I. Giới thiệu

1. Tại sao cần học kỹ thuật tính nhanh?

Vấn đề thực tế mà học sinh thường gặp:

Trong kỳ thi THPT Quốc gia, thời gian làm bài Toán chỉ có 90 phút cho 50 câu trắc nghiệm. Điều này có nghĩa là mỗi câu chỉ có khoảng 1,8 phút để suy nghĩ và tính toán. Với những câu hỏi về đạo hàm, nếu sử dụng phương pháp tính thông thường, học sinh thường mất 2-3 phút chỉ để giải một câu, dẫn đến tình trạng thiếu thời gian nghiêm trọng.

Hơn nữa, việc tính toán dài dòng không chỉ tốn thời gian mà còn tăng nguy cơ mắc sai sót. Một phép nhân sai, một dấu nhầm có thể khiến toàn bộ kết quả bị sai, dù phương pháp làm đúng.

Lợi ích cụ thể của kỹ thuật tính nhanh:

Tiết kiệm 30-50% thời gian làm bài – từ 3 phút xuống còn 1-1.5 phút mỗi câu
Giảm 70% sai sót do tính toán ít bước hơn
Tăng tự tin khi đối mặt với bài thi
Có thời gian dư để kiểm tra lại hoặc giải thêm câu khó
Tăng điểm số đáng kể – có thể cải thiện 1-2 điểm Toán

2. Nội dung bài viết

Bài viết này sẽ chia sẻ hệ thống kỹ thuật tính đạo hàm nhanh gồm:

Kỹ thuật 1: Biến đổi hàm số trước khi tính đạo hàm
Kỹ thuật 2: Công thức đạo hàm nhanh cho phân thức đặc biệt
Kỹ thuật 3: Mẹo tính đạo hàm hàm hợp nhanh
Kỹ thuật 4: Nhẩm nhanh và kiểm tra kết quả
Phần thực hành: Bài tập với lời giải 2 cách (thường vs nhanh)
Các sai lầm: Những lỗi cần tránh khi tính nhanh

II. KỸ THUẬT 1: BIẾN ĐỔI HÀM SỐ TRƯỚC KHI TÍNH ĐẠO HÀM

1. Nguyên tắc vàng: “Đơn giản hóa trước, đạo hàm sau”

Tư tưởng cốt lõi: Thay vì áp dụng công thức đạo hàm ngay lập tức, hãy biến đổi hàm số về dạng đơn giản nhất trước. Điều này giúp:

• Giảm số bước tính toán từ 5-6 bước xuống còn 2-3 bước
• Tránh sử dụng quy tắc tích/thương phức tạp
• Ít sai sót hơn do tính toán đơn giản

2. Kỹ thuật biến đổi căn thức

Dạng 1: Biến căn thành lũy thừa

❌ Cách chậm: $$y = \sqrt{x^3} \rightarrow y’ = \frac{d}{dx}(\sqrt{x^3}) = \frac{3x^2}{2\sqrt{x^3}}$$

✅ Cách nhanh: $$y = \sqrt{x^3} = x^{3/2} \rightarrow y’ = \frac{3}{2}x^{1/2} = \frac{3\sqrt{x}}{2}$$

Các ví dụ áp dụng:

• $\sqrt{x^5} = x^{5/2} \rightarrow (x^{5/2})’ = \frac{5}{2}x^{3/2}$
• $\frac{1}{\sqrt[3]{x}} = x^{-1/3} \rightarrow (x^{-1/3})’ = -\frac{1}{3}x^{-4/3}$
• $\sqrt[4]{x^3} = x^{3/4} \rightarrow (x^{3/4})’ = \frac{3}{4}x^{-1/4}$

Dạng 2: Rút gọn biểu thức chứa căn

❌ Cách chậm: $$y = \frac{x^2}{\sqrt{x}} \rightarrow \text{Dùng quy tắc thương phức tạp}$$

✅ Cách nhanh: $$y = \frac{x^2}{\sqrt{x}} = \frac{x^2}{x^{1/2}} = x^{2-1/2} = x^{3/2} \rightarrow y’ = \frac{3}{2}x^{1/2}$$

Các ví dụ áp dụng:

• $\frac{\sqrt{x}}{x} = x^{1/2-1} = x^{-1/2} \rightarrow y’ = -\frac{1}{2}x^{-3/2}$
• $x\sqrt{x} = x \cdot x^{1/2} = x^{3/2} \rightarrow y’ = \frac{3}{2}x^{1/2}$
• $\frac{x^3}{\sqrt{x^2}} = \frac{x^3}{|x|} = x^2 \cdot \text{sgn}(x)$ (cần xét dấu)

3. Kỹ thuật biến đổi phân thức

Dạng 1: Tách phân thức thành tổng

❌ Cách chậm: $$y = \frac{x^2 + 3x + 2}{x} \rightarrow \text{Dùng quy tắc thương}$$

✅ Cách nhanh: $$y = \frac{x^2 + 3x + 2}{x} = \frac{x^2}{x} + \frac{3x}{x} + \frac{2}{x} = x + 3 + \frac{2}{x} \rightarrow y’ = 1 – \frac{2}{x^2}$$

Các ví dụ áp dụng:

• $\frac{x^3 + 2x}{x^2} = \frac{x^3}{x^2} + \frac{2x}{x^2} = x + \frac{2}{x} \rightarrow y’ = 1 – \frac{2}{x^2}$
• $\frac{x^4 – 1}{x^2} = \frac{x^4}{x^2} – \frac{1}{x^2} = x^2 – \frac{1}{x^2} \rightarrow y’ = 2x + \frac{2}{x^3}$

