I. GIỚI THIỆU VỀ LOGARIT

1. Logarit là gì?

Logarit là một phép toán ngược của phép lũy thừa, đóng vai trò quan trọng trong toán học và nhiều lĩnh vực khoa học khác.

Định nghĩa: Logarit cơ số $a$ của $b$ là số mũ mà ta cần nâng $a$ lên để được $b$.

Ký hiệu: $\log_a b$ (đọc là “logarit cơ số $a$ của $b$”)

Ý nghĩa toán học:

$$\log_a b = c \Leftrightarrow a^c = b$$

Ví dụ trực quan:

• $\log_2 8 = 3$ vì $2^3 = 8$
• $\log_{10} 100 = 2$ vì $10^2 = 100$
• $\log_5 125 = 3$ vì $5^3 = 125$

Hiểu đơn giản, nếu lũy thừa trả lời câu hỏi “2 mũ 3 bằng bao nhiêu?” thì logarit trả lời câu hỏi ngược lại “Cần nâng 2 lên mũ bao nhiêu để được 8?”.

2. Lịch sử và nguồn gốc

Logarit được phát minh bởi nhà toán học người Scotland John Napier vào năm 1614. Đây là một trong những phát minh vĩ đại nhất trong lịch sử toán học.

Mục đích ban đầu: Napier phát triển logarit nhằm đơn giản hóa các phép tính phức tạp, biến phép nhân thành phép cộng và phép chia thành phép trừ. Điều này giúp các nhà khoa học, thiên văn học và hàng hải tiết kiệm rất nhiều thời gian tính toán.

Ứng dụng thời kỳ đầu:

• Thiên văn học: Tính toán quỹ đạo các hành tinh
• Hàng hải: Xác định vị trí tàu thuyền trên biển
• Kỹ thuật: Thiết kế cơ khí và xây dựng

Trước khi có máy tính, các nhà khoa học sử dụng bảng logarit – những cuốn sách dày chứa đầy giá trị logarit được tính toán trước. Ngày nay, dù máy tính đã phổ biến, logarit vẫn giữ vai trò không thể thiếu trong toán học hiện đại.

3. Các loại logarit thường gặp

a) Logarit thập phân (log)

Đây là logarit có cơ số 10, thường được sử dụng trong khoa học và kỹ thuật.

Ký hiệu: $\log x = \log_{10} x$

Ví dụ:

• $\log 100 = 2$ (vì $10^2 = 100$)
• $\log 1000 = 3$ (vì $10^3 = 1000$)

b) Logarit tự nhiên (ln)

Là logarit có cơ số $e$ (số Euler), với $e \approx 2.71828…$

Ký hiệu: $\ln x = \log_e x$

Ứng dụng: Rất quan trọng trong giải tích, xác suất thống kê, và các mô hình tăng trưởng tự nhiên.

Ví dụ:

• $\ln e = 1$
• $\ln e^2 = 2$

c) Logarit nhị phân

Là logarit có cơ số 2, thường xuất hiện trong tin học.

Ký hiệu: $\log_2 x$

Ứng dụng: Đo độ phức tạp thuật toán, lý thuyết thông tin.

Ví dụ:

• $\log_2 8 = 3$
• $\log_2 1024 = 10$

d) Logarit cơ số a

Là logarit có cơ số bất kỳ $a$ (với $a > 0, a \neq 1$)

Ký hiệu: $\log_a x$

4. Tại sao phải học logarit?

Logarit không chỉ là một khái niệm toán học trừu tượng mà có vô số ứng dụng thực tế:

Trong toán học:

• Giải các phương trình và bất phương trình mũ
• Tính đạo hàm và tích phân của hàm mũ
• Đơn giản hóa biểu thức phức tạp

Trong khoa học:

• Hóa học: Độ pH của dung dịch ($pH = -\log[H^+]$)
• Vật lý: Thang đo cường độ âm (decibel), thang độ Richter đo động đất
• Sinh học: Mô hình tăng trưởng dân số, phân rã phóng xạ

Trong tin học:

• Phân tích độ phức tạp thuật toán ($O(\log n)$)
• Cấu trúc dữ liệu (cây nhị phân)
• Nén dữ liệu và mã hóa

Trong kinh tế:

• Tính lãi suất kép
• Phân tích tăng trưởng GDP
• Mô hình hóa xu hướng thị trường

Trong đời sống:

• Âm nhạc: Thang âm logarit
• Nhiếp ảnh: Độ phơi sáng
• Tâm lý học: Quy luật Weber-Fechner về cảm giác

5. Cấu trúc bài viết

Bài viết này được thiết kế để giúp bạn nắm vững logarit từ cơ bản đến nâng cao:

1. Định nghĩa và điều kiện – Nền tảng của logarit
2. Tính chất logarit – Các quy tắc biến đổi cơ bản
3. Bảng công thức đầy đủ – Tổng hợp toàn bộ công thức quan trọng
4. Công thức đổi cơ số – Kỹ thuật chuyển đổi linh hoạt
5. Công thức đạo hàm – Dành cho học sinh lớp 12
6. Hàm số logarit – Đồ thị và tính chất
7. Cách tính logarit – Phương pháp tính nhanh và chính xác
8. Bài tập ứng dụng – Từ cơ bản đến nâng cao
9. Mẹo và lưu ý – Tránh sai lầm thường gặp

II. ĐỊNH NGHĨA VÀ ĐIỀU KIỆN

1. Định nghĩa logarit

Định nghĩa chính thức:

Cho hai số dương $a, b$ với $a \neq 1$. Số $\alpha$ được gọi là logarit cơ số $a$ của $b$ nếu:

$$a^\alpha = b$$

Khi đó, ta viết: $\alpha = \log_a b$

Công thức định nghĩa:

$$\log_a b = c \Leftrightarrow a^c = b$$

Công thức này cho thấy mối quan hệ hai chiều giữa logarit và lũy thừa:

• Chiều xuôi: Biết logarit → Tính lũy thừa
• Chiều ngược: Biết lũy thừa → Tìm logarit

Ví dụ minh họa:

1. $\log_2 8 = 3$ vì $2^3 = 8$
2. $\log_{10} 100 = 2$ vì $10^2 = 100$
3. $\log_5 1 = 0$ vì $5^0 = 1$
4. $\log_3 \frac{1}{9} = -2$ vì $3^{-2} = \frac{1}{9}$
5. $\log_4 2 = \frac{1}{2}$ vì $4^{1/2} = \sqrt{4} = 2$

Cách đọc:

• $\log_2 8$ đọc là “logarit cơ số 2 của 8”
• $\log_{10} 100$ đọc là “logarit cơ số 10 của 100”

2. Điều kiện tồn tại

Để biểu thức $\log_a b$ có nghĩa (xác định), cần thỏa mãn đồng thời ba điều kiện:

$$\begin{cases} a > 0 \\ a \neq 1 \\ b > 0 \end{cases}$$

Giải thích từng điều kiện:

Điều kiện 1: $a > 0$ (Cơ số phải dương)

• Không tồn tại logarit với cơ số âm hoặc bằng 0
• Lý do: Lũy thừa với cơ số âm có thể cho kết quả phức tạp (số phức)

Điều kiện 2: $a \neq 1$ (Cơ số khác 1)

• Nếu $a = 1$, thì $1^c = 1$ với mọi $c$
• Không xác định được giá trị duy nhất cho $\log_1 b$

Điều kiện 3: $b > 0$ (Số bị lấy logarit phải dương)

• Không tồn tại số mũ thực nào để $a^c < 0$ hoặc $a^c = 0$
• Đây là điều kiện quan trọng nhất cần nhớ

Các ví dụ không tồn tại:

❌ $\log_2 (-4)$ không xác định vì $b = -4 < 0$

❌ $\log_1 5$ không xác định vì $a = 1$

❌ $\log_{-2} 8$ không xác định vì $a = -2 < 0$

❌ $\log_3 0$ không xác định vì $b = 0$

Lưu ý quan trọng:

Khi giải phương trình, bất phương trình logarit, luôn phải kiểm tra điều kiện trước khi giải. Nhiều học sinh mắc sai lầm khi quên kiểm tra điều kiện này.

3. Các trường hợp đặc biệt

a) Logarit của 1

$$\log_a 1 = 0 \quad (\forall a > 0, a \neq 1)$$

Giải thích: Vì $a^0 = 1$ với mọi $a \neq 0$

Ví dụ:

• $\log_2 1 = 0$
• $\log_{10} 1 = 0$
• $\log_{0.5} 1 = 0$

b) Logarit của chính cơ số

$$\log_a a = 1 \quad (\forall a > 0, a \neq 1)$$

Giải thích: Vì $a^1 = a$

Ví dụ:

• $\log_2 2 = 1$
• $\log_{10} 10 = 1$
• $\ln e = \log_e e = 1$

c) Logarit của lũy thừa cơ số

$$\log_a a^n = n \quad (\forall n \in \mathbb{R})$$

Giải thích: Vì $a^n = a^n$ (hiển nhiên)

Ví dụ:

• $\log_2 2^5 = 5$
• $\log_3 3^{-2} = -2$
• $\log_{10} 10^\pi = \pi$
• $\ln e^7 = 7$

d) Lũy thừa của cơ số với mũ logarit

$$a^{\log_a b} = b$$

Đây là một đẳng thức rất quan trọng, thể hiện tính chất “ngược” giữa lũy thừa và logarit.

Ví dụ:

• $2^{\log_2 7} = 7$
• $10^{\log_{10} 50} = 50$
• $e^{\ln 100} = 100$

Ứng dụng: Công thức này thường dùng để đơn giản hóa biểu thức phức tạp.

