I. GIỚI THIỆU

1. Khái niệm cơ bản

Vectơ pháp tuyến (VTPT):

Vectơ pháp tuyến của một đường thẳng hoặc mặt phẳng là vectơ có giá vuông góc với đường thẳng hoặc mặt phẳng đó.

• Ký hiệu: $\vec{n}$ (từ chữ “normal” trong tiếng Anh)
• Đặc điểm: Vuông góc với mọi vectơ nằm trên đường thẳng/mặt phẳng
• Vai trò: Xác định hướng vuông góc, lập phương trình

Vectơ chỉ phương (VTCP):

Vectơ chỉ phương của một đường thẳng là vectơ có giá song song hoặc trùng với đường thẳng đó.

• Ký hiệu: $\vec{u}$ (từ chữ “direction” – hướng)
• Đặc điểm: Song song với đường thẳng
• Vai trò: Chỉ hướng của đường thẳng, lập phương trình tham số

Vai trò trong hình học giải tích:

Hai loại vectơ này là công cụ quan trọng nhất để:

• Lập phương trình đường thẳng và mặt phẳng
• Xác định vị trí tương đối (song song, vuông góc, cắt nhau)
• Tính góc giữa các đối tượng hình học
• Tìm giao tuyến, giao điểm

2. So sánh nhanh

II. VECTƠ PHÁP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

1. VTPT của đường thẳng trong mặt phẳng

Định nghĩa:

Vectơ $\vec{n}$ được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng $d$ trong mặt phẳng nếu: $$\vec{n} \perp d$$

Hay nói cách khác, $\vec{n}$ vuông góc với mọi vectơ chỉ phương của $d$.

Công thức từ phương trình:

Đường thẳng có phương trình tổng quát: $$ax + by + c = 0$$

Thì có vectơ pháp tuyến: $$\boxed{\vec{n} = (a; b)}$$

Cách nhớ: “Đọc hệ số của x và y”

Ví dụ 1: Tìm VTPT của đường thẳng $d: 2x – 3y + 5 = 0$

Lời giải:

• Hệ số: $a = 2$, $b = -3$
• Vectơ pháp tuyến: $\vec{n} = (2; -3)$

Kiểm tra: Nếu $\vec{u}$ là VTCP của $d$ thì $\vec{n} \cdot \vec{u} = 0$ ✓

Tính chất quan trọng:

✅ Tính chất 1: Nếu $\vec{n} = (a; b)$ là VTPT thì $k\vec{n} = (ka; kb)$ với $k \neq 0$ cũng là VTPT

Ví dụ: $\vec{n} = (2; -3)$ → $2\vec{n} = (4; -6)$ cũng là VTPT

✅ Tính chất 2: $\vec{n}$ vuông góc với mọi vectơ chỉ phương của đường thẳng

Hay: $\vec{n} \cdot \vec{u} = 0$ với mọi VTCP $\vec{u}$ của $d$

✅ Tính chất 3: Đường thẳng có vô số VTPT (tất cả cùng phương với nhau)

2. VTPT của mặt phẳng trong không gian

Định nghĩa:

Vectơ $\vec{n}$ được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ nếu: $$\vec{n} \perp (P)$$

Hay $\vec{n}$ vuông góc với mọi vectơ nằm trong mặt phẳng $(P)$.

Công thức từ phương trình:

Mặt phẳng có phương trình tổng quát: $$Ax + By + Cz + D = 0$$

Thì có vectơ pháp tuyến: $$\boxed{\vec{n} = (A; B; C)}$$

Cách nhớ: “Đọc hệ số của x, y và z”

Ví dụ 2: Tìm VTPT của mặt phẳng $(P): 2x – y + 3z – 4 = 0$

Lời giải:

• Hệ số: $A = 2$, $B = -1$, $C = 3$
• Vectơ pháp tuyến: $\vec{n} = (2; -1; 3)$

Lưu ý: Hệ số $D = -4$ không ảnh hưởng đến VTPT

3. Cách tìm VTPT của mặt phẳng

Phương pháp 1: Từ phương trình tổng quát

Đây là cách đơn giản nhất – chỉ cần đọc hệ số.

