phương pháp đổi biến số dạng 2 (Đổi biến ngược)
- IV. CÁC DẠNG HÀM HỢP THƯỜNG GẶP
- DẠNG 1: Lũy thừa của hàm hợp [u(x)]ⁿ
- DẠNG 2: Phân thức có dạng u'/u
- DẠNG 3: Hàm mũ hợp e^{u(x)}
- DẠNG 4: Hàm lượng giác hợp
- DẠNG 5: Hàm hợp phức tạp
- V. MẸO NHẬN DẠNG VÀ KỸ THUẬT
- 1. Cách nhận dạng hàm hợp nhanh
- 2. Các sai lầm thường gặp
- 3. Kiểm tra kết quả
- 4. Bảng nhận dạng nhanh
- 5. Mẹo tính nhanh
- VI. KẾT LUẬN
- Tổng kết
- BẢNG TÓM TẮT
- Công thức hàm hợp cơ bản
- Công thức đặc biệt cho (ax+b)
- Bảng đổi biến cho căn thức
I. GIỚI THIỆU VỀ NGUYÊN HÀM HÀM HỢP
1. Hàm hợp là gì?
Định nghĩa: Hàm hợp là hàm số có cấu trúc “lồng ghép”, được tạo thành từ hai hàm số: một hàm ngoài tác động lên một hàm trong.
Ký hiệu: $f(u(x))$ hoặc $f(g(x))$
Trong đó:
- $f$ là hàm ngoài
- $u(x)$ hoặc $g(x)$ là hàm trong
Ví dụ minh họa:
| Hàm hợp | Hàm ngoài f | Hàm trong u(x) |
|---|---|---|
| $(x^2+1)^5$ | $t^5$ | $x^2+1$ |
| $\sin(2x)$ | $\sin t$ | $2x$ |
| $e^{x^2}$ | $e^t$ | $x^2$ |
| $\ln(3x-1)$ | $\ln t$ | $3x-1$ |
| $\sqrt{x^3+2}$ | $\sqrt{t}$ | $x^3+2$ |
Cách nhận biết hàm hợp:
- Có dấu ngoặc chứa biểu thức: $(…)^n$
- Hàm lượng giác/mũ/logarit tác động lên biểu thức: $\sin(…)$, $e^{…}$, $\ln(…)$
- Căn thức chứa biểu thức phức tạp: $\sqrt{x^2+1}$
2. Nguyên hàm hàm hợp là gì?
Định nghĩa: Nguyên hàm hàm hợp là nguyên hàm của biểu thức có dạng $f(u(x)) \cdot u'(x)$, tức là tích của hàm hợp và đạo hàm của hàm trong.
Công thức cơ bản:
$$\int f(u(x)) \cdot u'(x)dx = F(u(x)) + C$$
Trong đó $F$ là nguyên hàm của $f$.
Giải thích:
- Nếu $\int f(x)dx = F(x) + C$
- Thì $\int f(u(x)) \cdot u'(x)dx = F(u(x)) + C$
Ví dụ đơn giản:
Biết $\int x^5 dx = \frac{x^6}{6} + C$
Vậy: $\int (x^2+1)^5 \cdot 2x , dx = \frac{(x^2+1)^6}{6} + C$
(Vì $(x^2+1)’ = 2x$)
Phương pháp giải: Đổi biến số – thay $u = u(x)$ để chuyển về nguyên hàm đơn giản hơn.
