I. Giới Thiệu Về Đạo Hàm Hàm Mũ Và Logarit

1. Hàm mũ và logarit là gì?

Hàm mũ:

Định nghĩa: Hàm mũ có dạng $f(x) = a^x$ với $a > 0, a \neq 1$

Trường hợp đặc biệt:

• $e^x$ với số $e ≈ 2.718281828…$ (số Euler)
• Đây là hằng số toán học quan trọng nhất, xuất hiện khắp nơi trong tự nhiên

Đặc điểm của hàm mũ:

• Khi $a > 1$: Hàm tăng rất nhanh (tăng trưởng mũ)
• Khi $0 < a < 1$: Hàm giảm nhanh (phân rã mũ)
• Luôn dương: $a^x > 0$ với mọi $x$
• Đi qua điểm $(0, 1)$: $a^0 = 1$

Ví dụ thực tế:

• Tăng trưởng dân số: $P(t) = P_0 \cdot e^{rt}$
• Phân rã phóng xạ: $N(t) = N_0 \cdot e^{-\lambda t}$
• Lãi kép ngân hàng: $A = P(1 + r)^t$

Hàm logarit:

Định nghĩa: Hàm logarit có dạng $f(x) = \log_a x$ với $a > 0, a \neq 1, x > 0$

Trường hợp đặc biệt:

• $\ln x = \log_e x$ (logarit tự nhiên – natural logarithm)
• $\log x = \log_{10} x$ (logarit thập phân – common logarithm)

Mối quan hệ với hàm mũ:

• Hàm logarit là hàm ngược của hàm mũ
• $y = \log_a x \Leftrightarrow a^y = x$
• $y = \ln x \Leftrightarrow e^y = x$

Đặc điểm của hàm logarit:

• Chỉ xác định khi $x > 0$
• Tăng chậm dần khi x tăng
• Đi qua điểm $(1, 0)$: $\log_a 1 = 0$
• Tiệm cận đứng tại $x = 0$

Đồ thị so sánh:

Đồ thị $e^x$:

• Đi qua điểm $(0, 1)$
• Tăng rất nhanh về phía dương
• Tiệm cận ngang: $y = 0$ khi $x \to -\infty$

Đồ thị $\ln x$:

• Đi qua điểm $(1, 0)$
• Tăng chậm dần
• Tiệm cận đứng: $x = 0$

Tính đối xứng:

• Hai đồ thị $y = e^x$ và $y = \ln x$ đối xứng qua đường $y = x$
• Điều này phản ánh mối quan hệ hàm ngược

2. Tại sao cần học đạo hàm hàm mũ và logarit?

Đạo hàm hàm mũ và logarit không chỉ là kiến thức trọng tâm trong chương trình Toán 12 mà còn có ứng dụng cực kỳ rộng rãi trong thực tiễn.

Ứng dụng trong các lĩnh vực:

Toán học:

• Giải phương trình và bất phương trình mũ, logarit
• Khảo sát hàm số chứa mũ và logarit
• Tích phân các hàm mũ và logarit
• Giải phương trình vi phân

Vật lý:

• Phóng xạ hạt nhân: Số nguyên tử còn lại theo thời gian
• Dao động tắt dần: Biên độ giảm theo hàm mũ
• Sạc/xả tụ điện: Điện tích theo thời gian
• Cường độ âm: Thang đo decibel (dB) sử dụng logarit

Hóa học:

• Độ pH: $pH = -\log[H^+]$ đo độ axit/bazơ
• Tốc độ phản ứng: Phụ thuộc vào hàm mũ của nhiệt độ
• Nồng độ chất: Biến đổi theo phản ứng bậc nhất

Kinh tế:

• Lãi suất kép: $A = Pe^{rt}$ (lãi kép liên tục)
• Tăng trưởng kinh tế: GDP theo thời gian
• Khấu hao: Giá trị tài sản giảm theo thời gian
• Mô hình cung-cầu: Độ co giãn logarit

Sinh học:

• Tăng trưởng vi khuẩn: $N(t) = N_0 e^{kt}$
• Dược động học: Nồng độ thuốc trong máu
• Mô hình dân số: Tăng trưởng Malthus, mô hình logistic
• Enzyme: Động học Michaelis-Menten

Công nghệ:

• Thuật toán: Độ phức tạp $O(\log n)$
• Mã hóa: RSA, hàm băm
• Xử lý tín hiệu: Biến đổi Fourier
• Machine Learning: Hàm softmax, entropy

Trong kỳ thi THPT Quốc gia:

Đạo hàm hàm mũ và logarit là một trong những chủ đề xuất hiện thường xuyên nhất, chiếm khoảng 15-20% số câu hỏi phần Giải tích. Các dạng bài thường gặp:

• Tính đạo hàm trực tiếp
• Tìm cực trị của hàm số
• Viết phương trình tiếp tuyến
• Giải phương trình, bất phương trình chứa đạo hàm
• Bài toán thực tế ứng dụng

Nắm vững kiến thức này giúp bạn tự tin giải quyết nhiều dạng bài từ cơ bản đến nâng cao, đồng thời là nền tảng cho các chương sau như Tích phân, Ứng dụng đạo hàm.

3. Nội dung bài viết

Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn một hệ thống kiến thức hoàn chỉnh:

Công thức đạo hàm hàm mũ ($e^x$, $a^x$) với giải thích chi tiết

Công thức đạo hàm logarit ($\ln x$, $\log_a x$) với ví dụ minh họa

Chứng minh công thức từ định nghĩa (có thể bỏ qua nếu chỉ cần biết công thức)

Đạo hàm hàm hợp với 5 dạng phổ biến cho mỗi loại hàm

7 dạng bài tập thường gặp kèm lời giải mẫu chi tiết

Mẹo nhớ công thức và các lưu ý quan trọng để tránh sai sót

Ứng dụng thực tế trong các lĩnh vực khác nhau

II. Công Thức Đạo Hàm Hàm Mũ

1. Bảng công thức đạo hàm hàm mũ cơ bản

Đặc điểm nổi bật:

• $e^x$ là hàm duy nhất có đạo hàm bằng chính nó: $(e^x)’ = e^x$
• Với $a^x$: đạo hàm là chính nó nhân với $\ln a$
• Đây là lý do tại sao $e$ được gọi là cơ số tự nhiên – nó làm cho công thức đạo hàm trở nên đơn giản nhất

2. Chi tiết từng công thức

a) Đạo hàm của $e^x$:

$$(e^x)’ = e^x$$

Giải thích:

Đây là tính chất đặc biệt và quan trọng nhất của hàm $e^x$:

• Hàm số có tốc độ tăng trưởng bằng chính giá trị của nó
• Tại mọi điểm $x$, độ dốc của tiếp tuyến bằng giá trị hàm số
• Đây là lý do tại sao $e^x$ xuất hiện trong rất nhiều hiện tượng tự nhiên

Ví dụ cụ thể:

• Tại $x = 0$: $e^0 = 1$, độ dốc $= 1$
• Tại $x = 1$: $e^1 = e ≈ 2.718$, độ dốc $≈ 2.718$
• Tại $x = 2$: $e^2 ≈ 7.389$, độ dốc $≈ 7.389$

