I. GIỚI THIỆU VỀ TÍCH VÔ HƯỚNG

1. Tích vô hướng là gì?

Định nghĩa: Tích vô hướng (còn gọi là tích trong) của hai vectơ là một phép toán giữa hai vectơ cho kết quả là một số thực (không phải vectơ).

Ký hiệu:

• $\vec{a} \cdot \vec{b}$ (phổ biến nhất, dùng dấu chấm)
• $(\vec{a}, \vec{b})$ (dùng dấu ngoặc)
• $\langle \vec{a}, \vec{b} \rangle$ (ký hiệu toán học nâng cao)

Cách đọc:

• “a tích vô hướng b”
• “tích vô hướng của a và b”
• “a chấm b” (theo ký hiệu dấu chấm)

Đặc điểm quan trọng:

• Là phép toán giữa hai vectơ
• Cho kết quả là một số thực (có thể dương, âm hoặc bằng 0)
• Khác với tích có hướng (cho kết quả là vectơ)

2. Tại sao phải học tích vô hướng?

Trong toán học:

Tính góc giữa hai vectơ: Tích vô hướng là công cụ mạnh nhất để tính góc giữa hai vectơ trong mặt phẳng hay không gian, mà không cần vẽ hình.

Kiểm tra hai vectơ có vuông góc không: Chỉ cần kiểm tra tích vô hướng có bằng 0 hay không, đơn giản và nhanh chóng.

Tính độ dài vectơ: Từ công thức $|\vec{a}|^2 = \vec{a} \cdot \vec{a}$, ta có thể tính độ dài vectơ một cách hiệu quả.

Chứng minh các định lý hình học: Nhiều định lý như định lý cosin, định lý đường trung tuyến có thể chứng minh dễ dàng bằng tích vô hướng.

Trong vật lý:

Tính công cơ học: Công sinh ra bởi lực $\vec{F}$ làm vật dịch chuyển $\vec{s}$ được tính bằng công thức: $$A = \vec{F} \cdot \vec{s}$$

Phân tích lực: Tìm thành phần lực theo một phương nhất định.

Tính năng lượng: Động năng, thế năng liên quan đến tích vô hướng của vectơ vận tốc, vị trí.

Trong ứng dụng:

• Đồ họa máy tính: Tính độ sáng, bóng đổ
• Machine Learning: Tính độ tương đồng giữa các vector đặc trưng
• Xử lý tín hiệu: Phân tích sóng, tín hiệu
• Nền tảng cho hình học giải tích: Phương trình đường thẳng, mặt phẳng

3. Phân biệt mặt phẳng và không gian

Lớp 10 – Tích vô hướng trong mặt phẳng (Oxy):

• Vectơ có 2 thành phần: $\vec{a} = (x; y)$
• Công thức tọa độ: $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2$
• Độ dài: $|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}$

Lớp 12 – Tích vô hướng trong không gian (Oxyz):

• Vectơ có 3 thành phần: $\vec{a} = (x; y; z)$
• Công thức tọa độ: $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$
• Độ dài: $|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$

Điểm chung: Công thức và tính chất hoàn toàn tương tự nhau, chỉ khác số chiều (2D vs 3D). Nếu nắm vững công thức trong mặt phẳng, việc mở rộng lên không gian rất dễ dàng.

II. CÔNG THỨC TÍCH VÔ HƯỚNG TRONG MẶT PHẲNG (LỚP 10)

1. Định nghĩa hình học

Công thức cơ bản:

Cho hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ trong mặt phẳng, tích vô hướng được định nghĩa:

$$\boxed{\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\vec{a}, \vec{b})}$$

Trong đó:

• $|\vec{a}|$: Độ dài (module) của vectơ $\vec{a}$
• $|\vec{b}|$: Độ dài (module) của vectơ $\vec{b}$
• $(\vec{a}, \vec{b})$ hoặc $\alpha$: Góc giữa hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ (từ 0° đến 180°)
• $\cos(\vec{a}, \vec{b})$: Cosin của góc giữa hai vectơ

Ví dụ 1: Cho hai vectơ có độ dài $|\vec{a}| = 2$ và $|\vec{b}| = 3$, góc giữa chúng là $60°$. Tính $\vec{a} \cdot \vec{b}$.