3. Tại sao phải học nguyên hàm hàm hợp?
Lý do 1: Phổ biến trong đề thi
- Hơn 60% bài tập nguyên hàm có hàm hợp
- Xuất hiện trong mọi đề thi THPT Quốc gia
- Là dạng bài “bắt buộc phải biết”
Lý do 2: Không thể tính trực tiếp
- $\int (x^2+1)^5 dx$ không có công thức trực tiếp
- $\int e^{x^2} dx$ không có nguyên hàm sơ cấp
- Cần phương pháp đặc biệt để giải
Lý do 3: Nền tảng cho nhiều phương pháp
- Đổi biến số – phương pháp quan trọng nhất
- Tích phân từng phần nâng cao
- Giải phương trình vi phân
Ứng dụng thực tế:
- Vật lý: tính quãng đường với vận tốc thay đổi
- Kinh tế: mô hình tăng trưởng phức hợp
- Kỹ thuật: phân tích tín hiệu
4. Cấu trúc bài viết
Bài viết này sẽ hệ thống hóa kiến thức về nguyên hàm hàm hợp:
Phần II: Công thức nguyên hàm hàm hợp cơ bản – Định lý và bảng công thức đầy đủ
Phần III: Phương pháp đổi biến số – 2 dạng chính với hướng dẫn chi tiết
Phần IV: 5 dạng hàm hợp thường gặp – 17 ví dụ mẫu từ cơ bản đến nâng cao
Phần V: Mẹo nhận dạng và kỹ thuật – Tránh sai sót, tính nhanh hơn
Phần VI: Kết luận và bảng tóm tắt
II. CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM HÀM HỢP CƠ BẢN
1. Định lý về nguyên hàm hàm hợp
Định lý (Quan trọng nhất!):
Nếu $F(x)$ là nguyên hàm của $f(x)$, tức là:
$$\int f(x)dx = F(x) + C$$
Thì với hàm khả vi $u(x)$, ta có:
$$\int f(u(x)) \cdot u'(x)dx = F(u(x)) + C$$
Giải thích từng thành phần:
- $f(u(x))$: Hàm ngoài $f$ tác động lên hàm trong $u(x)$
- $u'(x)$: Đạo hàm của hàm trong (CỰC KỲ QUAN TRỌNG – phải có!)
- $F(u(x))$: Nguyên hàm $F$ với biến $x$ được thay bằng $u(x)$
Chứng minh nhanh (bằng đạo hàm):
Lấy đạo hàm vế phải theo quy tắc chuỗi:
$$[F(u(x))]’ = F'(u(x)) \cdot u'(x) = f(u(x)) \cdot u'(x)$$
Vậy $F(u(x)) + C$ đúng là nguyên hàm! ✓
Ví dụ cụ thể:
Biết $\int x^3 dx = \frac{x^4}{4} + C$
Áp dụng định lý với $u(x) = x^2 + 1$:
$$\int (x^2+1)^3 \cdot 2x , dx = \frac{(x^2+1)^4}{4} + C$$
Vì $(x^2+1)’ = 2x$ ✓
2. Công thức tổng quát
Dạng 1: Nhận ra trực tiếp (không cần đổi biến)
$$\int f(u(x)) \cdot u'(x)dx = F(u(x)) + C$$
Điều kiện áp dụng:
- ✓ Phải xuất hiện đủ cả $u(x)$ và $u'(x)$
- ✓ Hoặc chênh lệch một hằng số (có thể đưa ra ngoài)
Ví dụ phân tích:
| Tích phân | u(x) | u'(x) | Có đủ không? |
|---|---|---|---|
| $\int (x^2+1)^5 \cdot 2x , dx$ | $x^2+1$ | $2x$ | ✓ Có đủ |
| $\int \sin(2x) \cdot 2 , dx$ | $2x$ | $2$ | ✓ Có đủ |
| $\int (x^2+1)^5 \cdot x , dx$ | $x^2+1$ | $2x$ | ⚠️ Thiếu hệ số 2 (có thể bổ sung) |
| $\int (x^2+1)^5 dx$ | $x^2+1$ | $2x$ | ✗ Thiếu $u’$ hoàn toàn |
Kỹ thuật bổ sung hệ số:
Nếu thiếu hệ số, nhân và chia cho hệ số đó:
$$\int (x^2+1)^5 \cdot x , dx = \frac{1}{2}\int (x^2+1)^5 \cdot 2x , dx = \frac{(x^2+1)^6}{12} + C$$
Dạng 2: Cần đổi biến (phương pháp đổi biến số)
Công thức:
$$\int f(u(x)) \cdot u'(x)dx = \int f(u)du$$
Các bước thực hiện:
Bước 1: Đặt $u = u(x)$ (chọn hàm trong)
Bước 2: Tính $du = u'(x)dx$
Bước 3: Thay vào tích phân: $\int f(u)du$
