I. GIỚI THIỆU VỀ TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

1. Tích phân từng phần là gì?

Tích phân từng phần là một trong những phương pháp quan trọng nhất để tính tích phân của tích hai hàm số. Đây là kỹ thuật không thể thiếu trong kho công cụ giải tích của mọi học sinh phổ thông và sinh viên.

Bản chất: Tích phân từng phần xuất phát từ quy tắc đạo hàm của tích hai hàm số. Chúng ta biết rằng:

$$(uv)’ = u’v + uv’$$

Tích phân từng phần chính là “đảo ngược” của công thức đạo hàm tích này. Nếu đạo hàm biến tích thành tổng, thì tích phân từng phần biến tổng thành tích, giúp ta chuyển một tích phân phức tạp thành tích phân đơn giản hơn.

2. Khi nào dùng tích phân từng phần?

Tích phân từng phần được sử dụng khi gặp các tình huống sau:

Tích phân có dạng tích của hai hàm “khác loại”:

• Một hàm dễ lấy đạo hàm
• Hàm kia dễ tìm nguyên hàm
• Tích phân không thể giải bằng công thức cơ bản hoặc đổi biến

Các dạng điển hình thường gặp:

✓ Đa thức × $e^x$: Ví dụ: $\int xe^x dx$, $\int x^2e^{2x}dx$

✓ Đa thức × sin x (hoặc cos x): Ví dụ: $\int x\sin x dx$, $\int x^2\cos x dx$

✓ ln x × đa thức: Ví dụ: $\int \ln x dx$, $\int x\ln x dx$

✓ Hàm lượng giác ngược: Ví dụ: $\int \arctan x dx$, $\int x\arcsin x dx$

Dấu hiệu nhận biết: Khi bạn thấy tích phân chứa tích của hai hàm thuộc hai “họ” khác nhau (đa thức, mũ, lượng giác, logarit), đó là lúc cần nghĩ đến tích phân từng phần.

3. Cấu trúc bài viết

Bài viết này được tổ chức theo trình tự logic từ lý thuyết đến thực hành:

Phần 1: Định lý và công thức

• Phát biểu định lý chính xác
• Ba dạng viết công thức thông dụng
• Chứng minh và ý nghĩa

Phần 2: Quy tắc chọn u và dv (LIATE)

• Nguyên tắc vàng để chọn u và dv
• Quy tắc LIATE dễ nhớ
• Bảng tra cứu nhanh

Phần 3: 5 dạng bài tập điển hình

• Dạng 1: P(x) × $e^{ax}$
• Dạng 2: P(x) × sin(ax) hoặc cos(ax)
• Dạng 3: ln x, arctan x
• Dạng 4: P(x) × ln x
• Dạng 5: $e^{ax}$ × sin(bx) (dạng vòng)

 Phần 4: Kỹ thuật và mẹo giải nhanh

• Các sai lầm thường gặp
• Cách nhận dạng nhanh
• Kiểm tra kết quả

Phần 5: 10 bài tập mẫu có lời giải chi tiết

• Từ cơ bản đến nâng cao
• Giải thích từng bước
• Mẹo tính toán

II. ĐỊNH LÝ VÀ CÔNG THỨC TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

1. Định lý

Định lý tích phân từng phần:

Nếu $u(x)$ và $v(x)$ là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn $[a, b]$, thì:

$$\int_a^b u(x) \cdot v'(x)dx = [u(x) \cdot v(x)]_a^b – \int_a^b u'(x) \cdot v(x)dx$$

Điều kiện áp dụng:

• $u(x)$ và $v(x)$ liên tục trên $[a, b]$
• $u'(x)$ và $v'(x)$ tồn tại trên $[a, b]$
• Tích phân $\int_a^b u'(x) \cdot v(x)dx$ phải tính được

2. Các dạng viết công thức

Dạng 1: Dạng đầy đủ

$$\int_a^b u(x) \cdot v'(x)dx = [u(x) \cdot v(x)]_a^b – \int_a^b u'(x) \cdot v(x)dx$$

Khi nào dùng: Khi muốn thể hiện rõ ràng các hàm số và đạo hàm.