Lời giải: $$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 3 \cdot \cos 60° = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3$$

Ví dụ 2: Cho hai vectơ có độ dài $|\vec{a}| = 4$ và $|\vec{b}| = 5$, góc giữa chúng là $90°$. Tính $\vec{a} \cdot \vec{b}$.

Lời giải: $$\vec{a} \cdot \vec{b} = 4 \cdot 5 \cdot \cos 90° = 20 \cdot 0 = 0$$

Nhận xét: Khi hai vectơ vuông góc, tích vô hướng bằng 0.

2. Công thức tọa độ trong mặt phẳng

Định lý: Cho hai vectơ trong mặt phẳng tọa độ Oxy:

• $\vec{a} = (x_1; y_1)$
• $\vec{b} = (x_2; y_2)$

Tích vô hướng được tính bằng công thức:

$$\boxed{\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2}$$

Quy tắc nhớ: “Nhân hoành độ với hoành độ, tung độ với tung độ, rồi cộng lại”

Ví dụ 3: Cho $\vec{a} = (2; 3)$ và $\vec{b} = (1; -2)$. Tính $\vec{a} \cdot \vec{b}$.

Lời giải: $$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \times 1 + 3 \times (-2) = 2 – 6 = -4$$

Ví dụ 4: Cho $\vec{a} = (5; -3)$ và $\vec{b} = (2; 4)$. Tính $\vec{a} \cdot \vec{b}$.

Lời giải: $$\vec{a} \cdot \vec{b} = 5 \times 2 + (-3) \times 4 = 10 – 12 = -2$$

Lưu ý: Kết quả tích vô hướng có thể âm, dương hoặc bằng 0.

3. Công thức độ dài vectơ

Định lý: Độ dài (module) của vectơ $\vec{a} = (x; y)$ được tính bằng:

$$|\vec{a}|^2 = \vec{a} \cdot \vec{a} = x^2 + y^2$$

Do đó:

$$\boxed{|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}}$$

Ý nghĩa: Đây là công thức Pythagore trong hệ tọa độ.

Ví dụ 5: Cho $\vec{a} = (3; 4)$. Tính độ dài vectơ $\vec{a}$.

Lời giải: $$|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$

Ví dụ 6: Cho $\vec{a} = (-5; 12)$. Tính độ dài vectơ $\vec{a}$.

Lời giải: $$|\vec{a}| = \sqrt{(-5)^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$$

Tính chất: $|\vec{a}| \geq 0$ với mọi vectơ, và $|\vec{a}| = 0$ khi và chỉ khi $\vec{a} = \vec{0}$.

4. Công thức tính góc giữa hai vectơ

Định lý: Góc $\alpha$ giữa hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ (cả hai khác vectơ không) được tính bằng:

$$\boxed{\cos(\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}}$$

Công thức đầy đủ theo tọa độ:

$$\cos(\vec{a}, \vec{b}) = \frac{x_1x_2 + y_1y_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2} \cdot \sqrt{x_2^2+y_2^2}}$$

Từ đó: $\alpha = \arccos\left(\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}\right)$

Ví dụ 7: Tính góc giữa hai vectơ $\vec{a} = (1; 0)$ và $\vec{b} = (1; 1)$.

Lời giải:

Bước 1: Tính tích vô hướng: $$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \times 1 + 0 \times 1 = 1$$

Bước 2: Tính độ dài: $$|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 0^2} = 1$$ $$|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$$

Bước 3: Tính cosine: $$\cos\alpha = \frac{1}{1 \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Kết luận: $\alpha = 45°$ (hoặc $\frac{\pi}{4}$ radian)

Ví dụ 8: Tính góc giữa hai vectơ $\vec{a} = (2; 1)$ và $\vec{b} = (-1; 2)$.