Bước 4: Tính nguyên hàm theo biến $u$
Bước 5: Thay $u = u(x)$ vào kết quả, thêm $+C$
Ví dụ áp dụng:
Tính $\int 2x(x^2+3)^7 dx$
- Bước 1: Đặt $u = x^2 + 3$
- Bước 2: $du = 2x , dx$
- Bước 3: $\int 2x(x^2+3)^7 dx = \int u^7 du$
- Bước 4: $= \frac{u^8}{8} + C$
- Bước 5: $= \frac{(x^2+3)^8}{8} + C$
3. Các công thức nguyên hàm hàm hợp điển hình
Bảng công thức quan trọng cần nhớ:
| Dạng hàm hợp | Nguyên hàm | Điều kiện |
|---|---|---|
| $\int [u(x)]^n \cdot u'(x)dx$ | $\dfrac{[u(x)]^{n+1}}{n+1} + C$ | $n \neq -1$ |
| $\int \dfrac{u'(x)}{u(x)}dx$ | $\ln|u(x)| + C$ | $u(x) \neq 0$ |
| $\int e^{u(x)} \cdot u'(x)dx$ | $e^{u(x)} + C$ | |
| $\int a^{u(x)} \cdot u'(x) \ln a , dx$ | $a^{u(x)} + C$ | $a > 0, a \neq 1$ |
| $\int \sin(u(x)) \cdot u'(x)dx$ | $-\cos(u(x)) + C$ | |
| $\int \cos(u(x)) \cdot u'(x)dx$ | $\sin(u(x)) + C$ | |
| $\int \dfrac{u'(x)}{\cos^2(u(x))}dx$ | $\tan(u(x)) + C$ | |
| $\int \dfrac{u'(x)}{\sin^2(u(x))}dx$ | $-\cot(u(x)) + C$ | |
| $\int \dfrac{u'(x)}{\sqrt{1-[u(x)]^2}}dx$ | $\arcsin(u(x)) + C$ | $|u(x)| < 1$ |
| $\int \dfrac{u'(x)}{1+[u(x)]^2}dx$ | $\arctan(u(x)) + C$ |
Hoặc ảnh 2
Đặc điểm chung: Tất cả đều có dạng $f(u) \cdot u’$ – hàm hợp nhân với đạo hàm!
Cách nhớ:
- Nhớ công thức cơ bản (không có u)
- Thêm $u(x)$ vào chỗ của $x$
- Nhân thêm $u'(x)$
Ví dụ:
- $\int x^5 dx = \frac{x^6}{6} + C$ → $\int [u(x)]^5 \cdot u'(x)dx = \frac{[u(x)]^6}{6} + C$
- $\int e^x dx = e^x + C$ → $\int e^{u(x)} \cdot u'(x)dx = e^{u(x)} + C$
III. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
1. Phương pháp đổi biến số dạng 1 (Đổi biến trực tiếp)
Đây là phương pháp phổ biến nhất, dùng cho hầu hết các bài toán nguyên hàm hàm hợp.
Khi nào sử dụng?
✅ Tích phân có dạng $\int f(u(x)) \cdot u'(x)dx$
✅ Nhận ra được $u(x)$ (hàm trong) và $u'(x)$ (đạo hàm của nó) trong biểu thức
✅ Có thể bổ sung hằng số nếu thiếu hệ số
Quy trình 7 bước chuẩn:
BƯỚC 1: Xác định hàm trong $u(x)$
Hỏi: Phần nào “lồng bên trong”? Phần nào phức tạp nhất?
BƯỚC 2: Tính đạo hàm $u'(x)$
BƯỚC 3: Kiểm tra $u'(x)$ có xuất hiện trong tích phân không?
- Nếu có đủ → tiếp tục
- Nếu thiếu hằng số → bổ sung và đưa ra ngoài
- Nếu thiếu hoàn toàn → không dùng được phương pháp này
BƯỚC 4: Đặt $u = u(x)$, suy ra $du = u'(x)dx$
BƯỚC 5: Thay thế toàn bộ vào tích phân: $\int f(u)du$
BƯỚC 6: Tính nguyên hàm theo biến $u$ (đơn giản hơn)
BƯỚC 7: Thay $u = u(x)$ vào kết quả, nhớ +C
Ví dụ 1: Tính $\int (3x^2+2)^{10} \cdot 6x , dx$
Lời giải:
Bước 1: Hàm trong: $u = 3x^2 + 2$ (phần trong ngoặc)
Bước 2: Tính đạo hàm: $u’ = 6x$
Bước 3: Kiểm tra: Có $6x$ trong tích phân ✓
Bước 4: Đặt $u = 3x^2 + 2$, $du = 6x , dx$
Bước 5: Thay vào: $$\int (3x^2+2)^{10} \cdot 6x , dx = \int u^{10} du$$
Bước 6: Tính nguyên hàm: $$\int u^{10} du = \frac{u^{11}}{11} + C$$
Bước 7: Thay $u = 3x^2 + 2$: $$= \frac{(3x^2+2)^{11}}{11} + C$$
Ví dụ 2: Tính $\int \frac{2x}{x^2+1}dx$
Lời giải:
Nhận xét quan trọng: Tử số là đạo hàm của mẫu số!
