Chọn đến phần học sinh cần nhanh chóng thông qua mục lục bằng cách click đến phần đó
- I. VI PHÂN LÀ GÌ?
- 1. Định nghĩa vi phân
- 2. Phân biệt vi phân và số gia
- 3. Ý nghĩa hình học của vi phân
- 4. Ý nghĩa vật lý
- II. CÔNG THỨC VI PHÂN CƠ BẢN
- 1. Công thức vi phân tổng quát
- 2. Bảng công thức vi phân các hàm cơ bản
- 3. Quy tắc tính vi phân
- 4. Tính chất bất biến của vi phân
- III. VI PHÂN TOÀN PHẦN (HÀM NHIỀU BIẾN)
- 1. Khái niệm vi phân toàn phần
- 2. Ý nghĩa hình học
- 3. Công thức tổng quát cho hàm n biến
- 4. Ví dụ ứng dụng
- 5. Điều kiện vi phân được
- IV. ỨNG DỤNG CỦA VI PHÂN
- 1. Tính gần đúng giá trị hàm số
- 2. Ước lượng sai số
- 3. Ứng dụng trong vật lý
- 4. Ứng dụng trong kỹ thuật
- 5. Ứng dụng trong kinh tế
- V. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP VI PHÂN
- 1. Dạng 1: Tính vi phân của hàm số
- 2. Dạng 2: Tính gần đúng bằng vi phân
- 3. Dạng 3: Ước lượng sai số
- 4. Dạng 4: Vi phân hàm 2 biến
- VI. SO SÁNH VI PHÂN VỚI CÁC KHÁI NIỆM LIÊN QUAN
- 1. Vi phân vs Đạo hàm
- 2. Vi phân vs Số gia
- 3. Vi phân vs Tích phân
- VII. LƯU Ý VÀ MẸO KHI LÀM BÀI TẬP VI PHÂN
- 1. Các lỗi thường gặp
- 2. Mẹo làm bài nhanh
- 3. Checklist làm bài
- VIII. KẾT LUẬN
- Tổng kết
- Vai trò của vi phân
- PHỤ LỤC: BẢNG TỔNG HỢP
- Bảng 1: Công thức vi phân cơ bản
- Bảng 2: Quy tắc vi phân
- Bảng 3: Công thức tính gần đúng
- Bảng 4: Ước lượng sai số
- Bảng 5: So sánh các khái niệm
- CÂU HỎI THƯỜNG GẶP (FAQ)
- 1. Vi phân khác đạo hàm như thế nào?
- 2. Khi nào dùng vi phân để tính gần đúng?
- 3. Làm sao để chọn x₀ hợp lý?
- 4. Vi phân có chính xác không?
- 5. Vi phân toàn phần là gì?
- 6. Có công thức nào tính nhanh không cần qua x₀?
- 7. Vi phân có ứng dụng gì trong thực tế?
- 8. Làm sao để kiểm tra kết quả vi phân?
I. VI PHÂN LÀ GÌ?
1. Định nghĩa vi phân
Khái niệm cơ bản:
Vi phân của hàm số $y = f(x)$ tại điểm $x_0$ ứng với số gia $\Delta x$ là:
$$dy = f'(x_0) \cdot \Delta x = f'(x_0) \cdot dx$$
Trong đó:
- $dy$: vi phân của y (differential)
- $dx = \Delta x$: vi phân của x (số gia của x)
- $f'(x_0)$: đạo hàm tại $x_0$
Chú ý quan trọng:
- Vi phân $dy$ ≠ Số gia $\Delta y$
- Vi phân là giá trị xấp xỉ số gia
- $dy$ là phần chính tuyến tính của $\Delta y$
2. Phân biệt vi phân và số gia
Số gia $\Delta y$: $$\Delta y = f(x_0 + \Delta x) – f(x_0)$$
- Là sự thay đổi thực sự của hàm số
- Giá trị chính xác
- Phụ thuộc vào hàm số cụ thể
Vi phân $dy$: $$dy = f'(x_0) \cdot \Delta x$$
- Là sự thay đổi gần đúng của hàm số
- Giá trị xấp xỉ
- Chỉ phụ thuộc vào đạo hàm và $\Delta x$
Mối liên hệ: $$\Delta y \approx dy \text{ khi } \Delta x \text{ rất nhỏ}$$