Lời giải:

• $\vec{a} \cdot \vec{b} = 2(-1) + 1(2) = -2 + 2 = 0$
• Vậy $\cos\alpha = 0$ → $\alpha = 90°$

Hai vectơ vuông góc với nhau ✓

5. Điều kiện hai vectơ vuông góc

Định lý: Hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ (cả hai khác vectơ không) vuông góc với nhau khi và chỉ khi:

$$\boxed{\vec{a} \perp \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 0}$$

Điều kiện tọa độ:

$$\boxed{x_1x_2 + y_1y_2 = 0}$$

Ý nghĩa: Đây là điều kiện cần và đủ để hai vectơ vuông góc, rất hữu ích trong việc kiểm tra tính vuông góc hoặc tìm vectơ vuông góc.

Ví dụ 9: Kiểm tra hai vectơ $\vec{a} = (2; 3)$ và $\vec{b} = (3; -2)$ có vuông góc không?

Lời giải: $$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \times 3 + 3 \times (-2) = 6 – 6 = 0$$

Vậy $\vec{a} \perp \vec{b}$ ✓

Ví dụ 10: Kiểm tra hai vectơ $\vec{a} = (1; 2)$ và $\vec{b} = (3; 4)$ có vuông góc không?

Lời giải: $$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \times 3 + 2 \times 4 = 3 + 8 = 11 \neq 0$$

Vậy hai vectơ không vuông góc ✗

Ứng dụng: Tìm vectơ vuông góc với một vectơ cho trước. Nếu $\vec{a} = (x; y)$ thì vectơ $\vec{b} = (-y; x)$ hoặc $\vec{b} = (y; -x)$ đều vuông góc với $\vec{a}$.

III. CÔNG THỨC TÍCH VÔ HƯỚNG TRONG KHÔNG GIAN (LỚP 12)

1. Định nghĩa hình học

Công thức: Tương tự như trong mặt phẳng, tích vô hướng của hai vectơ trong không gian được định nghĩa:

$$\boxed{\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\vec{a}, \vec{b})}$$

Các thành phần có ý nghĩa hoàn toàn giống như trong mặt phẳng:

• $|\vec{a}|$, $|\vec{b}|$: Độ dài hai vectơ
• $(\vec{a}, \vec{b})$: Góc giữa hai vectơ (từ 0° đến 180°)

2. Công thức tọa độ trong không gian

Định lý: Cho hai vectơ trong không gian tọa độ Oxyz:

• $\vec{a} = (x_1; y_1; z_1)$
• $\vec{b} = (x_2; y_2; z_2)$

Tích vô hướng được tính bằng:

$$\boxed{\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2}$$

Quy tắc nhớ: “Nhân hoành với hoành, tung với tung, cao với cao, rồi cộng lại”

So sánh với mặt phẳng: Chỉ cần thêm thành phần thứ ba (tọa độ z) vào công thức.

Ví dụ 11: Cho $\vec{a} = (1; 2; 3)$ và $\vec{b} = (4; 5; 6)$. Tính $\vec{a} \cdot \vec{b}$.

Lời giải: $$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \times 4 + 2 \times 5 + 3 \times 6$$ $$= 4 + 10 + 18 = 32$$

Ví dụ 12: Cho $\vec{a} = (2; -3; 1)$ và $\vec{b} = (1; 2; -4)$. Tính $\vec{a} \cdot \vec{b}$.

Lời giải: $$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \times 1 + (-3) \times 2 + 1 \times (-4)$$ $$= 2 – 6 – 4 = -8$$

3. Công thức độ dài vectơ trong không gian

Định lý: Độ dài của vectơ $\vec{a} = (x; y; z)$ trong không gian:

$$\boxed{|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}$$

Nguồn gốc: Đây là mở rộng của định lý Pythagore lên không gian ba chiều.