Ý nghĩa thực tế:

• Nếu bạn có 1 đồng tiền và nó tăng trưởng với tốc độ bằng chính giá trị hiện tại, sau 1 đơn vị thời gian bạn sẽ có $e$ đồng
• Đây chính là mô hình lãi kép liên tục

b) Đạo hàm của $a^x$:

$$(a^x)’ = a^x \ln a$$

Giải thích:

Công thức tổng quát cho mọi cơ số $a > 0, a \neq 1$:

• Khi $a = e$ thì $\ln e = 1$, ta có lại $(e^x)’ = e^x$
• Hệ số $\ln a$ phản ánh tốc độ tăng/giảm so với $e^x$

Phân tích theo giá trị của $a$:

• Nếu $a > e$: $\ln a > 1$ → đạo hàm lớn hơn $a^x$ → tăng nhanh hơn $e^x$
  • Ví dụ: $a = 3$, thì $\ln 3 ≈ 1.099$
• Nếu $a = e$: $\ln a = 1$ → đạo hàm bằng $e^x$ → bằng $e^x$
  • Trường hợp đặc biệt hoàn hảo
• Nếu $1 < a < e$: $0 < \ln a < 1$ → đạo hàm nhỏ hơn $a^x$ → tăng chậm hơn $e^x$
  • Ví dụ: $a = 2$, thì $\ln 2 ≈ 0.693$
• Nếu $0 < a < 1$: $\ln a < 0$ → đạo hàm âm → hàm nghịch biến
  • Ví dụ: $a = 0.5$, thì $\ln 0.5 ≈ -0.693$

Ví dụ cụ thể:

• $(2^x)’ = 2^x \ln 2 ≈ 0.693 \cdot 2^x$
• $(10^x)’ = 10^x \ln 10 ≈ 2.303 \cdot 10^x$
• $(0.5^x)’ = 0.5^x \ln 0.5 ≈ -0.693 \cdot 0.5^x$

3. Đạo hàm hàm mũ với hàm hợp

Công thức tổng quát:

Khi có hàm hợp $u(x)$:

$$(e^u)’ = u’ \cdot e^u$$ $$(a^u)’ = u’ \cdot a^u \ln a$$

Quy tắc nhớ: Đạo hàm hàm hợp = (đạo hàm trong) × (đạo hàm ngoài)

Dạng 1: Hàm mũ của (ax + b)

Công thức:

Ví dụ minh họa:

1. $(e^{3x})’ = 3e^{3x}$
   • $u = 3x$, $u’ = 3$
2. $(e^{-2x})’ = -2e^{-2x}$
   • $u = -2x$, $u’ = -2$
3. $(e^{x+1})’ = e^{x+1}$
   • $u = x + 1$, $u’ = 1$
4. $(2^{5x})’ = 5\ln 2 \cdot 2^{5x}$
   • $u = 5x$, $u’ = 5$

Dạng 2: Hàm mũ của đa thức

Ví dụ 1: $e^{x^2}$

• Đặt $u = x^2$, $u’ = 2x$
• $(e^{x^2})’ = 2x \cdot e^{x^2}$

Ví dụ 2: $e^{x^3 + 2x}$

• Đặt $u = x^3 + 2x$, $u’ = 3x^2 + 2$
• $(e^{x^3+2x})’ = (3x^2 + 2)e^{x^3+2x}$

Ví dụ 3: $3^{x^2-1}$

• Đặt $u = x^2 – 1$, $u’ = 2x$
• $(3^{x^2-1})’ = 2x \ln 3 \cdot 3^{x^2-1}$

Ví dụ 4: $e^{-x^2}$ (hàm Gauss)

• Đặt $u = -x^2$, $u’ = -2x$
• $(e^{-x^2})’ = -2x \cdot e^{-x^2}$

Dạng 3: Hàm mũ của căn, phân thức

Ví dụ 1: $e^{\sqrt{x}}$

• Đặt $u = \sqrt{x} = x^{1/2}$, $u’ = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$
• $(e^{\sqrt{x}})’ = \dfrac{e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}$

Ví dụ 2: $e^{1/x}$

• Đặt $u = \dfrac{1}{x} = x^{-1}$, $u’ = -\dfrac{1}{x^2}$
• $(e^{1/x})’ = -\dfrac{e^{1/x}}{x^2}$

Ví dụ 3: $2^{\sqrt{x+1}}$

• Đặt $u = \sqrt{x+1}$, $u’ = \dfrac{1}{2\sqrt{x+1}}$
• $(2^{\sqrt{x+1}})’ = \dfrac{\ln 2 \cdot 2^{\sqrt{x+1}}}{2\sqrt{x+1}}$

Dạng 4: Tích, thương chứa hàm mũ

Quy tắc cần nhớ:

• Tích: $(uv)’ = u’v + uv’$
• Thương: $\left(\dfrac{u}{v}\right)’ = \dfrac{u’v – uv’}{v^2}$

Ví dụ 1: $(x \cdot e^x)’$

Áp dụng quy tắc tích: $$= 1 \cdot e^x + x \cdot e^x = (1+x)e^x$$

Ví dụ 2: $(x^2 \cdot e^{2x})’$

$$= 2x \cdot e^{2x} + x^2 \cdot 2e^{2x}$$ $$= 2xe^{2x}(1+x)$$

Ví dụ 3: $\left(\dfrac{e^x}{x}\right)’$

Áp dụng quy tắc thương: $$= \dfrac{e^x \cdot x – e^x \cdot 1}{x^2} = \dfrac{e^x(x-1)}{x^2}$$

Ví dụ 4: $\left(\dfrac{x}{e^x}\right)’$

$$= \dfrac{1 \cdot e^x – x \cdot e^x}{e^{2x}} = \dfrac{e^x(1-x)}{e^{2x}} = \dfrac{1-x}{e^x}$$

Ví dụ 5: $(x^3 \cdot 2^x)’$

$$= 3x^2 \cdot 2^x + x^3 \cdot 2^x \ln 2$$ $$= x^2 \cdot 2^x(3 + x\ln 2)$$

Dạng 5: Hàm hợp phức tạp

Ví dụ 1: $e^{\sin x}$

• Đặt $u = \sin x$, $u’ = \cos x$
• $(e^{\sin x})’ = \cos x \cdot e^{\sin x}$

Ví dụ 2: $e^{e^x}$ (hàm mũ lồng nhau)

• Đặt $u = e^x$, $u’ = e^x$
• $(e^{e^x})’ = e^x \cdot e^{e^x}$

Ví dụ 3: $2^{\cos x}$

• Đặt $u = \cos x$, $u’ = -\sin x$
• $(2^{\cos x})’ = -\sin x \cdot \ln 2 \cdot 2^{\cos x}$

Ví dụ 4: $e^{x^2 \sin x}$

• Đặt $u = x^2 \sin x$
• $u’ = 2x \sin x + x^2 \cos x$
• $(e^{x^2 \sin x})’ = (2x \sin x + x^2 \cos x)e^{x^2 \sin x}$

4. Bảng tổng hợp các dạng đặc biệt

III. Công Thức Đạo Hàm Hàm Logarit

1. Bảng công thức đạo hàm logarit cơ bản

Đặc điểm quan trọng:

• $\ln x$ có dạng đạo hàm đơn giản nhất: $\dfrac{1}{x}$
• Với $\log_a x$: đạo hàm có thêm $\ln a$ ở mẫu
• ⚠️ LƯU Ý QUAN TRỌNG: Điều kiện $x > 0$ là BẮT BUỘC cho mọi hàm logarit

2. Chi tiết từng công thức

a) Đạo hàm của $\ln x$:

$$(\ln x)’ = \dfrac{1}{x} \quad (x > 0)$$

Giải thích:

Đây là công thức cơ bản và quan trọng nhất của logarit:

• Đạo hàm nghịch đảo với $x$
• Tại $x$ lớn, độ dốc nhỏ (hàm tăng chậm dần)
• Tại $x$ nhỏ gần 0, độ dốc rất lớn (hàm tăng rất nhanh)

Ví dụ số cụ thể:

• Tại $x = 1$: $(\ln x)’ = 1$ (độ dốc = 1)
• Tại $x = 2$: $(\ln x)’ = 0.5$ (độ dốc = 0.5)
• Tại $x = 10$: $(\ln x)’ = 0.1$ (độ dốc = 0.1)
• Tại $x = 0.1$: $(\ln x)’ = 10$ (độ dốc = 10)

Mối liên hệ với $e^x$:

Vì $\ln x$ và $e^x$ là hai hàm ngược nhau:

• Nếu $y = \ln x$ thì $x = e^y$
• Lấy đạo hàm: $1 = e^y \cdot \dfrac{dy}{dx}$
• Suy ra: $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{e^y} = \dfrac{1}{x}$

Điều này giải thích tại sao đạo hàm của $\ln x$ lại là $\dfrac{1}{x}$!

b) Đạo hàm của $\log_a x$:

$$(\log_a x)’ = \dfrac{1}{x \ln a} \quad (x > 0, a > 0, a \neq 1)$$

Giải thích:

Công thức tổng quát cho logarit với cơ số bất kỳ:

• So với $\ln x$, chỉ thêm $\ln a$ ở mẫu
• Khi $a = e$ thì $\ln e = 1$, ta có lại $(\ln x)’ = \dfrac{1}{x}$

Công thức chuyển đổi:

$$\log_a x = \dfrac{\ln x}{\ln a}$$

Do đó, ta có thể chứng minh:

$$(\log_a x)’ = \left(\dfrac{\ln x}{\ln a}\right)’ = \dfrac{1}{\ln a} \cdot (\ln x)’ = \dfrac{1}{\ln a} \cdot \dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{x \ln a}$$

Ví dụ cụ thể:

• $(\log_2 x)’ = \dfrac{1}{x \ln 2} ≈ \dfrac{1.443}{x}$
• $(\log_{10} x)’ = \dfrac{1}{x \ln 10} ≈ \dfrac{0.434}{x}$
• $(\log_3 x)’ = \dfrac{1}{x \ln 3} ≈ \dfrac{0.910}{x}$
• $(\log_{0.5} x)’ = \dfrac{1}{x \ln 0.5} ≈ \dfrac{-1.443}{x}$

c) So sánh các đạo hàm:

Với cùng giá trị $x = 2$:

• $(\ln 2)’ = \dfrac{1}{2} = 0.5$
• $(\log_2 2)’ = \dfrac{1}{2 \ln 2} ≈ 0.721$
• $(\log_{10} 2)’ = \dfrac{1}{2 \ln 10} ≈ 0.217$

Kết luận: $(\ln x)’$ có giá trị lớn nhất trong các hàm logarit với cùng $x$.

3. Đạo hàm logarit với hàm hợp

Công thức tổng quát:

$$(\ln u)’ = \dfrac{u’}{u}$$ $$(\log_a u)’ = \dfrac{u’}{u \ln a}$$

Quy tắc nhớ: Đạo hàm trong / hàm trong

⚠️ Chú ý: Phải đảm bảo $u > 0$ trong miền xét!

Dạng 1: Logarit của (ax + b)

Công thức:

Ví dụ minh họa:

1. $(\ln(3x + 2))’ = \dfrac{3}{3x+2}$
   • $u = 3x + 2$, $u’ = 3$
2. $(\ln(2x))’ = \dfrac{2}{2x} = \dfrac{1}{x}$
   • Chú ý: $\ln(2x) = \ln 2 + \ln x$
3. $(\log_2(5x – 1))’ = \dfrac{5}{(5x-1)\ln 2}$
   • $u = 5x – 1$, $u’ = 5$
4. $[\ln(1-x)]’ = \dfrac{-1}{1-x}$
   • $u = 1 – x$, $u’ = -1$

Dạng 2: Logarit của đa thức

Ví dụ 1: $\ln(x^2 + 1)$

• Đặt $u = x^2 + 1$, $u’ = 2x$
• $[\ln(x^2+1)]’ = \dfrac{2x}{x^2+1}$

Ví dụ 2: $\ln(x^3 – 2x + 5)$

• Đặt $u = x^3 – 2x + 5$, $u’ = 3x^2 – 2$
• $[\ln(x^3-2x+5)]’ = \dfrac{3x^2-2}{x^3-2x+5}$

Ví dụ 3: $\log_3(x^2 + 4x)$

• Đặt $u = x^2 + 4x$, $u’ = 2x + 4$
• $[\log_3(x^2+4x)]’ = \dfrac{2x+4}{(x^2+4x)\ln 3}$

Ví dụ 4: $\ln(x^4 – 3x^2 + 2)$

• Đặt $u = x^4 – 3x^2 + 2$, $u’ = 4x^3 – 6x$
• $[\ln(x^4-3x^2+2)]’ = \dfrac{4x^3-6x}{x^4-3x^2+2}$

Dạng 3: Logarit của căn, phân thức

Ví dụ 1: $\ln(\sqrt{x})$

Cách 1: Biến đổi trước

• $\ln(\sqrt{x}) = \ln(x^{1/2}) = \dfrac{1}{2}\ln x$
• $[\ln(\sqrt{x})]’ = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{2x}$

Cách 2: Dùng công thức hàm hợp

• Đặt $u = \sqrt{x}$, $u’ = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$
• $[\ln(\sqrt{x})]’ = \dfrac{1/(2\sqrt{x})}{\sqrt{x}} = \dfrac{1}{2x}$

→ Cách 1 nhanh hơn!