Sai số: $$|\Delta y – dy| = o(\Delta x)$$ (sai số bé hơn $\Delta x$ rất nhiều)
3. Ý nghĩa hình học của vi phân
Trên đồ thị:
- Điểm $M(x_0, f(x_0))$ trên đồ thị
- Tiếp tuyến tại M có phương trình: $y – f(x_0) = f'(x_0)(x – x_0)$
Giải thích:
- $\Delta y$: Độ cao thực của cung $MN$ trên đồ thị
- $dy$: Độ cao của đoạn tiếp tuyến $MT$
- Khi $\Delta x$ nhỏ: $dy \approx \Delta y$
Minh họa:
y
| / (đồ thị)
| /
| M----N
| /| /|
| / | / | Δy
|/ | / |
| |/dy |
| T----|
|___|____|____x
x₀ x₀+Δx
- Đoạn MN: số gia $\Delta y$ (thực tế)
- Đoạn MT: vi phân $dy$ (gần đúng)
- Khi $\Delta x$ nhỏ, MT ≈ MN
4. Ý nghĩa vật lý
Trong chuyển động:
- $s(t)$: quãng đường
- $ds = v \cdot dt$: vi phân quãng đường
- $ds$ là quãng đường gần đúng trong thời gian $dt$ rất nhỏ
Trong nhiệt động:
- $T(x)$: nhiệt độ theo vị trí
- $dT = T'(x) \cdot dx$: thay đổi nhiệt độ khi dịch chuyển $dx$
II. CÔNG THỨC VI PHÂN CƠ BẢN
1. Công thức vi phân tổng quát
Định lý cơ bản: $$dy = f'(x) \cdot dx$$
Với $dx = \Delta x$ là số gia tùy ý của x.
Ý nghĩa: Vi phân tỷ lệ thuận với đạo hàm và số gia.
2. Bảng công thức vi phân các hàm cơ bản
A. Vi phân hàm lũy thừa
| Hàm số | Vi phân |
|---|---|
| $y = c$ (hằng số) | $dy = 0$ |
| $y = x$ | $dy = dx$ |
| $y = x^n$ | $dy = nx^{n-1} dx$ |
| $y = \sqrt{x}$ | $dy = \dfrac{dx}{2\sqrt{x}}$ |
| $y = \dfrac{1}{x}$ | $dy = -\dfrac{dx}{x^2}$ |
B. Vi phân hàm mũ và logarit
| Hàm số | Vi phân |
|---|---|
| $y = e^x$ | $dy = e^x dx$ |
| $y = a^x$ | $dy = a^x \ln a \cdot dx$ |
| $y = \ln x$ | $dy = \dfrac{dx}{x}$ |
| $y = \log_a x$ | $dy = \dfrac{dx}{x \ln a}$ |
C. Vi phân hàm lượng giác
| Hàm số | Vi phân |
|---|---|
| $y = \sin x$ | $dy = \cos x \cdot dx$ |
| $y = \cos x$ | $dy = -\sin x \cdot dx$ |
| $y = \tan x$ | $dy = \dfrac{dx}{\cos^2 x}$ |
| $y = \cot x$ | $dy = -\dfrac{dx}{\sin^2 x}$ |
Nhận xét: Công thức vi phân giống công thức đạo hàm, chỉ thêm $dx$ ở cuối.
3. Quy tắc tính vi phân
Quy tắc 1: Vi phân của tổng/hiệu $$d(u \pm v) = du \pm dv$$
Ví dụ: $$d(x^2 + \sin x) = d(x^2) + d(\sin x) = 2x dx + \cos x \cdot dx$$
Quy tắc 2: Vi phân của tích với hằng số $$d(ku) = k \cdot du$$
Ví dụ: $$d(5x^3) = 5 \cdot d(x^3) = 5 \cdot 3x^2 dx = 15x^2 dx$$
Quy tắc 3: Vi phân của tích $$d(u \cdot v) = v \cdot du + u \cdot dv$$
Ví dụ: $$d(x \sin x) = \sin x \cdot dx + x \cdot \cos x \cdot dx = (\sin x + x\cos x)dx$$
Quy tắc 4: Vi phân của thương $$d\left(\frac{u}{v}\right) = \frac{v \cdot du – u \cdot dv}{v^2}$$
Ví dụ: $$d\left(\frac{x}{\sin x}\right) = \frac{\sin x \cdot dx – x \cos x \cdot dx}{\sin^2 x} = \frac{\sin x – x\cos x}{\sin^2 x}dx$$
Quy tắc 5: Vi phân hàm hợp $$dy = f'(u) \cdot du$$
Trong đó $y = f(u)$ và $u = u(x)$.