Ví dụ 3:

• $(P): 3x + 4y – 5z + 7 = 0$ → $\vec{n} = (3; 4; -5)$
• $(Q): x – 2z = 0$ → $\vec{n} = (1; 0; -2)$
• $(R): y + z – 1 = 0$ → $\vec{n} = (0; 1; 1)$

Phương pháp 2: Qua 3 điểm không thẳng hàng

Mặt phẳng đi qua ba điểm $A$, $B$, $C$ có VTPT: $$\boxed{\vec{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}}$$

Công thức tích có hướng: $$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ x_{AB} & y_{AB} & z_{AB} \\ x_{AC} & y_{AC} & z_{AC} \end{vmatrix}$$

Ví dụ 4: Tìm VTPT của mặt phẳng qua $A(1; 0; 0)$, $B(0; 1; 0)$, $C(0; 0; 1)$

Lời giải:

Bước 1: Tính các vectơ

• $\overrightarrow{AB} = (0-1; 1-0; 0-0) = (-1; 1; 0)$
• $\overrightarrow{AC} = (0-1; 0-0; 1-0) = (-1; 0; 1)$

Bước 2: Tính tích có hướng $$\vec{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{vmatrix}$$

$$= \vec{i}(1 \cdot 1 – 0 \cdot 0) – \vec{j}((-1) \cdot 1 – 0 \cdot (-1)) + \vec{k}((-1) \cdot 0 – 1 \cdot (-1))$$

$$= \vec{i}(1) – \vec{j}(-1) + \vec{k}(1) = (1; 1; 1)$$

Đáp án: $\vec{n} = (1; 1; 1)$

Phương pháp 3: Qua 1 điểm và 2 VTCP

Nếu mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $M$ và có hai vectơ chỉ phương không cùng phương $\vec{u_1}$, $\vec{u_2}$, thì: $$\boxed{\vec{n} = \vec{u_1} \times \vec{u_2}}$$

Ví dụ 5: Mặt phẳng qua $M(1; 2; 3)$ và có hai VTCP $\vec{u_1} = (1; 0; 1)$, $\vec{u_2} = (0; 1; 1)$. Tìm VTPT.

Lời giải: $$\vec{n} = \vec{u_1} \times \vec{u_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix}$$

$$= \vec{i}(0-1) – \vec{j}(1-0) + \vec{k}(1-0) = (-1; -1; 1)$$

Có thể rút gọn: $\vec{n} = (1; 1; -1)$ (nhân với -1)

Phương pháp 4: Mặt phẳng vuông góc với đường thẳng

Nếu mặt phẳng $(P)$ vuông góc với đường thẳng $d$, thì: $$\text{VTCP của } d \text{ chính là VTPT của } (P)$$

Ví dụ 6: Mặt phẳng $(P)$ đi qua $M(1; 2; 3)$ và vuông góc với đường thẳng $d$ có VTCP $\vec{u} = (2; -1; 3)$. Tìm VTPT của $(P)$.

Lời giải:

• VTPT của $(P)$ chính là VTCP của $d$: $\vec{n} = (2; -1; 3)$

4. Tính chất của VTPT

Tính chất 1: $\vec{n}$ vuông góc với mọi vectơ nằm trong mặt phẳng

Tức là: $\vec{n} \perp \overrightarrow{MN}$ với mọi $M$, $N$ thuộc mặt phẳng

Tính chất 2: Nếu $\vec{n}$ là VTPT thì $k\vec{n}$ ($k \neq 0$) cũng là VTPT

Tính chất 3: Điều kiện để hai mặt phẳng song song

$(P_1) // (P_2) \Leftrightarrow \vec{n_1} = k\vec{n_2}$ (hai VTPT cùng phương)

Tính chất 4: Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc

$(P_1) \perp (P_2) \Leftrightarrow \vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0$ (hai VTPT vuông góc)

Tính chất 5: Kiểm tra điểm thuộc mặt phẳng

Nếu $A$, $B$ cùng thuộc $(P)$ thì: $$\vec{n} \cdot \overrightarrow{AB} = 0$$

III. VECTƠ CHỈ PHƯƠNG CỦA ĐƯỜNG THẲNG

1. Định nghĩa

Vectơ chỉ phương $\vec{u}$ của đường thẳng $d$ là vectơ có giá song song hoặc trùng với $d$.

Ý nghĩa: $\vec{u}$ chỉ hướng của đường thẳng, cho biết đường thẳng đi theo phương nào.

