I. Giới Thiệu Về Đạo Hàm Dạng Đặc Biệt

1. Đạo hàm dạng đặc biệt là gì?

Định nghĩa:

Đạo hàm dạng đặc biệt là các công thức đạo hàm của những hàm số có cấu trúc phức tạp hoặc đặc thù, không thuộc dạng cơ bản như lũy thừa, mũ, logarit, lượng giác thông thường.

Các dạng đặc biệt thường gặp:

🔹 Hàm chứa căn thức:

• Căn bậc hai: $\sqrt{x}$, $\sqrt{f(x)}$
• Căn bậc n: $\sqrt[3]{x}$, $\sqrt[n]{f(x)}$
• Căn phức tạp: $\sqrt{x^2 + 1}$, $\dfrac{\sqrt{x}}{x+1}$

🔹 Hàm trị tuyệt đối:

• Trị tuyệt đối đơn giản: $|x|$
• Trị tuyệt đối của hàm: $|f(x)|$, $|x^2 – 4|$
• Kết hợp: $x|x|$, $|x||x-1|$

🔹 Các dạng khác:

• Hàm phân thức phức tạp
• Hàm ẩn (implicit function)
• Hàm tham số (parametric function)
• Đạo hàm cấp cao

2. Nội dung bài viết

Bài viết này sẽ hệ thống hóa đầy đủ:

Phần I: Công thức đạo hàm hàm căn

• Căn bậc 2, căn bậc n với công thức tổng quát
• 5 dạng hàm hợp chứa căn thường gặp
• Căn trong tử, căn trong mẫu
• Kỹ thuật tính nhanh và mẹo nhớ

Phần II: Công thức đạo hàm hàm trị tuyệt đối

• Định nghĩa và tính chất đặc biệt
• Công thức $|x|’$ và $|f(x)|’$
• 3 phương pháp tính đạo hàm
• Điểm không khả vi và cách xét

Phần III: Bài tập và ứng dụng

• 15+ bài tập mẫu có lời giải chi tiết
• Các dạng kết hợp phức tạp
• Mẹo, kỹ thuật và lưu ý quan trọng

II. Công Thức Đạo Hàm Hàm Căn

1. Bảng công thức đạo hàm căn cơ bản

Công thức tổng quát quan trọng nhất:

$$(\sqrt{u})’ = \dfrac{u’}{2\sqrt{u}} \quad (u > 0)$$

$$(\sqrt[n]{u})’ = \dfrac{u’}{n\sqrt[n]{u^{n-1}}} \quad (u \neq 0)$$

Quy tắc nhớ: “Đạo hàm trong chia (n lần căn của trong mũ n-1)”

2. Chi tiết đạo hàm căn bậc hai

A. Đạo hàm của $\sqrt{x}$:

$$(\sqrt{x})’ = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} \quad (x > 0)$$

Cách chứng minh:

Viết lại: $\sqrt{x} = x^{1/2}$

Áp dụng công thức $(x^n)’ = nx^{n-1}$:

$$(x^{1/2})’ = \dfrac{1}{2}x^{(1/2)-1} = \dfrac{1}{2}x^{-1/2} = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$$

Đặc điểm quan trọng:

• Đạo hàm giảm dần khi $x$ tăng
• Tại $x = 1$: đạo hàm $= \dfrac{1}{2}$
• Tại $x = 4$: đạo hàm $= \dfrac{1}{4}$
• Tại $x = 9$: đạo hàm $= \dfrac{1}{6}$
• Có tiệm cận đứng tại $x = 0$: $\lim_{x \to 0^+} \dfrac{1}{2\sqrt{x}} = +\infty$

Ý nghĩa hình học:

Độ dốc của tiếp tuyến với đồ thị $y = \sqrt{x}$ tại điểm có hoành độ $x$ là $\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$. Khi $x$ càng lớn, đồ thị càng “nằm ngang” (độ dốc giảm).

B. Đạo hàm của $\sqrt{u}$ (hàm hợp):

$$(\sqrt{u})’ = \dfrac{u’}{2\sqrt{u}}$$

Giải thích: Áp dụng quy tắc chuỗi (chain rule):

• Đạo hàm ngoài: $\dfrac{1}{2\sqrt{u}}$
• Nhân với đạo hàm trong: $u’$

3. Các dạng hàm hợp chứa căn thường gặp

Dạng 1: Căn của (ax + b)

Công thức:

$$[\sqrt{ax + b}]’ = \dfrac{a}{2\sqrt{ax+b}}$$

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: $(\sqrt{3x + 2})’$

• $u = 3x + 2$, $u’ = 3$
• $(\sqrt{3x + 2})’ = \dfrac{3}{2\sqrt{3x+2}}$

Ví dụ 2: $(\sqrt{x + 1})’$

• $u = x + 1$, $u’ = 1$
• $(\sqrt{x + 1})’ = \dfrac{1}{2\sqrt{x+1}}$

Ví dụ 3: $(\sqrt{5 – 2x})’$

• $u = 5 – 2x$, $u’ = -2$
• $(\sqrt{5 – 2x})’ = \dfrac{-2}{2\sqrt{5-2x}} = \dfrac{-1}{\sqrt{5-2x}}$