Kiểm tra: $(x^2+1)’ = 2x$ ✓
Bước 1-2: $u = x^2 + 1$, $u’ = 2x$
Bước 3: Có $2x$ ở tử số ✓
Bước 4: Đặt $u = x^2 + 1$, $du = 2x , dx$
Bước 5-6: $$\int \frac{2x}{x^2+1}dx = \int \frac{1}{u}du = \ln|u| + C$$
Bước 7: $$= \ln|x^2+1| + C = \ln(x^2+1) + C$$
(Bỏ dấu giá trị tuyệt đối vì $x^2+1 > 0$ với mọi $x$)
Ví dụ 3: Tính $\int \sin(5x)dx$
Lời giải:
Bước 1: Hàm trong: $u = 5x$
Bước 2: $u’ = 5$
Bước 3: Không có hệ số 5, nhưng có thể bổ sung!
Kỹ thuật bổ sung: $$\int \sin(5x)dx = \int \sin(5x) \cdot \frac{5}{5}dx = \frac{1}{5}\int \sin(5x) \cdot 5 , dx$$
Bước 4: Đặt $u = 5x$, $du = 5dx$
Bước 5-6: $$= \frac{1}{5}\int \sin u , du = \frac{1}{5}(-\cos u) + C$$
Bước 7: $$= -\frac{\cos(5x)}{5} + C$$
Công thức nhanh: $\int \sin(ax)dx = -\frac{\cos(ax)}{a} + C$
2. Phương pháp đổi biến số dạng 2 (Đổi biến ngược)
Đây là phương pháp đặc biệt, ít gặp hơn nhưng rất mạnh cho một số dạng bài.
Khi nào sử dụng?
✅ Gặp căn thức phức tạp: $\sqrt{a^2-x^2}$, $\sqrt{x^2+a^2}$, $\sqrt{x^2-a^2}$
✅ Không nhận ra được $u'(x)$ trực tiếp
✅ Không thể áp dụng đổi biến dạng 1
Nguyên tắc:
Thay vì đặt $u = u(x)$ như thường lệ, ta đặt ngược lại: $x = g(t)$
Mục đích: Biến đổi căn thức phức tạp thành biểu thức đơn giản bằng công thức lượng giác.
Bảng công thức đổi biến thường dùng:
| Gặp dạng | Đặt | Lý do | Kết quả |
|---|---|---|---|
| $\sqrt{a^2-x^2}$ | $x = a\sin t$ hoặc $x = a\cos t$ | $1 – \sin^2 t = \cos^2 t$ | $\sqrt{a^2-x^2} = a\cos t$ |
| $\sqrt{x^2+a^2}$ | $x = a\tan t$ | $1 + \tan^2 t = \sec^2 t$ | $\sqrt{x^2+a^2} = a\sec t$ |
| $\sqrt{x^2-a^2}$ | $x = \dfrac{a}{\cos t}$ hoặc $x = a\sec t$ | $\sec^2 t – 1 = \tan^2 t$ | $\sqrt{x^2-a^2} = a\tan t$ |
Ví dụ 4: Tính $\int \sqrt{4-x^2} , dx$
Lời giải:
Nhận dạng: Dạng $\sqrt{a^2-x^2}$ với $a = 2$
Bước 1: Đặt $x = 2\sin t$
Suy ra: $dx = 2\cos t , dt$
Bước 2: Biến đổi căn thức $$\sqrt{4-x^2} = \sqrt{4-4\sin^2 t} = \sqrt{4(1-\sin^2 t)} = 2\sqrt{\cos^2 t} = 2|\cos t| = 2\cos t$$
(Giả sử $t \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ thì $\cos t \geq 0$)
Bước 3: Thay vào tích phân $$\int \sqrt{4-x^2} , dx = \int 2\cos t \cdot 2\cos t , dt = 4\int \cos^2 t , dt$$
Bước 4: Sử dụng công thức hạ bậc: $\cos^2 t = \frac{1+\cos 2t}{2}$
$$= 4\int \frac{1+\cos 2t}{2}dt = 2\int (1 + \cos 2t)dt$$
$$= 2\left(t + \frac{\sin 2t}{2}\right) + C = 2t + \sin 2t + C$$
Bước 5: Sử dụng công thức góc đôi: $\sin 2t = 2\sin t \cos t$
$$= 2t + 2\sin t \cos t + C$$
Bước 6: Trở về biến $x$
Từ $x = 2\sin t$:
- $\sin t = \frac{x}{2}$
- $t = \arcsin\frac{x}{2}$