Ví dụ 2: $\ln\left(\dfrac{x+1}{x-1}\right)$

Cách tốt: Biến đổi trước bằng tính chất logarit

• $\ln\left(\dfrac{x+1}{x-1}\right) = \ln(x+1) – \ln(x-1)$
• $\left[\ln\left(\dfrac{x+1}{x-1}\right)\right]’ = \dfrac{1}{x+1} – \dfrac{1}{x-1}$
• $= \dfrac{(x-1) – (x+1)}{(x+1)(x-1)} = \dfrac{-2}{x^2-1}$

Ví dụ 3: $\ln(\sqrt{x^2 + 1})$

• $\ln(\sqrt{x^2+1}) = \dfrac{1}{2}\ln(x^2+1)$
• $[\ln(\sqrt{x^2+1})]’ = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2x}{x^2+1} = \dfrac{x}{x^2+1}$

Ví dụ 4: $\ln\left(\dfrac{1}{x^2}\right) = \ln(x^{-2}) = -2\ln x$

• $[\ln(x^{-2})]’ = -2 \cdot \dfrac{1}{x} = -\dfrac{2}{x}$

Dạng 4: Logarit của hàm lượng giác

Ví dụ 1: $\ln(\sin x)$

• Đặt $u = \sin x$, $u’ = \cos x$
• $[\ln(\sin x)]’ = \dfrac{\cos x}{\sin x} = \cot x$

Ví dụ 2: $\ln(\cos x)$

• Đặt $u = \cos x$, $u’ = -\sin x$
• $[\ln(\cos x)]’ = \dfrac{-\sin x}{\cos x} = -\tan x$

Ví dụ 3: $\ln(\tan x)$

• Đặt $u = \tan x$, $u’ = \dfrac{1}{\cos^2 x}$
• $[\ln(\tan x)]’ = \dfrac{1/\cos^2 x}{\tan x} = \dfrac{1}{\sin x \cos x}$

Ví dụ 4: $\ln(1 + \cos x)$

• Đặt $u = 1 + \cos x$, $u’ = -\sin x$
• $[\ln(1+\cos x)]’ = \dfrac{-\sin x}{1+\cos x}$

Dạng 5: Logarit của hàm mũ

Ví dụ 1: $\ln(e^x) = x$

• $[\ln(e^x)]’ = 1$
• Giải thích: Vì $\ln(e^x) = x$ là hàm đồng nhất

Ví dụ 2: $\ln(e^{2x})$

• $\ln(e^{2x}) = 2x$
• $[\ln(e^{2x})]’ = 2$

Ví dụ 3: $\ln(2^x)$

• Đặt $u = 2^x$, $u’ = 2^x \ln 2$
• $[\ln(2^x)]’ = \dfrac{2^x \ln 2}{2^x} = \ln 2$

Ví dụ 4: $\log_2(e^x)$

• Đặt $u = e^x$, $u’ = e^x$
• $[\log_2(e^x)]’ = \dfrac{e^x}{e^x \ln 2} = \dfrac{1}{\ln 2}$

Quy luật chung: $[\ln(a^{f(x)})]’ = f'(x) \ln a$

Dạng 6: Tích, thương chứa logarit

Quy tắc:

• Tích: $(uv)’ = u’v + uv’$
• Thương: $\left(\dfrac{u}{v}\right)’ = \dfrac{u’v – uv’}{v^2}$

Ví dụ 1: $(x \ln x)’$

$= 1 \cdot \ln x + x \cdot \dfrac{1}{x} = \ln x + 1$

Ví dụ 2: $(x^2 \ln x)’$

$= 2x \cdot \ln x + x^2 \cdot \dfrac{1}{x}$ $= 2x\ln x + x = x(2\ln x + 1)$

Ví dụ 3: $\left(\dfrac{\ln x}{x}\right)’$

$= \dfrac{(1/x) \cdot x – \ln x \cdot 1}{x^2} = \dfrac{1 – \ln x}{x^2}$

Ví dụ 4: $\left(\dfrac{x}{\ln x}\right)’$

$= \dfrac{1 \cdot \ln x – x \cdot (1/x)}{(\ln x)^2} = \dfrac{\ln x – 1}{(\ln x)^2}$

Ví dụ 5: $(x^3 \ln x)’$

$= 3x^2 \ln x + x^3 \cdot \dfrac{1}{x}$ $= 3x^2 \ln x + x^2 = x^2(3\ln x + 1)$

Ví dụ 6: $\left(\dfrac{\ln x}{x^2}\right)’$

$= \dfrac{(1/x) \cdot x^2 – \ln x \cdot 2x}{x^4}$ $= \dfrac{x – 2x\ln x}{x^4} = \dfrac{1 – 2\ln x}{x^3}$

4. Bảng tổng hợp các dạng đặc biệt

IV. Mối Liên Hệ Giữa Hàm Mũ Và Logarit

1. Mối quan hệ ngược nhau

Định nghĩa:

Hàm mũ và logarit là hai hàm ngược của nhau:

• $y = a^x \Leftrightarrow x = \log_a y$
• $y = e^x \Leftrightarrow x = \ln y$

Đồ thị: Hai đồ thị đối xứng qua đường thẳng $y = x$

Hệ quả quan trọng:

Các đẳng thức cơ bản:

• $a^{\log_a x} = x$ (với $x > 0$)
• $\log_a(a^x) = x$ (với mọi $x$)
• $e^{\ln x} = x$ (với $x > 0$)
• $\ln(e^x) = x$ (với mọi $x$)

Ví dụ ứng dụng:

• $e^{\ln 5} = 5$
• $\ln(e^3) = 3$
• $2^{\log_2 7} = 7$
• $\log_3(3^{-2}) = -2$

2. Tính chất đạo hàm liên quan

Tính chất 1: Tích đạo hàm của hai hàm ngược

Nếu $f(x) = a^x$ và $g(x) = \log_a x$:

$f'(x) \cdot g'(x) = a^x \ln a \cdot \dfrac{1}{x \ln a} = \dfrac{a^x}{x}$

Với trường hợp đặc biệt $a = e$:

$(e^x)’ \cdot (\ln x)’ = e^x \cdot \dfrac{1}{x} = \dfrac{e^x}{x}$

Tính chất 2: Đạo hàm hàm hợp đặc biệt

Công thức hữu ích:

• $[\ln(e^{f(x)})]’ = f'(x)$
• $[e^{\ln f(x)}]’ = f'(x)$ (với $f(x) > 0$)

Chứng minh:

• $\ln(e^{f(x)}) = f(x)$ nên $[\ln(e^{f(x)})]’ = f'(x)$
• $e^{\ln f(x)} = f(x)$ nên $[e^{\ln f(x)}]’ = f'(x)$

3. Công thức biến đổi hữu ích

Đổi cơ số logarit:

$\log_a x = \dfrac{\ln x}{\ln a} = \dfrac{\log_b x}{\log_b a}$

Ứng dụng trong đạo hàm:

$(\log_a x)’ = \left(\dfrac{\ln x}{\ln a}\right)’ = \dfrac{1}{\ln a} \cdot \dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{x \ln a}$

Biến đổi hàm mũ:

$a^x = e^{x \ln a}$

Chứng minh đạo hàm:

$(a^x)’ = (e^{x \ln a})’ = \ln a \cdot e^{x \ln a} = a^x \ln a$

Logarit của lũy thừa:

$\ln(x^n) = n\ln x$

Ứng dụng:

$[\ln(x^n)]’ = n \cdot \dfrac{1}{x} = \dfrac{n}{x}$

Ví dụ:

• $[\ln(x^3)]’ = \dfrac{3}{x}$
• $[\ln(\sqrt{x})]’ = [\ln(x^{1/2})]’ = \dfrac{1/2}{x} = \dfrac{1}{2x}$

4. Đạo hàm của $x^x$ (Bonus)