Ví dụ 13: Cho $\vec{a} = (2; 3; 6)$. Tính độ dài $|\vec{a}|$.

Lời giải: $$|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$$

Ví dụ 14: Cho $\vec{a} = (1; -2; 2)$. Tính độ dài $|\vec{a}|$.

Lời giải: $$|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$$

4. Công thức góc trong không gian

Định lý: Góc $\alpha$ giữa hai vectơ trong không gian:

$$\boxed{\cos(\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}}$$

Công thức đầy đủ:

$$\cos(\vec{a}, \vec{b}) = \frac{x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2} \cdot \sqrt{x_2^2+y_2^2+z_2^2}}$$

Ví dụ 15: Tính góc giữa hai vectơ $\vec{a} = (1; 0; 0)$ và $\vec{b} = (1; 1; 0)$.

Lời giải:

• $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \times 1 + 0 \times 1 + 0 \times 0 = 1$
• $|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2} = 1$
• $|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{2}$
• $\cos\alpha = \frac{1}{1 \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
• Vậy $\alpha = 45°$

5. Điều kiện vuông góc trong không gian

Định lý: Hai vectơ trong không gian vuông góc với nhau khi và chỉ khi:

$$\boxed{\vec{a} \perp \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 0}$$

Điều kiện tọa độ:

$$\boxed{x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2 = 0}$$

Ví dụ 16: Kiểm tra hai vectơ $\vec{a} = (1; 2; -1)$ và $\vec{b} = (2; -1; 0)$ có vuông góc không?

Lời giải: $$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \times 2 + 2 \times (-1) + (-1) \times 0$$ $$= 2 – 2 + 0 = 0$$

Vậy $\vec{a} \perp \vec{b}$ ✓

Ví dụ 17: Kiểm tra hai vectơ $\vec{a} = (1; 1; 1)$ và $\vec{b} = (1; 2; 3)$ có vuông góc không?

Lời giải: $$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \times 1 + 1 \times 2 + 1 \times 3 = 1 + 2 + 3 = 6 \neq 0$$

Hai vectơ không vuông góc ✗

IV. TÍNH CHẤT CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG

1. Các tính chất cơ bản

Bảng tổng hợp:

Chứng minh tính giao hoán: $$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\vec{a}, \vec{b})$$ $$\vec{b} \cdot \vec{a} = |\vec{b}| |\vec{a}| \cos(\vec{b}, \vec{a})$$

Vì $|\vec{a}| |\vec{b}| = |\vec{b}| |\vec{a}|$ và $\cos(\vec{a}, \vec{b}) = \cos(\vec{b}, \vec{a})$ nên $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$ ✓

Ví dụ 18: Cho $\vec{a} = (1; 2)$, $\vec{b} = (3; 4)$, $\vec{c} = (5; 6)$. Kiểm tra tính phân phối.

Lời giải:

Vế trái:

• $\vec{b} + \vec{c} = (8; 10)$
• $\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = 1(8) + 2(10) = 28$

Vế phải:

• $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1(3) + 2(4) = 11$
• $\vec{a} \cdot \vec{c} = 1(5) + 2(6) = 17$
• $\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c} = 11 + 17 = 28$

Vậy $\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}$ ✓

2. Dấu của tích vô hướng

Bảng phân tích:

Các trường hợp đặc biệt:

• $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}|$ khi $\alpha = 0°$ (hai vectơ cùng hướng)
• $\vec{a} \cdot \vec{b} = -|\vec{a}| |\vec{b}|$ khi $\alpha = 180°$ (hai vectơ ngược hướng)

Ví dụ 19: Xác định dấu của tích vô hướng:

• $\vec{a} = (2; 3)$, $\vec{b} = (1; 1)$ → $\vec{a} \cdot \vec{b} = 5 > 0$ (góc nhọn)
• $\vec{a} = (1; 1)$, $\vec{b} = (-1; 1)$ → $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ (vuông góc)
• $\vec{a} = (1; 2)$, $\vec{b} = (-3; -4)$ → $\vec{a} \cdot \vec{b} = -11 < 0$ (góc tù)

3. Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz

Định lý: Với mọi vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$:

$$\boxed{|\vec{a} \cdot \vec{b}| \leq |\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng phương.