4. Mối quan hệ giữa logarit và lũy thừa

Logarit và lũy thừa là hai phép toán ngược nhau, giống như cộng với trừ, nhân với chia.

Phép toán	Biểu thức	Ý nghĩa	Câu hỏi
Lũy thừa	$2^3 = 8$	2 lũy thừa 3 bằng 8	Biết cơ số và mũ, tìm kết quả
Logarit	$\log_2 8 = 3$	logarit cơ số 2 của 8 bằng 3	Biết cơ số và kết quả, tìm mũ

So sánh cụ thể:

Lũy thừa:

• Đầu vào: Cơ số $a$ và số mũ $n$
• Đầu ra: Giá trị $a^n$
• Ví dụ: $3^4 = 81$

Logarit:

• Đầu vào: Cơ số $a$ và giá trị $b$
• Đầu ra: Số mũ $n$ sao cho $a^n = b$
• Ví dụ: $\log_3 81 = 4$

Minh họa bằng sơ đồ:

Lũy thừa:  CƠ SỐ + SỐ MŨ  →  KẾT QUẢ
            2    +    3    →    8

Logarit:   CƠ SỐ + KẾT QUẢ →  SỐ MŨ
            2    +    8    →    3

III. TÍNH CHẤT LOGARIT

1. Tính chất cơ bản

Tính chất 1: Logarit của tích

$$\log_a (xy) = \log_a x + \log_a y$$

Điều kiện: $x > 0, y > 0$

Ý nghĩa: Logarit của một tích bằng tổng các logarit.

Ví dụ:

• $\log_2 (8 \cdot 4) = \log_2 8 + \log_2 4 = 3 + 2 = 5$
• $\log_{10} (100 \cdot 1000) = \log_{10} 100 + \log_{10} 1000 = 2 + 3 = 5$
• $\ln (2 \cdot 7) = \ln 2 + \ln 7$

Chứng minh:

Đặt $\log_a x = m$ và $\log_a y = n$

Theo định nghĩa:

• $a^m = x$
• $a^n = y$

Do đó: $$xy = a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$

Suy ra: $$\log_a (xy) = m + n = \log_a x + \log_a y$$

Mở rộng: Tính chất này có thể mở rộng cho nhiều thừa số:

$$\log_a (x_1 \cdot x_2 \cdot … \cdot x_n) = \log_a x_1 + \log_a x_2 + … + \log_a x_n$$

Tính chất 2: Logarit của thương

$$\log_a \frac{x}{y} = \log_a x – \log_a y$$

Điều kiện: $x > 0, y > 0$

Ý nghĩa: Logarit của một thương bằng hiệu các logarit.

Ví dụ:

• $\log_2 \frac{16}{4} = \log_2 16 – \log_2 4 = 4 – 2 = 2$
• $\log_{10} \frac{1000}{10} = \log_{10} 1000 – \log_{10} 10 = 3 – 1 = 2$
• $\log_5 \frac{125}{25} = \log_5 125 – \log_5 25 = 3 – 2 = 1$

Chứng minh: Tương tự như tính chất 1.

Tính chất 3: Logarit của lũy thừa

$$\log_a x^n = n \cdot \log_a x$$

Điều kiện: $x > 0, n \in \mathbb{R}$

Ý nghĩa: Logarit của một lũy thừa bằng số mũ nhân với logarit của cơ số.

Ví dụ:

• $\log_2 8^3 = 3 \cdot \log_2 8 = 3 \cdot 3 = 9$
• $\log_{10} \sqrt{100} = \log_{10} 100^{1/2} = \frac{1}{2} \log_{10} 100 = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1$
• $\log_3 \frac{1}{81} = \log_3 81^{-1} = -\log_3 81 = -4$
• $\log_5 25^{3/2} = \frac{3}{2}\log_5 25 = \frac{3}{2} \cdot 2 = 3$

Ứng dụng đặc biệt:

Với $n = -1$: $\log_a \frac{1}{x} = \log_a x^{-1} = -\log_a x$

Ví dụ: $\log_2 \frac{1}{8} = -\log_2 8 = -3$

Tính chất 4: Logarit của căn thức

$$\log_a \sqrt[n]{x} = \log_a x^{1/n} = \frac{1}{n} \log_a x$$

Điều kiện: $x > 0, n \neq 0$

Ví dụ:

• $\log_2 \sqrt{8} = \frac{1}{2} \log_2 8 = \frac{3}{2}$
• $\log_{10} \sqrt[3]{1000} = \frac{1}{3} \log_{10} 1000 = \frac{3}{3} = 1$
• $\log_5 \sqrt[4]{625} = \frac{1}{4}\log_5 625 = \frac{1}{4} \cdot 4 = 1$

2. Tính chất so sánh

Với cơ số $a > 1$ (Hàm đồng biến):

$$\log_a x < \log_a y \Leftrightarrow x < y$$

Hàm logarit cơ số lớn hơn 1 là hàm đồng biến trên $(0, +\infty)$.

Ví dụ:

• $\log_2 5 < \log_2 10$ vì $5 < 10$
• $\log_{10} 50 < \log_{10} 100$ vì $50 < 100$

Quy tắc nhớ: Cơ số > 1 → Chiều so sánh giữ nguyên

Với cơ số $0 < a < 1$ (Hàm nghịch biến):

$$\log_a x < \log_a y \Leftrightarrow x > y$$

Hàm logarit cơ số nhỏ hơn 1 là hàm nghịch biến trên $(0, +\infty)$.

Ví dụ:

• $\log_{0.5} 8 < \log_{0.5} 4$ vì $8 > 4$
• $\log_{1/3} 27 < \log_{1/3} 9$ vì $27 > 9$

Quy tắc nhớ: Cơ số < 1 → Chiều so sánh đổi chiều

Lưu ý quan trọng:

Tính chất này rất quan trọng khi giải bất phương trình logarit. Nhiều học sinh hay quên đổi chiều bất phương trình khi cơ số nhỏ hơn 1.

3. Bảng tóm tắt tính chất

Tính chất	Công thức	Điều kiện
Log của 1	$\log_a 1 = 0$	$a > 0, a \neq 1$
Log của cơ số	$\log_a a = 1$	$a > 0, a \neq 1$
Log của lũy thừa cơ số	$\log_a a^n = n$	$a > 0, a \neq 1, n \in \mathbb{R}$
Lũy thừa cơ số với mũ log	$a^{\log_a b} = b$	$a > 0, a \neq 1, b > 0$
Log của tích	$\log_a (xy) = \log_a x + \log_a y$	$x, y > 0$
Log của thương	$\log_a \frac{x}{y} = \log_a x – \log_a y$	$x, y > 0$
Log của lũy thừa	$\log_a x^n = n\log_a x$	$x > 0, n \in \mathbb{R}$
Log của căn	$\log_a \sqrt[n]{x} = \frac{1}{n}\log_a x$	$x > 0, n \neq 0$
So sánh ($a > 1$)	$\log_a x < \log_a y \Leftrightarrow x < y$	$x, y > 0$
So sánh ($0 < a < 1$)	$\log_a x < \log_a y \Leftrightarrow x > y$	$x, y > 0$

IV. BẢNG CÔNG THỨC LOGARIT ĐẦY ĐỦ

1. Công thức logarit cơ bản

Công thức	Công thức
1. $\log_a 1 = 0$	8. $\log_a N^2 = 2\log_a |N|$
2. $\log_a a = 1$	9. $\log_a N = \log_a b \cdot \log_b N$
3. $\log_a a^m = m$	10. $\log_a N = \frac{\log_b N}{\log_b a}$
4. $a^{\log_a n} = n$	11. $\log_a b = \frac{1}{\log_b a}$
5. $\log_a(n_1 \cdot n_2) = \log_a n_1 + \log_a n_2$	12. $\log_{a^{\alpha}} N = \frac{1}{\alpha} \log_a N$
6. $\log_a \left(\frac{n_1}{n_2}\right) = \log_a n_1 – \log_a n_2$	13. $a^{\log_b c} = c^{\log_b a}$
7. $\log_a N^{\alpha} = \alpha \cdot \log_a N$	14. $\log_a x = \frac{\log_b x}{\log_b a}$

Ví dụ ứng dụng tổng hợp:

Bài toán: Tính $A = \log_4 1 + \log_4 4 + \log_4 16 + 2^{\log_2 5}$

Giải:

• $\log_4 1 = 0$
• $\log_4 4 = 1$
• $\log_4 16 = \log_4 4^2 = 2$
• $2^{\log_2 5} = 5$

Vậy $A = 0 + 1 + 2 + 5 = 8$

2. Công thức logarit và lũy thừa (số mủ)

$(a)^0 = 1; (a \neq 0)$	$(a)^{\alpha} \cdot (b)^{\alpha} = (ab)^{\alpha}$
$(a)^1 = a$	$\frac{(a)^{\alpha}}{(b)^{\alpha}} = \left(\frac{a}{b}\right)^{\alpha}; (b \neq 0)$
$(a)^{-\alpha} = \frac{1}{a^{\alpha}}$	$(a)^{\frac{\alpha}{\beta}} = \sqrt[\beta]{(a)^{\alpha}} (\beta \in \mathbb{N}^*)$
$(a)^{\alpha} \cdot (a)^{\beta} = (a)^{\alpha+\beta}$	$(a)^{\alpha} = b \Rightarrow \alpha = \log_a b$
$\frac{(a)^{\alpha}}{(a)^{\beta}} = (a)^{\alpha-\beta}$	$(a^{\alpha})^{\beta} = a^{\alpha \beta}$

a) Logarit của lũy thừa:

$$\log_a x^n = n \log_a x$$

Ví dụ:

• $\log_2 16 = \log_2 2^4 = 4$
• $\log_3 81 = \log_3 3^4 = 4$

b) Logarit với cơ số lũy thừa:

$$\log_{a^n} x = \frac{1}{n} \log_a x$$

Ví dụ:

• $\log_4 16 = \log_{2^2} 2^4 = \frac{4}{2} = 2$
• $\log_9 3 = \log_{3^2} 3 = \frac{1}{2}$

c) Logarit của lũy thừa với cơ số lũy thừa:

$$\log_{a^m} x^n = \frac{n}{m} \log_a x$$

Ví dụ:

• $\log_{4} 8 = \log_{2^2} 2^3 = \frac{3}{2}$
• $\log_{9} 27 = \log_{3^2} 3^3 = \frac{3}{2}$
• $\log_{8} 4 = \log_{2^3} 2^2 = \frac{2}{3}$

Bài tập vận dụng:

Bài 1: Tính $\log_{25} 125$

Giải: $$\log_{25} 125 = \log_{5^2} 5^3 = \frac{3}{2}$$

Bài 2: Tính $\log_{0.04} 0.2$

Giải: $$\log_{0.04} 0.2 = \log_{(0.2)^2} 0.2 = \frac{1}{2}$$

3. Công thức logarit và các phép toán

Phép cộng:

$$\log_a x + \log_a y = \log_a (xy)$$

Ví dụ:

• $\log_2 3 + \log_2 5 = \log_2 15$
• $\log 4 + \log 25 = \log 100 = 2$

Phép trừ:

$$\log_a x – \log_a y = \log_a \frac{x}{y}$$

Ví dụ:

• $\log_3 45 – \log_3 5 = \log_3 9 = 2$
• $\log 1000 – \log 10 = \log 100 = 2$

Phép nhân với số:

$$n \log_a x = \log_a x^n$$

Ví dụ:

• $3\log_2 4 = \log_2 4^3 = \log_2 64 = 6$
• $2\log 5 = \log 25$

Công thức kết hợp:

$$m\log_a x + n\log_a y = \log_a (x^m y^n)$$

Ví dụ:

• $2\log_2 3 + \log_2 5 = \log_2 (3^2 \cdot 5) = \log_2 45$
• $3\log_2 4 – 2\log_2 8 = \log_2 4^3 – \log_2 8^2 = \log_2 \frac{64}{64} = 0$
• $2\log_3 5 + \log_3 9 = \log_3 (25 \cdot 9) = \log_3 225$

Bài tập nâng cao:

Bài: Rút gọn $A = 3\log_2 4 + 2\log_2 3 – \log_2 6 – \log_2 8$

Giải: $$A = \log_2 4^3 + \log_2 3^2 – \log_2 6 – \log_2 8$$ $$= \log_2 64 + \log_2 9 – \log_2 6 – \log_2 8$$ $$= \log_2 \frac{64 \cdot 9}{6 \cdot 8} = \log_2 \frac{576}{48} = \log_2 12$$

4. Công thức đổi cơ số logarit

Công thức tổng quát:

$$\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$$

Trong đó $c$ là cơ số mới bất kỳ (với $c > 0, c \neq 1$).

Ý nghĩa: Công thức này cho phép chuyển đổi logarit từ cơ số này sang cơ số khác, rất hữu ích khi tính toán bằng máy tính.

Các trường hợp đặc biệt:

a) Đổi sang cơ số 10:

$$\log_a b = \frac{\log b}{\log a} = \frac{\lg b}{\lg a}$$

Ví dụ: Tính $\log_3 10$

$$\log_3 10 = \frac{\log 10}{\log 3} = \frac{1}{0.477} \approx 2.096$$

b) Đổi sang logarit tự nhiên:

$$\log_a b = \frac{\ln b}{\ln a}$$

Ví dụ: Tính $\log_5 20$

$$\log_5 20 = \frac{\ln 20}{\ln 5} = \frac{2.996}{1.609} \approx 1.861$$

c) Đổi sang cơ số b:

$$\log_a b = \frac{1}{\log_b a}$$

Ví dụ:

• $\log_2 8 = \frac{1}{\log_8 2} = \frac{1}{1/3} = 3$
• $\log_3 9 = \frac{1}{\log_9 3} = \frac{1}{1/2} = 2$

Hệ quả quan trọng:

$$\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c$$

Chứng minh: $$\log_a b \cdot \log_b c = \frac{\log c}{\log a} \cdot \frac{\log c}{\log b} \cdot \frac{\log b}{\log c} = \frac{\log c}{\log a} = \log_a c$$

Ví dụ ứng dụng:

Ví dụ 1: Tính $\log_2 10$ bằng máy tính (máy chỉ có log cơ số 10)

$$\log_2 10 = \frac{\log 10}{\log 2} = \frac{1}{0.301} \approx 3.32$$

Ví dụ 2: Chứng minh $\log_2 3 \cdot \log_3 4 \cdot \log_4 5 \cdot \log_5 16 = 4$

$$\log_2 3 \cdot \log_3 4 \cdot \log_4 5 \cdot \log_5 16 = \log_2 16 = 4$$

Ví dụ 3: Tính $\log_4 5 \cdot \log_5 6 \cdot \log_6 7 \cdot \log_7 8$

$$\log_4 5 \cdot \log_5 6 \cdot \log_6 7 \cdot \log_7 8 = \log_4 8 = \log_{2^2} 2^3 = \frac{3}{2}$$

5. Bảng công thức logarit đặc biệt

Logarit thập phân (log cơ số 10):

Biểu thức	Giá trị	Giải thích
$\log 1$	$0$	$10^0 = 1$
$\log 10$	$1$	$10^1 = 10$
$\log 100$	$2$	$10^2 = 100$
$\log 1000$	$3$	$10^3 = 1000$
$\log 10000$	$4$	$10^4 = 10000$
$\log 0.1$	$-1$	$10^{-1} = 0.1$
$\log 0.01$	$-2$	$10^{-2} = 0.01$
$\log 0.001$	$-3$	$10^{-3} = 0.001$

Quy luật: $\log 10^n = n$ với mọi $n \in \mathbb{R}$

Logarit tự nhiên (ln cơ số e):

Biểu thức	Giá trị	Giải thích
$\ln 1$	$0$	$e^0 = 1$
$\ln e$	$1$	$e^1 = e$
$\ln e^2$	$2$	$e^2 = e^2$
$\ln e^3$	$3$	$e^3 = e^3$
$\ln \frac{1}{e}$	$-1$	$e^{-1} = \frac{1}{e}$
$\ln \sqrt{e}$	$\frac{1}{2}$	$e^{1/2} = \sqrt{e}$

Quy luật: $\ln e^n = n$ với mọi $n \in \mathbb{R}$

Quan hệ giữa log và ln:

$$\ln x = \log_e x = \frac{\log x}{\log e} \approx 2.303 \log x$$

$$\log x = \frac{\ln x}{\ln 10} \approx 0.434 \ln x$$

Ví dụ:

• $\ln 10 = \frac{\log 10}{\log e} = \frac{1}{0.434} \approx 2.303$
• $\log e = \frac{\ln e}{\ln 10} = \frac{1}{2.303} \approx 0.434$

V. CÔNG THỨC ĐẠO HÀM LOGARIT

1. Đạo hàm logarit hàm cơ bản

a) Đạo hàm của $\ln x$:

$$(\ln x)’ = \frac{1}{x} \quad (x > 0)$$

Đây là công thức đạo hàm logarit cơ bản nhất và quan trọng nhất.

Ví dụ:

• $(\ln 5x)’ = \frac{1}{5x} \cdot 5 = \frac{1}{x}$
• $(\ln x^2)’ = \frac{1}{x^2} \cdot 2x = \frac{2}{x}$

b) Đạo hàm của $\log_a x$:

$$(\log_a x)’ = \frac{1}{x \ln a} \quad (x > 0, a > 0, a \neq 1)$$

Chứng minh: $$\log_a x = \frac{\ln x}{\ln a}$$ $$(\log_a x)’ = \frac{1}{\ln a} \cdot (\ln x)’ = \frac{1}{\ln a} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{x\ln a}$$

Ví dụ:

• $(\log_2 x)’ = \frac{1}{x \ln 2}$
• $(\log_5 x)’ = \frac{1}{x \ln 5}$

c) Đạo hàm của $\log x$ (log₁₀ x):

$$(\log x)’ = \frac{1}{x \ln 10} \approx \frac{0.434}{x}$$

Ví dụ:

• $(\log 3x)’ = \frac{1}{3x \ln 10} \cdot 3 = \frac{1}{x \ln 10}$

2. Đạo hàm logarit hàm hợp

Công thức tổng quát:

$$[\ln u(x)]’ = \frac{u'(x)}{u(x)}$$

$$[\log_a u(x)]’ = \frac{u'(x)}{u(x) \ln a}$$

Quy tắc: Đạo hàm logarit của hàm hợp = Đạo hàm của hàm trong / Hàm trong

Ví dụ chi tiết:

Ví dụ 1: Tính đạo hàm $y = \ln(x^2 + 1)$

Giải:

• Hàm trong: $u = x^2 + 1$
• Đạo hàm hàm trong: $u’ = 2x$

$$y’ = \frac{u’}{u} = \frac{2x}{x^2+1}$$

Ví dụ 2: Tính đạo hàm $y = \log_2(3x – 5)$

Giải:

• Hàm trong: $u = 3x – 5$
• Đạo hàm hàm trong: $u’ = 3$

$$y’ = \frac{u’}{u \ln 2} = \frac{3}{(3x-5)\ln 2}$$

Ví dụ 3: Tính đạo hàm $y = \ln|\sin x|$

Giải:

• Hàm trong: $u = \sin x$
• Đạo hàm hàm trong: $u’ = \cos x$

$$y’ = \frac{\cos x}{\sin x} = \cot x$$

Ví dụ 4: Tính đạo hàm $y = \ln(x^2 + 2x + 5)$

Giải: $$y’ = \frac{2x + 2}{x^2 + 2x + 5}$$

Ví dụ 5: Tính đạo hàm $y = \log_3(x^3 – 1)$

Giải: $$y’ = \frac{3x^2}{(x^3 – 1)\ln 3}$$

3. Quy tắc đạo hàm logarit (Lớp 12)

Quy tắc 1: Đạo hàm logarit của lũy thừa

$$[\ln x^n]’ = \frac{n}{x}$$

Chứng minh: $$[\ln x^n]’ = [n\ln x]’ = n \cdot \frac{1}{x} = \frac{n}{x}$$

Ví dụ:

• $[\ln x^3]’ = \frac{3}{x}$
• $[\ln \sqrt{x}]’ = [\ln x^{1/2}]’ = \frac{1}{2x}$

Quy tắc 2: Đạo hàm logarit của tích

$$[\ln(uv)]’ = \frac{u’}{u} + \frac{v’}{v}$$

Chứng minh: $$[\ln(uv)]’ = [\ln u + \ln v]’ = (\ln u)’ + (\ln v)’ = \frac{u’}{u} + \frac{v’}{v}$$

Ví dụ: Tính đạo hàm $y = \ln(x \sin x)$

$$y’ = \frac{1}{x} + \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{1}{x} + \cot x$$

Quy tắc 3: Đạo hàm logarit của thương

$$\left[\ln\frac{u}{v}\right]’ = \frac{u’}{u} – \frac{v’}{v}$$

Chứng minh: $$\left[\ln\frac{u}{v}\right]’ = [\ln u – \ln v]’ = \frac{u’}{u} – \frac{v’}{v}$$

Ví dụ: Tính đạo hàm $y = \ln\frac{x}{\cos x}$

$$y’ = \frac{1}{x} – \frac{-\sin x}{\cos x} = \frac{1}{x} + \tan x$$

4. Đạo hàm các hàm đặc biệt chứa logarit

Hàm số	Đạo hàm	Chứng minh
$x \ln x$	$\ln x + 1$	$(x \ln x)’ = \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1$
$\frac{\ln x}{x}$	$\frac{1 – \ln x}{x^2}$	$\left(\frac{\ln x}{x}\right)’ = \frac{\frac{1}{x} \cdot x – \ln x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 – \ln x}{x^2}$
$\ln(\ln x)$	$\frac{1}{x \ln x}$	$[\ln(\ln x)]’ = \frac{1}{\ln x} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{x\ln x}$
$e^{\ln x} = x$	$1$	Vì $e^{\ln x} = x$ nên đạo hàm bằng 1
$\ln(e^x) = x$	$1$	Vì $\ln(e^x) = x$ nên đạo hàm bằng 1
$x^x$	$x^x(1 + \ln x)$	Đặt $y = x^x = e^{x\ln x}$

Ví dụ nâng cao: Tính đạo hàm $y = x^x$

Giải:

Đặt $y = x^x$, lấy logarit hai vế: $$\ln y = \ln(x^x) = x \ln x$$

Đạo hàm hai vế: $$\frac{y’}{y} = \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1$$

$$y’ = y(\ln x + 1) = x^x(1 + \ln x)$$

VI. HÀM SỐ LOGARIT

1. Định nghĩa hàm số logarit

Hàm số logarit cơ số $a$ (với $a > 0, a \neq 1$) là hàm số:

$$y = \log_a x$$

Các đặc điểm:

• Tập xác định: $D = (0, +\infty)$
• Tập giá trị: $T = \mathbb{R}$
• Điểm đặc biệt: Đồ thị luôn đi qua các điểm $(1, 0)$ và $(a, 1)$

Lưu ý: Hàm logarit chỉ xác định với $x > 0$, không tồn tại logarit của số âm hoặc số 0.

2. Tính chất hàm số logarit

Khi $a > 1$ (Hàm đồng biến):

• Hàm số đồng biến trên $(0, +\infty)$
• Nếu $x_1 < x_2$ thì $\log_a x_1 < \log_a x_2$
• $\lim_{x \to 0^+} \log_a x = -\infty$ (tiến về âm vô cực khi x gần 0)
• $\lim_{x \to +\infty} \log_a x = +\infty$ (tiến về dương vô cực khi x lớn)
• Đồ thị qua điểm $(1, 0)$ và $(a, 1)$
• Đồ thị nằm phía trên trục hoành khi $x > 1$, phía dưới trục hoành khi $0 < x < 1$

Ví dụ: $y = \log_2 x, y = \log_{10} x, y = \ln x$

Khi $0 < a < 1$ (Hàm nghịch biến):

• Hàm số nghịch biến trên $(0, +\infty)$
• Nếu $x_1 < x_2$ thì $\log_a x_1 > \log_a x_2$
• $\lim_{x \to 0^+} \log_a x = +\infty$ (tiến về dương vô cực khi x gần 0)
• $\lim_{x \to +\infty} \log_a x = -\infty$ (tiến về âm vô cực khi x lớn)
• Đồ thị qua điểm $(1, 0)$ và $(a, 1)$
• Đồ thị nằm phía dưới trục hoành khi $x > 1$, phía trên trục hoành khi $0 < x < 1$

Ví dụ: $y = \log_{0.5} x, y = \log_{1/3} x$

Bảng so sánh:

Tính chất	$a > 1$	$0 < a < 1$
Tính biến thiên	Đồng biến	Nghịch biến
$\lim_{x \to 0^+}$	$-\infty$	$+\infty$
$\lim_{x \to +\infty}$	$+\infty$	$-\infty$
Dấu khi $x > 1$	Dương	Âm
Dấu khi $0 < x < 1$	Âm	Dương

3. Đồ thị hàm số logarit

Đặc điểm chung của đồ thị:

1. Tiệm cận đứng: Trục $Oy$ (đường thẳng $x = 0$) là tiệm cận đứng
   • Đồ thị không bao giờ cắt hoặc chạm trục $Oy$
2. Giao điểm với trục hoành: Điểm $(1, 0)$
   • Đồ thị luôn cắt trục $Ox$ tại điểm $(1, 0)$ vì $\log_a 1 = 0$
3. Điểm đặc biệt khác: Điểm $(a, 1)$
   • Đồ thị luôn đi qua điểm $(a, 1)$ vì $\log_a a = 1$
4. Miền giá trị: Đồ thị nằm hoàn toàn bên phải trục $Oy$ (vì $x > 0$)

Quan hệ đối xứng:

Đồ thị $y = \log_a x$ và $y = a^x$ đối xứng nhau qua đường thẳng $y = x$

Ví dụ:

• Đồ thị $y = \log_2 x$ và $y = 2^x$ đối xứng qua $y = x$
• Đồ thị $y = \ln x$ và $y = e^x$ đối xứng qua $y = x$

Hình minh họa:

Với $a > 1$: Đồ thị đi lên từ trái sang phải

• Khi $x$ gần 0: $y$ tiến tới $-\infty$
• Khi $x = 1$: $y = 0$
• Khi $x$ lớn: $y$ tăng chậm tiến tới $+\infty$

Với $0 < a < 1$: Đồ thị đi xuống từ trái sang phải

• Khi $x$ gần 0: $y$ tiến tới $+\infty$
• Khi $x = 1$: $y = 0$
• Khi $x$ lớn: $y$ giảm chậm tiến tới $-\infty$

4. So sánh các hàm logarit

Cho $0 < a < b$ và $x > 1$, ta có:

$$\log_a x > \log_b x$$

Quy luật: Với $x > 1$, cơ số nhỏ hơn → logarit lớn hơn

Ví dụ: Với $x = 10$: $$\log_2 10 > \log_3 10 > \log_5 10 > \log_{10} 10 = 1$$

Giải thích:

• $\log_2 10 \approx 3.32$
• $\log_3 10 \approx 2.10$
• $\log_5 10 \approx 1.43$
• $\log_{10} 10 = 1$

Ngược lại: Với $0 < x < 1$, cơ số nhỏ hơn → logarit nhỏ hơn

Ví dụ: Với $x = 0.5$: $$\log_2 0.5 = -1 < \log_3 0.5 \approx -0.631 < \log_{10} 0.5 \approx -0.301$$

5. Phương trình và bất phương trình logarit cơ bản

Phương trình:

$$\log_a x = b \Leftrightarrow x = a^b$$

Điều kiện: $x > 0$

Ví dụ:

• $\log_2 x = 5 \Leftrightarrow x = 2^5 = 32$
• $\log_3 x = -2 \Leftrightarrow x = 3^{-2} = \frac{1}{9}$
• $\ln x = 2 \Leftrightarrow x = e^2 \approx 7.39$

Bất phương trình (với $a > 1$):

$$\log_a x > \log_a y \Leftrightarrow x > y$$

$$\log_a x < b \Leftrightarrow 0 < x < a^b$$

Ví dụ:

• $\log_2 x > 3 \Leftrightarrow x > 8$
• $\log_3 x < 2 \Leftrightarrow 0 < x < 9$

Bất phương trình (với $0 < a < 1$):

$$\log_a x > \log_a y \Leftrightarrow x < y$$

$$\log_a x < b \Leftrightarrow x > a^b$$

Ví dụ:

• $\log_{0.5} x > -2 \Leftrightarrow 0 < x < 4$
• $\log_{1/3} x < 1 \Leftrightarrow x > \frac{1}{3}$

Lưu ý: Khi cơ số nhỏ hơn 1, chiều bất phương trình đổi chiều.