Dạng 2: Dạng vi phân (thông dụng nhất)

$$\int_a^b u , dv = [uv]_a^b – \int_a^b v , du$$

Khi nào dùng: Đây là dạng được sử dụng phổ biến nhất trong thực hành, vì ngắn gọn và dễ áp dụng.

Trong đó:

• $u = u(x)$: hàm được chọn làm u
• $dv = v'(x)dx$: phần vi phân
• $du = u'(x)dx$: vi phân của u
• $v = \int dv$: nguyên hàm của dv

Dạng 3: Dạng nguyên hàm (không có cận)

$$\int u , dv = uv – \int v , du$$

Khi nào dùng: Khi tính tích phân bất định (không có cận), hoặc khi muốn tìm nguyên hàm tổng quát.

Lưu ý: Kết quả phải cộng thêm hằng số C.

3. Ví dụ minh họa công thức

Bài toán: Tính $\int_0^1 xe^x dx$

Lời giải:

Bước 1: Chọn u và dv

• Đặt: $u = x$ (hàm đại số, dễ lấy đạo hàm)
• $dv = e^x dx$ (hàm mũ, dễ tìm nguyên hàm)

Bước 2: Tính du và v

• $du = dx$
• $v = \int e^x dx = e^x$

Bước 3: Áp dụng công thức tích phân từng phần

$$\int_0^1 xe^x dx = [xe^x]_0^1 – \int_0^1 e^x dx$$

Bước 4: Tính tích phân còn lại

$$= [xe^x]_0^1 – [e^x]_0^1$$

Bước 5: Thay cận và tính toán

$$= (1 \cdot e^1 – 0 \cdot e^0) – (e^1 – e^0)$$

$$= e – (e – 1)$$

$$= e – e + 1 = 1$$

Đáp số: 1

4. Chứng minh công thức

Xuất phát từ công thức đạo hàm của tích:

$$(uv)’ = u’v + uv’$$

Biến đổi:

$$uv’ = (uv)’ – u’v$$

Lấy tích phân hai vế từ a đến b:

$$\int_a^b uv’ dx = \int_a^b (uv)’ dx – \int_a^b u’v dx$$

Áp dụng công thức Newton-Leibniz cho $\int_a^b (uv)’ dx$:

$$\int_a^b (uv)’ dx = [uv]_a^b$$

Kết luận:

$$\int_a^b uv’ dx = [uv]_a^b – \int_a^b u’v dx$$

Đây chính là công thức tích phân từng phần.

5. Ý nghĩa của công thức

Chuyển đổi tích phân:

• Biến đổi tích phân $\int u , dv$ (khó) thành $\int v , du$ (dễ hơn)
• Mục tiêu: Tích phân mới đơn giản hơn tích phân ban đầu

Vai trò của u:

• Hàm được “đơn giản hóa” qua đạo hàm
• Sau khi lấy đạo hàm, u trở nên đơn giản hơn (giảm bậc với đa thức)

Vai trò của dv:

• Hàm được “phức tạp hóa” qua nguyên hàm
• Nhưng vẫn phải tính được nguyên hàm
• Độ phức tạp tăng lên có thể chấp nhận được

Nguyên lý hoán đổi:

• Đánh đổi sự phức tạp từ u sang v
• u giảm độ phức tạp → u’ đơn giản hơn u
• v tăng độ phức tạp → nhưng $\int v , du$ vẫn tính được

III. QUY TẮC CHỌN U VÀ DV (QUY TẮC LIATE)

1. Nguyên tắc chung

Chọn u và dv sao cho thỏa mãn đồng thời ba điều kiện:

Điều kiện 1: u dễ lấy đạo hàm

• Đạo hàm u’ phải đơn giản hơn u
• Tốt nhất là giảm bậc (với đa thức)
• Hoặc chuyển sang dạng đơn giản hơn

Điều kiện 2: dv dễ tìm nguyên hàm

• Phải tính được $v = \int dv$
• v không quá phức tạp
• Nguyên hàm v thuộc các dạng cơ bản

Điều kiện 3: Tích phân mới đơn giản hơn

• $\int v , du$ phải đơn giản hơn $\int u , dv$
• Có thể tính được trực tiếp
• Hoặc tiếp tục áp dụng phương pháp

2. Quy tắc LIATE (thứ tự ưu tiên chọn u)

Quy tắc LIATE là công cụ vàng giúp bạn chọn đúng hàm u theo thứ tự ưu tiên từ cao đến thấp:

L – Logarithmic (Hàm logarit)

• $\ln x$
• $\log x$
• $\log_a x$

Đặc điểm: Đạo hàm đơn giản ($\frac{1}{x}$), luôn ưu tiên chọn làm u.