Ví dụ 4: $(\sqrt{4x – 7})’$

• $u = 4x – 7$, $u’ = 4$
• $(\sqrt{4x – 7})’ = \dfrac{4}{2\sqrt{4x-7}} = \dfrac{2}{\sqrt{4x-7}}$

Dạng 2: Căn của ($x^2 + a^2$)

Công thức:

$$[\sqrt{x^2 + a^2}]’ = \dfrac{2x}{2\sqrt{x^2+a^2}} = \dfrac{x}{\sqrt{x^2+a^2}}$$

Đặc điểm: Công thức này xuất hiện rất nhiều trong tính khoảng cách, độ dài đường cong.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: $[\sqrt{x^2 + 1}]’$

• $u = x^2 + 1$, $u’ = 2x$
• $[\sqrt{x^2 + 1}]’ = \dfrac{2x}{2\sqrt{x^2+1}} = \dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}$

Ví dụ 2: $[\sqrt{x^2 + 9}]’$

• $u = x^2 + 9$, $u’ = 2x$
• $[\sqrt{x^2 + 9}]’ = \dfrac{x}{\sqrt{x^2+9}}$

Ví dụ 3: $[\sqrt{4x^2 + 1}]’$

• $u = 4x^2 + 1$, $u’ = 8x$
• $[\sqrt{4x^2 + 1}]’ = \dfrac{8x}{2\sqrt{4x^2+1}} = \dfrac{4x}{\sqrt{4x^2+1}}$

Ví dụ 4: $[\sqrt{x^2 – 4}]’$ (với $|x| > 2$)

• $u = x^2 – 4$, $u’ = 2x$
• $[\sqrt{x^2 – 4}]’ = \dfrac{x}{\sqrt{x^2-4}}$

Dạng 3: Căn của đa thức bậc cao

Phương pháp: Tính $u’$ rồi áp dụng công thức $(\sqrt{u})’ = \dfrac{u’}{2\sqrt{u}}$

Ví dụ 1: $[\sqrt{x^3 + 2x}]’$

• $u = x^3 + 2x$, $u’ = 3x^2 + 2$
• $[\sqrt{x^3 + 2x}]’ = \dfrac{3x^2 + 2}{2\sqrt{x^3+2x}}$

Ví dụ 2: $[\sqrt{x^4 – x^2 + 1}]’$

• $u = x^4 – x^2 + 1$, $u’ = 4x^3 – 2x$
• $[\sqrt{x^4 – x^2 + 1}]’ = \dfrac{4x^3 – 2x}{2\sqrt{x^4-x^2+1}} = \dfrac{2x^3 – x}{\sqrt{x^4-x^2+1}}$

Ví dụ 3: $[\sqrt{2x^3 – 3x^2 + x}]’$

• $u = 2x^3 – 3x^2 + x$, $u’ = 6x^2 – 6x + 1$
• $[\sqrt{2x^3 – 3x^2 + x}]’ = \dfrac{6x^2 – 6x + 1}{2\sqrt{2x^3 – 3x^2 + x}}$

Dạng 4: Căn của hàm lượng giác

Ví dụ 1: $[\sqrt{\sin x}]’$

• $u = \sin x$, $u’ = \cos x$
• $[\sqrt{\sin x}]’ = \dfrac{\cos x}{2\sqrt{\sin x}}$

Ví dụ 2: $[\sqrt{\cos x}]’$

• $u = \cos x$, $u’ = -\sin x$
• $[\sqrt{\cos x}]’ = \dfrac{-\sin x}{2\sqrt{\cos x}}$

Ví dụ 3: $[\sqrt{1 + \sin x}]’$

• $u = 1 + \sin x$, $u’ = \cos x$
• $[\sqrt{1 + \sin x}]’ = \dfrac{\cos x}{2\sqrt{1+\sin x}}$

Ví dụ 4: $[\sqrt{\tan x}]’$

• $u = \tan x$, $u’ = \dfrac{1}{\cos^2 x}$
• $[\sqrt{\tan x}]’ = \dfrac{1}{2\cos^2 x\sqrt{\tan x}}$

Ví dụ 5: $[\sqrt{1 – \cos 2x}]’$

• $u = 1 – \cos 2x$, $u’ = 2\sin 2x$
• $[\sqrt{1 – \cos 2x}]’ = \dfrac{2\sin 2x}{2\sqrt{1-\cos 2x}} = \dfrac{\sin 2x}{\sqrt{1-\cos 2x}}$