Ví dụ:
- $y = \sin(x^2)$
- Đặt $u = x^2$, có $du = 2x dx$
- $dy = \cos u \cdot du = \cos(x^2) \cdot 2x dx = 2x\cos(x^2) dx$
4. Tính chất bất biến của vi phân
Định lý quan trọng: $$dy = f'(x) dx$$
Công thức này đúng cho cả:
- $x$ là biến độc lập: $dy = f'(x) dx$
- $x = x(t)$ là hàm của t: $dy = f'(x) dx$ (vẫn đúng!)
Ý nghĩa: Công thức vi phân có dạng giống nhau bất kể x là biến độc lập hay hàm số.
Ví dụ minh họa:
- $y = \sin x$
- Nếu x là biến: $dy = \cos x \cdot dx$
- Nếu $x = t^2$: $dy = \cos x \cdot dx = \cos(t^2) \cdot d(t^2) = \cos(t^2) \cdot 2t dt$
Lợi ích: Đơn giản hóa tính toán vi phân hàm hợp phức tạp.
III. VI PHÂN TOÀN PHẦN (HÀM NHIỀU BIẾN)
1. Khái niệm vi phân toàn phần
Với hàm 2 biến: $z = f(x, y)$
Vi phân toàn phần: $$dz = \frac{\partial f}{\partial x}dx + \frac{\partial f}{\partial y}dy$$
Trong đó:
- $\dfrac{\partial f}{\partial x}$: đạo hàm riêng theo x
- $\dfrac{\partial f}{\partial y}$: đạo hàm riêng theo y
Ví dụ:
- $z = x^2 + 3xy + y^2$
- $\dfrac{\partial z}{\partial x} = 2x + 3y$
- $\dfrac{\partial z}{\partial y} = 3x + 2y$
- $dz = (2x + 3y)dx + (3x + 2y)dy$
2. Ý nghĩa hình học
Giải thích:
- $dz$ là độ cao gần đúng của mặt cong
- Mặt phẳng tiếp xúc với mặt cong tại điểm $(x_0, y_0, z_0)$
- $dz$ = độ cao của mặt phẳng tiếp xúc
3. Công thức tổng quát cho hàm n biến
Hàm n biến: $y = f(x_1, x_2, …, x_n)$
Vi phân toàn phần: $$dy = \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_i}dx_i = \frac{\partial f}{\partial x_1}dx_1 + \frac{\partial f}{\partial x_2}dx_2 + … + \frac{\partial f}{\partial x_n}dx_n$$
4. Ví dụ ứng dụng
Bài toán: Tính thể tích hình hộp $V = xyz$. Nếu x, y, z thay đổi một lượng nhỏ $dx, dy, dz$, hỏi V thay đổi khoảng bao nhiêu?
Lời giải:
- $V = xyz$
- $dV = yz \cdot dx + xz \cdot dy + xy \cdot dz$
Ý nghĩa: Sự thay đổi V phụ thuộc vào ba thành phần theo x, y, z.
5. Điều kiện vi phân được
Định lý: Hàm $f(x, y)$ có vi phân toàn phần tại $(x_0, y_0)$ nếu:
- $\dfrac{\partial f}{\partial x}$ và $\dfrac{\partial f}{\partial y}$ tồn tại
- Hai đạo hàm riêng liên tục tại $(x_0, y_0)$
Điều kiện cần và đủ: Nếu $dz = P(x,y)dx + Q(x,y)dy$ là vi phân toàn phần thì: $$\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$$
Ví dụ kiểm tra:
- $dz = (2x + 3y)dx + (3x + 2y)dy$
- $P = 2x + 3y$, $\dfrac{\partial P}{\partial y} = 3$
- $Q = 3x + 2y$, $\dfrac{\partial Q}{\partial x} = 3$
- Vậy đây là vi phân toàn phần ✓
IV. ỨNG DỤNG CỦA VI PHÂN
1. Tính gần đúng giá trị hàm số
Công thức cơ bản: $$f(x_0 + \Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0) \cdot \Delta x$$
Hoặc: $$f(x_0 + \Delta x) \approx f(x_0) + dy$$
Quy trình 4 bước:
- Chọn $x_0$ gần với giá trị cần tính, sao cho $f(x_0)$ dễ tính
- Tính $\Delta x = x – x_0$
- Tính $f'(x_0)$
- Áp dụng công thức: $f(x) \approx f(x_0) + f'(x_0) \cdot \Delta x$
Ví dụ 1: Tính $\sqrt{101}$
Lời giải:
- Chọn $f(x) = \sqrt{x}$
- Chọn $x_0 = 100$ (gần 101 và dễ tính), $\Delta x = 1$
- $f(100) = 10$
- $f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$, nên $f'(100) = \dfrac{1}{20} = 0.05$
- $\sqrt{101} \approx 10 + 0.05 \cdot 1 = 10.05$
So sánh: Máy tính: $\sqrt{101} = 10.04987…$
Sai số: $|10.05 – 10.04987| = 0.00013$ (rất nhỏ!)
