I. GIỚI THIỆU VỀ NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN

1. Nguyên hàm từng phần là gì?

Định nghĩa: Nguyên hàm từng phần là phương pháp tính nguyên hàm của tích hai hàm số, đặc biệt hữu ích khi hai hàm này thuộc các “loại” khác nhau (đa thức, lượng giác, mũ, logarit…).

Xuất xứ: Phương pháp này xuất phát từ quy tắc đạo hàm của tích:

$$(uv)’ = u’v + uv’$$

Khi lấy nguyên hàm hai vế, ta thu được công thức nguyên hàm từng phần.

Khi nào cần dùng? Sử dụng phương pháp này khi:

• Gặp tích của hai hàm khác loại: $\int x\sin x dx$, $\int xe^x dx$
• Gặp hàm logarit hoặc hàm lượng giác ngược: $\int \ln x dx$, $\int \arctan x dx$
• Không thể áp dụng công thức cơ bản hoặc đổi biến số

2. Tại sao phải học nguyên hàm từng phần?

Nguyên hàm từng phần là một trong những phương pháp quan trọng nhất trong tính nguyên hàm vì:

Giải quyết các bài toán không có công thức:

• $\int \ln x dx$ không có công thức trực tiếp
• $\int x\sin x dx$ không thể tính bằng đổi biến thông thường
• $\int x^2 e^x dx$ cần phương pháp đặc biệt

Ứng dụng rộng rãi trong thực tế:

• Vật lý: tính công, năng lượng
• Kinh tế: mô hình tăng trưởng
• Kỹ thuật: xử lý tín hiệu, điều khiển

Bắt buộc trong chương trình:

• Chiếm 30-40% bài tập nguyên hàm trong đề thi
• Là nền tảng cho tích phân nâng cao
• Xuất hiện trong mọi đề thi THPT Quốc gia

3. Cấu trúc bài viết

Bài viết này sẽ hướng dẫn chi tiết về nguyên hàm từng phần qua các phần:

Phần II: Công thức nguyên hàm từng phần – Từ cơ sở lý thuyết đến cách áp dụng

Phần III: Quy tắc LIATE – Bí quyết chọn u và dv chính xác

Phần IV: 5 dạng bài tập điển hình – Từ cơ bản đến nâng cao với 8 ví dụ mẫu

Phần V: Mẹo và lưu ý – Tránh sai sót, tính nhanh hơn

Phần VI: Kết luận và tài liệu tham khảo

II. CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN

1. Công thức cơ bản

Công thức nguyên hàm từng phần:

$$\int u , dv = uv – \int v , du$$

Hoặc viết dưới dạng đầy đủ:

$$\int u(x) \cdot v'(x)dx = u(x) \cdot v(x) – \int u'(x) \cdot v(x)dx$$

Giải thích các thành phần:

• u = u(x): Hàm số thứ nhất (được chọn để lấy đạo hàm)
• dv = v'(x)dx: Vi phân của hàm số thứ hai
• du = u'(x)dx: Vi phân của u (đạo hàm của u nhân với dx)
• v = v(x): Nguyên hàm của v'(x), tức $v = \int dv$

Ý nghĩa: Công thức này chuyển bài toán tính $\int u , dv$ thành bài toán tính $\int v , du$. Nếu $\int v , du$ đơn giản hơn, ta sẽ tính được kết quả.

2. Suy luận công thức

Xuất phát từ công thức đạo hàm tích:

$$(uv)’ = u’v + uv’$$

Bước 1: Lấy nguyên hàm hai vế

$$\int (uv)’ dx = \int (u’v + uv’) dx$$

Bước 2: Vế trái thu gọn

$$\int (uv)’ dx = uv + C$$

Bước 3: Vế phải tách thành tổng

$$uv = \int u’v dx + \int uv’ dx$$

Bước 4: Chuyển vế và đổi ký hiệu

$$\int uv’ dx = uv – \int u’v dx$$

Bước 5: Viết lại với ký hiệu vi phân

Đặt $dv = v’dx$ và $du = u’dx$, ta có:

$$\int u , dv = uv – \int v , du$$

Đây chính là công thức nguyên hàm từng phần!

