I. Giới Thiệu Về Đạo Hàm

1. Đạo Hàm Là Gì?

Đạo hàm là một trong những khái niệm cốt lõi nhất của giải tích, đo lường tốc độ thay đổi tức thời của một hàm số tại một điểm.

Định nghĩa đạo hàm theo giới hạn:

$$f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h) – f(x_0)}{h}$$

Ý nghĩa hình học: Đạo hàm của hàm số tại một điểm chính là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm đó. Nói cách khác, $f'(x_0)$ cho biết độ dốc của đồ thị tại $x = x_0$.

Ý nghĩa vật lý: Trong vật lý, nếu $s(t)$ là hàm quãng đường theo thời gian, thì $s'(t)$ chính là vận tốc tức thời tại thời điểm t. Đạo hàm mô tả tốc độ thay đổi của một đại lượng theo thời gian hoặc theo một biến số khác.

2. Tại Sao Phải Học Công Thức Đạo Hàm?

Học công thức đạo hàm mang lại nhiều lợi ích thiết thực:

• Giải bài tập nhanh chóng: Thay vì phải tính đạo hàm theo định nghĩa (rất tốn thời gian và phức tạp), bạn chỉ cần áp dụng công thức có sẵn để tính toán trong vài giây.
• Nền tảng cho các chương toán cao cấp: Đạo hàm là kiến thức cơ sở để học khảo sát hàm số, tìm cực trị, giải bài toán tối ưu hóa, và tích phân.
• Ứng dụng thực tế rộng rãi: Đạo hàm được sử dụng trong vật lý (tính vận tốc, gia tốc), kinh tế (phân tích chi phí biên, lợi nhuận), khoa học máy tính (thuật toán tối ưu hóa), và nhiều lĩnh vực khác.

3. Cấu Trúc Bài Viết

Bài viết này tổng hợp đầy đủ các công thức đạo hàm từ cơ bản đến nâng cao, bao gồm:

• Quy tắc đạo hàm cơ bản (cộng, trừ, nhân, chia, hàm hợp)
• Công thức đạo hàm hàm lũy thừa, hàm mũ, logarit
• Đạo hàm hàm lượng giác và lượng giác ngược
• Đạo hàm các dạng đặc biệt (căn, trị tuyệt đối, phân thức)
• Đạo hàm cấp cao
• Phân chia theo chương trình lớp 11 và lớp 12

Tất cả được trình bày dưới dạng bảng công thức tra cứu nhanh kèm ví dụ minh họa cụ thể.

II. Quy Tắc Đạo Hàm Cơ Bản

Trước khi đi vào các công thức cụ thể, bạn cần nắm vững 6 quy tắc đạo hàm cơ bản sau:

1. Đạo Hàm Của Hằng Số

$$(c)’ = 0 \quad \text{(với c là hằng số)}$$

Giải thích: Hằng số không thay đổi theo biến x, do đó tốc độ thay đổi (đạo hàm) của nó bằng 0.

Ví dụ:

• $(5)’ = 0$
• $(\pi)’ = 0$
• $(-100)’ = 0$

2. Quy Tắc Cộng/Trừ

$$(u \pm v)’ = u’ \pm v’$$

Đạo hàm của tổng (hiệu) bằng tổng (hiệu) các đạo hàm.

Ví dụ:

• $(x^2 + 3x)’ = (x^2)’ + (3x)’ = 2x + 3$
• $(x^3 – 5x^2)’ = 3x^2 – 10x$

3. Quy Tắc Nhân Với Hằng Số

$$(k \cdot u)’ = k \cdot u’ \quad \text{(k là hằng số)}$$

Ví dụ:

• $(5x^3)’ = 5 \cdot (x^3)’ = 5 \cdot 3x^2 = 15x^2$
• $(7\sin x)’ = 7\cos x$

4. Quy Tắc Nhân (Tích)

$$(u \cdot v)’ = u’ \cdot v + u \cdot v’$$

Đây là quy tắc quan trọng khi tính đạo hàm của tích hai hàm số.