Ví dụ 2: Tính $\sin(31°)$
Lời giải:
- Đổi sang radian: $31° = 31 \cdot \dfrac{\pi}{180} \approx 0.5411$ rad
- Chọn $x_0 = 30° = \dfrac{\pi}{6}$ rad, $\Delta x = \dfrac{\pi}{180}$ rad
- $f(x) = \sin x$
- $f(\pi/6) = 0.5$
- $f'(x) = \cos x$, $f'(\pi/6) = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866$
- $\sin(31°) \approx 0.5 + 0.866 \cdot \dfrac{\pi}{180} \approx 0.5 + 0.0151 = 0.5151$
Ví dụ 3: Tính $e^{0.1}$
Lời giải:
- $f(x) = e^x$, $x_0 = 0$, $\Delta x = 0.1$
- $f(0) = 1$
- $f'(x) = e^x$, $f'(0) = 1$
- $e^{0.1} \approx 1 + 1 \cdot 0.1 = 1.1$
So sánh: Giá trị thực: $e^{0.1} = 1.10517…$
2. Ước lượng sai số
Bài toán: Khi đo đại lượng $x$ có sai số $\Delta x$, sai số của $y = f(x)$ là bao nhiêu?
Công thức: $$|\Delta y| \approx |dy| = |f'(x)| \cdot |\Delta x|$$
Sai số tương đối: $$\frac{|\Delta y|}{|y|} \approx \frac{|f'(x)| \cdot |\Delta x|}{|f(x)|}$$
Ví dụ 1: Đo cạnh hình vuông
Bài toán: Đo cạnh hình vuông được $a = 10cm$ với sai số $\Delta a = 0.1cm$. Ước lượng sai số diện tích.
Lời giải:
- $S = a^2$
- $dS = 2a \cdot da$
- $|\Delta S| \approx |dS| = 2 \cdot 10 \cdot 0.1 = 2 cm^2$
Sai số tương đối: $$\frac{|\Delta S|}{S} \approx \frac{2}{100} = 2%$$
Ví dụ 2: Đo bán kính hình cầu
Bài toán: Đo bán kính $R = 5cm$ với sai số $0.05cm$. Ước lượng sai số thể tích.
Lời giải:
- $V = \dfrac{4}{3}\pi R^3$
- $dV = 4\pi R^2 dR$
- $|\Delta V| \approx 4\pi \cdot 25 \cdot 0.05 = 5\pi \approx 15.7 cm^3$
3. Ứng dụng trong vật lý
A. Tính vận tốc tức thời
Công thức: $$ds = v \cdot dt$$
Trong đó:
- $s$: quãng đường
- $v = s'(t)$: vận tốc
- $dt$: khoảng thời gian rất nhỏ
Ý nghĩa: Trong khoảng thời gian $dt$ rất nhỏ, quãng đường đi được gần bằng $v \cdot dt$.
B. Định luật bảo toàn năng lượng
Trong nhiệt động lực học: $$dU = \delta Q – \delta W$$
Trong đó:
- $dU$: vi phân nội năng
- $\delta Q$: nhiệt lượng vi phân
- $\delta W$: công vi phân
C. Điện từ học
Suất điện động cảm ứng: $$\mathcal{E} = -\frac{d\Phi}{dt}$$
Trong đó $\Phi$ là từ thông.
4. Ứng dụng trong kỹ thuật
A. Độ nhạy của thiết bị đo
Độ nhạy: $$S = \frac{dy}{dx} = f'(x)$$
Ý nghĩa: Cho biết khi đầu vào thay đổi $dx$, đầu ra thay đổi $dy = S \cdot dx$.
B. Phân tích độ bền vật liệu
Ứng suất – biến dạng: $$d\sigma = E \cdot d\epsilon$$
Trong đó:
- $\sigma$: ứng suất
- $\epsilon$: biến dạng
- $E$: modulus Young
5. Ứng dụng trong kinh tế
A. Chi phí biên
$$MC = \frac{dC}{dq}$$
Trong đó:
- $C(q)$: tổng chi phí
- $MC$: chi phí biên (marginal cost)
- $dC$: thay đổi chi phí khi sản lượng tăng $dq$
Ý nghĩa: $dC = MC \cdot dq$ là chi phí tăng thêm gần đúng khi sản xuất thêm $dq$ đơn vị.