3. Các bước tính nguyên hàm từng phần

Để tính nguyên hàm bằng phương pháp từng phần, thực hiện theo 5 bước:

BƯỚC 1: Chọn u và dv

Từ tích phân $\int f(x)g(x)dx$, chọn:

• $u = f(x)$ hoặc $u = g(x)$
• Phần còn lại là $dv$

Lưu ý: Cách chọn rất quan trọng! Xem phần III về quy tắc LIATE

BƯỚC 2: Tính du và v

• Tính đạo hàm: $du = u'(x)dx$
• Tính nguyên hàm: $v = \int dv$

Chú ý: Khi tính v, KHÔNG cần thêm hằng số C

BƯỚC 3: Áp dụng công thức

$$\int u , dv = uv – \int v , du$$

BƯỚC 4: Tính $\int v , du$

• Nếu đơn giản, tính trực tiếp
• Nếu phức tạp, có thể cần dùng lại từng phần
• Hoặc dùng phương pháp khác (đổi biến)

BƯỚC 5: Kết hợp và viết kết quả

• Rút gọn nếu có thể
• Nhớ thêm +C ở cuối!
• Kiểm tra bằng cách lấy đạo hàm

Ví dụ minh họa đơn giản:

Tính $\int x\cos x dx$

Bước 1: Chọn $u = x$, $dv = \cos x dx$

Bước 2: Tính $du = dx$, $v = \sin x$

Bước 3: Áp dụng công thức $$\int x\cos x dx = x\sin x – \int \sin x dx$$

Bước 4: Tính $\int \sin x dx = -\cos x$

Bước 5: Kết quả $$\int x\cos x dx = x\sin x + \cos x + C$$

III. CÁCH CHỌN U VÀ DV (QUY TẮC LIATE)

1. Nguyên tắc chọn u

Đây là phần CỰC KỲ QUAN TRỌNG quyết định thành công của phương pháp!

Quy tắc LIATE – Thứ tự ưu tiên chọn u:

L – Logarithmic (Hàm logarit)

• $\ln x$, $\log_2 x$, $\log_a x$
• Ưu tiên cao nhất!

I – Inverse trigonometric (Hàm lượng giác ngược)

• $\arcsin x$, $\arccos x$
• $\arctan x$, $\text{arccot } x$
• Ưu tiên rất cao

A – Algebraic (Hàm đại số – Đa thức)

• $x$, $x^2$, $x^3$, $x^n$
• Đa thức bất kỳ: $2x+1$, $x^2-3x+5$
• Ưu tiên trung bình

T – Trigonometric (Hàm lượng giác)

• $\sin x$, $\cos x$, $\tan x$
• $\cot x$, $\sec x$, $\csc x$
• Ưu tiên thấp

E – Exponential (Hàm mũ)

• $e^x$, $e^{2x}$, $e^{-x}$
• $2^x$, $a^x$
• Ưu tiên thấp nhất

NGUYÊN TẮC VÀNG:

Chọn u là hàm có thứ tự ưu tiên cao hơn (gần L hơn)

Phần còn lại chọn làm dv

Cách nhớ: “L-I-A-T-E” hoặc “LI ATE” (Li ăn)

2. Giải thích tại sao theo thứ tự này

Tại sao Logarit và Lượng giác ngược lên đầu?

✅ Đạo hàm đơn giản:

• $(\ln x)’ = \frac{1}{x}$ – Đơn giản hơn nhiều!
• $(\arctan x)’ = \frac{1}{1+x^2}$ – Dễ tính hơn

✅ Nguyên hàm phức tạp:

• $\int \ln x dx$ cần dùng từng phần
• $\int \arctan x dx$ không có công thức trực tiếp

➡️ Kết luận: Nếu chọn làm u, lấy đạo hàm sẽ đơn giản hóa bài toán!

Tại sao Đa thức ở giữa?

✅ Đạo hàm giảm bậc:

• $(x^3)’ = 3x^2$ – Giảm từ bậc 3 xuống bậc 2
• $(x^2)’ = 2x$ – Giảm từ bậc 2 xuống bậc 1
• $(x)’ = 1$ – Giảm xuống hằng số
• $(1)’ = 0$ – Biến mất!

➡️ Kết luận: Sau vài lần từng phần, đa thức sẽ về 0!

Tại sao Lượng giác và Mũ ở cuối?

✅ Nguyên hàm đơn giản:

• $\int e^x dx = e^x$ – Không đổi!
• $\int \sin x dx = -\cos x$ – Rất đơn giản

✅ Đạo hàm không đơn giản hơn:

• $(e^x)’ = e^x$ – Không thay đổi
• $(\sin x)’ = \cos x$ – Chỉ đổi dạng

➡️ Kết luận: Nên để làm dv để tính nguyên hàm, không nên làm u!