Tính chất cơ bản:

✅ $\vec{u}$ song song với đường thẳng $d$

✅ Nếu $\vec{u}$ là VTCP thì $k\vec{u}$ ($k \neq 0$) cũng là VTCP

✅ Một đường thẳng có vô số VTCP (tất cả cùng phương với nhau)

✅ Nếu $A$, $B$ thuộc $d$ thì $\overrightarrow{AB}$ là một VTCP của $d$

2. Cách tìm VTCP trong mặt phẳng

Phương pháp 1: Từ phương trình tổng quát

Đường thẳng có phương trình: $$ax + by + c = 0$$

Có VTPT: $\vec{n} = (a; b)$

Thì có VTCP: $$\boxed{\vec{u} = (-b; a) \text{ hoặc } \vec{u} = (b; -a)}$$

Mẹo nhớ: “Đổi chỗ hai số và đổi dấu một trong hai”

Ví dụ 7: Tìm VTCP của đường thẳng $d: 2x – 3y + 5 = 0$

Lời giải:

• VTPT: $\vec{n} = (2; -3)$
• VTCP: $\vec{u} = (3; 2)$ hoặc $\vec{u} = (-3; -2)$

Kiểm tra: $\vec{n} \cdot \vec{u} = 2 \times 3 + (-3) \times 2 = 6 – 6 = 0$ ✓

Phương pháp 2: Từ phương trình tham số

Đường thẳng có phương trình tham số: $$\begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \end{cases}$$

Thì có VTCP: $$\boxed{\vec{u} = (a; b)}$$

Cách nhớ: “Đọc hệ số của tham số t”

Ví dụ 8: Đường thẳng $d: \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = -3 + 5t \end{cases}$

Lời giải: VTCP là $\vec{u} = (2; 5)$

Phương pháp 3: Qua 2 điểm

Đường thẳng đi qua hai điểm $A(x_A; y_A)$ và $B(x_B; y_B)$ có VTCP: $$\boxed{\vec{u} = \overrightarrow{AB} = (x_B – x_A; y_B – y_A)}$$

Ví dụ 9: Đường thẳng qua $A(1; 2)$ và $B(4; 6)$

Lời giải: $$\vec{u} = \overrightarrow{AB} = (4-1; 6-2) = (3; 4)$$

3. Cách tìm VTCP trong không gian

Phương pháp 1: Từ phương trình tham số

Đường thẳng có phương trình tham số: $$\begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \\ z = z_0 + ct \end{cases}$$

Thì có VTCP: $$\boxed{\vec{u} = (a; b; c)}$$

Ví dụ 10: Đường thẳng $d: \begin{cases} x = 2 + 3t \\ y = -1 + 2t \\ z = 4 – t \end{cases}$

Lời giải: VTCP là $\vec{u} = (3; 2; -1)$

Phương pháp 2: Từ phương trình chính tắc

Đường thẳng có phương trình chính tắc: $$\frac{x – x_0}{a} = \frac{y – y_0}{b} = \frac{z – z_0}{c}$$

Thì có VTCP: $$\boxed{\vec{u} = (a; b; c)}$$

Cách nhớ: “Đọc các mẫu số”

Ví dụ 11: Đường thẳng $d: \frac{x-1}{2} = \frac{y+1}{-3} = \frac{z}{4}$

Lời giải: VTCP là $\vec{u} = (2; -3; 4)$

Phương pháp 3: Qua 2 điểm trong không gian

Đường thẳng đi qua hai điểm $A(x_A; y_A; z_A)$ và $B(x_B; y_B; z_B)$ có VTCP: $$\boxed{\vec{u} = \overrightarrow{AB} = (x_B – x_A; y_B – y_A; z_B – z_A)}$$

Ví dụ 12: Đường thẳng qua $A(1; 2; 3)$ và $B(4; 5; 7)$

Lời giải: $$\vec{u} = \overrightarrow{AB} = (3; 3; 4)$$

Phương pháp 4: Giao tuyến của 2 mặt phẳng

Đường thẳng $d$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $(P_1)$ và $(P_2)$ có:

• VTPT của $(P_1)$: $\vec{n_1}$
• VTPT của $(P_2)$: $\vec{n_2}$

Thì VTCP của $d$: $$\boxed{\vec{u} = \vec{n_1} \times \vec{n_2}}$$

Giải thích: Vì $d$ nằm trong cả hai mặt phẳng nên $\vec{u}$ phải vuông góc với cả $\vec{n_1}$ và $\vec{n_2}$.