B. Độ co giãn
$$E = \frac{dQ/Q}{dP/P} = \frac{dQ}{dP} \cdot \frac{P}{Q}$$
Trong đó:
- $Q$: cầu
- $P$: giá
- $E$: độ co giãn của cầu theo giá
V. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP VI PHÂN
1. Dạng 1: Tính vi phân của hàm số
Phương pháp:
- Tính đạo hàm $f'(x)$
- Viết $dy = f'(x) \cdot dx$
Bài tập mẫu 1: Tính vi phân của $y = x^3 + 2\sin x$
Lời giải:
- $y’ = 3x^2 + 2\cos x$
- $dy = (3x^2 + 2\cos x)dx$
Bài tập mẫu 2: Tính vi phân của $y = e^x \ln x$
Lời giải:
- $y’ = e^x \ln x + e^x \cdot \dfrac{1}{x} = e^x\left(\ln x + \dfrac{1}{x}\right)$
- $dy = e^x\left(\ln x + \dfrac{1}{x}\right)dx$
2. Dạng 2: Tính gần đúng bằng vi phân
Phương pháp (4 bước):
- Chọn $x_0$ gần giá trị cần tính, sao cho $f(x_0)$ dễ tính
- Tính $\Delta x = x – x_0$
- Tính $f'(x_0)$
- $f(x) \approx f(x_0) + f'(x_0) \cdot \Delta x$
Bài tập mẫu 3: Tính gần đúng $\sqrt[3]{1001}$
Lời giải:
- $f(x) = \sqrt[3]{x} = x^{1/3}$
- Chọn $x_0 = 1000$, $\Delta x = 1$
- $f(1000) = 10$
- $f'(x) = \dfrac{1}{3}x^{-2/3}$, $f'(1000) = \dfrac{1}{3 \cdot 100} = \dfrac{1}{300}$
- $\sqrt[3]{1001} \approx 10 + \dfrac{1}{300} \cdot 1 \approx 10.0033$
3. Dạng 3: Ước lượng sai số
Phương pháp:
- Tính $|\Delta y| \approx |dy| = |f'(x)| \cdot |\Delta x|$
- Sai số tương đối: $\dfrac{|\Delta y|}{|y|}$
Bài tập mẫu 4: Chu vi hình tròn $C = 2\pi R$. Khi đo R có sai số 1%, tính sai số chu vi.
Lời giải:
- $dC = 2\pi dR$
- $\dfrac{|dC|}{C} = \dfrac{2\pi |dR|}{2\pi R} = \dfrac{|dR|}{R} = 1%$
Kết luận: Sai số chu vi cũng là 1%.
4. Dạng 4: Vi phân hàm 2 biến
Phương pháp:
- Tính đạo hàm riêng $\dfrac{\partial f}{\partial x}$ và $\dfrac{\partial f}{\partial y}$
- $dz = \dfrac{\partial f}{\partial x}dx + \dfrac{\partial f}{\partial y}dy$
Bài tập mẫu 5: Tính vi phân của $z = x^2y + 3xy^2$
Lời giải:
- $\dfrac{\partial z}{\partial x} = 2xy + 3y^2$
- $\dfrac{\partial z}{\partial y} = x^2 + 6xy$
- $dz = (2xy + 3y^2)dx + (x^2 + 6xy)dy$
VI. SO SÁNH VI PHÂN VỚI CÁC KHÁI NIỆM LIÊN QUAN
1. Vi phân vs Đạo hàm
| Khía cạnh | Đạo hàm | Vi phân |
|---|---|---|
| Ký hiệu | $f'(x)$ hoặc $\dfrac{dy}{dx}$ | $dy$ |
| Định nghĩa | Tỷ số giới hạn | Phần chính tuyến tính |
| Giá trị | Một số | Một biểu thức |
| Công thức | $f'(x) = \lim\limits_{\Delta x \to 0}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ | $dy = f'(x) \cdot dx$ |
| Ý nghĩa | Tốc độ thay đổi | Thay đổi gần đúng |
Mối liên hệ: $$f'(x) = \frac{dy}{dx}$$