Chứng minh ngắn gọn:

Từ $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos\alpha$, ta có: $$|\vec{a} \cdot \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| |\cos\alpha| \leq |\vec{a}| |\vec{b}|$$

Vì $|\cos\alpha| \leq 1$ với mọi góc $\alpha$ ✓

Ứng dụng: Bất đẳng thức này là nền tảng cho nhiều bất đẳng thức khác trong toán học và được sử dụng rộng rãi trong giải tích, đại số tuyến tính.

V. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG

1. Tính góc giữa hai vectơ

Bài toán: Cho hai vectơ $\vec{a} = (3; 4)$ và $\vec{b} = (5; 12)$. Tính góc giữa hai vectơ.

Lời giải:

Bước 1: Tính tích vô hướng: $$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \times 5 + 4 \times 12 = 15 + 48 = 63$$

Bước 2: Tính độ dài các vectơ: $$|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$ $$|\vec{b}| = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$$

Bước 3: Tính cosine góc: $$\cos\alpha = \frac{63}{5 \times 13} = \frac{63}{65}$$

Bước 4: Tính góc: $$\alpha = \arccos\left(\frac{63}{65}\right) \approx 14.25°$$

Kết luận: Góc giữa hai vectơ xấp xỉ 14.25°.

2. Kiểm tra hai vectơ vuông góc

Bài toán: Cho $\vec{a} = (2; 3)$. Tìm tất cả các vectơ $\vec{b} = (x; y)$ vuông góc với $\vec{a}$ và có độ dài $|\vec{b}| = \sqrt{13}$.

Lời giải:

Bước 1: Điều kiện vuông góc: $$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \Rightarrow 2x + 3y = 0$$ $$\Rightarrow x = -\frac{3y}{2}$$

Bước 2: Điều kiện độ dài: $$|\vec{b}| = \sqrt{13} \Rightarrow x^2 + y^2 = 13$$

Bước 3: Thay $x = -\frac{3y}{2}$ vào điều kiện độ dài: $$\left(-\frac{3y}{2}\right)^2 + y^2 = 13$$ $$\frac{9y^2}{4} + y^2 = 13$$ $$\frac{13y^2}{4} = 13$$ $$y^2 = 4$$ $$y = \pm 2$$

Bước 4: Tìm x tương ứng:

• Với $y = 2$: $x = -3$ → $\vec{b} = (-3; 2)$
• Với $y = -2$: $x = 3$ → $\vec{b} = (3; -2)$

Kết luận: Có hai vectơ thỏa mãn: $\vec{b} = (-3; 2)$ hoặc $\vec{b} = (3; -2)$.

3. Chứng minh tính chất hình học

Bài toán: Chứng minh định lý cosin: $c^2 = a^2 + b^2 – 2ab\cos C$ bằng tích vô hướng.

Chứng minh:

Xét tam giác ABC. Đặt:

• $\overrightarrow{AB} = \vec{c}$
• $\overrightarrow{BC} = \vec{a}$
• $\overrightarrow{CA} = \vec{b}$

Ta có: $\vec{c} = \vec{a} – \vec{b}$ (quy tắc cộng vectơ)

Tính độ dài: $$|\vec{c}|^2 = \vec{c} \cdot \vec{c} = (\vec{a} – \vec{b}) \cdot (\vec{a} – \vec{b})$$

Khai triển: $$= \vec{a} \cdot \vec{a} – 2\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{b}$$ $$= |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 – 2\vec{a} \cdot \vec{b}$$ $$= |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 – 2|\vec{a}||\vec{b}|\cos C$$

Vậy: $$c^2 = a^2 + b^2 – 2ab\cos C$$

(đpcm) ✓

4. Tính công cơ học (Vật lý)

Định nghĩa: Công sinh ra bởi lực $\vec{F}$ làm vật dịch chuyển theo vectơ dịch chuyển $\vec{s}$:

$$\boxed{A = \vec{F} \cdot \vec{s} = F \cdot s \cdot \cos\alpha}$$

Trong đó $\alpha$ là góc giữa $\vec{F}$ và $\vec{s}$.