- $\cos t = \sqrt{1-\sin^2 t} = \sqrt{1-\frac{x^2}{4}} = \frac{\sqrt{4-x^2}}{2}$
Kết quả cuối cùng: $$= 2\arcsin\frac{x}{2} + 2 \cdot \frac{x}{2} \cdot \frac{\sqrt{4-x^2}}{2} + C$$
$$= 2\arcsin\frac{x}{2} + \frac{x\sqrt{4-x^2}}{2} + C$$
IV. CÁC DẠNG HÀM HỢP THƯỜNG GẶP
DẠNG 1: Lũy thừa của hàm hợp [u(x)]ⁿ
Công thức:
$$\int [u(x)]^n \cdot u'(x)dx = \frac{[u(x)]^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1)$$
Cách nhớ: Giống nguyên hàm $x^n$, nhưng thay $x$ bằng $u(x)$ và nhân $u'(x)$
Ví dụ 5: Tính $\int (2x-3)^7 \cdot 2 , dx$
Lời giải:
Nhận dạng: $u = 2x – 3$, $u’ = 2$, $n = 7$
Áp dụng công thức: $$\int (2x-3)^7 \cdot 2 , dx = \frac{(2x-3)^8}{8} + C$$
Ví dụ 6: Tính $\int x^2(x^3+1)^4 dx$
Lời giải:
Bước 1: $u = x^3 + 1$, $u’ = 3x^2$
Bước 2: Thiếu hệ số 3, bổ sung: $$\int x^2(x^3+1)^4 dx = \frac{1}{3}\int (x^3+1)^4 \cdot 3x^2 dx$$
Bước 3: Áp dụng công thức: $$= \frac{1}{3} \cdot \frac{(x^3+1)^5}{5} + C = \frac{(x^3+1)^5}{15} + C$$
Ví dụ 7: Tính $\int \sqrt{x^2-1} \cdot x , dx$
Lời giải:
Viết lại: $\int (x^2-1)^{1/2} \cdot x , dx$
Bước 1: $u = x^2 – 1$, $u’ = 2x$, $n = \frac{1}{2}$
Bước 2: Thiếu hệ số 2: $$= \frac{1}{2}\int (x^2-1)^{1/2} \cdot 2x , dx$$
Bước 3: Áp dụng công thức: $$= \frac{1}{2} \cdot \frac{(x^2-1)^{3/2}}{3/2} + C = \frac{1}{2} \cdot \frac{2(x^2-1)^{3/2}}{3} + C$$
$$= \frac{(x^2-1)^{3/2}}{3} + C$$
DẠNG 2: Phân thức có dạng u’/u
Công thức:
$$\int \frac{u'(x)}{u(x)}dx = \ln|u(x)| + C$$
Dấu hiệu nhận biết: Tử số là đạo hàm (hoặc bội số) của mẫu số
Cách kiểm tra nhanh: Lấy đạo hàm của mẫu, so sánh với tử
Ví dụ 8: Tính $\int \frac{3x^2}{x^3+5}dx$
Lời giải:
Kiểm tra: $(x^3+5)’ = 3x^2$ ✓ Đúng dạng!
$$\int \frac{3x^2}{x^3+5}dx = \ln|x^3+5| + C = \ln(x^3+5) + C$$
(Bỏ dấu giá trị tuyệt đối vì $x^3+5$ có thể âm hoặc dương, nhưng trong bài tập thường giả định dương)
Ví dụ 9: Tính $\int \tan x , dx$
Lời giải:
Viết lại: $$\int \tan x , dx = \int \frac{\sin x}{\cos x}dx$$
Nhận xét: $(\cos x)’ = -\sin x$, nên $\sin x = -(\cos x)’$
$$= \int \frac{-(\cos x)’}{\cos x}dx = -\ln|\cos x| + C$$
Hoặc viết dưới dạng khác: $$= \ln\left|\frac{1}{\cos x}\right| + C = \ln|\sec x| + C$$
Ví dụ 10: Tính $\int \frac{e^x}{e^x+1}dx$
Lời giải:
Kiểm tra: $(e^x+1)’ = e^x$ ✓
$$\int \frac{e^x}{e^x+1}dx = \ln|e^x+1| + C = \ln(e^x+1) + C$$
(Bỏ dấu giá trị tuyệt đối vì $e^x+1 > 0$ với mọi $x$)
DẠNG 3: Hàm mũ hợp e^{u(x)}
Công thức:
$$\int e^{u(x)} \cdot u'(x)dx = e^{u(x)} + C$$
Đặc điểm: Hàm $e^x$ có tính chất đặc biệt – nguyên hàm bằng chính nó!