2. Vi phân vs Số gia
| Khía cạnh | Số gia $\Delta y$ | Vi phân $dy$ |
|---|---|---|
| Định nghĩa | $f(x_0 + \Delta x) – f(x_0)$ | $f'(x_0) \cdot \Delta x$ |
| Giá trị | Chính xác | Gần đúng |
| Tính toán | Phức tạp | Đơn giản |
| Khi nào bằng nhau | Luôn khác nhau | $\Delta y \approx dy$ khi $\Delta x$ nhỏ |
Ví dụ so sánh:
- $f(x) = x^2$, $x_0 = 2$, $\Delta x = 0.1$
- $\Delta y = (2.1)^2 – 4 = 0.41$
- $dy = 2 \cdot 2 \cdot 0.1 = 0.4$
- Sai số: $|0.41 – 0.4| = 0.01$
3. Vi phân vs Tích phân
Mối liên hệ ngược chiều:
- Vi phân: Từ hàm → tìm vi phân
- Tích phân: Từ vi phân → tìm hàm (nguyên hàm)
Công thức: $$\int dy = \int f'(x)dx = f(x) + C$$
VII. LƯU Ý VÀ MẸO KHI LÀM BÀI TẬP VI PHÂN
1. Các lỗi thường gặp
Lỗi 1: Nhầm vi phân với số gia
- Sai: $dy = \Delta y$
- Đúng: $dy \approx \Delta y$ (chỉ xấp xỉ khi $\Delta x$ nhỏ)
Lỗi 2: Quên nhân với dx
- Sai: $y = x^2 \rightarrow dy = 2x$
- Đúng: $dy = 2x \cdot dx$
Lỗi 3: Chọn x₀ không hợp lý
- Khi tính $\sqrt{99}$, chọn $x_0 = 100$ (không phải 81)
- Nguyên tắc: Chọn $x_0$ GẦN giá trị cần tính và DỄ tính
Lỗi 4: Dùng vi phân khi Δx quá lớn
- Vi phân chỉ chính xác khi $\Delta x$ rất nhỏ (thường < 0.1)
- Nếu $\Delta x$ lớn, sai số lớn
Lỗi 5: Nhầm công thức vi phân hàm hợp
- Sai: $y = \sin(x^2) \rightarrow dy = \cos(x^2) \cdot dx$
- Đúng: $dy = \cos(x^2) \cdot 2x \cdot dx$
2. Mẹo làm bài nhanh
Mẹo 1: Nhận dạng nhanh x₀
- Tính $\sqrt{102}$: chọn $x_0 = 100$ (số chính phương gần nhất)
- Tính $\sin(31°)$: chọn $x_0 = 30°$ (góc đặc biệt)
- Tính $e^{0.05}$: chọn $x_0 = 0$
- Tính $\ln(1.1)$: chọn $x_0 = 1$
Mẹo 2: Nhẩm nhanh f'(x₀)
- Thuộc công thức đạo hàm cơ bản
- Với $\sqrt{x}$: $f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$
- Với $\dfrac{1}{x}$: $f'(x) = -\dfrac{1}{x^2}$
Mẹo 3: Kiểm tra kết quả
- So sánh với giá trị thực (dùng máy tính)
- Sai số thường < 1%
- Nếu sai số lớn, kiểm tra lại $x_0$ hoặc tính toán
Mẹo 4: Với vi phân toàn phần
- Tính riêng từng đạo hàm riêng
- Kiểm tra điều kiện: $\dfrac{\partial P}{\partial y} = \dfrac{\partial Q}{\partial x}$
3. Checklist làm bài
Khi tính gần đúng bằng vi phân:
- Đã chọn $x_0$ hợp lý?
- Đã tính đúng $\Delta x$?
- Đã tính đúng $f'(x_0)$?
- Đã nhớ công thức $f(x) \approx f(x_0) + f'(x_0) \cdot \Delta x$?
- Đã kiểm tra kết quả?
Khi tính sai số:
- Đã tính đúng $|dy| = |f'(x)| \cdot |\Delta x|$?
- Đã tính sai số tương đối (nếu cần)?
- Đơn vị có đúng không?