Dạng 5: Căn của hàm mũ và logarit

Ví dụ 1: $[\sqrt{e^x}]’$

Cách 1: Sử dụng công thức hàm hợp

• $u = e^x$, $u’ = e^x$
• $[\sqrt{e^x}]’ = \dfrac{e^x}{2\sqrt{e^x}} = \dfrac{e^x}{2e^{x/2}} = \dfrac{e^{x/2}}{2}$

Cách 2: Biến đổi trước (nhanh hơn)

• $\sqrt{e^x} = e^{x/2}$
• $(e^{x/2})’ = \dfrac{1}{2}e^{x/2}$

Ví dụ 2: $[\sqrt{\ln x}]’$

• $u = \ln x$, $u’ = \dfrac{1}{x}$
• $[\sqrt{\ln x}]’ = \dfrac{1/x}{2\sqrt{\ln x}} = \dfrac{1}{2x\sqrt{\ln x}}$

Ví dụ 3: $[\sqrt{e^{2x} + 1}]’$

• $u = e^{2x} + 1$, $u’ = 2e^{2x}$
• $[\sqrt{e^{2x} + 1}]’ = \dfrac{2e^{2x}}{2\sqrt{e^{2x}+1}} = \dfrac{e^{2x}}{\sqrt{e^{2x}+1}}$

Ví dụ 4: $[\sqrt{x^2 + \ln x}]’$

• $u = x^2 + \ln x$, $u’ = 2x + \dfrac{1}{x}$
• $[\sqrt{x^2 + \ln x}]’ = \dfrac{2x + 1/x}{2\sqrt{x^2 + \ln x}}$

4. Đạo hàm căn bậc n (n ≥ 3)

Công thức tổng quát:

$$(\sqrt[n]{x})’ = (x^{1/n})’ = \dfrac{1}{n}x^{(1/n)-1} = \dfrac{1}{nx^{(n-1)/n}} = \dfrac{1}{n\sqrt[n]{x^{n-1}}}$$

Ví dụ cụ thể:

Căn bậc 3:

$$(\sqrt[3]{x})’ = \dfrac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$$

• Tại $x = 1$: đạo hàm $= \dfrac{1}{3}$
• Tại $x = 8$: đạo hàm $= \dfrac{1}{3 \cdot 4} = \dfrac{1}{12}$

Căn bậc 4:

$$(\sqrt[4]{x})’ = \dfrac{1}{4\sqrt[4]{x^3}}$$

Căn bậc 5:

$$(\sqrt[5]{x})’ = \dfrac{1}{5\sqrt[5]{x^4}}$$

Đạo hàm hàm hợp:

$$(\sqrt[n]{u})’ = \dfrac{u’}{n\sqrt[n]{u^{n-1}}}$$

Ví dụ 1: $[\sqrt[3]{x^2 + 1}]’$

• $u = x^2 + 1$, $u’ = 2x$
• $[\sqrt[3]{x^2 + 1}]’ = \dfrac{2x}{3\sqrt[3]{(x^2+1)^2}}$

Ví dụ 2: $[\sqrt[4]{2x – 1}]’$

• $u = 2x – 1$, $u’ = 2$
• $[\sqrt[4]{2x – 1}]’ = \dfrac{2}{4\sqrt[4]{(2x-1)^3}} = \dfrac{1}{2\sqrt[4]{(2x-1)^3}}$

Ví dụ 3: $[\sqrt[5]{x^3 + 2x}]’$

• $u = x^3 + 2x$, $u’ = 3x^2 + 2$
• $[\sqrt[5]{x^3 + 2x}]’ = \dfrac{3x^2 + 2}{5\sqrt[5]{(x^3+2x)^4}}$

5. Căn trong tử và mẫu

Dạng 1: Tử số có căn

Công thức:

$$\left(\dfrac{\sqrt{u}}{v}\right)’ = \dfrac{\dfrac{u’}{2\sqrt{u}} \cdot v – \sqrt{u} \cdot v’}{v^2}$$

Ví dụ 1: $\left(\dfrac{\sqrt{x}}{x+1}\right)’$

$$= \dfrac{\dfrac{1}{2\sqrt{x}}(x+1) – \sqrt{x} \cdot 1}{(x+1)^2}$$

$$= \dfrac{\dfrac{x+1}{2\sqrt{x}} – \sqrt{x}}{(x+1)^2}$$

$$= \dfrac{x+1-2x}{2\sqrt{x}(x+1)^2}$$

$$= \dfrac{1-x}{2\sqrt{x}(x+1)^2}$$

Ví dụ 2: $\left(\dfrac{\sqrt{x}}{x^2}\right)’$

$$= \dfrac{\dfrac{1}{2\sqrt{x}} \cdot x^2 – \sqrt{x} \cdot 2x}{x^4}$$

$$= \dfrac{x^{3/2} – 2x^{3/2}}{2x^{1/2} \cdot x^4}$$

$$= \dfrac{-x^{3/2}}{2x^{9/2}} = \dfrac{-1}{2x^3}$$

Dạng 2: Mẫu số có căn

Công thức:

$$\left(\dfrac{u}{\sqrt{v}}\right)’ = \dfrac{u’ \sqrt{v} – u \cdot \dfrac{v’}{2\sqrt{v}}}{v}$$