Ví dụ 13: Tìm VTCP của giao tuyến của:

• $(P_1): x + y + z = 0$
• $(P_2): x – y + 2z = 0$

Lời giải:

Bước 1: Xác định VTPT

• $\vec{n_1} = (1; 1; 1)$
• $\vec{n_2} = (1; -1; 2)$

Bước 2: Tính tích có hướng $$\vec{u} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \end{vmatrix}$$

$$= \vec{i}(2-(-1)) – \vec{j}(2-1) + \vec{k}(-1-1)$$ $$= \vec{i}(3) – \vec{j}(1) + \vec{k}(-2)$$ $$= (3; -1; -2)$$

Đáp án: $\vec{u} = (3; -1; -2)$

IV. MỐI LIÊN HỆ GIỮA VTPT VÀ VTCP

1. Trong mặt phẳng

Quan hệ vuông góc:

VTPT và VTCP của cùng một đường thẳng luôn vuông góc với nhau: $$\boxed{\vec{n} \perp \vec{u} \Leftrightarrow \vec{n} \cdot \vec{u} = 0}$$

Chứng minh: Vì $\vec{n}$ vuông góc với đường thẳng, mà $\vec{u}$ song song với đường thẳng, nên $\vec{n} \perp \vec{u}$.

Từ VTPT tìm VTCP:

Nếu $\vec{n} = (a; b)$ là VTPT của đường thẳng, thì: $$\boxed{\vec{u} = (-b; a) \text{ hoặc } (b; -a)}$$

Ví dụ 14:

• VTPT: $\vec{n} = (2; 3)$
• VTCP: $\vec{u} = (-3; 2)$ hoặc $(3; -2)$

Kiểm tra: $\vec{n} \cdot \vec{u} = 2 \times (-3) + 3 \times 2 = -6 + 6 = 0$ ✓

Từ VTCP tìm VTPT:

Nếu $\vec{u} = (a; b)$ là VTCP của đường thẳng, thì: $$\boxed{\vec{n} = (-b; a) \text{ hoặc } (b; -a)}$$

Ví dụ 15:

• VTCP: $\vec{u} = (4; 5)$
• VTPT: $\vec{n} = (-5; 4)$ hoặc $(5; -4)$

2. Trong không gian

Đối với đường thẳng:

• Một đường thẳng có vô số VTCP (tất cả cùng phương)
• Một đường thẳng có vô số VTPT (tất cả vuông góc với VTCP)
• Tất cả các VTPT của đường thẳng tạo thành một mặt phẳng vuông góc với đường thẳng

Đối với mặt phẳng:

• Một mặt phẳng có vô số VTPT (tất cả cùng phương)
• Một mặt phẳng có vô số VTCP (tất cả song song với mặt phẳng)
• VTCP và VTPT của mặt phẳng luôn vuông góc: $\vec{n} \cdot \vec{u} = 0$

Mối liên hệ quan trọng:

Nếu đường thẳng $d$ vuông góc với mặt phẳng $(P)$: $$\text{VTCP của } d = \text{VTPT của } (P)$$

Ví dụ: Đường thẳng $d$ vuông góc với $(P): 2x – y + 3z = 0$

• VTPT của $(P)$: $\vec{n} = (2; -1; 3)$
• VTCP của $d$: $\vec{u} = (2; -1; 3)$

Nếu đường thẳng $d$ nằm trong mặt phẳng $(P)$: $$\text{VTCP của } d \perp \text{VTPT của } (P)$$

Hay: $\vec{u} \cdot \vec{n} = 0$

V. BẢNG CÔNG THỨC TÓM TẮT

A. Vectơ pháp tuyến

B. Vectơ chỉ phương

C. Mối liên hệ

VI. CÁCH TÌM NHANH

1. Tìm VTPT

QUY TRÌNH 3 BƯỚC:

✅ Bước 1: Xác định dạng bài

• Có phương trình tổng quát? → Đọc hệ số
• Có 3 điểm không thẳng hàng? → Tích có hướng
• Mặt phẳng vuông góc với đường thẳng? → Lấy VTCP của đường

✅ Bước 2: Áp dụng công thức tương ứng

• Phương trình: $\vec{n} = (A; B; C)$
• Ba điểm: $\vec{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$
• Vuông góc: $\vec{n} = \vec{u}$ (VTCP của đường)

✅ Bước 3: Rút gọn (nếu cần)

• Chia cho ước chung lớn nhất
• Hoặc nhân với -1 để có số dương đầu tiên

Ví dụ nhanh:

• $(P): 6x – 9y + 12z = 0$ → $\vec{n} = (6; -9; 12)$ → Rút gọn: $\vec{n} = (2; -3; 4)$

2. Tìm VTCP

QUY TRÌNH 3 BƯỚC:

Bước 1: Xác định dạng bài

• Có PTTS hoặc chính tắc? → Đọc trực tiếp
• Có 2 điểm? → Tính $\overrightarrow{AB}$
• Có phương trình tổng quát (mp)? → Từ VTPT
• Giao 2 mặt phẳng? → Tích có hướng VTPT

Bước 2: Tính toán

• PTTS/chính tắc: Đọc hệ số
• Hai điểm: $\vec{u} = (x_B-x_A; y_B-y_A; z_B-z_A)$
• Từ VTPT: $\vec{n}=(a;b)$ → $\vec{u}=(-b;a)$
• Giao tuyến: $\vec{u} = \vec{n_1} \times \vec{n_2}$

Bước 3: Kiểm tra

• $\vec{n} \cdot \vec{u} = 0$ (vuông góc với VTPT)
• Hoặc thay điểm vào phương trình

3. Mẹo nhớ

Cho VTPT:

“Vuông góc” → Dùng tích vô hướng kiểm tra: $\vec{n} \cdot \vec{v} = 0$

Cho VTCP:

“Song song” → Dùng tỷ lệ kiểm tra: $\frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2} = \frac{z_1}{z_2}$

Mặt phẳng → VTPT:

“Đọc hệ số $(A; B; C)$” từ $Ax + By + Cz + D = 0$

Đường thẳng → VTCP:

“Đọc mẫu số” từ phương trình chính tắc $\frac{x-x_0}{a} = \frac{y-y_0}{b} = \frac{z-z_0}{c}$

Từ VTPT tìm VTCP (mặt phẳng):

“Đổi chỗ và đổi dấu một số”: $(a; b)$ → $(-b; a)$

VII. BÀI TẬP MẪU

Bài 1: Tìm VTPT của mặt phẳng

Đề bài: Cho mặt phẳng $(P): 2x – 3y + z – 5 = 0$. Tìm một vectơ pháp tuyến của $(P)$.

Lời giải:

Từ phương trình tổng quát, đọc hệ số của $x$, $y$, $z$: $$\vec{n} = (2; -3; 1)$$

Đáp án: $\vec{n} = (2; -3; 1)$

Bài 2: Tìm VTPT qua 3 điểm

Đề bài: Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đi qua ba điểm $A(1; 0; 0)$, $B(0; 2; 0)$, $C(0; 0; 3)$.

Lời giải:

Bước 1: Tính các vectơ

• $\overrightarrow{AB} = (0-1; 2-0; 0-0) = (-1; 2; 0)$
• $\overrightarrow{AC} = (0-1; 0-0; 3-0) = (-1; 0; 3)$

Bước 2: Tính tích có hướng $$\vec{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 3 \end{vmatrix}$$

$$= \vec{i}(6-0) – \vec{j}(-3-0) + \vec{k}(0-(-2))$$ $$= 6\vec{i} + 3\vec{j} + 2\vec{k}$$

Đáp án: $\vec{n} = (6; 3; 2)$ hoặc rút gọn không được vì đã tối giản

Bài 3: Tìm VTCP từ phương trình chính tắc

Đề bài: Đường thẳng $d$ có phương trình: $\frac{x-1}{2} = \frac{y+1}{-3} = \frac{z}{4}$. Tìm vectơ chỉ phương của $d$.

Lời giải:

Đọc mẫu số của phương trình chính tắc: $$\vec{u} = (2; -3; 4)$$

Đáp án: $\vec{u} = (2; -3; 4)$

Bài 4: Tìm VTCP từ VTPT

Đề bài: Đường thẳng $d$ trong mặt phẳng Oxy có phương trình: $3x – 4y + 5 = 0$. Tìm một vectơ chỉ phương của $d$.

Lời giải:

Bước 1: Tìm VTPT $$\vec{n} = (3; -4)$$

Bước 2: Từ VTPT, tìm VTCP bằng cách đổi chỗ và đổi dấu $$\vec{u} = (4; 3) \text{ hoặc } (-4; -3)$$

Kiểm tra: $\vec{n} \cdot \vec{u} = 3 \times 4 + (-4) \times 3 = 12 – 12 = 0$ ✓

Đáp án: $\vec{u} = (4; 3)$ hoặc $\vec{u} = (-4; -3)$

Bài 5: Tìm VTCP của giao tuyến hai mặt phẳng

Đề bài: Cho hai mặt phẳng:

• $(P_1): x + y + z = 0$
• $(P_2): x – y + 2z = 0$

Tìm vectơ chỉ phương của giao tuyến $d = (P_1) \cap (P_2)$.