VIII. KẾT LUẬN
Tổng kết
Bài viết đã hệ thống hóa toàn bộ kiến thức về VI PHÂN:
Khái niệm cơ bản:
- Định nghĩa vi phân: $dy = f'(x) \cdot dx$
- Phân biệt vi phân, số gia, đạo hàm
- Ý nghĩa hình học và vật lý
Công thức vi phân:
- Bảng công thức 15+ hàm cơ bản
- 5 quy tắc tính vi phân
- Tính chất bất biến của vi phân
Vi phân toàn phần:
- Hàm 2 biến: $dz = \dfrac{\partial f}{\partial x}dx + \dfrac{\partial f}{\partial y}dy$
- Điều kiện vi phân được
- Ứng dụng hàm nhiều biến
Ứng dụng thực tế:
- Tính gần đúng (5 ví dụ)
- Ước lượng sai số (2 ví dụ)
- Vật lý, kỹ thuật, kinh tế
Phương pháp giải:
- 4 dạng bài tập chính
- 5 bài tập mẫu có lời giải
Vai trò của vi phân
Trong toán học:
- Nền tảng cho giải tích
- Cầu nối giữa đạo hàm và tích phân
- Công cụ trong phương trình vi phân
Trong ứng dụng:
- Tính toán gần đúng nhanh chóng
- Phân tích sai số đo lường
- Mô hình hóa các hiện tượng tự nhiên
Trong học tập:
- Lớp 11: Vi phân cơ bản
- Lớp 12: Ứng dụng
- Đại học: Vi phân đa biến, phương trình vi phân
PHỤ LỤC: BẢNG TỔNG HỢP
Bảng 1: Công thức vi phân cơ bản
| Hàm số $y$ | Vi phân $dy$ |
|---|---|
| $c$ | $0$ |
| $x$ | $dx$ |
| $x^n$ | $nx^{n-1}dx$ |
| $\sqrt{x}$ | $\dfrac{dx}{2\sqrt{x}}$ |
| $\dfrac{1}{x}$ | $-\dfrac{dx}{x^2}$ |
| $e^x$ | $e^x dx$ |
| $a^x$ | $a^x \ln a \cdot dx$ |
| $\ln x$ | $\dfrac{dx}{x}$ |
| $\log_a x$ | $\dfrac{dx}{x\ln a}$ |
| $\sin x$ | $\cos x \cdot dx$ |
| $\cos x$ | $-\sin x \cdot dx$ |
| $\tan x$ | $\dfrac{dx}{\cos^2 x}$ |
| $\cot x$ | $-\dfrac{dx}{\sin^2 x}$ |
Bảng 2: Quy tắc vi phân
| Phép toán | Công thức |
|---|---|
| Tổng/Hiệu | $d(u \pm v) = du \pm dv$ |
| Nhân hằng số | $d(ku) = k \cdot du$ |
| Tích | $d(uv) = v \cdot du + u \cdot dv$ |
| Thương | $d\left(\dfrac{u}{v}\right) = \dfrac{v \cdot du – u \cdot dv}{v^2}$ |
| Hàm hợp | $dy = f'(u) \cdot du$ |
Bảng 3: Công thức tính gần đúng
| Cần tính | Chọn $x_0$ | Công thức |
|---|---|---|
| $\sqrt{a^2 + k}$ | $x_0 = a^2$ | $\sqrt{a^2+k} \approx a + \dfrac{k}{2a}$ |
| $\sqrt[3]{a^3 + k}$ | $x_0 = a^3$ | $\sqrt[3]{a^3+k} \approx a + \dfrac{k}{3a^2}$ |
| $\sin(\alpha + \beta)$ | $x_0 = \alpha$ | $\sin(\alpha+\beta) \approx \sin\alpha + \beta\cos\alpha$ |
| $e^x$ (x nhỏ) | $x_0 = 0$ | $e^x \approx 1 + x$ |
| $\ln(1 + x)$ (x nhỏ) | $x_0 = 1$ | $\ln(1+x) \approx x$ |
Bảng 4: Ước lượng sai số
| Đại lượng | Công thức | Sai số tương đối |
|---|---|---|
| Diện tích HV: $S = a^2$ | $|\Delta S| \approx 2a|\Delta a|$ | $\dfrac{|\Delta S|}{S} = 2\dfrac{|\Delta a|}{a}$ |
| Chu vi HT: $C = 2\pi R$ | $|\Delta C| \approx 2\pi|\Delta R|$ | $\dfrac{|\Delta C|}{C} = \dfrac{|\Delta R|}{R}$ |
| Diện tích HT: $S = \pi R^2$ | $|\Delta S| \approx 2\pi R|\Delta R|$ | $\dfrac{|\Delta S|}{S} = 2\dfrac{|\Delta R|}{R}$ |
| Thể tích cầu: $V = \dfrac{4}{3}\pi R^3$ | $|\Delta V| \approx 4\pi R^2|\Delta R|$ | $\dfrac{|\Delta V|}{V} = 3\dfrac{|\Delta R|}{R}$ |
Bảng 5: So sánh các khái niệm
| Khái niệm | Ký hiệu | Ý nghĩa | Giá trị |
|---|---|---|---|
| Số gia | $\Delta y$ | Thay đổi thực tế | Chính xác |
| Vi phân | $dy$ | Thay đổi gần đúng | Xấp xỉ |
| Đạo hàm | $f'(x)$ hoặc $\dfrac{dy}{dx}$ | Tốc độ thay đổi | Tỷ số |
| Tích phân | $\int f(x)dx$ | Nguyên hàm | Hàm số |
CÂU HỎI THƯỜNG GẶP (FAQ)