VII. CÁCH TÍNH LOGARIT

1. Cách tính logarit nhanh (Cơ bản)

Phương pháp 1: Nhận dạng lũy thừa trực tiếp

Đây là phương pháp nhanh nhất khi ta nhận ra $b$ là lũy thừa của $a$.

Nguyên tắc: Nếu nhận ra $b = a^n$, thì $\log_a b = n$

Các ví dụ cơ bản:

Ví dụ 1: Tính $\log_2 32$

• Nhận thấy: $32 = 2^5$
• Đáp án: $\log_2 32 = 5$

Ví dụ 2: Tính $\log_5 125$

• Nhận thấy: $125 = 5^3$
• Đáp án: $\log_5 125 = 3$

Ví dụ 3: Tính $\log_{10} 0.001$

• Nhận thấy: $0.001 = \frac{1}{1000} = \frac{1}{10^3} = 10^{-3}$
• Đáp án: $\log_{10} 0.001 = -3$

Ví dụ 4: Tính $\log_3 \sqrt{27}$

• Nhận thấy: $\sqrt{27} = 27^{1/2} = (3^3)^{1/2} = 3^{3/2}$
• Đáp án: $\log_3 \sqrt{27} = \frac{3}{2}$

Ví dụ 5: Tính $\log_4 0.25$

• Nhận thấy: $0.25 = \frac{1}{4} = 4^{-1}$
• Đáp án: $\log_4 0.25 = -1$

Bảng giá trị thường gặp:

$\log_2 x$	$x$	$\log_3 x$	$x$	$\log_{10} x$	$x$
0	1	0	1	0	1
1	2	1	3	1	10
2	4	2	9	2	100
3	8	3	27	3	1000
4	16	4	81	-1	0.1
5	32	-1	1/3	-2	0.01
-1	1/2	-2	1/9	-3	0.001

Phương pháp 2: Sử dụng tính chất logarit

Bước 1: Phân tích biểu thức thành tích, thương, lũy thừa Bước 2: Áp dụng công thức logarit phù hợp Bước 3: Tính toán và rút gọn

Ví dụ 1: Tính $\log_2 64 – \log_2 8$

Giải: $$\log_2 64 – \log_2 8 = \log_2 \frac{64}{8} = \log_2 8 = 3$$

Ví dụ 2: Tính $2\log_3 6 – \log_3 4$

Giải: $$2\log_3 6 – \log_3 4 = \log_3 6^2 – \log_3 4 = \log_3 \frac{36}{4} = \log_3 9 = 2$$

Ví dụ 3: Tính $\log_5 2 + \log_5 12.5$

Giải: $$\log_5 2 + \log_5 12.5 = \log_5 (2 \times 12.5) = \log_5 25 = 2$$

Ví dụ 4: Tính $\log_2 48 – \log_2 3$

Giải: $$\log_2 48 – \log_2 3 = \log_2 \frac{48}{3} = \log_2 16 = 4$$

Phương pháp 3: Đổi cơ số về cơ số quen thuộc

Khi gặp cơ số “khó”, ta đổi về cơ số “dễ” hơn bằng công thức đổi cơ số.

Công thức: $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$

Ví dụ 1: Tính $\log_4 8$

Cách 1: Đổi về cơ số 2 $$\log_4 8 = \frac{\log_2 8}{\log_2 4} = \frac{3}{2}$$

Cách 2: Sử dụng công thức lũy thừa $$\log_4 8 = \log_{2^2} 2^3 = \frac{3}{2}$$

Ví dụ 2: Tính $\log_9 27$

Giải: $$\log_9 27 = \frac{\log_3 27}{\log_3 9} = \frac{3}{2}$$

Ví dụ 3: Tính $\log_8 4$

Giải: $$\log_8 4 = \frac{\log_2 4}{\log_2 8} = \frac{2}{3}$$

Hoặc: $\log_8 4 = \log_{2^3} 2^2 = \frac{2}{3}$

2. Cách tính logarit nâng cao

Phương pháp 1: Sử dụng bảng logarit (Trước máy tính)

Trước khi có máy tính điện tử, các nhà khoa học sử dụng bảng logarit – những cuốn sách chứa giá trị $\log_{10} x$ với $x$ từ 1.00 đến 9.99.

Nguyên lý hoạt động:

Mọi số dương đều có thể viết dưới dạng: $N = M \times 10^k$ (với $1 \leq M < 10$)

Do đó: $\log N = \log M + k$

Cách sử dụng:

Bước 1: Viết số dưới dạng $M \times 10^k$ Bước 2: Tra giá trị $\log M$ trong bảng Bước 3: Cộng thêm $k$

Ví dụ: Tính $\log 234$

Giải:

• $234 = 2.34 \times 10^2$
• $\log 234 = \log 2.34 + 2$
• Tra bảng: $\log 2.34 \approx 0.369$
• $\log 234 = 0.369 + 2 = 2.369$

Ví dụ 2: Tính $\log 0.0056$

Giải:

• $0.0056 = 5.6 \times 10^{-3}$
• $\log 0.0056 = \log 5.6 + (-3)$
• Tra bảng: $\log 5.6 \approx 0.748$
• $\log 0.0056 = 0.748 – 3 = -2.252$

Lưu ý: Ngày nay, bảng logarit ít được sử dụng do máy tính phổ biến, nhưng hiểu nguyên lý này giúp nắm vững bản chất của logarit.

Phương pháp 2: Sử dụng máy tính

Trên máy tính Casio fx-580VN X hoặc Vinacal:

a) Tính $\log x$ (cơ số 10):

• Bấm: log → nhập $x$ → =
• Ví dụ: Tính $\log 50$
  • Bấm: log 5 0 =
  • Kết quả: $\approx 1.699$

b) Tính $\ln x$ (cơ số e):

• Bấm: ln → nhập $x$ → =
• Ví dụ: Tính $\ln 20$
  • Bấm: ln 2 0 =
  • Kết quả: $\approx 2.996$

c) Tính $\log_a b$ (cơ số $a$ bất kỳ):

Cách 1: Sử dụng công thức $\log_a b = \frac{\log b}{\log a}$

• Bấm: log $b$ ÷ log $a$ =

Cách 2: Sử dụng công thức $\log_a b = \frac{\ln b}{\ln a}$

• Bấm: ln $b$ ÷ ln $a$ =

Ví dụ: Tính $\log_3 50$

Giải:

• Bấm: ln 5 0 ÷ ln 3 =
• Kết quả: $\approx 3.561$

Ví dụ 2: Tính $\log_7 100$

Giải:

• Bấm: log 1 0 0 ÷ log 7 =
• Kết quả: $\approx 2.368$

Lưu ý quan trọng:

• Luôn kiểm tra máy tính ở chế độ RAD hay DEG khi tính logarit có chứa hàm lượng giác
• Làm tròn kết quả theo yêu cầu đề bài (thường 2-3 chữ số thập phân)

Phương pháp 3: Ước lượng và xấp xỉ

Khi không có máy tính, ta có thể ước lượng giá trị logarit.

Nguyên tắc: Tìm hai lũy thừa liên tiếp của cơ số bao quanh số cần tính

Các bước thực hiện:

Bước 1: Tìm $n$ sao cho $a^n < b < a^{n+1}$ Bước 2: Suy ra $n < \log_a b < n+1$ Bước 3: Ước lượng chính xác hơn nếu cần

Ví dụ 1: Ước lượng $\log_2 50$

Giải:

• $2^5 = 32 < 50 < 64 = 2^6$
• Vậy $5 < \log_2 50 < 6$
• Vì $50$ gần $64$ hơn $32$, nên $\log_2 50 \approx 5.6$
• Máy tính: $\log_2 50 \approx 5.644$ ✓

Ví dụ 2: Ước lượng $\log_3 100$

Giải:

• $3^4 = 81 < 100 < 243 = 3^5$
• Vậy $4 < \log_3 100 < 5$
• Vì $100$ gần $81$ hơn, nên $\log_3 100 \approx 4.2$
• Máy tính: $\log_3 100 \approx 4.192$ ✓

Ví dụ 3: Ước lượng $\log_{10} 7000$

Giải:

• $10^3 = 1000 < 7000 < 10000 = 10^4$
• Vậy $3 < \log_{10} 7000 < 4$
• $7000 = 7 \times 1000$, nên $\log 7000 = \log 7 + 3$
• $\log 7 \approx 0.845$, nên $\log 7000 \approx 3.845$
• Máy tính: $\log 7000 \approx 3.845$ ✓

Bảng ước lượng nhanh:

Khoảng	Giá trị $\log_2$	Khoảng	Giá trị $\log_{10}$
$1-2$	$0-1$	$1-10$	$0-1$
$2-4$	$1-2$	$10-100$	$1-2$
$4-8$	$2-3$	$100-1000$	$2-3$
$8-16$	$3-4$	$1000-10000$	$3-4$
$16-32$	$4-5$	$10000-100000$	$4-5$

Phương pháp 4: Biến đổi biểu thức phức tạp

Đối với biểu thức logarit phức tạp, cần vận dụng linh hoạt các công thức.

Ví dụ 1: Tính $A = \log_2 6 + \log_2 12 – 2\log_2 3$

Giải: $$A = \log_2(6 \cdot 12) – \log_2 3^2$$ $$= \log_2 72 – \log_2 9$$ $$= \log_2 \frac{72}{9} = \log_2 8 = 3$$

Ví dụ 2: Tính $B = \log_3 54 – \log_3 2 – \log_3 9$

Giải: $$B = \log_3 \frac{54}{2 \cdot 9} = \log_3 \frac{54}{18} = \log_3 3 = 1$$

Ví dụ 3: Tính $C = \frac{1}{2}\log_5 25 + 3\log_5 5 – \log_5 125$

Giải: $$C = \frac{1}{2} \cdot 2 + 3 \cdot 1 – 3 = 1 + 3 – 3 = 1$$

Ví dụ 4: Cho $\log_2 3 = a$. Tính $\log_8 27$ theo $a$.