Ví dụ 1: $\left(\dfrac{x}{\sqrt{x+1}}\right)’$

$$= \dfrac{1 \cdot \sqrt{x+1} – x \cdot \dfrac{1}{2\sqrt{x+1}}}{x+1}$$

$$= \dfrac{2(x+1) – x}{2(x+1)\sqrt{x+1}}$$

$$= \dfrac{x+2}{2(x+1)^{3/2}}$$

Ví dụ 2: $\left(\dfrac{x^2}{\sqrt{1-x}}\right)’$

$$= \dfrac{2x\sqrt{1-x} – x^2 \cdot \dfrac{-1}{2\sqrt{1-x}}}{1-x}$$

$$= \dfrac{2x\sqrt{1-x} + \dfrac{x^2}{2\sqrt{1-x}}}{1-x}$$

$$= \dfrac{4x(1-x) + x^2}{2(1-x)^{3/2}}$$

$$= \dfrac{4x – 3x^2}{2(1-x)^{3/2}}$$

Dạng 3: Cả tử và mẫu đều có căn

Phương pháp 1: Biến đổi trước

$$\dfrac{\sqrt{u}}{\sqrt{v}} = \sqrt{\dfrac{u}{v}}$$

Ví dụ: $\left(\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+1}}\right)’$

$$= \left(\sqrt{\dfrac{x}{x+1}}\right)’$$

Đặt $t = \dfrac{x}{x+1}$:

$$t’ = \dfrac{1 \cdot (x+1) – x \cdot 1}{(x+1)^2} = \dfrac{1}{(x+1)^2}$$

$$\left(\sqrt{\dfrac{x}{x+1}}\right)’ = \dfrac{1/(x+1)^2}{2\sqrt{x/(x+1)}} = \dfrac{1}{2(x+1)^{3/2}\sqrt{x}}$$

Phương pháp 2: Sử dụng quy tắc thương trực tiếp

6. Kỹ thuật tính nhanh

Kỹ thuật 1: Biến đổi thành lũy thừa

Luôn nhớ: $\sqrt{x} = x^{1/2}$, $\sqrt[n]{x} = x^{1/n}$

Ví dụ: $\sqrt{x^3} = x^{3/2}$

$$(x^{3/2})’ = \dfrac{3}{2}x^{1/2} = \dfrac{3\sqrt{x}}{2}$$

Nhanh hơn nhiều so với dùng công thức hàm hợp!

Kỹ thuật 2: Rút gọn biểu thức trước

Ví dụ 1: $\dfrac{x}{\sqrt{x}} = \dfrac{x}{x^{1/2}} = x^{1/2} = \sqrt{x}$

$$\left(\dfrac{x}{\sqrt{x}}\right)’ = (\sqrt{x})’ = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$$

Ví dụ 2: $x\sqrt{x} = x \cdot x^{1/2} = x^{3/2}$

$$(x\sqrt{x})’ = (x^{3/2})’ = \dfrac{3}{2}x^{1/2} = \dfrac{3\sqrt{x}}{2}$$

Kỹ thuật 3: Sử dụng tính chất căn

Tính chất:

• $\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}$
• $\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$
• $\sqrt{a^2} = |a|$

Ví dụ: $\sqrt{4x^2} = 2|x|$

$$(2|x|)’ = 2 \cdot \dfrac{x}{|x|} = \dfrac{2x}{|x|}$$

7. Bảng tổng hợp công thức căn đặc biệt

III. Công Thức Đạo Hàm Hàm Trị Tuyệt Đối

1. Định nghĩa và tính chất

Định nghĩa hàm trị tuyệt đối:

$$|x| = \begin{cases} x & \text{nếu } x \geq 0 \\ -x & \text{nếu } x < 0 \end{cases}$$

Ý nghĩa: Hàm trị tuyệt đối cho ta khoảng cách từ điểm $x$ đến gốc 0 trên trục số.