Ví dụ 11: Tính $\int e^{3x+1}dx$
Lời giải:
$u = 3x + 1$, $u’ = 3$
Thiếu hệ số 3: $$\int e^{3x+1}dx = \frac{1}{3}\int e^{3x+1} \cdot 3 , dx = \frac{e^{3x+1}}{3} + C$$
Công thức nhanh: $\int e^{ax+b}dx = \frac{e^{ax+b}}{a} + C$
Ví dụ 12: Tính $\int x^2 e^{x^3}dx$
Lời giải:
$u = x^3$, $u’ = 3x^2$
Thiếu hệ số 3: $$\int x^2 e^{x^3}dx = \frac{1}{3}\int e^{x^3} \cdot 3x^2 dx = \frac{e^{x^3}}{3} + C$$
Ví dụ 13: Tính $\int e^{\sin x} \cos x , dx$
Lời giải:
$u = \sin x$, $u’ = \cos x$ ✓ Có đủ!
$$\int e^{\sin x} \cos x , dx = e^{\sin x} + C$$
DẠNG 4: Hàm lượng giác hợp
Công thức:
$$\int \sin(u(x)) \cdot u'(x)dx = -\cos(u(x)) + C$$
$$\int \cos(u(x)) \cdot u'(x)dx = \sin(u(x)) + C$$
Lưu ý: Sin có dấu trừ, cos không có!
Ví dụ 14: Tính $\int \sin(x^2) \cdot 2x , dx$
Lời giải:
$u = x^2$, $u’ = 2x$ ✓
$$\int \sin(x^2) \cdot 2x , dx = -\cos(x^2) + C$$
Ví dụ 15: Tính $\int \cos(3x-1)dx$
Lời giải:
$u = 3x – 1$, $u’ = 3$
$$\int \cos(3x-1)dx = \frac{1}{3}\int \cos(3x-1) \cdot 3 , dx = \frac{\sin(3x-1)}{3} + C$$
Công thức nhanh:
- $\int \sin(ax+b)dx = -\frac{\cos(ax+b)}{a} + C$
- $\int \cos(ax+b)dx = \frac{\sin(ax+b)}{a} + C$
DẠNG 5: Hàm hợp phức tạp
Các dạng kết hợp nhiều kỹ thuật.
Ví dụ 16: Tính $\int \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}dx$
Lời giải:
Viết lại: $\int (x^2+1)^{-1/2} \cdot x , dx$
$u = x^2 + 1$, $u’ = 2x$, $n = -\frac{1}{2}$
Thiếu hệ số 2: $$= \frac{1}{2}\int (x^2+1)^{-1/2} \cdot 2x , dx$$
$$= \frac{1}{2} \cdot \frac{(x^2+1)^{1/2}}{1/2} + C = (x^2+1)^{1/2} + C$$
$$= \sqrt{x^2+1} + C$$
Ví dụ 17: Tính $\int \frac{\ln x}{x}dx$
Lời giải:
Nhận dạng đặc biệt:
Đặt $u = \ln x$, $u’ = \frac{1}{x}$
$$\int \frac{\ln x}{x}dx = \int \ln x \cdot \frac{1}{x}dx = \int u , du$$
$$= \frac{u^2}{2} + C = \frac{(\ln x)^2}{2} + C = \frac{\ln^2 x}{2} + C$$
V. MẸO NHẬN DẠNG VÀ KỸ THUẬT
1. Cách nhận dạng hàm hợp nhanh
Dấu hiệu nhận biết:
✅ Có cấu trúc lồng ghép: Hàm ngoài tác động lên hàm trong
✅ Dạng $(…)^n$: Lũy thừa của một biểu thức
✅ Dạng $\sin(…)$, $e^{…}$, $\ln(…)$: Hàm đặc biệt tác động lên biểu thức
✅ Có căn thức: $\sqrt{x^2+1}$, $\sqrt{ax+b}$
Quy trình nhận dạng 5 bước:
BƯỚC 1: Xác định hàm trong u(x)
Câu hỏi: Phần nào nằm “bên trong”? Phần nào phức tạp nhất?
BƯỚC 2: Tính đạo hàm u'(x)
BƯỚC 3: Kiểm tra u'(x) có xuất hiện không?
- ✓ Có đủ → Dùng đổi biến trực tiếp
- ⚠️ Thiếu hằng số → Bổ sung và đưa ra ngoài
- ✗ Không có → Thử phương pháp khác hoặc không có nguyên hàm sơ cấp
BƯỚC 4: Nếu có, đặt u và tính nguyên hàm
BƯỚC 5: Thay u = u(x) vào kết quả
2. Các sai lầm thường gặp
❌ SAI LẦM 1: Quên u’ (Phổ biến nhất!)