I – Inverse trigonometric (Hàm lượng giác ngược)

• $\arcsin x$
• $\arccos x$
• $\arctan x$
• $\text{arccot } x$

Đặc điểm: Đạo hàm phức tạp nhưng vẫn tính được, ưu tiên cao.

A – Algebraic (Hàm đại số/đa thức)

• $x$
• $x^2$
• $x^3$
• Đa thức $P(x)$

Đặc điểm: Đạo hàm giảm bậc, rất phù hợp làm u.

T – Trigonometric (Hàm lượng giác)

• $\sin x$
• $\cos x$
• $\tan x$
• $\cot x$

Đặc điểm: Đạo hàm và nguyên hàm đều đơn giản, linh hoạt.

E – Exponential (Hàm mũ)

• $e^x$
• $a^x$
• $e^{kx}$

Đặc điểm: Đạo hàm và nguyên hàm giống nhau, ưu tiên thấp làm u.

Cách nhớ dễ dàng: “Là Intern Anh Tài Em” 😊

3. Cách áp dụng quy tắc LIATE

Bước 1: Xác định các hàm số trong tích phân

Phân tích tích phân thành tích của hai hàm: $f_1(x) \cdot f_2(x)$

Bước 2: Xếp hạng các hàm theo LIATE

Xác định vị trí của mỗi hàm trong bảng LIATE (L, I, A, T, hay E)

Bước 3: Chọn hàm ở vị trí cao hơn làm u

Hàm nào đứng trước trong LIATE → chọn làm u

Bước 4: Phần còn lại làm dv

Hàm còn lại (cùng với dx) → đặt làm dv

4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: $\int x \ln x , dx$

Phân tích:

• Có: $\ln x$ (L) và $x$ (A)
• L đứng trước A trong LIATE

Kết luận:

• Chọn: u = ln x ✓
• dv = x dx

Ví dụ 2: $\int x \sin x , dx$

Phân tích:

• Có: $x$ (A) và $\sin x$ (T)
• A đứng trước T trong LIATE

Kết luận:

• Chọn: u = x ✓
• dv = sin x dx

Ví dụ 3: $\int xe^x dx$

Phân tích:

• Có: $x$ (A) và $e^x$ (E)
• A đứng trước E trong LIATE

Kết luận:

• Chọn: u = x ✓
• dv = $e^x$ dx

Ví dụ 4: $\int e^x \sin x , dx$

Phân tích:

• Có: $e^x$ (E) và $\sin x$ (T)
• Cả hai đều ở cuối LIATE
• T đứng trước E

Kết luận:

• Chọn: u = sin x (hoặc $e^x$ đều được)
• Đây là dạng vòng, cần tích phân từng phần 2 lần

5. Bảng tóm tắt nhanh

Ghi nhớ đặc biệt:

• Logarit luôn là u (trừ khi đứng một mình)
• Đa thức thường là u (khi kết hợp với mũ hoặc lượng giác)
• Hàm mũ thường là dv (vì nguyên hàm đơn giản)

IV. CÁC DẠNG TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN ĐIỂN HÌNH

Dạng 1: $\int P(x) \cdot e^{ax} dx$

Đặc điểm:

• P(x) là đa thức bậc n
• $e^{ax}$ là hàm mũ với hệ số a

Phương pháp:

• Đặt: u = P(x), dv = $e^{ax}$ dx
• Có thể phải tích phân từng phần nhiều lần (bằng bậc của P(x))
• Mỗi lần đạo hàm, bậc của đa thức giảm 1

Ví dụ 1: Tính $\int_0^1 xe^x dx$

Lời giải:

Bước 1: Chọn u và dv theo quy tắc LIATE

• Đặt: $u = x$ (A) $\Rightarrow du = dx$
• $dv = e^x dx$ (E) $\Rightarrow v = e^x$