Đặc điểm quan trọng:

✅ Hàm liên tục: $|x|$ liên tục tại mọi điểm $x \in \mathbb{R}$

❌ Không có đạo hàm tại $x = 0$: Tại điểm $x = 0$, đồ thị có “góc nhọn” (điểm gấp khúc)

✅ Có đạo hàm tại $x \neq 0$: Tại mọi điểm $x \neq 0$, hàm khả vi

Kiểm tra tại $x = 0$:

$$f’_-(0) = \lim_{h \to 0^-} \dfrac{|h| – 0}{h} = \lim_{h \to 0^-} \dfrac{-h}{h} = -1$$

$f’_+(0) = \lim_{h \to 0^+} \dfrac{|h| – 0}{h} = \lim_{h \to 0^+} \dfrac{h}{h} = 1$

Vì $f’_-(0) = -1 \neq 1 = f’_+(0)$, nên hàm $|x|$ không có đạo hàm tại $x = 0$

Đồ thị hàm $y = |x|$:

• Có dạng chữ V
• Đỉnh tại gốc tọa độ $(0, 0)$
• Tại $x > 0$: đồ thị trùng với $y = x$ (độ dốc = 1)
• Tại $x < 0$: đồ thị trùng với $y = -x$ (độ dốc = -1)
• Tại $x = 0$: có góc nhọn, không có tiếp tuyến

2. Công thức đạo hàm hàm trị tuyệt đối

A. Đạo hàm của $|x|$:

$|x|’ = \begin{cases} 1 & \text{nếu } x > 0 \\ -1 & \text{nếu } x < 0 \\ \text{không tồn tại} & \text{nếu } x = 0 \end{cases}$

Công thức rút gọn (quan trọng):

$|x|’ = \dfrac{x}{|x|} = \text{sgn}(x) \quad (x \neq 0)$

Trong đó $\text{sgn}(x)$ là hàm dấu (signum function):

$\text{sgn}(x) = \begin{cases} 1 & \text{nếu } x > 0 \\ 0 & \text{nếu } x = 0 \\ -1 & \text{nếu } x < 0 \end{cases}$

Giải thích công thức:

• Khi $x > 0$: $|x| = x$, nên $|x|’ = x’ = 1$
• Khi $x < 0$: $|x| = -x$, nên $|x|’ = (-x)’ = -1$

B. Đạo hàm của $|f(x)|$:

Công thức tổng quát:

$|f(x)|’ = \dfrac{f(x) \cdot f'(x)}{|f(x)|} = \text{sgn}(f(x)) \cdot f'(x) \quad (f(x) \neq 0)$

Hoặc viết theo từng trường hợp:

$|f(x)|’ = \begin{cases} f'(x) & \text{nếu } f(x) > 0 \\ -f'(x) & \text{nếu } f(x) < 0 \\ \text{không xác định} & \text{nếu } f(x) = 0 \end{cases}$

Giải thích:

• Khi $f(x) > 0$: $|f(x)| = f(x)$, nên $|f(x)|’ = f'(x)$
• Khi $f(x) < 0$: $|f(x)| = -f(x)$, nên $|f(x)|’ = (-f(x))’ = -f'(x)$
• Khi $f(x) = 0$: có thể không có đạo hàm (cần xét giới hạn trái và phải)

⚠️ Lưu ý quan trọng: Tại các điểm $f(x) = 0$, hàm $|f(x)|$ có thể không có đạo hàm nếu $f'(x) \neq 0$ tại điểm đó.

3. Các dạng bài tập thường gặp

Dạng 1: Trị tuyệt đối của đa thức

Bài tập mẫu 1: Tính đạo hàm của $y = |x^2 – 4|$

Lời giải:

Bước 1: Xác định hàm trong và đạo hàm

• $f(x) = x^2 – 4$
• $f'(x) = 2x$

Bước 2: Tìm nghiệm của $f(x) = 0$ $x^2 – 4 = 0 \Leftrightarrow x^2 = 4 \Leftrightarrow x = \pm 2$

Bước 3: Lập bảng xét dấu $f(x)$

Bước 4: Tính đạo hàm theo từng khoảng

• Với $x > 2$ hoặc $x < -2$: $f(x) > 0$
  • $y = x^2 – 4$
  • $y’ = 2x$
• Với $-2 < x < 2$: $f(x) < 0$
  • $y = -(x^2 – 4) = -x^2 + 4$
  • $y’ = -2x$
• Tại $x = \pm 2$: Không có đạo hàm (điểm gấp khúc)

Kết quả:

$y’ = \begin{cases} 2x & \text{nếu } |x| > 2 \\ -2x & \text{nếu } |x| < 2 \\ \text{không tồn tại} & \text{nếu } x = \pm 2 \end{cases}$

Hoặc viết gọn: $y’ = \text{sgn}(x^2 – 4) \cdot 2x$ với $x \neq \pm 2$

Bài tập mẫu 2: Tính đạo hàm của $y = |x^3 – x|$

Lời giải:

Bước 1:

• $f(x) = x^3 – x = x(x^2 – 1) = x(x-1)(x+1)$
• $f'(x) = 3x^2 – 1$

Bước 2: Tìm nghiệm $f(x) = 0 \Leftrightarrow x(x-1)(x+1) = 0 \Leftrightarrow x \in {-1, 0, 1}$