Giải: $$\log_8 27 = \log_{2^3} 3^3 = \frac{3}{3} \log_2 3 = a$$

Hoặc: $$\log_8 27 = \frac{\log_2 27}{\log_2 8} = \frac{\log_2 3^3}{3} = \frac{3\log_2 3}{3} = a$$

Ví dụ 5: Cho $\log 2 = a$, $\log 3 = b$. Tính $\log 18$ theo $a, b$.

Giải: $$\log 18 = \log(2 \cdot 9) = \log 2 + \log 9 = \log 2 + \log 3^2$$ $$= a + 2b$$

Ví dụ 6: Rút gọn $D = \log_a \sqrt{a^3} + \log_{\sqrt{a}} a^2$

Giải: $$D = \log_a a^{3/2} + \log_{a^{1/2}} a^2$$ $$= \frac{3}{2} + \frac{2}{1/2} = \frac{3}{2} + 4 = \frac{11}{2}$$

VIII. CÁC DẠNG BÀI TẬP LOGARIT

Dạng 1: Tính giá trị biểu thức logarit

Phương pháp:

• Nhận dạng lũy thừa trực tiếp
• Sử dụng các tính chất logarit
• Biến đổi về dạng đơn giản

Bài tập cơ bản

Bài 1: Tính $A = \log_2 32 + \log_3 81 – \log_5 125$

Lời giải:

Nhận dạng từng số hạng:

• $\log_2 32 = \log_2 2^5 = 5$
• $\log_3 81 = \log_3 3^4 = 4$
• $\log_5 125 = \log_5 5^3 = 3$

Do đó: $$A = 5 + 4 – 3 = 6$$

Đáp án: $A = 6$

Bài 2: Tính $B = \log_4 8 + \log_8 16$

Lời giải:

Cách 1: Đổi về cơ số 2 $$\log_4 8 = \log_{2^2} 2^3 = \frac{3}{2}$$ $$\log_8 16 = \log_{2^3} 2^4 = \frac{4}{3}$$ $$B = \frac{3}{2} + \frac{4}{3} = \frac{9 + 8}{6} = \frac{17}{6}$$

Cách 2: Sử dụng công thức đổi cơ số $$\log_4 8 = \frac{\log_2 8}{\log_2 4} = \frac{3}{2}$$ $$\log_8 16 = \frac{\log_2 16}{\log_2 8} = \frac{4}{3}$$ $$B = \frac{3}{2} + \frac{4}{3} = \frac{17}{6}$$

Đáp án: $B = \frac{17}{6}$

Bài 3: Cho $\log_2 3 = a$, $\log_2 5 = b$. Tính $\log_2 45$ theo $a, b$.

Lời giải:

Phân tích $45 = 9 \times 5 = 3^2 \times 5$

$$\log_2 45 = \log_2 (3^2 \times 5)$$ $$= \log_2 3^2 + \log_2 5$$ $$= 2\log_2 3 + \log_2 5$$ $$= 2a + b$$

Đáp án: $\log_2 45 = 2a + b$

Bài 4: Tính $C = \log_3 \sqrt{27} + \log_9 81 – \log_{27} 9$

Lời giải:

Tính từng số hạng:

• $\log_3 \sqrt{27} = \log_3 27^{1/2} = \frac{1}{2}\log_3 27 = \frac{1}{2} \cdot 3 = \frac{3}{2}$
• $\log_9 81 = \log_{3^2} 3^4 = \frac{4}{2} = 2$
• $\log_{27} 9 = \log_{3^3} 3^2 = \frac{2}{3}$

Do đó: $$C = \frac{3}{2} + 2 – \frac{2}{3} = \frac{9 + 12 – 4}{6} = \frac{17}{6}$$

Đáp án: $C = \frac{17}{6}$

Bài 5: Tính $D = \log 25 + \log 4$

Lời giải:

$$D = \log 25 + \log 4 = \log(25 \times 4) = \log 100 = 2$$

Đáp án: $D = 2$

Bài tập nâng cao

Bài 6: Cho $\log 2 = a$. Tính $\log 0.0016$ theo $a$.

Lời giải:

$$0.0016 = \frac{16}{10000} = \frac{2^4}{10^4}$$

$$\log 0.0016 = \log 2^4 – \log 10^4 = 4\log 2 – 4 = 4a – 4 = 4(a-1)$$

Đáp án: $\log 0.0016 = 4(a-1)$

Bài 7: Tính $E = \log_2 3 \cdot \log_3 4 \cdot \log_4 5 \cdot \log_5 8$

Lời giải:

Sử dụng công thức: $\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c$

$$E = \log_2 3 \cdot \log_3 4 \cdot \log_4 5 \cdot \log_5 8$$ $$= \log_2 8 = 3$$

Đáp án: $E = 3$

Dạng 2: Rút gọn biểu thức logarit

Phương pháp:

• Áp dụng công thức logarit của tích, thương, lũy thừa
• Đưa về cùng cơ số nếu có thể
• Sử dụng công thức đổi cơ số

Bài 8: Rút gọn $F = \log_a x + \log_a y – 2\log_a z$

Lời giải:

$$F = \log_a(xy) – \log_a z^2 = \log_a \frac{xy}{z^2}$$

Đáp án: $F = \log_a \frac{xy}{z^2}$

Bài 9: Rút gọn $G = \frac{1}{\log_2 12} + \frac{1}{\log_3 12} + \frac{1}{\log_4 12}$

Lời giải:

Sử dụng công thức: $\frac{1}{\log_a b} = \log_b a$

$$G = \log_{12} 2 + \log_{12} 3 + \log_{12} 4$$ $$= \log_{12}(2 \times 3 \times 4) = \log_{12} 24$$

Đáp án: $G = \log_{12} 24$

Bài 10: Rút gọn $H = \log_2 \frac{48}{7} + \log_4 49 – \log_2 12$

Lời giải:

Đổi $\log_4 49$ về cơ số 2: $$\log_4 49 = \frac{\log_2 49}{\log_2 4} = \frac{\log_2 49}{2}$$

Do đó: $$H = \log_2 \frac{48}{7} + \frac{1}{2}\log_2 49 – \log_2 12$$ $$= \log_2 \frac{48}{7} + \log_2 7 – \log_2 12$$ $$= \log_2 \frac{48 \times 7}{7 \times 12} = \log_2 4 = 2$$

Đáp án: $H = 2$

Bài 11: Cho $a, b, c > 0$ và $a, b, c \neq 1$. Chứng minh: $$\frac{1}{\log_a(abc)} = \frac{1}{\log_a a} + \frac{1}{\log_b a} + \frac{1}{\log_c a}$$

Lời giải:

Biến đổi vế phải: $$VP = 1 + \log_a b + \log_a c = 1 + \log_a(bc) = \log_a a + \log_a(bc)$$ $$= \log_a(abc)$$

Do đó: $VP = \frac{1}{\frac{1}{\log_a(abc)}} = \frac{1}{\log_a(abc)} = VT$ ✓

Dạng 3: Giải phương trình logarit

Phương pháp:

1. Tìm điều kiện xác định
2. Biến đổi phương trình về dạng cơ bản
3. Giải phương trình
4. Kiểm tra điều kiện

Bài tập cơ bản

Bài 12: Giải phương trình $\log_2(x – 1) = 3$

Lời giải:

Bước 1: Điều kiện: $x – 1 > 0 \Rightarrow x > 1$

Bước 2: Giải phương trình $$x – 1 = 2^3 = 8$$ $$x = 9$$

Bước 3: Kiểm tra: $x = 9 > 1$ (thỏa mãn điều kiện)

Đáp án: $x = 9$

Bài 13: Giải phương trình $\log_3 x + \log_3(x – 2) = 1$

Lời giải:

Điều kiện: $$\begin{cases} x > 0 \\ x – 2 > 0 \end{cases} \Rightarrow x > 2$$

Giải: $$\log_3[x(x-2)] = 1$$ $$x(x-2) = 3^1 = 3$$ $$x^2 – 2x – 3 = 0$$ $$(x-3)(x+1) = 0$$ $$x = 3 \text{ hoặc } x = -1$$

Kiểm tra: Chỉ $x = 3$ thỏa mãn điều kiện $x > 2$

Đáp án: $x = 3$

Bài 14: Giải phương trình $\log_2(x^2 – 4x + 5) = \log_2(2x – 3)$

Lời giải:

Điều kiện: $$\begin{cases} x^2 – 4x + 5 > 0 \\ 2x – 3 > 0 \end{cases}$$

• $x^2 – 4x + 5 = (x-2)^2 + 1 > 0$ (luôn đúng)
• $2x – 3 > 0 \Rightarrow x > 1.5$

Giải: $$x^2 – 4x + 5 = 2x – 3$$ $$x^2 – 6x + 8 = 0$$ $$(x-2)(x-4) = 0$$ $$x = 2 \text{ hoặc } x = 4$$

Kiểm tra: Cả hai giá trị đều thỏa mãn $x > 1.5$

Đáp án: $x = 2$ hoặc $x = 4$

Bài tập nâng cao

Bài 15: Giải phương trình $\log_2 x + \log_4 x + \log_8 x = 11$

Lời giải:

Điều kiện: $x > 0$

Đổi tất cả về cơ số 2: $$\log_2 x + \frac{\log_2 x}{2} + \frac{\log_2 x}{3} = 11$$

Đặt $t = \log_2 x$: $$t + \frac{t}{2} + \frac{t}{3} = 11$$ $$\frac{6t + 3t + 2t}{6} = 11$$ $$11t = 66$$ $$t = 6$$