Bước 2: Áp dụng công thức

$$\int_0^1 xe^x dx = [xe^x]_0^1 – \int_0^1 e^x dx$$

Bước 3: Tính tích phân còn lại

$$= [xe^x]_0^1 – [e^x]_0^1$$

Bước 4: Thay cận

$$= (1 \cdot e – 0 \cdot 1) – (e – 1)$$

$$= e – e + 1 = 1$$

Đáp số: 1

Ví dụ 2: Tính $\int_0^1 x^2 e^x dx$

Lời giải:

Lần tích phân từng phần thứ nhất:

Bước 1: Chọn u và dv

• Đặt: $u_1 = x^2 \Rightarrow du_1 = 2x dx$
• $dv_1 = e^x dx \Rightarrow v_1 = e^x$

Bước 2: Áp dụng công thức

$$\int_0^1 x^2 e^x dx = [x^2 e^x]_0^1 – \int_0^1 2xe^x dx$$

$$= [x^2 e^x]_0^1 – 2\int_0^1 xe^x dx$$

Lần tích phân từng phần thứ hai:

Tính $\int_0^1 xe^x dx$ (đã tính ở Ví dụ 1) = 1

Bước 3: Kết hợp kết quả

$$\int_0^1 x^2 e^x dx = [x^2 e^x]_0^1 – 2 \cdot 1$$

$$= (1 \cdot e – 0) – 2 = e – 2$$

Đáp số: $e – 2$

Dạng 2: $\int P(x) \cdot \sin(ax) dx$ hoặc $\int P(x) \cdot \cos(ax) dx$

Đặc điểm:

• P(x) là đa thức
• Kết hợp với hàm sin hoặc cos

Phương pháp:

• Đặt: u = P(x), dv = sin(ax)dx hoặc cos(ax)dx
• Lưu ý dấu khi tính nguyên hàm lượng giác

Ví dụ 3: Tính $\int_0^\pi x \sin x , dx$

Lời giải:

Bước 1: Chọn u và dv

• Đặt: $u = x \Rightarrow du = dx$
• $dv = \sin x , dx \Rightarrow v = -\cos x$

Bước 2: Áp dụng công thức

$$\int_0^\pi x \sin x , dx = [-x\cos x]_0^\pi – \int_0^\pi (-\cos x)dx$$

$$= [-x\cos x]_0^\pi + \int_0^\pi \cos x , dx$$

Bước 3: Tính tích phân còn lại

$$= [-x\cos x]_0^\pi + [\sin x]_0^\pi$$

Bước 4: Thay cận

$$= (-\pi \cos \pi – 0 \cdot \cos 0) + (\sin \pi – \sin 0)$$

$$= (-\pi \cdot (-1) – 0) + (0 – 0)$$

$$= \pi$$

Đáp số: $\pi$

Ví dụ 4: Tính $\int_0^{\pi/2} x \cos 2x , dx$

Lời giải:

Bước 1: Chọn u và dv

• Đặt: $u = x \Rightarrow du = dx$
• $dv = \cos 2x , dx \Rightarrow v = \dfrac{\sin 2x}{2}$

Bước 2: Áp dụng công thức

$$\int_0^{\pi/2} x \cos 2x , dx = \left[x \cdot \frac{\sin 2x}{2}\right]_0^{\pi/2} – \int_0^{\pi/2} \frac{\sin 2x}{2}dx$$

$$= \left[\frac{x\sin 2x}{2}\right]_0^{\pi/2} + \left[\frac{\cos 2x}{4}\right]_0^{\pi/2}$$

Bước 3: Thay cận

$$= \left(\frac{\pi/2 \cdot \sin \pi}{2} – 0\right) + \left(\frac{\cos \pi}{4} – \frac{\cos 0}{4}\right)$$

$$= 0 + \left(\frac{-1}{4} – \frac{1}{4}\right) = -\frac{1}{2}$$

Đáp số: $-\dfrac{1}{2}$

Dạng 3: $\int \ln x , dx$, $\int \arctan x , dx$

Đặc điểm:

• Chỉ có một hàm số (logarit hoặc lượng giác ngược)
• Cần viết lại thành tích: $\int 1 \cdot \ln x , dx$

Phương pháp:

• Đặt: u = ln x (hoặc arctan x), dv = dx
• Logarit và hàm lượng giác ngược luôn là u

Ví dụ 5: Tính $\int_1^e \ln x , dx$

Lời giải:

Bước 1: Viết lại và chọn u, dv

• Viết: $\int_1^e \ln x , dx = \int_1^e 1 \cdot \ln x , dx$
• Đặt: $u = \ln x \Rightarrow du = \dfrac{1}{x}dx$
• $dv = dx \Rightarrow v = x$

Bước 2: Áp dụng công thức

$$\int_1^e \ln x , dx = [x \ln x]_1^e – \int_1^e x \cdot \frac{1}{x}dx$$

$$= [x \ln x]_1^e – \int_1^e 1 , dx$$

Bước 3: Tính tích phân

$$= [x \ln x]_1^e – [x]_1^e$$

Bước 4: Thay cận

$$= (e \ln e – 1 \cdot \ln 1) – (e – 1)$$

$$= (e \cdot 1 – 1 \cdot 0) – (e – 1)$$

$$= e – e + 1 = 1$$

Đáp số: 1

Ví dụ 6: Tính $\int_0^1 x \ln x , dx$

Lời giải:

Bước 1: Chọn u và dv

• Đặt: $u = \ln x \Rightarrow du = \dfrac{1}{x}dx$
• $dv = x , dx \Rightarrow v = \dfrac{x^2}{2}$

Bước 2: Áp dụng công thức

$$\int_0^1 x \ln x , dx = \left[\frac{x^2 \ln x}{2}\right]_0^1 – \int_0^1 \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x}dx$$

$$= \left[\frac{x^2 \ln x}{2}\right]_0^1 – \frac{1}{2}\int_0^1 x , dx$$

Bước 3: Xử lý giới hạn tại x = 0

$$\lim_{x \to 0^+} x^2 \ln x = \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln x}{1/x^2}$$

Dùng quy tắc L’Hospital:

$$= \lim_{x \to 0^+} \frac{1/x}{-2/x^3} = \lim_{x \to 0^+} \frac{-x^2}{2} = 0$$

Bước 4: Tính tiếp

$$= \left(\frac{1 \cdot \ln 1}{2} – 0\right) – \frac{1}{2}\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^1$$

$$= 0 – \frac{1}{4}(1 – 0) = -\frac{1}{4}$$

Đáp số: $-\dfrac{1}{4}$

Dạng 4: $\int P(x) \cdot \ln x , dx$

Đặc điểm:

• Kết hợp đa thức với logarit
• Logarit luôn ưu tiên làm u

Phương pháp:

• Đặt: u = ln x, dv = P(x)dx

Ví dụ 7: Tính $\int_1^2 x^2 \ln x , dx$

Lời giải:

Bước 1: Chọn u và dv

• Đặt: $u = \ln x \Rightarrow du = \dfrac{1}{x}dx$
• $dv = x^2 dx \Rightarrow v = \dfrac{x^3}{3}$

Bước 2: Áp dụng công thức

$$\int_1^2 x^2 \ln x , dx = \left[\frac{x^3 \ln x}{3}\right]_1^2 – \int_1^2 \frac{x^3}{3} \cdot \frac{1}{x}dx$$

$$= \left[\frac{x^3 \ln x}{3}\right]_1^2 – \frac{1}{3}\int_1^2 x^2 dx$$

Bước 3: Tính tích phân

$$= \left[\frac{x^3 \ln x}{3}\right]_1^2 – \frac{1}{3}\left[\frac{x^3}{3}\right]_1^2$$

Bước 4: Thay cận

$$= \left(\frac{8\ln 2}{3} – \frac{1 \cdot \ln 1}{3}\right) – \frac{1}{9}(8 – 1)$$

$$= \frac{8\ln 2}{3} – 0 – \frac{7}{9}$$

$$= \frac{8\ln 2}{3} – \frac{7}{9} = \frac{24\ln 2 – 7}{9}$$

Đáp số: $\dfrac{24\ln 2 – 7}{9}$

Dạng 5: $\int e^{ax} \sin(bx) dx$, $\int e^{ax} \cos(bx) dx$ (Dạng vòng)

Đặc điểm:

• Kết hợp hàm mũ và hàm lượng giác
• Dạng đặc biệt: tích phân từng phần 2 lần sẽ quay về chính nó

Phương pháp:

• Tích phân từng phần 2 lần
• Xuất hiện lại tích phân ban đầu → giải phương trình
• Có thể chọn u là sin/cos hoặc $e^x$ đều được