Bài toán: Một lực $F = 10N$ kéo vật với góc $30°$ so với phương chuyển động. Vật di chuyển được quãng đường $s = 5m$. Tính công thực hiện?

Lời giải: $$A = F \cdot s \cdot \cos 30° = 10 \times 5 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 25\sqrt{3} \approx 43.3 \text{ J}$$

Bài toán tọa độ: Lực $\vec{F} = (3; 4)$ N tác dụng lên vật, làm vật dịch chuyển theo $\vec{s} = (2; 1)$ m. Tính công.

Lời giải: $$A = \vec{F} \cdot \vec{s} = 3 \times 2 + 4 \times 1 = 6 + 4 = 10 \text{ J}$$

Ý nghĩa:

• Nếu $\alpha < 90°$: Lực thực hiện công dương (lực hỗ trợ chuyển động)
• Nếu $\alpha = 90°$: Công bằng 0 (lực vuông góc với chuyển động)
• Nếu $\alpha > 90°$: Công âm (lực cản trở chuyển động)

-VI. BẢNG CÔNG THỨC TÓM TẮT

A. Công thức trong mặt phẳng (Lớp 10)

B. Công thức trong không gian (Lớp 12)

C. Tính chất

VII. SO SÁNH MẶT PHẲNG VÀ KHÔNG GIAN

Nhận xét quan trọng:

• Công thức trong không gian là mở rộng tự nhiên của công thức trong mặt phẳng
• Chỉ cần thêm thành phần thứ 3 (tọa độ z) vào mọi công thức
• Tính chất hoàn toàn giống nhau ở cả hai không gian
• Nếu nắm vững mặt phẳng, việc học không gian sẽ rất dễ dàng

VIII. MẸO VÀ LƯU Ý

1. Mẹo nhớ công thức

✅ Mẹo 1: Nhớ công thức tọa độ

“Nhân tọa độ cùng vị trí rồi cộng lại”

• Mặt phẳng: hoành × hoành + tung × tung = $x_1x_2 + y_1y_2$
• Không gian: hoành × hoành + tung × tung + cao × cao = $x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$

✅ Mẹo 2: Nhớ điều kiện vuông góc

“Tích vô hướng bằng 0 thì vuông góc”

$$\vec{a} \perp \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$$

✅ Mẹo 3: Nhớ công thức độ dài

“Bình phương rồi cộng, sau đó lấy căn”

$$|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2} \text{ (2D)}$$ $$|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \text{ (3D)}$$

✅ Mẹo 4: Nhớ công thức góc

“Tích vô hướng chia tích độ dài”

$$\cos\alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$$

2. Các sai lầm thường gặp

❌ SAI LẦM 1: Quên nhân với cos trong định nghĩa hình học

Sai: $$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}|$$ ❌

Đúng: $$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos\alpha$$ ✓

❌ SAI LẦM 2: Nghĩ tích vô hướng cho kết quả là vectơ

Sai: Tích vô hướng của hai vectơ là một vectơ ❌

Đúng: Tích vô hướng của hai vectơ là một số thực ✓

Lưu ý: Đừng nhầm với tích có hướng (tích vector) – cái đó mới cho kết quả là vectơ.