Đây là dạng đặc biệt: cả cơ số và số mũ đều là $x$

Cách tính:

Bước 1: Biến đổi về dạng hàm mũ cơ số $e$

$y = x^x = e^{x \ln x}$

Bước 2: Tính đạo hàm hàm hợp

$y’ = e^{x \ln x} \cdot (x \ln x)’$

Bước 3: Tính $(x \ln x)’$

$(x \ln x)’ = 1 \cdot \ln x + x \cdot \dfrac{1}{x} = \ln x + 1$

Bước 4: Kết hợp lại

$y’ = e^{x \ln x} \cdot (\ln x + 1) = x^x(\ln x + 1)$

Vậy: $(x^x)’ = x^x(\ln x + 1)$

Tổng quát: Đạo hàm của $u^v$

Khi cả $u$ và $v$ đều phụ thuộc vào $x$:

$y = u^v = e^{v \ln u}$ $y’ = e^{v \ln u} \cdot (v \ln u)’$ $y’ = u^v \left(v’ \ln u + v \cdot \dfrac{u’}{u}\right)$

Công thức:

$(u^v)’ = u^v \left(v’ \ln u + \dfrac{vu’}{u}\right)$

Ví dụ: $(x^{\sin x})’$

• $u = x$, $u’ = 1$
• $v = \sin x$, $v’ = \cos x$
• $(x^{\sin x})’ = x^{\sin x}\left(\cos x \cdot \ln x + \dfrac{\sin x \cdot 1}{x}\right)$
• $= x^{\sin x}\left(\cos x \ln x + \dfrac{\sin x}{x}\right)$

Lưu ý: Công thức này phức tạp và ít dùng. Thường ta biến đổi thành $e^{v\ln u}$ rồi tính.

V. Các Dạng Bài Tập Thường Gặp

Dạng 1: Tính đạo hàm trực tiếp hàm mũ

Bài tập mẫu 1: Tính đạo hàm của $y = e^{3x} + 2^x$

Lời giải:

$y’ = (e^{3x})’ + (2^x)’$ $y’ = 3e^{3x} + 2^x \ln 2$

Đáp án: $y’ = 3e^{3x} + 2^x \ln 2$

Bài tập mẫu 2: Tính đạo hàm của $y = e^{x^2 – 2x}$

Lời giải:

Đặt $u = x^2 – 2x$, $u’ = 2x – 2$

$y’ = (2x – 2)e^{x^2-2x}$ $y’ = 2(x-1)e^{x^2-2x}$

Đáp án: $y’ = 2(x-1)e^{x^2-2x}$

Bài tập mẫu 3: Tính đạo hàm của $y = x \cdot e^{2x}$

Lời giải:

Áp dụng quy tắc tích $(uv)’ = u’v + uv’$:

$y’ = 1 \cdot e^{2x} + x \cdot 2e^{2x}$ $y’ = e^{2x} + 2xe^{2x}$ $y’ = e^{2x}(1 + 2x)$

Đáp án: $y’ = e^{2x}(1 + 2x)$

Dạng 2: Tính đạo hàm trực tiếp logarit

Bài tập mẫu 4: Tính đạo hàm của $y = \ln(x^2 + 3x + 1)$

Lời giải:

Đặt $u = x^2 + 3x + 1$, $u’ = 2x + 3$

$y’ = \dfrac{2x + 3}{x^2 + 3x + 1}$

Đáp án: $y’ = \dfrac{2x + 3}{x^2 + 3x + 1}$

Bài tập mẫu 5: Tính đạo hàm của $y = \log_2(4x – 1)$

Lời giải:

Đặt $u = 4x – 1$, $u’ = 4$

$y’ = \dfrac{4}{(4x-1) \ln 2}$

Đáp án: $y’ = \dfrac{4}{(4x-1) \ln 2}$

Bài tập mẫu 6: Tính đạo hàm của $y = x^2 \ln x$

Lời giải:

Áp dụng quy tắc tích:

$y’ = 2x \cdot \ln x + x^2 \cdot \dfrac{1}{x}$ $y’ = 2x \ln x + x$ $y’ = x(2\ln x + 1)$

Đáp án: $y’ = x(2\ln x + 1)$

Dạng 3: Kết hợp cả hàm mũ và logarit

Bài tập mẫu 7: Tính đạo hàm của $y = e^x \ln x$

Lời giải:

Áp dụng quy tắc tích $(uv)’ = u’v + uv’$:

$y’ = e^x \cdot \ln x + e^x \cdot \dfrac{1}{x}$ $y’ = e^x\left(\ln x + \dfrac{1}{x}\right)$

Đáp án: $y’ = e^x\left(\ln x + \dfrac{1}{x}\right)$

Bài tập mẫu 8: Tính đạo hàm của $y = \dfrac{e^x}{\ln x}$

Lời giải:

Áp dụng quy tắc thương $\left(\dfrac{u}{v}\right)’ = \dfrac{u’v – uv’}{v^2}$:

$y’ = \dfrac{e^x \cdot \ln x – e^x \cdot (1/x)}{(\ln x)^2}$ $y’ = \dfrac{e^x(\ln x – 1/x)}{(\ln x)^2}$ $y’ = \dfrac{e^x(x\ln x – 1)}{x(\ln x)^2}$

Đáp án: $y’ = \dfrac{e^x(x\ln x – 1)}{x(\ln x)^2}$

Bài tập mẫu 9: Tính đạo hàm của $y = \ln(e^x + 1)$

Lời giải:

Đặt $u = e^x + 1$, $u’ = e^x$

$y’ = \dfrac{e^x}{e^x + 1}$

Đáp án: $y’ = \dfrac{e^x}{e^x + 1}$

Dạng 4: Đạo hàm phân thức phức tạp

Bài tập mẫu 10: Tính đạo hàm của $y = \dfrac{e^x – e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$

Lời giải:

Đặt:

• $u = e^x – e^{-x}$, $u’ = e^x + e^{-x}$
• $v = e^x + e^{-x}$, $v’ = e^x – e^{-x}$

Áp dụng quy tắc thương:

$y’ = \dfrac{(e^x + e^{-x})(e^x + e^{-x}) – (e^x – e^{-x})(e^x – e^{-x})}{(e^x + e^{-x})^2}$

$= \dfrac{(e^x + e^{-x})^2 – (e^x – e^{-x})^2}{(e^x + e^{-x})^2}$

Khai triển:

• $(e^x + e^{-x})^2 = e^{2x} + 2 + e^{-2x}$
• $(e^x – e^{-x})^2 = e^{2x} – 2 + e^{-2x}$

$y’ = \dfrac{e^{2x} + 2 + e^{-2x} – e^{2x} + 2 – e^{-2x}}{(e^x + e^{-x})^2}$

$y’ = \dfrac{4}{(e^x + e^{-x})^2}$

Đáp án: $y’ = \dfrac{4}{(e^x + e^{-x})^2}$

Bài tập mẫu 11: Tính đạo hàm của $y = \dfrac{\ln x}{x^2 + 1}$

Lời giải:

$y’ = \dfrac{(1/x)(x^2+1) – \ln x \cdot 2x}{(x^2+1)^2}$

$= \dfrac{x + 1/x – 2x\ln x}{(x^2+1)^2}$

$= \dfrac{x^2 + 1 – 2x^2\ln x}{x(x^2+1)^2}$

Đáp án: $y’ = \dfrac{x^2 + 1 – 2x^2\ln x}{x(x^2+1)^2}$

Dạng 5: Tìm đạo hàm tại một điểm

Bài tập mẫu 12: Cho $f(x) = e^{2x}$. Tính $f'(0)$

Lời giải:

$f'(x) = 2e^{2x}$ $f'(0) = 2e^{2 \cdot 0} = 2e^0 = 2 \cdot 1 = 2$

Đáp án: $f'(0) = 2$

Bài tập mẫu 13: Cho $f(x) = x\ln x$. Tính $f'(1)$ và $f'(e)$

Lời giải:

$f'(x) = \ln x + x \cdot \dfrac{1}{x} = \ln x + 1$

Tại $x = 1$: $f'(1) = \ln 1 + 1 = 0 + 1 = 1$

Tại $x = e$: $f'(e) = \ln e + 1 = 1 + 1 = 2$

Đáp án: $f'(1) = 1$, $f'(e) = 2$

Dạng 6: Giải phương trình chứa đạo hàm

Bài tập mẫu 14: Giải phương trình $f'(x) = 0$ với $f(x) = xe^{-x}$

Lời giải:

Tính đạo hàm: $f'(x) = 1 \cdot e^{-x} + x \cdot (-e^{-x})$ $f'(x) = e^{-x} – xe^{-x}$ $f'(x) = e^{-x}(1 – x)$

Giải $f'(x) = 0$: $e^{-x}(1 – x) = 0$

Vì $e^{-x} > 0$ với mọi $x$, nên: $1 – x = 0$ $x = 1$

Đáp án: $x = 1$

Bài tập mẫu 15: Giải bất phương trình $f'(x) > 0$ với $f(x) = \ln x – x$

Lời giải:

Tính đạo hàm: $f'(x) = \dfrac{1}{x} – 1$

Giải $f'(x) > 0$: $\dfrac{1}{x} – 1 > 0$ $\dfrac{1 – x}{x} > 0$

Lập bảng xét dấu (với điều kiện $x > 0$):

• Tử số: $1 – x = 0 \Leftrightarrow x = 1$
• Mẫu số: $x = 0$

Đáp án: $0 < x < 1$

Dạng 7: Ứng dụng tìm cực trị

Bài tập mẫu 16: Tìm cực trị của $f(x) = x^2e^{-x}$

Lời giải:

Bước 1: Tính đạo hàm

$f'(x) = 2xe^{-x} + x^2 \cdot (-e^{-x})$ $f'(x) = 2xe^{-x} – x^2e^{-x}$ $f'(x) = xe^{-x}(2 – x)$

Bước 2: Giải $f'(x) = 0$

$xe^{-x}(2 – x) = 0$

Vì $e^{-x} > 0$, nên: $x(2-x) = 0$ $x = 0 \text{ hoặc } x = 2$

Bước 3: Lập bảng biến thiên

Kết luận:

• $x = 0$: Cực tiểu, $f(0) = 0$
• $x = 2$: Cực đại, $f(2) = 4e^{-2} ≈ 0.541$

Đáp án:

• Cực tiểu: $(0, 0)$
• Cực đại: $(2, 4e^{-2})$

VI. Chứng Minh Công Thức (Tùy Chọn)

Phần này dành cho học sinh muốn hiểu sâu về nguồn gốc các công thức. Nếu chỉ cần biết công thức để làm bài tập, có thể bỏ qua phần này.

1. Chứng minh $(e^x)’ = e^x$

Phương pháp: Sử dụng định nghĩa đạo hàm

Theo định nghĩa:

$(e^x)’ = \lim_{h \to 0} \dfrac{e^{x+h} – e^x}{h}$

Biến đổi:

$= \lim_{h \to 0} \dfrac{e^x \cdot e^h – e^x}{h}$

$= e^x \lim_{h \to 0} \dfrac{e^h – 1}{h}$

Sử dụng giới hạn đặc biệt: $\lim_{h \to 0} \dfrac{e^h – 1}{h} = 1$

$= e^x \cdot 1 = e^x$

Vậy: $(e^x)’ = e^x$ ✓

Giải thích giới hạn đặc biệt:

Giới hạn $\lim_{h \to 0} \dfrac{e^h – 1}{h} = 1$ là kết quả quan trọng, xuất phát từ định nghĩa số $e$:

$e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n$

2. Chứng minh $(a^x)’ = a^x \ln a$

Phương pháp: Sử dụng biến đổi $a^x = e^{x\ln a}$

Biến đổi hàm số về dạng hàm mũ cơ số $e$:

$a^x = e^{x\ln a}$

Áp dụng quy tắc hàm hợp:

$(a^x)’ = (e^{x\ln a})’$

$= e^{x\ln a} \cdot (x\ln a)’$

$= e^{x\ln a} \cdot \ln a$

$= a^x \ln a$

Vậy: $(a^x)’ = a^x \ln a$ ✓

Kiểm tra: Khi $a = e$, ta có $\ln e = 1$, suy ra $(e^x)’ = e^x \cdot 1 = e^x$ ✓

3. Chứng minh $(\ln x)’ = \dfrac{1}{x}$

Phương pháp 1: Sử dụng định nghĩa đạo hàm

Theo định nghĩa:

$(\ln x)’ = \lim_{h \to 0} \dfrac{\ln(x+h) – \ln x}{h}$

Sử dụng tính chất logarit:

$= \lim_{h \to 0} \dfrac{\ln\left(\dfrac{x+h}{x}\right)}{h}$

$= \lim_{h \to 0} \dfrac{\ln\left(1 + \dfrac{h}{x}\right)}{h}$

$= \lim_{h \to 0} \dfrac{1}{x} \cdot \dfrac{\ln\left(1 + \dfrac{h}{x}\right)}{h/x}$

Đặt $t = \dfrac{h}{x}$, khi $h \to 0$ thì $t \to 0$:

$= \dfrac{1}{x} \lim_{t \to 0} \dfrac{\ln(1+t)}{t}$

Sử dụng giới hạn đặc biệt: $\lim_{t \to 0} \dfrac{\ln(1+t)}{t} = 1$

$= \dfrac{1}{x} \cdot 1 = \dfrac{1}{x}$

Vậy: $(\ln x)’ = \dfrac{1}{x}$ ✓

Phương pháp 2: Sử dụng hàm ngược

Vì $\ln x$ và $e^x$ là hai hàm ngược nhau:

Nếu $y = \ln x$ thì $x = e^y$

Lấy đạo hàm hai vế theo $x$:

$1 = e^y \cdot \dfrac{dy}{dx}$

$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{e^y} = \dfrac{1}{x}$

Vậy: $(\ln x)’ = \dfrac{1}{x}$ ✓

Phương pháp này ngắn gọn và trực quan hơn!