3. Ví dụ áp dụng quy tắc LIATE

Ví dụ 1: $\int x \ln x dx$

Phân tích:

• L: $\ln x$ (logarit) – Thứ tự 1
• A: $x$ (đại số) – Thứ tự 3

Chọn: $u = \ln x$ (ưu tiên cao hơn), $dv = x dx$

Ví dụ 2: $\int x^2 e^x dx$

Phân tích:

• A: $x^2$ (đại số) – Thứ tự 3
• E: $e^x$ (mũ) – Thứ tự 5

Chọn: $u = x^2$ (ưu tiên cao hơn), $dv = e^x dx$

Ví dụ 3: $\int x \sin x dx$

Phân tích:

• A: $x$ (đại số) – Thứ tự 3
• T: $\sin x$ (lượng giác) – Thứ tự 4

Chọn: $u = x$ (ưu tiên cao hơn), $dv = \sin x dx$

Ví dụ 4: $\int e^x \sin x dx$

Phân tích:

• T: $\sin x$ (lượng giác) – Thứ tự 4
• E: $e^x$ (mũ) – Thứ tự 5

Chọn: $u = \sin x$ hoặc $u = e^x$ (cả hai được, đây là dạng đặc biệt)

Lưu ý: Với dạng này, sau 2 lần từng phần sẽ quay về tích phân ban đầu (dạng vòng)

Ví dụ 5: $\int x \arctan x dx$

Phân tích:

• I: $\arctan x$ (lượng giác ngược) – Thứ tự 2
• A: $x$ (đại số) – Thứ tự 3

Chọn: $u = \arctan x$ (ưu tiên cao hơn), $dv = x dx$

4. Lưu ý đặc biệt

Trường hợp đặc biệt 1: Hàm một biến

Khi gặp $\int \ln x dx$ hoặc $\int \arctan x dx$ – chỉ có MỘT hàm!

Giải pháp: Viết lại với hệ số 1

$$\int \ln x dx = \int 1 \cdot \ln x dx$$

Sau đó chọn:

• $u = \ln x$ (logarit – L)
• $dv = 1 \cdot dx = dx$

Trường hợp đặc biệt 2: Hai hàm cùng nhóm cuối (T và E)

Ví dụ: $\int e^x \sin x dx$, $\int e^{2x} \cos(3x) dx$

Đặc điểm: Cả hai hàm đều thuộc T hoặc E

Cách chọn: Tùy ý! Chọn cái nào làm u cũng được

Kỹ thuật: Sau 2 lần từng phần, tích phân ban đầu sẽ xuất hiện lại → giải phương trình để tìm kết quả (gọi là dạng vòng)

Trường hợp đặc biệt 3: Khi $\int v , du$ không đơn giản hơn

Nếu sau khi chọn u và dv mà $\int v , du$ PHỨC TẠP HƠN $\int u , dv$:

➡️ Đổi lại! Chọn ngược lại

Ví dụ: Nếu chọn $u = e^x$, $dv = x dx$ cho $\int xe^x dx$

Ta được: $\int v , du = \int \frac{x^2}{2} e^x dx$ – Phức tạp hơn!

➡️ Nên chọn $u = x$, $dv = e^x dx$

IV. CÁC DẠNG BÀI TẬP ĐIỂN HÌNH

DẠNG 1: Đa thức nhân với hàm lượng giác

Công thức tổng quát:

$$\int P(x) \cdot \sin(ax)dx \quad \text{hoặc} \quad \int P(x) \cdot \cos(ax)dx$$

Trong đó P(x) là đa thức bậc n.

Phương pháp:

• Chọn $u = P(x)$ (đa thức – A)
• Chọn $dv = \sin(ax)dx$ hoặc $\cos(ax)dx$ (lượng giác – T)
• Làm từng phần n lần cho đến khi đa thức về 0

Ví dụ 1: Tính $\int x \sin x dx$

Lời giải:

Bước 1: Chọn u và dv theo LIATE

• $u = x$ (A – đại số)
• $dv = \sin x dx$ (T – lượng giác)

Bước 2: Tính du và v

• $du = dx$
• $v = \int \sin x dx = -\cos x$

Bước 3: Áp dụng công thức $$\int x \sin x dx = x(-\cos x) – \int (-\cos x)dx$$

$$= -x\cos x + \int \cos x dx$$

Bước 4: Tính nguyên hàm còn lại $$\int \cos x dx = \sin x + C$$

Bước 5: Kết quả cuối cùng $$\int x \sin x dx = -x\cos x + \sin x + C$$

Kiểm tra: $$(-x\cos x + \sin x)’ = -\cos x + x\sin x + \cos x = x\sin x$$ ✓

Ví dụ 2: Tính $\int x^2 \cos x dx$

Lời giải:

Đây là bài toán cần làm từng phần HAI LẦN vì có $x^2$.