Do đó: $\log_2 x = 6 \Rightarrow x = 2^6 = 64$

Đáp án: $x = 64$

Bài 16: Giải phương trình $\log_3(x+1) + \log_9(x+1) = 3$

Lời giải:

Điều kiện: $x + 1 > 0 \Rightarrow x > -1$

Đổi về cơ số 3: $$\log_3(x+1) + \frac{\log_3(x+1)}{2} = 3$$

Đặt $t = \log_3(x+1)$: $$t + \frac{t}{2} = 3$$ $$\frac{3t}{2} = 3$$ $$t = 2$$

Do đó: $\log_3(x+1) = 2 \Rightarrow x+1 = 9 \Rightarrow x = 8$

Đáp án: $x = 8$

Dạng 4: Giải bất phương trình logarit

Phương pháp:

1. Tìm điều kiện xác định
2. Xác định cơ số (> 1 hay < 1)
3. Giải bất phương trình (chú ý đổi chiều nếu cơ số < 1)
4. Kết hợp với điều kiện

Bài 17: Giải bất phương trình $\log_2 x < 3$

Lời giải:

Điều kiện: $x > 0$

Vì cơ số $2 > 1$, ta có: $$x < 2^3 = 8$$

Kết hợp điều kiện: $0 < x < 8$

Đáp án: $x \in (0, 8)$

Bài 18: Giải bất phương trình $\log_{0.5}(x – 1) > -2$

Lời giải:

Điều kiện: $x – 1 > 0 \Rightarrow x > 1$

Vì cơ số $0.5 < 1$, đổi chiều bất phương trình: $$x – 1 < (0.5)^{-2} = 4$$ $$x < 5$$

Kết hợp điều kiện: $1 < x < 5$

Đáp án: $x \in (1, 5)$

Bài 19: Giải bất phương trình $\log_3(x^2 – 5x + 6) < 0$

Lời giải:

Điều kiện: $x^2 – 5x + 6 > 0$ $$(x-2)(x-3) > 0$$ $$x < 2 \text{ hoặc } x > 3$$

Vì cơ số $3 > 1$: $$x^2 – 5x + 6 < 3^0 = 1$$ $$x^2 – 5x + 5 < 0$$

Giải phương trình: $x^2 – 5x + 5 = 0$ $$x = \frac{5 \pm \sqrt{5}}{2}$$

Bất phương trình có nghiệm: $\frac{5 – \sqrt{5}}{2} < x < \frac{5 + \sqrt{5}}{2}$

Tính: $\frac{5 – \sqrt{5}}{2} \approx 1.38$ và $\frac{5 + \sqrt{5}}{2} \approx 3.62$

Kết hợp điều kiện:

• Với $x < 2$: $1.38 < x < 2$
• Với $x > 3$: $3 < x < 3.62$

Đáp án: $x \in \left(\frac{5-\sqrt{5}}{2}, 2\right) \cup \left(3, \frac{5+\sqrt{5}}{2}\right)$

Bài 20: Giải bất phương trình $\log_2 x + \log_2(x-1) \leq 1$

Lời giải:

Điều kiện: $x – 1 > 0 \Rightarrow x > 1$

$$\log_2[x(x-1)] \leq 1$$ $$x(x-1) \leq 2$$ $$x^2 – x – 2 \leq 0$$ $$(x-2)(x+1) \leq 0$$ $$-1 \leq x \leq 2$$

Kết hợp điều kiện: $1 < x \leq 2$

Đáp án: $x \in (1, 2]$

Dạng 5: Ứng dụng logarit

Bài 21: Độ pH

Độ pH của dung dịch được tính bởi công thức: $$pH = -\log[H^+]$$

trong đó $[H^+]$ là nồng độ ion H⁺ (mol/L).

Câu hỏi: Tính pH của dung dịch có $[H^+] = 10^{-5}$ mol/L.

Lời giải: $$pH = -\log(10^{-5}) = -(-5) = 5$$

Dung dịch có pH = 5 là dung dịch có tính acid yếu.

Phân loại:

• pH < 7: Acid
• pH = 7: Trung tính
• pH > 7: Base (kiềm)

Bài 22: Thang Richter

Cường độ động đất được đo bằng thang Richter: $$M = \log\frac{A}{A_0}$$

với $A$ là biên độ sóng địa chấn, $A_0$ là biên độ chuẩn.

Câu hỏi: Nếu động đất có $M = 7.5$, biên độ gấp bao nhiêu lần biên độ chuẩn?

Lời giải: $$7.5 = \log\frac{A}{A_0}$$ $$\frac{A}{A_0} = 10^{7.5} \approx 31,622,776$$

Biên độ gấp khoảng 31.6 triệu lần biên độ chuẩn.

Nhận xét: Động đất 8.0 có biên độ gấp 10 lần động đất 7.0 (chênh 1 độ).

Bài 23: Cường độ âm thanh (Decibel)

Cường độ âm thanh được đo bằng decibel (dB): $$L = 10\log\frac{I}{I_0}$$

với $I$ là cường độ âm, $I_0 = 10^{-12}$ W/m² là cường độ âm chuẩn.

Câu hỏi: Tính mức cường độ âm (dB) của một nguồn có $I = 10^{-4}$ W/m².

Lời giải: $$L = 10\log\frac{10^{-4}}{10^{-12}} = 10\log 10^8 = 10 \times 8 = 80 \text{ dB}$$

Phân loại:

• 0-30 dB: Rất yên tĩnh
• 30-60 dB: Yên tĩnh đến trung bình
• 60-90 dB: Ồn
• 90+ dB: Rất ồn, có thể gây hại

---

Bài 24: Lãi suất kép

Công thức lãi suất kép: $$A = P(1 + r)^t$$

với $A$ là số tiền cuối, $P$ là vốn ban đầu, $r$ là lãi suất, $t$ là thời gian.

Câu hỏi: Bạn gửi 100 triệu đồng với lãi suất 8%/năm. Sau bao nhiêu năm số tiền gấp đôi?

Lời giải:

Ta có: $200 = 100(1 + 0.08)^t$ $$2 = 1.08^t$$ $$\log 2 = t \log 1.08$$ $$t = \frac{\log 2}{\log 1.08} = \frac{0.301}{0.0334} \approx 9 \text{ năm}$$

Đáp án: Khoảng 9 năm

Bài 25: Phân rã phóng xạ

Công thức phân rã phóng xạ: $$N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$$

với $\lambda$ là hằng số phân rã.

Câu hỏi: Chu kỳ bán rã của Carbon-14 là 5730 năm. Sau bao lâu chỉ còn 25% lượng ban đầu?

Lời giải:

$$0.25 N_0 = N_0 e^{-\lambda t}$$ $$0.25 = e^{-\lambda t}$$ $$\ln 0.25 = -\lambda t$$

Với chu kỳ bán rã: $\lambda = \frac{\ln 2}{5730}$

$$t = \frac{\ln 0.25}{-\lambda} = \frac{-\ln 4}{\frac{-\ln 2}{5730}} = \frac{5730 \ln 4}{\ln 2} = 5730 \times 2 = 11460 \text{ năm}$$

Đáp án: 11,460 năm

IX. MẸO VÀ LƯU Ý KHI HỌC LOGARIT

1. Các sai lầm thường gặp

SAI LẦM 1: Nhầm lẫn công thức cộng/trừ

❌ SAI: $$\log(a + b) = \log a + \log b$$

✅ ĐÚNG: $$\log(a + b) \text{ không rút gọn được}$$

Ví dụ:

• $\log(5 + 3) \neq \log 5 + \log 3$
• $\log 8 = 0.903 \neq \log 5 + \log 3 = 0.699 + 0.477 = 1.176$

SAI LẦM 2: Nhầm lẫn logarit của hiệu

❌ SAI: $$\log(a – b) = \log a – \log b$$

✅ ĐÚNG: $$\log a – \log b = \log \frac{a}{b}$$

Ví dụ:

• $\log(10 – 2) \neq \log 10 – \log 2$
• $\log 8 \neq 1 – 0.301 = 0.699$ ❌
• $\log 8 = 0.903$ ✓

SAI LẦM 3: Nhầm tích và tổng

❌ SAI: $$\log_a(xy) = \log_a x \cdot \log_a y$$

✅ ĐÚNG: $$\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y$$

SAI LẦM 4: Nhầm thương và hiệu

❌ SAI: $$\log_a \frac{x}{y} = \frac{\log_a x}{\log_a y}$$

✅ ĐÚNG: $$\log_a \frac{x}{y} = \log_a x – \log_a y$$

Lưu ý: Công thức $\frac{\log_a x}{\log_a y} = \log_y x$ (đổi cơ số)

SAI LẦM 5: Quên điều kiện xác định

❌ Giải phương trình không kiểm tra điều kiện $$\log_2(x – 3) = 1 \Rightarrow x = 5$$

✅ ĐÚNG: Phải kiểm tra $x – 3 > 0 \Rightarrow x > 3$

SAI LẦM 6: Quên đổi chiều bất phương trình

❌ SAI: $$\log_{0.5} x > 2 \Rightarrow x > 0.25$$

✅ ĐÚNG: $$\log_{0.5} x > 2 \Rightarrow x < 0.25$$ (cơ số < 1 thì đổi chiều)

SAI LẦM 7: Nhầm log và ln

❌ SAI: $\log x = \ln x$

✅ ĐÚNG:

• $\log x = \log_{10} x$
• $\ln x = \log_e x$
• $\ln x \approx 2.303 \log x$

2. Mẹo nhớ công thức

Mẹo 1: “Nhân thành Cộng, Chia thành Trừ”

• $\log(A \times B) = \log A + \log B$ (Nhân → Cộng)
• $\log(A \div B) = \log A – \log B$ (Chia → Trừ)

Cách nhớ: Logarit biến phép toán “khó” thành phép toán “dễ” hơn.