4. Chứng minh $(\log_a x)’ = \dfrac{1}{x\ln a}$

Phương pháp: Sử dụng công thức đổi cơ số

Công thức đổi cơ số:

$\log_a x = \dfrac{\ln x}{\ln a}$

Vì $\ln a$ là hằng số:

$(\log_a x)’ = \left(\dfrac{\ln x}{\ln a}\right)’$

$= \dfrac{1}{\ln a} \cdot (\ln x)’$

$= \dfrac{1}{\ln a} \cdot \dfrac{1}{x}$

$= \dfrac{1}{x \ln a}$

Vậy: $(\log_a x)’ = \dfrac{1}{x\ln a}$ ✓

Kiểm tra: Khi $a = e$, ta có $\ln e = 1$, suy ra $(\ln x)’ = \dfrac{1}{x \cdot 1} = \dfrac{1}{x}$ ✓

VII. Mẹo Và Lưu Ý Quan Trọng

1. Các sai lầm thường gặp

❌ SAI:

1. $(e^{2x})’ = e^{2x}$ ← thiếu hệ số 2
2. $(\ln x^2)’ = \dfrac{1}{x^2}$ ← nhầm công thức
3. $(2^x)’ = x \cdot 2^{x-1}$ ← nhầm với công thức lũy thừa
4. $[\ln(x+1)]’ = \dfrac{1}{x+1} + 1$ ← cộng thừa số 1
5. $(e^x \cdot \ln x)’ = e^x \cdot \dfrac{1}{x}$ ← quên áp dụng quy tắc tích
6. $[\ln(2x)]’ = \dfrac{2}{2x} = \dfrac{1}{x}$ ← đúng nhưng cách làm rườm rà

✅ ĐÚNG:

1. $(e^{2x})’ = 2e^{2x}$
2. $(\ln x^2)’ = \dfrac{2x}{x^2} = \dfrac{2}{x}$ hoặc nhanh hơn: $(\ln x^2)’ = (2\ln x)’ = \dfrac{2}{x}$
3. $(2^x)’ = 2^x \ln 2$
4. $[\ln(x+1)]’ = \dfrac{1}{x+1}$
5. $(e^x \cdot \ln x)’ = e^x \ln x + e^x \cdot \dfrac{1}{x} = e^x\left(\ln x + \dfrac{1}{x}\right)$
6. $[\ln(2x)]’ = (\ln 2 + \ln x)’ = 0 + \dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{x}$

2. Mẹo nhớ công thức

🔹 Hàm mũ:

Khẩu quyết: “e đặc biệt, a thêm ln a”

• $e^x$ giữ nguyên: $(e^x)’ = e^x$
• $a^x$ nhân thêm $\ln a$: $(a^x)’ = a^x \ln a$

Mẹo nhớ hàm hợp:

• “e mũ u, u phẩy nhân e mũ u”
• $(e^u)’ = u’ \cdot e^u$

🔹 Logarit:

Khẩu quyết: “ln thành nghịch đảo, log thêm ln a dưới”

• $\ln x$ thành $\dfrac{1}{x}$: “ln thành nghịch đảo”
• $\log_a x$ thêm $\ln a$ ở mẫu: “log thêm ln a dưới”

Mẹo nhớ hàm hợp:

• “ln của u, u phẩy chia u”
• $(\ln u)’ = \dfrac{u’}{u}$

🔹 Quy luật dấu:

• Đạo hàm hàm mũ: luôn dương (nếu cơ số > 1)
• Đạo hàm logarit: dương khi x > 0

3. Các kỹ thuật hữu ích

Kỹ thuật 1: Biến đổi trước khi tính đạo hàm

Ví dụ 1: $\ln(x^3) = 3\ln x$

• Tính $(3\ln x)’ = \dfrac{3}{x}$ dễ hơn
• Thay vì $[\ln(x^3)]’ = \dfrac{3x^2}{x^3} = \dfrac{3}{x}$

Ví dụ 2: $e^{2x} \cdot e^{3x} = e^{5x}$

• Tính $(e^{5x})’ = 5e^{5x}$ đơn giản hơn
• Thay vì áp dụng quy tắc tích

Ví dụ 3: $\ln\left(\dfrac{x+1}{x-1}\right) = \ln(x+1) – \ln(x-1)$

• Tính riêng rồi trừ nhau dễ hơn

Kỹ thuật 2: Sử dụng tính chất logarit

Các tính chất hữu ích:

• $\ln(ab) = \ln a + \ln b$
• $\ln\left(\dfrac{a}{b}\right) = \ln a – \ln b$
• $\ln(a^n) = n\ln a$
• $\ln(e^x) = x$
• $e^{\ln x} = x$

Ví dụ ứng dụng:

$\ln(x^2\sqrt{x+1}) = \ln(x^2) + \ln(\sqrt{x+1})$ $= 2\ln x + \dfrac{1}{2}\ln(x+1)$

Đạo hàm: $\left[\ln(x^2\sqrt{x+1})\right]’ = \dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{x+1}$

Kỹ thuật 3: Lấy logarit hai vế

Khi gặp dạng $y = u^v$ (cả cơ số và mũ đều có $x$):

Bước 1: Lấy $\ln$ hai vế $\ln y = v \ln u$

Bước 2: Lấy đạo hàm hai vế $\dfrac{y’}{y} = v’ \ln u + v \cdot \dfrac{u’}{u}$

Bước 3: Suy ra $y’$ $y’ = y\left(v’ \ln u + v \cdot \dfrac{u’}{u}\right)$

Ví dụ: $y = x^{\sin x}$

$\ln y = \sin x \cdot \ln x$ $\dfrac{y’}{y} = \cos x \cdot \ln x + \sin x \cdot \dfrac{1}{x}$ $y’ = x^{\sin x}\left(\cos x \ln x + \dfrac{\sin x}{x}\right)$

Kỹ thuật 4: Sử dụng giới hạn kiểm tra

Kiểm tra nhanh tại các điểm đặc biệt:

Với $e^x$:

• Tại $x=0$: $f(0)=1$, $f'(0)=1$

Với $\ln x$:

• Tại $x=1$: $f(1)=0$, $f'(1)=1$
• Tại $x=e$: $f(e)=1$, $f'(e)=\dfrac{1}{e}$

Ví dụ kiểm tra:

Nếu tính $f(x) = e^{2x}$ có $f'(x) = 2e^{2x}$

Kiểm tra tại $x = 0$:

• $f(0) = e^0 = 1$ ✓
• $f'(0) = 2e^0 = 2$ ✓
• Độ dốc gấp đôi so với $e^x$ → hợp lý!