Ví dụ:

• $(x^2 \cdot \sin x)’ = (x^2)’ \cdot \sin x + x^2 \cdot (\sin x)’ = 2x \cdot \sin x + x^2 \cdot \cos x$
• $(e^x \cdot x^3)’ = e^x \cdot x^3 + e^x \cdot 3x^2 = e^x(x^3 + 3x^2)$

5. Quy Tắc Chia (Thương)

$$\left(\frac{u}{v}\right)’ = \frac{u’ \cdot v – u \cdot v’}{v^2} \quad (v \neq 0)$$

Ví dụ:

• $\left(\frac{x}{\cos x}\right)’ = \frac{1 \cdot \cos x – x \cdot (-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{\cos x + x \sin x}{\cos^2 x}$
• $\left(\frac{x^2}{x+1}\right)’ = \frac{2x(x+1) – x^2 \cdot 1}{(x+1)^2} = \frac{x^2 + 2x}{(x+1)^2}$

6. Quy Tắc Chuỗi (Hàm Hợp)

$$[f(u(x))]’ = f'(u) \cdot u’$$

Đây là quy tắc cực kỳ quan trọng khi tính đạo hàm của hàm hợp.

Ví dụ:

• $(\sin 2x)’ = \cos(2x) \cdot (2x)’ = 2\cos(2x)$
• $(e^{x^2})’ = e^{x^2} \cdot (x^2)’ = 2xe^{x^2}$
• $[(3x+1)^5]’ = 5(3x+1)^4 \cdot 3 = 15(3x+1)^4$

III. Bảng Công Thức Đạo Hàm Cơ Bản

A. Đạo Hàm Hàm Số Lũy Thừa

Công thức tổng quát với hàm hợp:

$$[u^n]’ = n \cdot u^{n-1} \cdot u’$$

Ví dụ minh họa:

• $(3x^2 + 1)^5$: Áp dụng công thức hàm hợp: $5(3x^2+1)^4 \cdot 6x = 30x(3x^2+1)^4$
• $\sqrt{x^2 + 2x}$: $\frac{1}{2\sqrt{x^2+2x}} \cdot (2x+2) = \frac{x+1}{\sqrt{x^2+2x}}$
• $\frac{1}{x^2-1}$: $-\frac{2x}{(x^2-1)^2}$

B. Đạo Hàm Hàm Số Mũ

Công thức hàm hợp:

$$(e^u)’ = u’ \cdot e^u$$ $$(a^u)’ = u’ \cdot a^u \ln a$$

Ví dụ:

• $(e^{2x})’ = 2e^{2x}$
• $(e^{-x^2})’ = -2xe^{-x^2}$
• $(3^{x+1})’ = 3^{x+1} \ln 3$
• $(e^{\sin x})’ = \cos x \cdot e^{\sin x}$

C. Đạo Hàm Hàm Logarit

Công thức hàm hợp:

$$(\ln u)’ = \frac{u’}{u}$$ $$(\log_a u)’ = \frac{u’}{u \ln a}$$

Ví dụ:

• $(\ln(x^2 + 1))’ = \frac{2x}{x^2+1}$
• $(\log_2(3x – 1))’ = \frac{3}{(3x-1)\ln 2}$
• $(\ln|\sin x|)’ = \frac{\cos x}{\sin x} = \cot x$

D. Đạo Hàm Hàm Lượng Giác

Công thức hàm hợp:

$$(\sin u)’ = u’ \cdot \cos u$$ $$(\cos u)’ = -u’ \cdot \sin u$$ $$(\tan u)’ = \frac{u’}{\cos^2 u}$$ $$(\cot u)’ = -\frac{u’}{\sin^2 u}$$

Ví dụ:

• $(\sin 3x)’ = 3\cos 3x$
• $(\cos(x^2 + 1))’ = -2x\sin(x^2+1)$
• $(\tan 2x)’ = \frac{2}{\cos^2 2x}$
• $(\sin^2 x)’ = 2\sin x \cos x = \sin 2x$