Mẹo 2: “Lũy thừa kéo ra trước”

$$\log A^n = n\log A$$

Ví dụ:

• $\log x^5 = 5\log x$
• $\log \sqrt{x} = \log x^{1/2} = \frac{1}{2}\log x$

Mẹo 3: “Đổi cơ số = Chia logarit”

$$\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} = \frac{\text{log của số}}{\text{log của cơ số}}$$

Cách nhớ: “Số trên, cơ dưới”

Mẹo 4: Nhớ giá trị đặc biệt

• $\log_a 1 = 0$ (logarit của 1 luôn bằng 0)
• $\log_a a = 1$ (logarit của chính cơ số bằng 1)
• $a^{\log_a b} = b$ (lũy thừa và logarit triệt tiêu nhau)

Mẹo 5: Quy tắc đổi chiều

• Cơ số > 1: Giữ nguyên chiều bất phương trình
• Cơ số < 1: Đổi chiều bất phương trình

Khẩu quyết: “Lớn hơn 1 giữ chiều, nhỏ hơn 1 đổi chiều”

3. Thứ tự ưu tiên giải bài

Bước 1: Kiểm tra điều kiện

Luôn viết điều kiện xác định trước:

• $x > 0$ (hoặc biểu thức trong log > 0)
• $a > 0, a \neq 1$

Bước 2: Nhận dạng dạng bài

• Tính giá trị?
• Rút gọn biểu thức?
• Giải phương trình?
• Giải bất phương trình?
• Chứng minh?

Bước 3: Áp dụng công thức

Chọn công thức phù hợp:

• Công thức cơ bản
• Công thức biến đổi
• Công thức đổi cơ số

Bước 4: Biến đổi từng bước

• Viết rõ ràng từng bước
• Không bỏ qua bước trung gian
• Giải thích khi cần

Bước 5: Kiểm tra kết quả

• So sánh với điều kiện ban đầu
• Loại bỏ nghiệm không thỏa mãn
• Kiểm tra lại phép tính

4. Lưu ý quan trọng

Lưu ý 1: Điều kiện xác định

Luôn kiểm tra điều kiện trước khi giải:

• Biểu thức trong logarit phải dương
• Cơ số phải dương và khác 1

Ví dụ:

• $\log_2(x^2 – 4)$ xác định khi $x^2 – 4 > 0 \Rightarrow x < -2$ hoặc $x > 2$

Lưu ý 2: Phân biệt log và ln

• log: Cơ số 10 (logarit thập phân)
• ln: Cơ số e (logarit tự nhiên)
• Không thể thay thế cho nhau!

Lưu ý 3: Đổi cơ số khi cần

Khi gặp nhiều cơ số khác nhau:

• Đưa về cùng một cơ số
• Thường chọn cơ số 2, 3, 10 hoặc e

Lưu ý 4: Cẩn thận với dấu

• Cơ số > 1: Hàm đồng biến (giữ chiều)
• Cơ số < 1: Hàm nghịch biến (đổi chiều)

Ví dụ:

• $\log_2 5 < \log_2 10$ ✓ (vì $5 < 10$)
• $\log_{0.5} 5 > \log_{0.5} 10$ ✓ (vì cơ số < 1, đổi chiều)

Lưu ý 5: Sử dụng máy tính đúng cách

• Kiểm tra mode (RAD/DEG)
• Sử dụng dấu ngoặc đúng
• Làm tròn theo yêu cầu đề bài

Lưu ý 6: Luyện tập thường xuyên

• Học thuộc công thức cơ bản
• Làm nhiều bài tập
• Hiểu bản chất, không học vẹt

X. KẾT LUẬN

Tổng kết

Bài viết đã tổng hợp đầy đủ và chi tiết về logarit, từ cơ bản đến nâng cao:

Định nghĩa và điều kiện: Hiểu rõ bản chất logarit là phép toán ngược của lũy thừa, nắm vững điều kiện xác định.

Tính chất logarit: 6 tính chất cơ bản (logarit của tích, thương, lũy thừa, căn) và tính chất so sánh theo cơ số.

Bảng công thức đầy đủ:

• Công thức cơ bản (5 công thức)
• Công thức logarit và lũy thừa (3 dạng)
• Công thức biến đổi (phép cộng, trừ, nhân)
• Công thức đổi cơ số (4 trường hợp)
• Bảng giá trị đặc biệt

Đạo hàm logarit: Công thức đạo hàm hàm cơ bản, hàm hợp, và các quy tắc đạo hàm cho học sinh lớp 12.

Hàm số logarit: Tính chất, đồ thị, sự biến thiên theo cơ số, phương trình và bất phương trình cơ bản.

Cách tính logarit:

• Phương pháp nhanh: nhận dạng lũy thừa, sử dụng tính chất, đổi cơ số
• Phương pháp nâng cao: bảng logarit, máy tính, ước lượng, biến đổi phức tạp

Bài tập ứng dụng: 25 bài tập từ cơ bản đến nâng cao, bao gồm:

• Tính giá trị biểu thức
• Rút gọn biểu thức
• Giải phương trình logarit
• Giải bất phương trình logarit
• Ứng dụng thực tế (pH, Richter, decibel, lãi suất, phóng xạ)

Tầm quan trọng của logarit

Trong toán học:

• Giải phương trình và bất phương trình mũ
• Tính đạo hàm và tích phân hàm mũ
• Chuỗi số và giới hạn
• Phân tích hàm số

Trong khoa học:

• Hóa học: Độ pH, hằng số cân bằng
• Vật lý: Thang đo độ Richter, decibel, entropy
• Sinh học: Tăng trưởng vi khuẩn, phân rã phóng xạ
• Địa chất: Niên đại địa chất, carbon dating

Trong tin học:

• Phân tích độ phức tạp thuật toán: $O(\log n)$
• Cấu trúc dữ liệu: cây nhị phân, heap
• Thuật toán tìm kiếm nhị phân
• Nén dữ liệu và mã hóa

Trong kinh tế:

• Mô hình tăng trưởng kinh tế
• Tính toán lãi suất kép
• Phân tích đầu tư tài chính
• Đo lường lạm phát

Lời khuyên cuối

Nắm vững định nghĩa: Hiểu logarit là gì, tại sao cần học logarit, mối quan hệ với lũy thừa.

Học thuộc công thức cơ bản: Ít nhất 10 công thức quan trọng nhất phải thuộc lòng.

Phân biệt log, ln, log_a: Không nhầm lẫn giữa các loại logarit khác nhau.

Luyện tập đều đặn: Mỗi ngày làm 5-10 bài tập, từ dễ đến khó.

Kiểm tra điều kiện: Luôn viết điều kiện xác định trước khi giải bài toán.

Hiểu bản chất, không học vẹt: Biết tại sao công thức đúng, khi nào áp dụng.

Sử dụng máy tính thành thạo: Biết cách tính logarit bất kỳ trên máy tính.

PHỤ LỤC: BẢNG TÓM TẮT CÔNG THỨC

Bảng 1: Công thức cơ bản

STT	Công thức	Mô tả	Ví dụ
1	$\log_a 1 = 0$	Log của 1 bằng 0	$\log_5 1 = 0$
2	$\log_a a = 1$	Log của cơ số bằng 1	$\log_7 7 = 1$
3	$\log_a a^n = n$	Log của lũy thừa cơ số	$\log_3 27 = 3$
4	$a^{\log_a b} = b$	Triệt tiêu lũy thừa-log	$2^{\log_2 5} = 5$
5	$\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y$	Log của tích	$\log_2(4 \cdot 8) = 5$
6	$\log_a \frac{x}{y} = \log_a x – \log_a y$	Log của thương	$\log_2 \frac{16}{4} = 2$
7	$\log_a x^n = n\log_a x$	Log của lũy thừa	$\log_2 8^2 = 6$
8	$\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$	Đổi cơ số	$\log_2 8 = \frac{\ln 8}{\ln 2}$
9	$\log_a b = \frac{1}{\log_b a}$	Nghịch đảo	$\log_2 8 = \frac{1}{\log_8 2}$
10	$\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c$	Nhân xích	$\log_2 3 \cdot \log_3 8 = 3$

Bảng 2: Giá trị thường gặp

Logarit cơ số 2:

$x$	$\log_2 x$	$x$	$\log_2 x$
1	0	1/2	-1
2	1	1/4	-2
4	2	1/8	-3
8	3	1/16	-4
16	4	$\sqrt{2}$	0.5
32	5	$\sqrt[3]{2}$	1/3
64	6	–	–

Logarit cơ số 10:

$x$	$\log_{10} x$	$x$	$\log_{10} x$
1	0	0.1	-1
10	1	0.01	-2
100	2	0.001	-3
1000	3	$\sqrt{10}$	0.5
10000	4	2	≈0.301
100000	5	5	≈0.699

Logarit tự nhiên:

$x$	$\ln x$	$x$	$\ln x$
1	0	1/e	-1
e	1	1/e²	-2
e²	2	$\sqrt{e}$	0.5
e³	3	2	≈0.693
10	≈2.303	0.5	≈-0.693

Bảng 3: Công thức đạo hàm

Hàm số	Đạo hàm
$\ln x$	$\frac{1}{x}$
$\log_a x$	$\frac{1}{x \ln a}$
$\ln u(x)$	$\frac{u'(x)}{u(x)}$
$\log_a u(x)$	$\frac{u'(x)}{u(x) \ln a}$
$x \ln x$	$\ln x + 1$
$\frac{\ln x}{x}$	$\frac{1 – \ln x}{x^2}$