❌ SAI LẦM 3: Nhầm công thức tính góc

Sai: $$\cos\alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| + |\vec{b}|}$$ ❌ (cộng trong mẫu)

Đúng: $$\cos\alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \times |\vec{b}|}$$ ✓ (nhân trong mẫu)

❌ SAI LẦM 4: Quên dấu âm trong tọa độ

Sai: $\vec{a} = (2; -3)$, $\vec{b} = (1; 4)$ $$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \times 1 + 3 \times 4 = 14$$ ❌

Đúng: $$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \times 1 + (-3) \times 4 = 2 – 12 = -10$$ ✓

❌ SAI LẦM 5: Nhầm điều kiện vuông góc và cùng phương

• Vuông góc: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ (tích vô hướng)
• Cùng phương: $\vec{a} \times \vec{b} = \vec{0}$ (tích có hướng) hoặc $\vec{a} = k\vec{b}$

3. Lưu ý khi tính toán

Luôn tính độ dài vectơ trước khi tính góc bằng công thức cosine

Kết quả tích vô hướng có thể âm, dương hoặc bằng 0:

• Dương: góc nhọn
• Bằng 0: vuông góc
• Âm: góc tù

Góc giữa hai vectơ luôn từ 0° đến 180° (không có góc âm hay góc >180°)

Trường hợp đặc biệt:

• $\cos\alpha = 1$ → $\alpha = 0°$ (hai vectơ cùng hướng)
• $\cos\alpha = 0$ → $\alpha = 90°$ (hai vectơ vuông góc)
• $\cos\alpha = -1$ → $\alpha = 180°$ (hai vectơ ngược hướng)

Đơn vị: Nếu độ dài vectơ có đơn vị (m, km, N…) thì tích vô hướng cũng có đơn vị (là tích của hai đơn vị)

IX. BÀI TẬP MẪU

Bài 1: Tính tích vô hướng cơ bản

Đề bài: Cho hai vectơ $\vec{a} = (2; -3)$ và $\vec{b} = (4; 5)$. Tính $\vec{a} \cdot \vec{b}$.

Lời giải:

Áp dụng công thức tọa độ: $$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2$$ $$= 2 \times 4 + (-3) \times 5$$ $$= 8 – 15 = -7$$

Kết luận: $\vec{a} \cdot \vec{b} = -7$

Nhận xét: Kết quả âm cho thấy góc giữa hai vectơ là góc tù (> 90°).

Bài 2: Tính góc giữa hai vectơ

Đề bài: Cho hai vectơ $\vec{a} = (1; \sqrt{3})$ và $\vec{b} = (-\sqrt{3}; 1)$. Tính góc giữa hai vectơ.

Lời giải:

Bước 1: Tính tích vô hướng: $$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \times (-\sqrt{3}) + \sqrt{3} \times 1$$ $$= -\sqrt{3} + \sqrt{3} = 0$$

Bước 2: Phân tích:

Vì $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ nên $\vec{a} \perp \vec{b}$

Kết luận: Góc giữa hai vectơ là 90° (hai vectơ vuông góc).

Bài 3: Kiểm tra vuông góc trong không gian

Đề bài: Cho hai vectơ trong không gian $\vec{a} = (2; 3; -1)$ và $\vec{b} = (1; -2; 4)$. Hai vectơ có vuông góc với nhau không?

Lời giải:

Tính tích vô hướng: $$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \times 1 + 3 \times (-2) + (-1) \times 4$$ $$= 2 – 6 – 4 = -8 \neq 0$$

Kết luận: Hai vectơ không vuông góc vì $\vec{a} \cdot \vec{b} \neq 0$.

Bài 4: Tìm tọa độ vectơ thỏa điều kiện

Đề bài: Tìm giá trị của $m$ để vectơ $\vec{a} = (m; 2)$ vuông góc với vectơ $\vec{b} = (3; -1)$.