1. Vi phân khác đạo hàm như thế nào?
Trả lời:
- Đạo hàm $f'(x)$ là một số, cho biết tốc độ thay đổi của hàm tại điểm x.
- Vi phân $dy = f'(x) \cdot dx$ là một biểu thức, cho biết độ thay đổi gần đúng của hàm khi x thay đổi một lượng $dx$.
- Mối liên hệ: $f'(x) = \dfrac{dy}{dx}$
2. Khi nào dùng vi phân để tính gần đúng?
Trả lời:
- Khi cần tính giá trị gần với một giá trị đã biết
- Khi $\Delta x$ rất nhỏ (thường < 0.1)
- Khi cần kết quả nhanh, không cần quá chính xác
- Ví dụ: $\sqrt{101}$, $\sin(31°)$, $e^{0.05}$
3. Làm sao để chọn x₀ hợp lý?
Trả lời: 2 nguyên tắc:
- $x_0$ phải GẦN với giá trị cần tính
- $f(x_0)$ phải DỄ tính (số tròn, góc đặc biệt…)
Ví dụ:
- Tính $\sqrt{99}$: chọn $x_0 = 100$ (không phải 81)
- Tính $\sin(32°)$: chọn $x_0 = 30°$ (không phải 45°)
4. Vi phân có chính xác không?
Trả lời:
- Vi phân KHÔNG chính xác 100%, chỉ là xấp xỉ
- Độ chính xác phụ thuộc vào $|\Delta x|$:
- $|\Delta x|$ càng nhỏ → càng chính xác
- $|\Delta x|$ càng lớn → sai số càng lớn
- Thường sai số < 1% nếu chọn $x_0$ tốt
5. Vi phân toàn phần là gì?
Trả lời: Vi phân toàn phần là vi phân của hàm nhiều biến.
Với hàm 2 biến $z = f(x, y)$: $dz = \frac{\partial f}{\partial x}dx + \frac{\partial f}{\partial y}dy$
Ý nghĩa: z thay đổi phụ thuộc vào cả x và y thay đổi.
6. Có công thức nào tính nhanh không cần qua x₀?
Trả lời: Có một số công thức đặc biệt cho x nhỏ:
- $e^x \approx 1 + x$ (khi $|x| < 0.1$)
- $\ln(1+x) \approx x$ (khi $|x| < 0.1$)
- $\sqrt{1+x} \approx 1 + \dfrac{x}{2}$ (khi $|x| < 0.1$)
- $\sin x \approx x$ (khi x rất nhỏ, tính bằng radian)
7. Vi phân có ứng dụng gì trong thực tế?
Trả lời:
- Vật lý: Tính vận tốc, gia tốc, công, nhiệt
- Kỹ thuật: Ước lượng sai số đo, thiết kế sản phẩm
- Kinh tế: Chi phí biên, độ co giãn, dự báo
- Y học: Liều lượng thuốc, tốc độ phản ứng
- Khoa học máy tính: Thuật toán tối ưu (gradient descent)
8. Làm sao để kiểm tra kết quả vi phân?
Trả lời: 3 cách kiểm tra:
- Dùng máy tính: Tính giá trị chính xác và so sánh
- Kiểm tra sai số: Thường < 1-2%
- Thử nghịch: Nếu $f(x_0 + \Delta x) \approx A$ thì $f(A – \Delta x) \approx x_0$
ThS. Nguyễn Văn An
(Người kiểm duyệt, ra đề)
Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn Tổ Toán tại Edus
Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán học, Thạc sĩ Lý luận & Phương pháp dạy học môn Toán, Chức danh nghề nghiệp giáo viên THPT – Hạng II, Tin học ứng dụng cơ bản, Ngoại ngữ B1, Chứng chỉ bồi dưỡng năng lực tổ trưởng chuyên môn
Kinh nghiệm: 12+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT chuyên Trần Đại Nghĩa