E. Đạo Hàm Hàm Lượng Giác Ngược

Công thức hàm hợp:

$$(\arcsin u)’ = \frac{u’}{\sqrt{1-u^2}}$$ $$(\arctan u)’ = \frac{u’}{1+u^2}$$

Ví dụ:

• $(\arcsin 2x)’ = \frac{2}{\sqrt{1-4x^2}}$
• $(\arctan(x^2))’ = \frac{2x}{1+x^4}$

IV. Công Thức Đạo Hàm Nâng Cao

1. Đạo Hàm Hàm Số Chứa Căn Thức

Công thức cơ bản:

$$(\sqrt{u})’ = \frac{u’}{2\sqrt{u}}$$

Các dạng thường gặp:

Ví dụ:

• $\sqrt{2x + 3}$: Đạo hàm là $\frac{2}{2\sqrt{2x+3}} = \frac{1}{\sqrt{2x+3}}$
• $\sqrt{x^2 – 4x + 1}$: Đạo hàm là $\frac{2x-4}{2\sqrt{x^2-4x+1}} = \frac{x-2}{\sqrt{x^2-4x+1}}$

2. Đạo Hàm Hàm Trị Tuyệt Đối

Công thức:

$$|u|’ = \frac{u \cdot u’}{|u|} \quad (u \neq 0)$$

Hoặc:

$$|f(x)|’ = \begin{cases} f'(x) & \text{nếu } f(x) > 0 \\ -f'(x) & \text{nếu } f(x) < 0 \end{cases}$$

Ví dụ:

• $|x^2 – 4|$: Với $x > 2$ hoặc $x < -2$: đạo hàm là $2x$. Với $-2 < x < 2$: đạo hàm là $-2x$
• $|x|’ = \frac{x}{|x|}$ với $x \neq 0$

3. Đạo Hàm Các Phân Thức Hữu Tỉ Thường Gặp

Áp dụng quy tắc: $\left(\frac{u}{v}\right)’ = \frac{u’v – uv’}{v^2}$

Ví dụ:

• $\left(\frac{1}{2x+3}\right)’ = -\frac{2}{(2x+3)^2}$
• $\left(\frac{x}{x+1}\right)’ = \frac{1 \cdot (x+1) – x \cdot 1}{(x+1)^2} = \frac{1}{(x+1)^2}$
• $\left(\frac{2x+1}{3x-2}\right)’ = \frac{2(3x-2) – (2x+1) \cdot 3}{(3x-2)^2} = \frac{-7}{(3x-2)^2}$

V. Công Thức Đạo Hàm Cấp Cao

1. Định Nghĩa Đạo Hàm Cấp Cao

• Đạo hàm cấp 2: $f”(x) = [f'(x)]’$
• Đạo hàm cấp 3: $f”'(x) = [f”(x)]’$
• Đạo hàm cấp n: $f^{(n)}(x)$

Đạo hàm cấp cao thường được sử dụng để xét tính lồi, lõm của đồ thị, tìm điểm uốn, và trong nhiều bài toán vật lý.

2. Công Thức Đạo Hàm Cấp Cao Của Một Số Hàm Đặc Biệt

Ví dụ:

• $(x^5)” = 20x^3$, $(x^5)”’ = 60x^2$
• $(e^{2x})^{(n)} = 2^n e^{2x}$
• $(\sin x)” = -\sin x$, $(\sin x)”’ = -\cos x$

3. Công Thức Leibniz (Đạo Hàm Tích)

$$(u \cdot v)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} C_n^k \cdot u^{(k)} \cdot v^{(n-k)}$$

Trong đó $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ là tổ hợp chập k của n.