Lần 1:

Bước 1: Chọn $u = x^2$, $dv = \cos x dx$

Bước 2: Tính $du = 2x dx$, $v = \sin x$

Bước 3: Áp dụng công thức $$\int x^2 \cos x dx = x^2 \sin x – \int \sin x \cdot 2x dx$$

$$= x^2 \sin x – 2\int x \sin x dx$$

Lần 2: Tính $\int x \sin x dx$ (đã biết từ ví dụ 1)

$$\int x \sin x dx = -x\cos x + \sin x + C$$

Kết quả cuối cùng: $$\int x^2 \cos x dx = x^2 \sin x – 2(-x\cos x + \sin x) + C$$

$$= x^2 \sin x + 2x\cos x – 2\sin x + C$$

$$= \sin x(x^2 – 2) + 2x\cos x + C$$

DẠNG 2: Đa thức nhân với hàm mũ

Công thức tổng quát:

$$\int P(x) \cdot e^{ax}dx \quad \text{hoặc} \quad \int P(x) \cdot a^x dx$$

Phương pháp:

• Chọn $u = P(x)$ (đa thức – A)
• Chọn $dv = e^{ax}dx$ (mũ – E)

Ví dụ 3: Tính $\int xe^x dx$

Lời giải:

Bước 1: Chọn $u = x$, $dv = e^x dx$

Bước 2: Tính $du = dx$, $v = e^x$

Bước 3: Áp dụng công thức $$\int xe^x dx = xe^x – \int e^x dx$$

$$= xe^x – e^x + C$$

$$= e^x(x-1) + C$$

Kiểm tra: $$[e^x(x-1)]’ = e^x(x-1) + e^x = xe^x$$ ✓

Ví dụ 4: Tính $\int x^2 e^{2x} dx$

Lời giải:

Lần 1:

Chọn $u = x^2$, $dv = e^{2x}dx$

Tính $du = 2x dx$, $v = \frac{e^{2x}}{2}$

$$\int x^2 e^{2x} dx = x^2 \cdot \frac{e^{2x}}{2} – \int \frac{e^{2x}}{2} \cdot 2x dx$$

$$= \frac{x^2 e^{2x}}{2} – \int xe^{2x} dx$$

Lần 2: Tính $\int xe^{2x} dx$

Chọn $u_1 = x$, $dv_1 = e^{2x}dx$

Tính $du_1 = dx$, $v_1 = \frac{e^{2x}}{2}$

$$\int xe^{2x} dx = \frac{xe^{2x}}{2} – \int \frac{e^{2x}}{2}dx$$

$$= \frac{xe^{2x}}{2} – \frac{e^{2x}}{4} + C$$

Kết quả cuối cùng: $$\int x^2 e^{2x} dx = \frac{x^2 e^{2x}}{2} – \left(\frac{xe^{2x}}{2} – \frac{e^{2x}}{4}\right) + C$$

$$= \frac{x^2 e^{2x}}{2} – \frac{xe^{2x}}{2} + \frac{e^{2x}}{4} + C$$

$$= \frac{e^{2x}}{4}(2x^2 – 2x + 1) + C$$

DẠNG 3: Hàm logarit

Công thức tổng quát:

$$\int \ln x dx, \quad \int x^n \ln x dx, \quad \int (\ln x)^n dx$$

Phương pháp:

• Luôn chọn $u = \ln x$ hoặc $(\ln x)^n$ (L – ưu tiên cao nhất!)
• dv là phần còn lại

Ví dụ 5: Tính $\int \ln x dx$

Lời giải:

Bước 1: Viết lại $$\int \ln x dx = \int 1 \cdot \ln x dx$$

Bước 2: Chọn $u = \ln x$, $dv = dx$

Bước 3: Tính $du = \frac{1}{x}dx$, $v = x$

Bước 4: Áp dụng công thức $$\int \ln x dx = x \ln x – \int x \cdot \frac{1}{x}dx$$

$$= x\ln x – \int 1 dx$$

$$= x\ln x – x + C$$

Cách nhớ nhanh: “$x\ln x$ trừ $x$ cộng C”

Ví dụ 6: Tính $\int x \ln x dx$

Lời giải:

Bước 1: Chọn $u = \ln x$, $dv = x dx$

Bước 2: Tính $du = \frac{1}{x}dx$, $v = \frac{x^2}{2}$

Bước 3: Áp dụng công thức $$\int x \ln x dx = \frac{x^2}{2}\ln x – \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x}dx$$

$$= \frac{x^2\ln x}{2} – \int \frac{x}{2}dx$$

$$= \frac{x^2\ln x}{2} – \frac{x^2}{4} + C$$

$$= \frac{x^2}{4}(2\ln x – 1) + C$$

DẠNG 4: Hàm mũ nhân với hàm lượng giác (Dạng vòng)

Công thức tổng quát:

$$\int e^{ax}\sin(bx)dx, \quad \int e^{ax}\cos(bx)dx$$

Phương pháp đặc biệt:

1. Tích phân từng phần 2 lần
2. Tích phân ban đầu sẽ xuất hiện lại
3. Giải phương trình để tìm kết quả

Ví dụ 7: Tính $\int e^x \sin x dx$

Lời giải:

Bước 1: Đặt $I = \int e^x \sin x dx$

Lần 1: Tích phân từng phần

Chọn $u = \sin x$, $dv = e^x dx$

Tính $du = \cos x dx$, $v = e^x$

$$I = e^x \sin x – \int e^x \cos x dx \quad (*)$$

Lần 2: Tính $\int e^x \cos x dx$

Chọn $u_1 = \cos x$, $dv_1 = e^x dx$

Tính $du_1 = -\sin x dx$, $v_1 = e^x$

$$\int e^x \cos x dx = e^x \cos x – \int e^x(-\sin x)dx$$

$$= e^x \cos x + \int e^x \sin x dx$$

$$= e^x \cos x + I \quad (**)$$

Bước 2: Thay $(**)$ vào $(*)$

$$I = e^x \sin x – (e^x \cos x + I)$$

$$I = e^x \sin x – e^x \cos x – I$$

$$2I = e^x(\sin x – \cos x)$$

$$I = \frac{e^x(\sin x – \cos x)}{2} + C$$

Kết quả: $$\int e^x \sin x dx = \frac{e^x(\sin x – \cos x)}{2} + C$$

DẠNG 5: Hàm lượng giác ngược

Công thức tổng quát:

$$\int \arcsin x dx, \quad \int \arctan x dx, \quad \int \arccos x dx$$

Phương pháp:

• Viết lại với hệ số 1
• Chọn $u =$ hàm lượng giác ngược (I – ưu tiên rất cao)
• $dv = dx$

Ví dụ 8: Tính $\int \arctan x dx$

Lời giải:

Bước 1: Viết lại $$\int \arctan x dx = \int 1 \cdot \arctan x dx$$

Bước 2: Chọn $u = \arctan x$, $dv = dx$

Bước 3: Tính $du = \frac{1}{1+x^2}dx$, $v = x$

Bước 4: Áp dụng công thức $$\int \arctan x dx = x\arctan x – \int \frac{x}{1+x^2}dx$$

Bước 5: Tính $\int \frac{x}{1+x^2}dx$

Đặt $t = 1 + x^2 \Rightarrow dt = 2x dx$

$$\int \frac{x}{1+x^2}dx = \frac{1}{2}\int \frac{1}{t}dt = \frac{1}{2}\ln|t| + C = \frac{1}{2}\ln(1+x^2) + C$$

Kết quả cuối cùng: $$\int \arctan x dx = x\arctan x – \frac{1}{2}\ln(1+x^2) + C$$

V. MẸO VÀ LƯU Ý KHI TÍNH

1. Các sai lầm thường gặp

❌ SAI LẦM 1: Chọn u và dv ngược

VÍ DỤ SAI: Tính $\int xe^x dx$

Chọn $u = e^x$, $dv = x dx$ ❌

→ Ta được $\int v , du = \int \frac{x^2}{2} \cdot e^x dx$ – Phức tạp hơn!

ĐÚNG: Chọn $u = x$, $dv = e^x dx$ ✓

❌ SAI LẦM 2: Quên dấu trừ trong công thức

VÍ DỤ SAI: $\int u , dv = uv + \int v , du$ ❌

ĐÚNG: $\int u , dv = uv – \int v , du$ ✓

❌ SAI LẦM 3: Tính sai v

VÍ DỤ SAI: Với $dv = e^{2x}dx$, tính $v = e^{2x}$ ❌

ĐÚNG: $v = \int e^{2x}dx = \frac{e^{2x}}{2}$ ✓

Nhớ: Khi có hệ số trong mũ, phải chia cho hệ số đó!