Bước 3: Xét dấu $f(x)$

Bước 4: Tính đạo hàm

$y’ = \begin{cases} -(3x^2-1) = 1-3x^2 & \text{nếu } x < -1 \\ 3x^2-1 & \text{nếu } -1 < x < 0 \\ 1-3x^2 & \text{nếu } 0 < x < 1 \\ 3x^2-1 & \text{nếu } x > 1 \\ \text{không xác định} & \text{nếu } x \in \{-1, 0, 1\} \end{cases}$

Bài tập mẫu 3: Tính đạo hàm của $y = |x^2 – 2x – 3|$

Lời giải:

• $f(x) = x^2 – 2x – 3 = (x-3)(x+1)$
• $f'(x) = 2x – 2$
• Nghiệm: $x = -1$ và $x = 3$

Xét dấu:

• $f(x) > 0$ khi $x < -1$ hoặc $x > 3$
• $f(x) < 0$ khi $-1 < x < 3$

$y’ = \begin{cases} 2x-2 & \text{nếu } x < -1 \text{ hoặc } x > 3 \\ -(2x-2) = 2-2x & \text{nếu } -1 < x < 3 \\ \text{không xác định} & \text{nếu } x = -1 \text{ hoặc } x = 3 \end{cases}$

Dạng 2: Trị tuyệt đối của hàm lượng giác

Bài tập mẫu 4: Tính đạo hàm của $y = |\sin x|$

Lời giải:

Bước 1:

• $f(x) = \sin x$
• $f'(x) = \cos x$

Bước 2: Tìm nghiệm $\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$

Bước 3: Xét dấu

• $\sin x > 0$ khi $x \in (2k\pi, (2k+1)\pi)$ (k chẵn trong chu kỳ)
• $\sin x < 0$ khi $x \in ((2k+1)\pi, (2k+2)\pi)$ (k lẻ trong chu kỳ)

Đơn giản hơn:

• $\sin x > 0$ trên $(0, \pi), (2\pi, 3\pi), \ldots$
• $\sin x < 0$ trên $(\pi, 2\pi), (3\pi, 4\pi), \ldots$

Kết quả:

$y’ = \begin{cases} \cos x & \text{nếu } \sin x > 0 \\ -\cos x & \text{nếu } \sin x < 0 \\ \text{không xác định} & \text{nếu } x = k\pi \end{cases}$

Công thức rút gọn:

$|\sin x|’ = \text{sgn}(\sin x) \cdot \cos x = \dfrac{\sin x \cdot \cos x}{|\sin x|} \quad (x \neq k\pi)$

Bài tập mẫu 5: Tính đạo hàm của $y = |\cos x|$

Lời giải:

• $f(x) = \cos x$, $f'(x) = -\sin x$
• $\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$

$y’ = \begin{cases} -\sin x & \text{nếu } \cos x > 0 \\ -(-\sin x) = \sin x & \text{nếu } \cos x < 0 \\ \text{không xác định} & \text{nếu } x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi \end{cases}$

Công thức rút gọn:

$|\cos x|’ = -\text{sgn}(\cos x) \cdot \sin x$

Bài tập mẫu 6: Tính đạo hàm của $y = |\tan x|$ trên $\left(-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right)$

Lời giải:

• $f(x) = \tan x$, $f'(x) = \dfrac{1}{\cos^2 x}$
• $\tan x = 0 \Leftrightarrow x = 0$

Trên khoảng $\left(-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right)$:

• $\tan x > 0$ khi $x \in \left(0, \dfrac{\pi}{2}\right)$
• $\tan x < 0$ khi $x \in \left(-\dfrac{\pi}{2}, 0\right)$

$y’ = \begin{cases} \dfrac{1}{\cos^2 x} & \text{nếu } 0 < x < \dfrac{\pi}{2} \\ -\dfrac{1}{\cos^2 x} & \text{nếu } -\dfrac{\pi}{2} < x < 0 \\ \text{không xác định} & \text{nếu } x = 0 \end{cases}$

Dạng 3: Tích, thương chứa trị tuyệt đối

Bài tập mẫu 7: Tính đạo hàm của $y = x \cdot |x|$

Cách 1: Viết lại hàm số

Kiểm tra tại $x = 0$:

• $y’-(0) = \lim{h \to 0^-} \dfrac{-h^2 – 0}{h} = \lim_{h \to 0^-} -h = 0$
• $y’+(0) = \lim{h \to 0^+} \dfrac{h^2 – 0}{h} = \lim_{h \to 0^+} h = 0$

Vậy $y'(0) = 0$ (hàm khả vi tại $x = 0$!)