4. Lưu ý quan trọng

Điều kiện xác định:

Hàm logarit:

• $\ln x$: chỉ xác định khi $x > 0$
• $\log_a x$: cần $x > 0$ và $a > 0, a \neq 1$
• Khi tính đạo hàm $\ln u$, cần điều kiện $u > 0$

Ví dụ: $f(x) = \ln(x^2 – 4)$

• Điều kiện: $x^2 – 4 > 0 \Leftrightarrow x < -2$ hoặc $x > 2$
• $f'(x) = \dfrac{2x}{x^2-4}$ chỉ xác định trên $(-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$

Đơn vị và cơ số:

• $\ln$ là logarit cơ số $e$ (logarit tự nhiên)
• $\log$ thường là logarit cơ số 10 (nếu không ghi cơ số)
• Trong toán học thuần túy, thường dùng $\ln$ hơn
• Trong ứng dụng (hóa học, vật lý), có thể dùng cả hai

Tính chất hữu ích:

Mối quan hệ giữa mũ và logarit:

• $e^{\ln x} = x$ với $x > 0$
• $\ln(e^x) = x$ với mọi $x$
• $a^{\log_a x} = x$ với $x > 0$
• $\log_a(a^x) = x$ với mọi $x$

Trong tích phân:

• $\int \dfrac{1}{x}dx = \ln|x| + C$ (có giá trị tuyệt đối)
• Nhưng đạo hàm: $(\ln|x|)’ = \dfrac{1}{x}$ với $x \neq 0$

Tốc độ tăng trưởng:

• Hàm mũ tăng rất nhanh: $e^x$ tăng nhanh nhất trong các hàm cơ bản
• Hàm logarit tăng rất chậm: $\ln x$ tăng chậm dần khi $x$ lớn
• So sánh: $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0$ (logarit tăng chậm hơn bất kỳ lũy thừa dương nào)

5. Phương pháp học hiệu quả

Bước 1: Học thuộc 4 công thức cơ bản

1. $(e^x)’ = e^x$
2. $(a^x)’ = a^x \ln a$
3. $(\ln x)’ = \dfrac{1}{x}$
4. $(\log_a x)’ = \dfrac{1}{x\ln a}$

Mẹo: Viết ra giấy, dán lên bàn học, đọc mỗi ngày 5 lần trong 1 tuần!

Bước 2: Nắm vững quy tắc hàm hợp

• $(e^u)’ = u’ \cdot e^u$
• $(\ln u)’ = \dfrac{u’}{u}$

Lưu ý: Luôn nhớ nhân/chia với đạo hàm hàm trong!

Bước 3: Luyện tập đa dạng

• Bắt đầu với bài đơn giản (hàm mũ/logarit của đa thức bậc 1)
• Tiến đến phức tạp (tích, thương, hàm hợp nhiều lớp)
• Kết hợp nhiều kiến thức (lượng giác, mũ, logarit)

Bước 4: Làm bài tập thực tế

• Đề thi THPT Quốc gia các năm
• Sách bài tập nâng cao
• Bài tập ứng dụng trong vật lý, hóa học

Bước 5: Tổng hợp và ôn tập

• Tạo bảng công thức riêng
• Ghi lại các sai lầm thường gặp
• Ôn tập định kỳ mỗi tuần

VIII. Ứng Dụng Thực Tế

1. Trong Vật Lý

Phóng xạ hạt nhân:

Công thức: Số hạt còn lại sau thời gian $t$

$N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$

Trong đó:

• $N_0$: số hạt ban đầu
• $\lambda$: hằng số phân rã
• $t$: thời gian

Tốc độ phân rã:

$N'(t) = -\lambda N_0 e^{-\lambda t} = -\lambda N(t)$

Tốc độ phân rã tỉ lệ với số hạt hiện có!

Chu kỳ bán rã:

$T_{1/2} = \dfrac{\ln 2}{\lambda}$

Sạc/xả tụ điện:

Điện tích khi sạc:

$Q(t) = Q_0(1 – e^{-t/RC})$

Dòng điện:

$I(t) = Q'(t) = \dfrac{Q_0}{RC}e^{-t/RC}$

2. Trong Hóa Học

Độ pH:

Định nghĩa:

$pH = -\log[H^+]$

Độ nhạy: Thay đổi pH khi nồng độ $H^+$ thay đổi

$\dfrac{d(pH)}{d[H^+]} = -\dfrac{1}{[H^+] \ln 10}$

Ví dụ:

• Nồng độ $H^+ = 10^{-7}$ M → pH = 7 (trung tính)
• Nồng độ $H^+ = 10^{-3}$ M → pH = 3 (axit mạnh)

Tốc độ phản ứng:

Phản ứng bậc 1:

$[A] = [A]_0 e^{-kt}$

Tốc độ phản ứng:

$v = -\dfrac{d[A]}{dt} = k[A]_0 e^{-kt} = k[A]$

3. Trong Kinh Tế

Lãi suất kép liên tục:

Số tiền sau thời gian $t$:

$A(t) = Pe^{rt}$

Trong đó:

• $P$: vốn gốc
• $r$: lãi suất
• $t$: thời gian

Tốc độ tăng:

$A'(t) = rPe^{rt} = rA(t)$

Tốc độ tăng tỉ lệ với số tiền hiện có!

Ví dụ:

• Gửi 100 triệu với lãi suất 5%/năm
• Sau 10 năm: $A = 100e^{0.05 \times 10} ≈ 164.87$ triệu

Tăng trưởng GDP:

$GDP(t) = GDP_0 e^{gt}$

Tốc độ tăng trưởng:

$\dfrac{GDP'(t)}{GDP(t)} = g$

4. Trong Sinh Học

Tăng trưởng quần thể:

Mô hình Malthus:

$P(t) = P_0 e^{rt}$

Tốc độ tăng dân số:

$P'(t) = rP_0 e^{rt} = rP(t)$

Động học enzyme:

Phương trình Michaelis-Menten:

$v = \dfrac{V_{max}[S]}{K_m + [S]}$

Sử dụng logarit để tuyến tính hóa và phân tích dữ liệu thực nghiệm.

IX. Kết Luận

Tổng kết

Bài viết đã hệ thống hóa đầy đủ kiến thức về đạo hàm hàm mũ và logarit:

Công thức đạo hàm hàm mũ:

• $(e^x)’ = e^x$ – công thức đặc biệt nhất
• $(a^x)’ = a^x \ln a$ – công thức tổng quát
• Đạo hàm hàm hợp với 5 dạng phổ biến
• Bảng tổng hợp các dạng đặc biệt

Công thức đạo hàm logarit:

• $(\ln x)’ = \dfrac{1}{x}$ – công thức cơ bản nhất
• $(\log_a x)’ = \dfrac{1}{x\ln a}$ – công thức tổng quát
• Đạo hàm hàm hợp với 6 dạng thường gặp
• Các kỹ thuật biến đổi hiệu quả

Mối liên hệ giữa hai loại hàm:

• Hàm ngược nhau
• Tính chất đạo hàm đặc biệt
• Công thức biến đổi và ứng dụng
• Đạo hàm của $x^x$ và $u^v$

7 dạng bài tập thường gặp với 16 bài tập mẫu và lời giải chi tiết

Chứng minh công thức từ định nghĩa (dành cho học sinh muốn hiểu sâu)

Mẹo, kỹ thuật và lưu ý quan trọng để tránh sai sót

Ứng dụng thực tế trong vật lý, hóa học, kinh tế, sinh học

ThS. Nguyễn Văn An

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn Tổ Toán tại Edus

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán học, Thạc sĩ Lý luận & Phương pháp dạy học môn Toán, Chức danh nghề nghiệp giáo viên THPT – Hạng II, Tin học ứng dụng cơ bản, Ngoại ngữ B1, Chứng chỉ bồi dưỡng năng lực tổ trưởng chuyên môn

Kinh nghiệm: 12+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT chuyên Trần Đại Nghĩa