❌ SAI LẦM 4: Quên +C

VÍ DỤ SAI: $\int x\sin x dx = -x\cos x + \sin x$ ❌

ĐÚNG: $\int x\sin x dx = -x\cos x + \sin x + C$ ✓

2. Kiểm tra kết quả

PHƯƠNG PHÁP VÀNG: Lấy đạo hàm kết quả phải ra hàm ban đầu!

$$\left[\int f(x)dx\right]’ = f(x)$$

Ví dụ: Kiểm tra $\int x\sin x dx = -x\cos x + \sin x + C$

Lấy đạo hàm: $$(-x\cos x + \sin x + C)’$$ $$= [(-x)’ \cdot \cos x + (-x) \cdot (\cos x)’] + (\sin x)’ + 0$$ $$= (-1) \cdot \cos x + (-x) \cdot (-\sin x) + \cos x$$ $$= -\cos x + x\sin x + \cos x$$ $$= x\sin x$$ ✓ Đúng!

3. Mẹo tính nhanh

Mẹo 1: Nhận dạng dạng vòng

Nếu gặp $\int e^{ax}\sin(bx)dx$ hoặc $\int e^{ax}\cos(bx)dx$ – Đây là dạng vòng!

Công thức nhanh (nếu nhớ được):

$$\int e^{ax}\sin(bx)dx = \frac{e^{ax}[a\sin(bx) – b\cos(bx)]}{a^2+b^2} + C$$

$$\int e^{ax}\cos(bx)dx = \frac{e^{ax}[a\cos(bx) + b\sin(bx)]}{a^2+b^2} + C$$

Ví dụ: $\int e^{2x}\sin(3x)dx$

Áp dụng với $a=2, b=3$:

$$= \frac{e^{2x}[2\sin(3x) – 3\cos(3x)]}{2^2+3^2} + C = \frac{e^{2x}[2\sin(3x) – 3\cos(3x)]}{13} + C$$

Mẹo 2: Nhớ nguyên hàm của ln x

$$\int \ln x dx = x\ln x – x + C$$

Đây là công thức hay dùng, nên nhớ luôn!

Mẹo 3: Với $\int x^n e^x dx$ (n lớn)

Có công thức truy hồi nhưng khá phức tạp. Trong thi, nếu n ≤ 2 thì làm bình thường. Nếu n > 2, cân nhắc xem có cách khác không.

VI. KẾT LUẬN

Tổng kết

Qua bài viết, chúng ta đã nắm vững về phương pháp nguyên hàm từng phần:

Công thức cốt lõi: $$\int u , dv = uv – \int v , du$$

Quy tắc LIATE (cực kỳ quan trọng):

• L – Logarithmic (ln x)
• I – Inverse trig (arctan x)
• A – Algebraic (x, x²)
• T – Trigonometric (sin x, cos x)
• E – Exponential (eˣ)

→ Chọn u theo thứ tự L-I-A-T-E, phần còn lại là dv

5 dạng bài điển hình:

1. Đa thức × Lượng giác: $\int x\sin x dx$
2. Đa thức × Hàm mũ: $\int xe^x dx$
3. Hàm logarit: $\int \ln x dx$
4. Hàm mũ × Lượng giác (vòng): $\int e^x\sin x dx$
5. Hàm lượng giác ngược: $\int \arctan x dx$

8 ví dụ chi tiết với lời giải từng bước

BẢNG TÓM TẮT

Quy tắc LIATE

Bảng chọn u và dv nhanh

Công thức nhanh (nếu nhớ được)

$$\int \ln x dx = x\ln x – x + C$$

$$\int e^{ax}\sin(bx)dx = \frac{e^{ax}[a\sin(bx) – b\cos(bx)]}{a^2+b^2} + C$$

$$\int e^{ax}\cos(bx)dx = \frac{e^{ax}[a\cos(bx) + b\sin(bx)]}{a^2+b^2} + C$$

ThS. Nguyễn Văn An

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn Tổ Toán tại Edus

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán học, Thạc sĩ Lý luận & Phương pháp dạy học môn Toán, Chức danh nghề nghiệp giáo viên THPT – Hạng II, Tin học ứng dụng cơ bản, Ngoại ngữ B1, Chứng chỉ bồi dưỡng năng lực tổ trưởng chuyên môn

Kinh nghiệm: 12+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT chuyên Trần Đại Nghĩa