Kết quả:

$y’ = \begin{cases} 2x & \text{nếu } x > 0 \\ 0 & \text{nếu } x = 0 \\ -2x & \text{nếu } x < 0 \end{cases}$

Cách 2: Sử dụng công thức

Áp dụng quy tắc tích $(uv)’ = u’v + uv’$:

$y’ = 1 \cdot |x| + x \cdot \dfrac{x}{|x|} = |x| + \dfrac{x^2}{|x|} = |x| + |x| = 2|x|$

Với $x \neq 0$. Và kiểm tra riêng tại $x = 0$ được $y'(0) = 0$.

Công thức tổng quát:

$(x|x|)’ = 2|x|$

Bài tập mẫu 8: Tính đạo hàm của $y = \dfrac{|x|}{x+1}$

Lời giải:

Áp dụng quy tắc thương:

$y’ = \dfrac{(|x|)’ \cdot (x+1) – |x| \cdot 1}{(x+1)^2}$

$= \dfrac{\dfrac{x}{|x|}(x+1) – |x|}{(x+1)^2} \quad (x \neq 0)$

$= \dfrac{x \cdot \dfrac{x+1}{|x|} – |x|}{(x+1)^2}$

$= \dfrac{|x|(x+1) – |x| \cdot x}{|x|(x+1)^2}$

$= \dfrac{|x|}{|x|(x+1)^2}$

$= \dfrac{1}{(x+1)^2} \quad (x \neq 0, x \neq -1)$

Nhận xét: Kết quả không phụ thuộc vào dấu của $x$!

Bài tập mẫu 9: Tính đạo hàm của $y = x^2|x|$

Lời giải:

Công thức gọn: $y’ = 3x|x|$ (với mọi $x$)

Bài tập mẫu 10: Tính đạo hàm của $y = \dfrac{x}{|x+2|}$

Lời giải:

Điểm $x = -2$ là điểm đặc biệt (mẫu bằng 0).

Với $x \neq -2$:

$y’ = \dfrac{1 \cdot |x+2| – x \cdot \dfrac{x+2}{|x+2|}}{|x+2|^2}$

$= \dfrac{|x+2| – x \cdot \dfrac{x+2}{|x+2|}}{|x+2|^2}$

• Nếu $x > -2$: $|x+2| = x+2$ $y’ = \dfrac{x+2 – x}{(x+2)^2} = \dfrac{2}{(x+2)^2}$
• Nếu $x < -2$: $|x+2| = -(x+2)$ $y’ = \dfrac{-(x+2) – x \cdot \dfrac{x+2}{-(x+2)}}{(x+2)^2} = \dfrac{-(x+2) + x}{(x+2)^2} = \dfrac{-2}{(x+2)^2}$

Dạng 4: Kết hợp căn và trị tuyệt đối

Bài tập mẫu 11: Tính đạo hàm của $y = \sqrt{|x|}$

Lời giải:

$y = \sqrt{|x|} = \begin{cases} \sqrt{x} & \text{nếu } x > 0 \ \sqrt{-x} & \text{nếu } x < 0 \end{cases}$

• Với $x > 0$: $y’ = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$
• Với $x < 0$: $y’ = \dfrac{-1}{2\sqrt{-x}} = -\dfrac{1}{2\sqrt{|x|}}$

Công thức tổng quát:

$(\sqrt{|x|})’ = \dfrac{\text{sgn}(x)}{2\sqrt{|x|}} = \dfrac{1}{2\sqrt{|x|}} \cdot \dfrac{x}{|x|} \quad (x \neq 0)$

Bài tập mẫu 12: Tính đạo hàm của $y = \sqrt{|x^2 – 1|}$

Lời giải:

Đây là hàm hợp: ngoài là căn, trong là trị tuyệt đối.

• $f(x) = x^2 – 1$
• $f'(x) = 2x$
• Nghiệm: $x = \pm 1$

Với $|x| > 1$: $x^2 – 1 > 0$ $y = \sqrt{x^2-1}$ $y’ = \dfrac{2x}{2\sqrt{x^2-1}} = \dfrac{x}{\sqrt{x^2-1}}$

Với $|x| < 1$: $x^2 – 1 < 0$ $y = \sqrt{-(x^2-1)} = \sqrt{1-x^2}$ $y’ = \dfrac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}} = \dfrac{-x}{\sqrt{1-x^2}}$

Tại $x = \pm 1$: Không có đạo hàm.