Ví dụ 8: Tính $\int_0^\pi e^x \sin x , dx$

Lời giải:

Đặt $I = \int_0^\pi e^x \sin x , dx$

Tích phân từng phần lần 1:

Bước 1: Chọn u và dv

• $u = \sin x \Rightarrow du = \cos x , dx$
• $dv = e^x dx \Rightarrow v = e^x$

Bước 2: Áp dụng công thức

$$I = [e^x \sin x]_0^\pi – \int_0^\pi e^x \cos x , dx \quad (*)$$

Tích phân từng phần lần 2:

Tính $\int_0^\pi e^x \cos x , dx$:

• $u = \cos x \Rightarrow du = -\sin x , dx$
• $dv = e^x dx \Rightarrow v = e^x$

$$\int_0^\pi e^x \cos x , dx = [e^x \cos x]_0^\pi – \int_0^\pi e^x (-\sin x)dx$$

$$= [e^x \cos x]_0^\pi + \int_0^\pi e^x \sin x , dx$$

$$= [e^x \cos x]_0^\pi + I \quad (**)$$

Bước 3: Thay (**) vào (*)

$$I = [e^x \sin x]_0^\pi – ([e^x \cos x]_0^\pi + I)$$

$$I = [e^x \sin x]_0^\pi – [e^x \cos x]_0^\pi – I$$

$$2I = [e^x \sin x]_0^\pi – [e^x \cos x]_0^\pi$$

Bước 4: Tính giá trị tại cận

$$2I = (e^\pi \cdot \sin\pi – e^0 \cdot \sin 0) – (e^\pi \cdot \cos\pi – e^0 \cdot \cos 0)$$

$$2I = (e^\pi \cdot 0 – 1 \cdot 0) – (e^\pi \cdot (-1) – 1 \cdot 1)$$

$$2I = 0 – (-e^\pi – 1) = e^\pi + 1$$

$$I = \frac{e^\pi + 1}{2}$$

Đáp số: $\dfrac{e^\pi + 1}{2}$

V. MẸO VÀ KỸ THUẬT TÍNH NHANH

1. Các sai lầm thường gặp

❌ SAI LẦM 1: Quên dấu âm khi tính nguyên hàm

Sai: $$\int \sin x , dx = \cos x$$

Đúng: $$\int \sin x , dx = -\cos x$$

Lưu ý: Luôn kiểm tra lại nguyên hàm bằng cách lấy đạo hàm.

❌ SAI LẦM 2: Nhầm lẫn u và dv

Sai: Với $\int xe^x dx$, chọn $u = e^x$, $dv = x , dx$

Đúng: Chọn $u = x$, $dv = e^x dx$ (theo quy tắc LIATE)

Hậu quả: Tích phân mới phức tạp hơn ban đầu.

❌ SAI LẦM 3: Quên tính [uv] ở hai cận

Sai: $$\int_0^1 xe^x dx = xe^x – \int e^x dx$$

Đúng: $$\int_0^1 xe^x dx = [xe^x]_0^1 – \int_0^1 e^x dx$$

Lưu ý: Phải thay cận cho cả $[uv]$ và tích phân còn lại.

❌ SAI LẦM 4: Tính sai nguyên hàm v

Sai: $dv = \cos 2x , dx \Rightarrow v = \sin 2x$

Đúng: $dv = \cos 2x , dx \Rightarrow v = \dfrac{\sin 2x}{2}$

Lưu ý: Chú ý hệ số khi tính nguyên hàm.

2. Mẹo nhận dạng nhanh

Thấy ln x → Chọn u = ln x (luôn luôn)

Thấy arctan x, arcsin x → Chọn u = arctan x (hoặc arcsin x)

Thấy đa thức × $e^x$ → Chọn u = đa thức

Thấy đa thức × sin/cos → Chọn u = đa thức

Thấy $e^x$ × sin/cos → Dạng vòng (tích phân 2 lần)

3. Kiểm tra kết quả

Cách 1: Lấy đạo hàm (với nguyên hàm)

Nếu tính được $\int f(x)dx = F(x) + C$, kiểm tra: $$F'(x) = f(x)$$

Cách 2: Thay cận kiểm tra số

Với tích phân xác định, kiểm tra tính hợp lý của kết quả:

• Nếu $f(x) > 0$ trên $[a,b]$ → Kết quả > 0
• Nếu $f(x) < 0$ trên $[a,b]$ → Kết quả < 0

Cách 3: Ước lượng bằng hình học

So sánh với diện tích hình chữ nhật, tam giác đơn giản.