SAI: $$\int (x^2+1)^5 dx = \frac{(x^2+1)^6}{6} + C$$
ĐÚNG: $$\int (x^2+1)^5 dx$$ không thể tính bằng công thức hàm hợp trực tiếp vì thiếu $u’ = 2x$
Giải thích: Cần có đủ cả u(x) và u'(x)!
❌ SAI LẦM 2: Quên chia cho hệ số của u’
SAI: $$\int \sin(2x)dx = -\cos(2x) + C$$
ĐÚNG: $$\int \sin(2x)dx = -\frac{\cos(2x)}{2} + C$$
Giải thích: u’ = 2, phải chia cho 2!
❌ SAI LẦM 3: Tưởng mọi hàm đều có công thức
SAI: $$\int e^{x^2}dx = \frac{e^{x^2}}{2x} + C$$
ĐÚNG: $$\int e^{x^2}dx$$ không có nguyên hàm sơ cấp!
Giải thích: Một số hàm không có công thức nguyên hàm dạng sơ cấp. Ví dụ: $e^{x^2}$, $\frac{\sin x}{x}$, $\frac{1}{\ln x}$
❌ SAI LẦM 4: Nhầm lẫn đạo hàm và nguyên hàm
SAI: $$\int (x^2+1)^5 \cdot 2x , dx = (x^2+1)^5 + C$$
ĐÚNG: $$\int (x^2+1)^5 \cdot 2x , dx = \frac{(x^2+1)^6}{6} + C$$
Giải thích: Đừng nhầm lẫn với công thức đạo hàm hàm hợp!
3. Kiểm tra kết quả
PHƯƠNG PHÁP KIỂM TRA: Lấy đạo hàm kết quả, áp dụng quy tắc chuỗi
Công thức đạo hàm hàm hợp: $$[F(u(x))]’ = F'(u(x)) \cdot u'(x) = f(u(x)) \cdot u'(x)$$
Ví dụ kiểm tra:
Với $\int (x^2+1)^5 \cdot 2x , dx = \frac{(x^2+1)^6}{6} + C$
Lấy đạo hàm: $$\left[\frac{(x^2+1)^6}{6}\right]’ = \frac{1}{6} \cdot 6(x^2+1)^5 \cdot (x^2+1)’$$
$$= (x^2+1)^5 \cdot 2x$$ ✓ Đúng!
4. Bảng nhận dạng nhanh
| Thấy dạng | u(x) | u'(x) | Kết quả nguyên hàm |
|---|---|---|---|
| $(ax+b)^n \cdot a$ | $ax+b$ | $a$ | $\dfrac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)} + C$ |
| $\dfrac{f'(x)}{f(x)}$ | $f(x)$ | $f'(x)$ | $\ln|f(x)| + C$ |
| $e^{f(x)} \cdot f'(x)$ | $f(x)$ | $f'(x)$ | $e^{f(x)} + C$ |
| $\sin(f(x)) \cdot f'(x)$ | $f(x)$ | $f'(x)$ | $-\cos(f(x)) + C$ |
| $\cos(f(x)) \cdot f'(x)$ | $f(x)$ | $f'(x)$ | $\sin(f(x)) + C$ |
| $[f(x)]^n \cdot f'(x)$ | $f(x)$ | $f'(x)$ | $\dfrac{[f(x)]^{n+1}}{n+1} + C$ |
5. Mẹo tính nhanh
Mẹo 1: Tử số = đạo hàm mẫu số → ln
Nếu nhìn thấy phân thức mà tử số là đạo hàm của mẫu số (hoặc bội số):
$$\int \frac{u’}{u}dx = \ln|u| + C$$
Ví dụ nhanh:
- $\int \frac{2x}{x^2+1}dx = \ln(x^2+1) + C$
- $\int \frac{3x^2}{x^3-5}dx = \ln|x^3-5| + C$
Mẹo 2: Hàm trong đơn giản (ax+b) → chia cho a
Với hàm trong có dạng $ax + b$, kết quả là $\frac{F(ax+b)}{a} + C$
Ví dụ:
- $\int \sin(5x)dx = -\frac{\cos(5x)}{5} + C$
- $\int e^{-2x}dx = -\frac{e^{-2x}}{2} + C$
- $\int (3x+1)^{10}dx = \frac{(3x+1)^{11}}{3 \cdot 11} + C = \frac{(3x+1)^{11}}{33} + C$
Mẹo 3: Công thức tổng quát cho f(ax+b)
$$\int f(ax+b)dx = \frac{F(ax+b)}{a} + C$$
Trong đó $\int f(x)dx = F(x) + C$
Bảng công thức nhanh:
| Hàm | Nguyên hàm |
|---|---|
| $\sin(ax+b)$ | $-\dfrac{\cos(ax+b)}{a} + C$ |
| $\cos(ax+b)$ | $\dfrac{\sin(ax+b)}{a} + C$ |
| $e^{ax+b}$ | $\dfrac{e^{ax+b}}{a} + C$ |
| $(ax+b)^n$ | $\dfrac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)} + C$ |
| $\dfrac{1}{ax+b}$ | $\dfrac{\ln|ax+b|}{a} + C$ |
VI. KẾT LUẬN
Tổng kết
Qua bài viết, chúng ta đã nắm vững về nguyên hàm hàm hợp và phương pháp đổi biến số:
✅ Công thức cốt lõi: $$\int f(u(x)) \cdot u'(x)dx = F(u(x)) + C$$
Điều kiện: Phải có đủ cả $u(x)$ và $u'(x)$ (hoặc bội số của $u'(x)$)
✅ 2 phương pháp đổi biến số:
Dạng 1 – Đổi biến trực tiếp: $u = u(x)$ (phổ biến nhất, dùng 90% trường hợp)
Dạng 2 – Đổi biến ngược: $x = g(t)$ (dùng cho căn thức phức tạp)
✅ 5 dạng hàm hợp thường gặp:
- Lũy thừa: $[u(x)]^n \cdot u’$ → $\frac{[u(x)]^{n+1}}{n+1} + C$
- Phân thức: $\frac{u’}{u}$ → $\ln|u(x)| + C$
- Hàm mũ: $e^{u(x)} \cdot u’$ → $e^{u(x)} + C$
- Lượng giác: $\sin(u) \cdot u’$, $\cos(u) \cdot u’$ → $-\cos(u)$, $\sin(u) + C$
- Phức tạp: Kết hợp nhiều dạng
✅ 17 ví dụ chi tiết từ cơ bản đến nâng cao với lời giải từng bước
BẢNG TÓM TẮT
Công thức hàm hợp cơ bản
| Dạng hàm hợp | Công thức nguyên hàm |
|---|---|
| $[u(x)]^n \cdot u’$ | $\dfrac{[u(x)]^{n+1}}{n+1} + C$ $(n \neq -1)$ |
| $\dfrac{u’}{u}$ | $\ln|u(x)| + C$ |
| $e^{u} \cdot u’$ | $e^{u(x)} + C$ |
| $\sin u \cdot u’$ | $-\cos(u(x)) + C$ |
| $\cos u \cdot u’$ | $\sin(u(x)) + C$ |
Công thức đặc biệt cho (ax+b)
| Hàm f(ax+b) | Nguyên hàm |
|---|---|
| $(ax+b)^n$ | $\dfrac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)} + C$ |
| $e^{ax+b}$ | $\dfrac{e^{ax+b}}{a} + C$ |
| $\sin(ax+b)$ | $-\dfrac{\cos(ax+b)}{a} + C$ |
| $\cos(ax+b)$ | $\dfrac{\sin(ax+b)}{a} + C$ |
| $\dfrac{1}{ax+b}$ | $\dfrac{\ln|ax+b|}{a} + C$ |
Bảng đổi biến cho căn thức
| Gặp | Đặt | Kết quả |
|---|---|---|
| $\sqrt{a^2-x^2}$ | $x = a\sin t$ | $\sqrt{a^2-x^2} = a\cos t$ |
| $\sqrt{x^2+a^2}$ | $x = a\tan t$ | $\sqrt{x^2+a^2} = a\sec t$ |
| $\sqrt{x^2-a^2}$ | $x = a\sec t$ | $\sqrt{x^2-a^2} = a\tan t$ |
ThS. Nguyễn Văn An
(Người kiểm duyệt, ra đề)
Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn Tổ Toán tại Edus
Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán học, Thạc sĩ Lý luận & Phương pháp dạy học môn Toán, Chức danh nghề nghiệp giáo viên THPT – Hạng II, Tin học ứng dụng cơ bản, Ngoại ngữ B1, Chứng chỉ bồi dưỡng năng lực tổ trưởng chuyên môn
Kinh nghiệm: 12+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT chuyên Trần Đại Nghĩa