4. Phương pháp tính đạo hàm hàm trị tuyệt đối

Phương pháp 1: Xét từng khoảng (Chuẩn nhất)

Các bước thực hiện:

Bước 1: Tìm nghiệm của $f(x) = 0$

Bước 2: Lập bảng xét dấu $f(x)$

Bước 3: Viết $|f(x)|$ theo từng khoảng:

• Khoảng $f(x) > 0$: $|f(x)| = f(x)$
• Khoảng $f(x) < 0$: $|f(x)| = -f(x)$

Bước 4: Tính đạo hàm từng khoảng

Bước 5: Xét riêng tại các điểm $f(x) = 0$ (nếu cần)

Phương pháp 2: Sử dụng công thức trực tiếp

$|f(x)|’ = \dfrac{f(x) \cdot f'(x)}{|f(x)|} = \text{sgn}(f(x)) \cdot f'(x) \quad (f(x) \neq 0)$

Ưu điểm: Nhanh, gọn

Nhược điểm: Cần nhớ công thức, phải xét riêng các điểm $f(x) = 0$

Khi nào dùng: Với các hàm đơn giản, khi chỉ cần đạo hàm tại một vài điểm cụ thể.

Phương pháp 3: Viết lại hàm số

Với một số trường hợp đặc biệt, có thể viết lại dưới dạng khác:

Ví dụ: $|x^2 – 1| = \sqrt{(x^2-1)^2}$

Nhưng cách này thường phức tạp hơn!

5. Lưu ý quan trọng

Điểm không có đạo hàm:

Quy tắc: Tại các điểm $f(x) = 0$ mà $f'(x) \neq 0$, hàm $|f(x)|$ không có đạo hàm.

Giải thích: Tại điểm đó, đồ thị có góc nhọn (điểm gấp khúc), đạo hàm trái và đạo hàm phải khác nhau.

Cách kiểm tra:

$f’_-(x_0) = -f'(x_0) \quad \text{và} \quad f’_+(x_0) = f'(x_0)$

Nếu $f'(x_0) \neq 0$ thì $f’_-(x_0) \neq f’_+(x_0)$.

Hàm liên tục nhưng không khả vi:

• $|f(x)|$ luôn liên tục tại mọi điểm (nếu $f(x)$ liên tục)
• Nhưng có thể không khả vi tại một số điểm

Ví dụ kinh điển: $y = |x|$

• Liên tục tại $x = 0$
• Không khả vi tại $x = 0$

Công thức chỉ đúng khi $f(x) \neq 0$:

Công thức $|f(x)|’ = \dfrac{f(x) \cdot f'(x)}{|f(x)|}$ chỉ áp dụng khi $f(x) \neq 0$.

Tại các điểm $f(x) = 0$, phải xét riêng bằng định nghĩa hoặc giới hạn.

Trường hợp đặc biệt: $f'(x_0) = 0$:

Nếu tại điểm $x_0$ mà $f(x_0) = 0$ và $f'(x_0) = 0$, thì có thể $|f(x)|$ vẫn có đạo hàm tại $x_0$.

Ví dụ: $f(x) = x^2$

• $f(0) = 0$, $f'(0) = 0$
• $|x^2| = x^2$
• $(|x^2|)’ = 2x$, tại $x = 0$: đạo hàm $= 0$

Hàm $|x^2|$ có đạo hàm tại $x = 0$!

6. Bảng tổng hợp công thức trị tuyệt đối

IV. Mẹo Và Lưu Ý Quan Trọng

1. Các sai lầm thường gặp

Về hàm căn:

SAI:

1. $(\sqrt{x^2})’ = \dfrac{2x}{2\sqrt{x^2}} = \dfrac{x}{\sqrt{x^2}} = 1$
   • Sai: Thiếu trị tuyệt đối! $\sqrt{x^2} = |x|$
2. $(\sqrt{x+1})’ = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$
   • Sai: Quên đạo hàm của hàm trong!
3. $(\sqrt{2x})’ = \dfrac{1}{2\sqrt{2x}}$
   • Sai: Thiếu hệ số 2!

ĐÚNG:

1. $(\sqrt{x^2})’ = (|x|)’ = \dfrac{x}{|x|}$ với $x \neq 0$
2. $(\sqrt{x+1})’ = \dfrac{1}{2\sqrt{x+1}}$
3. $(\sqrt{2x})’ = \dfrac{2}{2\sqrt{2x}} = \dfrac{1}{\sqrt{2x}}$

Về hàm trị tuyệt đối:

SAI:

1. $(|x|)’ = 1$ (không xét dấu)
2. $(|x^2 – 1|)’ = 2x$ (quên xét miền)
3. $(|f(x)|)’ = f'(x)$ (áp dụng sai)
4. $|x^2| = x$ (nhầm lẫn)

ThS. Nguyễn Văn An

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn Tổ Toán tại Edus

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán học, Thạc sĩ Lý luận & Phương pháp dạy học môn Toán, Chức danh nghề nghiệp giáo viên THPT – Hạng II, Tin học ứng dụng cơ bản, Ngoại ngữ B1, Chứng chỉ bồi dưỡng năng lực tổ trưởng chuyên môn

Kinh nghiệm: 12+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT chuyên Trần Đại Nghĩa