VI. Phân Chia Theo Chương Trình Học

A. Công Thức Đạo Hàm Lớp 11

Nội dung chương trình lớp 11 bao gồm:

1. Định nghĩa và ý nghĩa đạo hàm

• Đạo hàm tại một điểm theo định nghĩa giới hạn
• Ý nghĩa hình học: tiếp tuyến của đồ thị
• Ý nghĩa vật lý: vận tốc tức thời

2. Các quy tắc tính đạo hàm cơ bản

• $(u \pm v)’$, $(ku)’$, $(uv)’$, $(u/v)’$
• Quy tắc chuỗi (hàm hợp)

3. Đạo hàm các hàm số sơ cấp

• Hàm lũy thừa: $(x^n)’$ với n nguyên
• Hàm căn: $(\sqrt{x})’$
• Các phép biến đổi đơn giản

4. Vi phân

• $dy = f'(x) \cdot dx$
• Ứng dụng tính gần đúng

Bảng công thức trọng tâm lớp 11:

Lưu ý: Chương trình lớp 11 chưa học đạo hàm hàm mũ, logarit, và lượng giác.

B. Công Thức Đạo Hàm Lớp 12

Nội dung chương trình lớp 12 bao gồm:

1. Đạo hàm hàm số mũ và logarit

• $(e^x)’$, $(a^x)’$
• $(\ln x)’$, $(\log_a x)’$

2. Đạo hàm hàm lượng giác

• $(\sin x)’$, $(\cos x)’$, $(\tan x)’$, $(\cot x)’$

3. Đạo hàm hàm lượng giác ngược

• $(\arcsin x)’$, $(\arccos x)’$, $(\arctan x)’$, $(\text{arccot } x)’$

4. Đạo hàm cấp cao

• $f”(x)$, $f”'(x)$, $f^{(n)}(x)$

5. Ứng dụng đạo hàm

• Khảo sát hàm số
• Tìm cực trị, giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
• Giải phương trình, bất phương trình bằng đạo hàm

Bảng công thức trọng tâm lớp 12:

C. So Sánh Nhanh Lớp 11 vs Lớp 12

VII. Công Thức Vi Phân

1. Định Nghĩa Vi Phân

Vi phân của hàm số $y = f(x)$ được định nghĩa:

$$dy = f'(x) \cdot dx$$

Trong đó:

• $dy$: vi phân của y
• $dx$: vi phân của x (thường lấy $dx = \Delta x$)

2. Ý Nghĩa Hình Học

• $dy$ là tung độ của tiếp tuyến
• $\Delta y$ là tung độ thực của hàm số
• Khi $\Delta x$ rất nhỏ: $dy \approx \Delta y$

3. Công Thức Vi Phân Cơ Bản

4. Quy Tắc Tính Vi Phân

• $d(u \pm v) = du \pm dv$
• $d(ku) = k \cdot du$
• $d(uv) = v \cdot du + u \cdot dv$
• $d\left(\frac{u}{v}\right) = \frac{v \cdot du – u \cdot dv}{v^2}$

5. Ứng Dụng Tính Gần Đúng

$$f(x_0 + \Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0) \cdot \Delta x$$

Ví dụ: Tính gần đúng $\sqrt{101}$

• Chọn $f(x) = \sqrt{x}$, $x_0 = 100$, $\Delta x = 1$
• $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$, nên $f'(100) = \frac{1}{20} = 0.05$
• $\sqrt{101} \approx \sqrt{100} + 0.05 \cdot 1 = 10 + 0.05 = 10.05$

VIII. Mẹo Và Lưu Ý Khi Học Công Thức Đạo Hàm

1. Các Sai Lầm Thường Gặp

SAI:

• $(uv)’ = u’ \cdot v’$ ← KHÔNG ĐÚNG
• $\left(\frac{u}{v}\right)’ = \frac{u’}{v’}$ ← KHÔNG ĐÚNG
• $(u + v)^2 = u^2 + v^2$ ← KHÔNG ĐÚNG

ĐÚNG:

• $(uv)’ = u’v + uv’$
• $\left(\frac{u}{v}\right)’ = \frac{u’v – uv’}{v^2}$
• $(u + v)^2 = u^2 + 2uv + v^2$

2. Mẹo Nhớ Công Thức

Đạo hàm hàm lượng giác:

• $\sin \to \cos$ (dấu không đổi)
• $\cos \to -\sin$ (đổi dấu)
• $\tan \to \frac{1}{\cos^2}$ (mẫu bình phương của chính nó)
• $\cot \to -\frac{1}{\sin^2}$ (đổi dấu, mẫu bình phương)

Khẩu quyết: “Sin Cos không đổi, Cos Sin đổi dấu”

Đạo hàm hàm mũ và logarit:

• $e^x \to e^x$ (giữ nguyên)
• $a^x \to a^x \ln a$ (nhân thêm $\ln a$)
• $\ln x \to \frac{1}{x}$ (nghịch đảo)

Đạo hàm lũy thừa:

• “Hạ số mũ xuống, giảm số mũ đi 1”
• $x^n \to nx^{n-1}$

3. Thứ Tự Ưu Tiên Khi Tính Đạo Hàm

1. Nhận dạng dạng hàm: Xác định hàm là dạng tích, thương, hợp, hay tổng/hiệu
2. Áp dụng quy tắc phù hợp: Chọn công thức đạo hàm phù hợp với dạng hàm
3. Tính đạo hàm các thành phần: Tính lần lượt đạo hàm của từng phần
4. Rút gọn kết quả: Biến đổi và thu gọn biểu thức cuối cùng

Ví dụ minh họa:

Tính đạo hàm của $y = \frac{x^2 \sin x}{e^x}$

• Bước 1: Nhận dạng → Dạng thương, tử số là tích
• Bước 2: Áp dụng quy tắc thương và tích
• Bước 3: $y’ = \frac{(x^2 \sin x)’ \cdot e^x – x^2 \sin x \cdot (e^x)’}{(e^x)^2}$
• Bước 4: $y’ = \frac{(2x\sin x + x^2\cos x)e^x – x^2 \sin x \cdot e^x}{e^{2x}} = \frac{e^x(2x\sin x + x^2\cos x – x^2\sin x)}{e^{2x}}$
• Rút gọn: $y’ = \frac{2x\sin x + x^2\cos x – x^2\sin x}{e^x}$

4. Cách Kiểm Tra Kết Quả

• Thế số cụ thể: Chọn giá trị x đơn giản (như $x = 0, 1, \pi$) để kiểm tra
• Dùng đồ thị: Vẽ đồ thị hàm gốc và đạo hàm để so sánh
• So sánh với bạn bè: Trao đổi và kiểm tra chéo kết quả
• Sử dụng máy tính: Casio fx-580VN X, Vinacal 570ES Plus II có chức năng tính đạo hàm

5. Mẹo Làm Bài Nhanh

• Học thuộc công thức cơ bản: Đây là nền tảng để tính nhanh
• Rèn kỹ năng nhận dạng: Luyện mắt nhìn nhanh dạng bài
• Luyện tập đều đặn: Mỗi ngày ít nhất 5-10 bài đạo hàm
• Làm từ dễ đến khó: Không nên bỏ qua các bài cơ bản

IX. Kết Luận

Tổng Kết

Bài viết đã tổng hợp đầy đủ các công thức đạo hàm từ cơ bản đến nâng cao, bao gồm:

6 quy tắc đạo hàm cơ bản (cộng, trừ, nhân, chia, nhân hằng số, hàm hợp)

Công thức đạo hàm theo loại hàm:

• Hàm lũy thừa: $x^n, \sqrt{x}, \frac{1}{x}$
• Hàm mũ: $e^x, a^x$
• Hàm logarit: $\ln x, \log_a x$
• Hàm lượng giác: $\sin, \cos, \tan, \cot$
• Hàm lượng giác ngược: $\arcsin, \arccos, \arctan$

Đạo hàm nâng cao: căn thức, trị tuyệt đối, phân thức hữu tỉ, đạo hàm cấp cao

Phân chia rõ ràng theo chương trình lớp 11 và lớp 12

Công thức vi phân và ứng dụng tính gần đúng

Tầm Quan Trọng Của Đạo Hàm

Trong toán học:

• Đạo hàm là nền tảng của giải tích – một trong những ngành toán học quan trọng nhất
• Là công cụ chính để khảo sát hàm số: tìm cực trị, tính đơn điệu, tính lồi lõm
• Liên quan mật thiết đến tích phân và phương trình vi phân

Trong thực tế:

• Vật lý: Tính vận tốc (đạo hàm quãng đường), gia tốc (đạo hàm vận tốc), công suất
• Kinh tế: Phân tích chi phí biên, doanh thu biên, lợi nhuận tối ưu
• Khoa học máy tính: Thuật toán gradient descent trong Machine Learning, tối ưu hóa
• Kỹ thuật: Thiết kế tối ưu, phân tích dao động, điều khiển tự động
• Y học: Mô hình hóa tốc độ phản ứng sinh hóa, dược động học

Lời Khuyên Cuối

Học thuộc công thức cơ bản trước: Đừng cố gắng nhớ tất cả cùng lúc. Bắt đầu với 6 quy tắc cơ bản và các công thức thường gặp nhất.

Hiểu logic đằng sau mỗi công thức: Đừng học vẹt. Hãy hiểu tại sao $(\sin x)’ = \cos x$ bằng cách xem xét đồ thị và ý nghĩa hình học.

Luyện tập thường xuyên: Mỗi ngày dành 15-30 phút làm bài tập đạo hàm. Sự kiên trì là chìa khóa thành công.

Đừng ngại hỏi khi không hiểu: Hỏi thầy cô, bạn bè, hoặc tìm kiếm trên internet. Không có câu hỏi ngu ngốc trong toán học.

Kết hợp nhiều nguồn học: Sách giáo khoa, sách tham khảo, video trên YouTube, và các trang web giáo dục.

Tài Nguyên Bổ Sung

Để học tốt đạo hàm, bạn có thể tham khảo thêm:

• Sách giáo khoa: Toán 11, Toán 12 (Chương trình mới)
• Sách bài tập: Nâng cao và phát triển Toán 11, 12
• Video bài giảng: Kênh Toán học Mr. Tâm, Hoc247, VietJack
• Website luyện tập: VietAccepted, HOCMAI, Mathvn

Kêu Gọi Hành Động

Lưu lại bài viết này để tra cứu nhanh khi làm bài tập hoặc ôn thi.

Tải về bảng công thức PDF (nếu website cung cấp) để in ra và dán lên bàn học.

Xem thêm các bài viết liên quan:

• Công thức đạo hàm lượng giác chi tiết với 50+ ví dụ
• Kỹ thuật tính đạo hàm nhanh – Mẹo nhớ và áp dụng
• Công thức đạo hàm và nguyên hàm – Bảng đối chiếu đầy đủ
• Bài tập đạo hàm có lời giải chi tiết từ cơ bản đến nâng cao
• Ứng dụng đạo hàm trong khảo sát hàm số

Chia sẻ bài viết này đến bạn bè cùng học để cùng nhau tiến bộ!

Phụ Lục: Bảng Tổng Hợp Công Thức Nhanh

Bảng 1: Công Thức Đạo Hàm Cơ Bản (Lớp 11)

Bảng 2: Công Thức Đạo Hàm Mở Rộng (Lớp 12)

Bảng 3: Quy Tắc Đạo Hàm

Bài viết được biên soạn dựa trên chương trình Toán THPT hiện hành, tham khảo từ sách giáo khoa và tài liệu ôn thi THPT Quốc gia.

ThS. Nguyễn Văn An

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn Tổ Toán tại Edus

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán học, Thạc sĩ Lý luận & Phương pháp dạy học môn Toán, Chức danh nghề nghiệp giáo viên THPT – Hạng II, Tin học ứng dụng cơ bản, Ngoại ngữ B1, Chứng chỉ bồi dưỡng năng lực tổ trưởng chuyên môn

Kinh nghiệm: 12+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT chuyên Trần Đại Nghĩa