4. Thứ tự thực hiện

Bước 1: Nhận dạng dạng bài

• Xác định loại tích phân (Dạng 1, 2, 3, 4, hay 5)
• Kiểm tra có thuộc dạng từng phần không

Bước 2: Chọn u, dv theo LIATE

• Áp dụng quy tắc LIATE
• Đảm bảo dv tính được nguyên hàm

Bước 3: Tính du, v

• $du = u'(x)dx$
• $v = \int dv$

Bước 4: Áp dụng công thức $$\int_a^b u , dv = [uv]_a^b – \int_a^b v , du$$

Bước 5: Tính [uv] và tích phân còn lại

• Thay cận vào $[uv]_a^b$
• Tính $\int_a^b v , du$

Bước 6: Kết luận

• Tổng hợp kết quả
• Kiểm tra tính hợp lý

VI. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Cấp độ cơ bản

Bài 1: $\int_0^1 xe^{2x}dx$

Bài 2: $\int_0^{\pi/2} x\cos x , dx$

Bài 3: $\int_1^e \frac{\ln x}{x}dx$

Cấp độ trung bình

Bài 4: $\int_0^1 x^2 e^{-x}dx$

Bài 5: $\int_0^1 x^3 \ln x , dx$

Bài 6: $\int_0^{\pi/4} x\sin 2x , dx$

Cấp độ nâng cao

Bài 7: $\int_0^{\pi/2} e^{2x}\cos x , dx$

Bài 8: $\int_1^e (\ln x)^2 dx$

Bài 9: $\int_0^1 x^2 \arctan x , dx$

Bài 10: $\int_0^\pi x^2 \sin x , dx$

VII. KẾT LUẬN

Tổng kết

Bài viết đã trình bày đầy đủ về công thức tích phân từng phần – một trong những công cụ mạnh mẽ nhất trong giải tích:

Định lý và 3 dạng viết công thức

• Dạng đầy đủ với u(x) và v'(x)
• Dạng vi phân $\int u , dv = [uv] – \int v , du$ (thông dụng nhất)
• Dạng nguyên hàm không có cận

Quy tắc LIATE chọn u, dv

• L (Logarit) > I (Inverse trig) > A (Algebraic) > T (Trigonometric) > E (Exponential)
• Nguyên tắc vàng để chọn đúng u và dv
• Cách nhớ: “Là Intern Anh Tài Em”

5 dạng bài điển hình với 8 ví dụ chi tiết

• Dạng 1: P(x) × $e^{ax}$
• Dạng 2: P(x) × sin(ax), cos(ax)
• Dạng 3: ln x, arctan x
• Dạng 4: P(x) × ln x
• Dạng 5: $e^{ax}$ × sin(bx) (dạng vòng)

Mẹo và kỹ thuật tính nhanh

• 4 sai lầm thường gặp và cách tránh
• Công thức nhận dạng nhanh
• Phương pháp kiểm tra kết quả

10 bài tập tự luyện

• Từ cơ bản đến nâng cao
• Giúp rèn luyện kỹ năng

Điểm cần nhớ

Công thức cốt lõi: $$\int_a^b u , dv = [uv]_a^b – \int_a^b v , du$$

Quy tắc LIATE: L > I > A > T > E (Chọn hàm đứng trước làm u)

Nguyên tắc kiểm tra: Hàm nào dễ lấy đạo hàm → chọn u

Dạng vòng đặc biệt: Tích phân 2 lần, giải phương trình để tìm I

ThS. Nguyễn Văn An

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn Tổ Toán tại Edus

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán học, Thạc sĩ Lý luận & Phương pháp dạy học môn Toán, Chức danh nghề nghiệp giáo viên THPT – Hạng II, Tin học ứng dụng cơ bản, Ngoại ngữ B1, Chứng chỉ bồi dưỡng năng lực tổ trưởng chuyên môn

Kinh nghiệm: 12+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT chuyên Trần Đại Nghĩa