Lời giải:

Bước 1: Xác định VTPT của mỗi mặt phẳng

• $\vec{n_1} = (1; 1; 1)$
• $\vec{n_2} = (1; -1; 2)$

Bước 2: VTCP của giao tuyến là tích có hướng hai VTPT $$\vec{u} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \end{vmatrix}$$

$$= \vec{i}(2-(-1)) – \vec{j}(2-1) + \vec{k}(-1-1)$$ $$= 3\vec{i} – \vec{j} – 2\vec{k}$$

Đáp án: $\vec{u} = (3; -1; -2)$

VIII. MẸO VÀ LƯU Ý

1. Các sai lầm thường gặp

❌ SAI LẦM 1: Nhầm lẫn VTPT và VTCP

Nhớ:

• VTPT: Vuông góc (perpendicular)
• VTCP: Song song (direction)

❌ SAI LẦM 2: Quên đổi dấu khi tìm VTCP từ VTPT

Sai: $\vec{n} = (3; 4)$ → $\vec{u} = (4; 3)$ ❌

Đúng: $\vec{n} = (3; 4)$ → $\vec{u} = (-4; 3)$ hoặc $(4; -3)$ ✓

❌ SAI LẦM 3: Đọc sai hệ số từ phương trình

Sai: $2x – 3y + 5 = 0$ → $\vec{n} = (2; 3)$ ❌

Đúng: $2x – 3y + 5 = 0$ → $\vec{n} = (2; -3)$ ✓

Chú ý dấu âm!

❌ SAI LẦM 4: Quên rằng $k\vec{n}$ cũng là VTPT/VTCP

Nếu $\vec{n} = (2; 3; 4)$ là VTPT thì:

• $2\vec{n} = (4; 6; 8)$ cũng là VTPT ✓
• $-\vec{n} = (-2; -3; -4)$ cũng là VTPT ✓

2. Kiểm tra nhanh kết quả

Kiểm tra 1: VTPT ⊥ VTCP

$$\vec{n} \cdot \vec{u} = 0$$

Nếu tích vô hướng khác 0 → Sai!

Kiểm tra 2: Thay tọa độ điểm vào phương trình

Nếu điểm $M(x_0; y_0; z_0)$ thuộc mặt phẳng thì phải thỏa mãn phương trình.

Kiểm tra 3: Kiểm tra tỷ lệ nếu song song

Hai vectơ $\vec{u_1} = (a_1; b_1; c_1)$ và $\vec{u_2} = (a_2; b_2; c_2)$ cùng phương khi: $$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$$

IX. KẾT LUẬN

Tổng kết

Bài viết đã trình bày đầy đủ kiến thức về vectơ pháp tuyến và vectơ chỉ phương:

Vectơ pháp tuyến (VTPT):

• Vectơ vuông góc với đường thẳng/mặt phẳng
• Đọc hệ số từ phương trình tổng quát
• Hoặc dùng tích có hướng qua 3 điểm

Vectơ chỉ phương (VTCP):

• Vectơ song song với đường thẳng
• Đọc từ phương trình tham số/chính tắc
• Hoặc tính $\overrightarrow{AB}$ qua 2 điểm

Mối liên hệ:

• $\vec{n} \perp \vec{u}$ → $\vec{n} \cdot \vec{u} = 0$
• Chuyển đổi: $(a; b)$ → $(-b; a)$

Công thức quan trọng nhất

BA CÔNG THỨC CỐT LÕI:

Mặt phẳng: $$Ax + By + Cz + D = 0 \quad \Rightarrow \quad \vec{n} = (A; B; C)$$

Đường thẳng (chính tắc): $$\frac{x-x_0}{a} = \frac{y-y_0}{b} = \frac{z-z_0}{c} \quad \Rightarrow \quad \vec{u} = (a; b; c)$$

Qua 3 điểm: $$\vec{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$$

Tài liệu tham khảo

Các chủ đề liên quan:

• [Phương trình mặt phẳng trong không gian]
• [Phương trình đường thẳng – Tham số và chính tắc]
• [Tích có hướng của hai vectơ]
• [Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng]
• [Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng]

ThS. Nguyễn Văn An

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn Tổ Toán tại Edus

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán học, Thạc sĩ Lý luận & Phương pháp dạy học môn Toán, Chức danh nghề nghiệp giáo viên THPT – Hạng II, Tin học ứng dụng cơ bản, Ngoại ngữ B1, Chứng chỉ bồi dưỡng năng lực tổ trưởng chuyên môn

Kinh nghiệm: 12+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT chuyên Trần Đại Nghĩa