Lời giải:

Điều kiện vuông góc: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$

$$m \times 3 + 2 \times (-1) = 0$$ $$3m – 2 = 0$$ $$3m = 2$$ $$m = \frac{2}{3}$$

Kết luận: $m = \frac{2}{3}$

Kiểm tra: $\vec{a} = \left(\frac{2}{3}; 2\right)$, $\vec{b} = (3; -1)$ $$\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{2}{3} \times 3 + 2 \times (-1) = 2 – 2 = 0$$ ✓

Bài 5: Ứng dụng tính công (Vật lý)

Đề bài: Một lực $\vec{F} = (3; 4)$ N tác dụng lên vật, làm vật dịch chuyển theo vectơ $\vec{s} = (2; 1)$ m. Tính công mà lực thực hiện.

Lời giải:

Công thức công: $A = \vec{F} \cdot \vec{s}$

$$A = 3 \times 2 + 4 \times 1 = 6 + 4 = 10 \text{ J}$$

Kết luận: Công thực hiện là 10 Joule.

Giải thích: Vì kết quả dương nên lực hỗ trợ chuyển động (không cản trở).

Bài 6: Bài toán tổng hợp

Đề bài: Cho tam giác ABC với $A(1; 2)$, $B(4; 3)$, $C(2; 6)$. a) Tính $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ b) Tính góc $\widehat{BAC}$

Lời giải:

Câu a:

Tính tọa độ các vectơ:

• $\overrightarrow{AB} = (4-1; 3-2) = (3; 1)$
• $\overrightarrow{AC} = (2-1; 6-2) = (1; 4)$

Tính tích vô hướng: $$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 3 \times 1 + 1 \times 4 = 3 + 4 = 7$$

Câu b:

Tính độ dài:

• $|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}$
• $|\overrightarrow{AC}| = \sqrt{1^2 + 4^2} = \sqrt{17}$

Tính cosine: $$\cos\widehat{BAC} = \frac{7}{\sqrt{10} \times \sqrt{17}} = \frac{7}{\sqrt{170}}$$

Tính góc: $$\widehat{BAC} = \arccos\left(\frac{7}{\sqrt{170}}\right) \approx 57.53°$$

Kết luận:

• a) $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 7$
• b) $\widehat{BAC} \approx 57.53°$

X. KẾT LUẬN

Tổng kết

Bài viết đã trình bày hệ thống đầy đủ về tích vô hướng của hai vectơ:

Định nghĩa và ý nghĩa:

• Tích vô hướng là phép toán giữa hai vectơ cho kết quả là số thực
• Ký hiệu: $\vec{a} \cdot \vec{b}$
• Có hai định nghĩa: hình học và tọa độ

Công thức trong mặt phẳng (Lớp 10):

• Tọa độ: $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2$
• Độ dài: $|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}$
• Góc: $\cos\alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$
• Vuông góc: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$

Công thức trong không gian (Lớp 12):

• Tọa độ: $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$
• Độ dài: $|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$
• Các công thức khác tương tự mặt phẳng

Tính chất quan trọng:

• Giao hoán, phân phối, kết hợp với số
• Dấu của tích vô hướng cho biết góc nhọn/vuông/tù
• Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz

Ứng dụng:

• Tính góc giữa hai vectơ
• Kiểm tra hai vectơ vuông góc
• Chứng minh định lý hình học
• Tính công cơ học trong vật lý

Hai công thức QUAN TRỌNG NHẤT cần nhớ

1. Công thức tọa độ trong mặt phẳng: $$\boxed{\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2}$$

2. Công thức tọa độ trong không gian: $$\boxed{\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2}$$

Từ hai công thức này, mọi bài toán đều có thể giải được!

ThS. Nguyễn Văn An

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn Tổ Toán tại Edus

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán học, Thạc sĩ Lý luận & Phương pháp dạy học môn Toán, Chức danh nghề nghiệp giáo viên THPT – Hạng II, Tin học ứng dụng cơ bản, Ngoại ngữ B1, Chứng chỉ bồi dưỡng năng lực tổ trưởng chuyên môn

Kinh nghiệm: 12+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT chuyên Trần Đại Nghĩa