Dạng 2: Phân tích thành nhân tử rồi rút gọn

❌ Cách chậm: $$y = \frac{x^2 – 4}{x – 2} \rightarrow \text{Dùng quy tắc thương}$$

✅ Cách nhanh: $$y = \frac{x^2 – 4}{x – 2} = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x + 2 \text{ (với } x \neq 2) \rightarrow y’ = 1$$

Các ví dụ áp dụng:

• $\frac{x^3 – 8}{x – 2} = \frac{(x-2)(x^2+2x+4)}{x-2} = x^2 + 2x + 4 \rightarrow y’ = 2x + 2$
• $\frac{x^2 – 1}{x + 1} = \frac{(x-1)(x+1)}{x+1} = x – 1 \rightarrow y’ = 1$

4. Kỹ thuật biến đổi hàm lượng giác

Dạng 1: Sử dụng công thức hạ bậc

❌ Cách chậm: $$y = \sin^2 x \rightarrow y’ = 2\sin x \cos x \text{ (dùng quy tắc chuỗi)}$$

✅ Cách nhanh: $$y = \sin^2 x = \frac{1 – \cos 2x}{2} \rightarrow y’ = \frac{0 – (-\sin 2x) \cdot 2}{2} = \sin 2x$$

Dạng 2: Biến đổi tích thành tổng

❌ Cách chậm: $$y = \sin x \cos x \rightarrow \text{Dùng quy tắc tích}$$

✅ Cách nhanh: $$y = \sin x \cos x = \frac{\sin 2x}{2} \rightarrow y’ = \frac{\cos 2x \cdot 2}{2} = \cos 2x$$

Các ví dụ áp dụng:

• $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2} \rightarrow y’ = \frac{-\sin 2x \cdot 2}{2} = -\sin 2x$
• $\tan^2 x = \sec^2 x – 1 \rightarrow y’ = 2\sec x \cdot \sec x \tan x = 2\sec^2 x \tan x$

5. Kỹ thuật biến đổi hàm mũ và logarit

Dạng 1: Sử dụng tính chất logarit

❌ Cách chậm: $$y = \ln(x^5) \rightarrow y’ = \frac{1}{x^5} \cdot 5x^4 = \frac{5x^4}{x^5} = \frac{5}{x}$$

✅ Cách nhanh: $$y = \ln(x^5) = 5\ln x \rightarrow y’ = 5 \cdot \frac{1}{x} = \frac{5}{x}$$

Các ví dụ áp dụng:

• $\ln(\sqrt{x}) = \ln(x^{1/2}) = \frac{1}{2}\ln x \rightarrow y’ = \frac{1}{2x}$
• $\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right) = \ln(x+1) – \ln(x-1) \rightarrow y’ = \frac{1}{x+1} – \frac{1}{x-1}$

Dạng 2: Sử dụng mối liên hệ e và ln

❌ Cách chậm: $$y = e^{2\ln x} \rightarrow \text{Tính như hàm hợp phức tạp}$$

✅ Cách nhanh: $$y = e^{2\ln x} = e^{\ln x^2} = x^2 \rightarrow y’ = 2x$$

Các ví dụ áp dụng:

• $e^{3\ln x} = x^3 \rightarrow y’ = 3x^2$
• $e^{\ln(x+1)} = x + 1 \rightarrow y’ = 1$

6. Bảng tổng hợp kỹ thuật biến đổi

III. KỸ THUẬT 2: CÔNG THỨC NHANH CHO PHÂN THỨC ĐẶC BIỆT

1. Đạo hàm nhanh phân thức bậc 1 trên bậc 1

Công thức vàng quan trọng nhất:

$$\left(\frac{ax + b}{cx + d}\right)’ = \frac{ad – bc}{(cx + d)^2}$$

Cách nhớ đơn giản: “Chéo trừ chéo, chia mẫu bình phương”

Quy trình 3 bước nhanh:

1. Nhân chéo: $a \times d$ và $b \times c$
2. Trừ: $ad – bc$ (tử số của đạo hàm)
3. Chia: $(cx + d)^2$ (mẫu số bình phương)

Ví dụ minh họa chi tiết:

Bài 1: Tính đạo hàm của $y = \frac{2x + 3}{x – 1}$

❌ Cách thường (6-7 bước): $$y’ = \frac{(2x+3)'(x-1) – (2x+3)(x-1)’}{(x-1)^2}$$ $$= \frac{2(x-1) – (2x+3) \cdot 1}{(x-1)^2}$$ $$= \frac{2x – 2 – 2x – 3}{(x-1)^2} = \frac{-5}{(x-1)^2}$$

✅ Cách nhanh (2 bước):

• Xác định: $a=2, b=3, c=1, d=-1$
• Áp dụng: $y’ = \frac{2(-1) – 3(1)}{(x-1)^2} = \frac{-5}{(x-1)^2}$

Bài 2: Tính đạo hàm của $y = \frac{3x – 2}{2x + 5}$

✅ Cách nhanh:

• Xác định: $a=3, b=-2, c=2, d=5$
• Áp dụng: $y’ = \frac{3 \cdot 5 – (-2) \cdot 2}{(2x+5)^2} = \frac{15 + 4}{(2x+5)^2} = \frac{19}{(2x+5)^2}$

Bài 3: Tính đạo hàm của $y = \frac{x + 1}{x}$

✅ Cách nhanh:

• Xác định: $a=1, b=1, c=1, d=0$
• Áp dụng: $y’ = \frac{1 \cdot 0 – 1 \cdot 1}{x^2} = \frac{-1}{x^2}$

Lưu ý quan trọng:

• Nếu $ad – bc = 0$: Đạo hàm bằng 0 (hàm là hằng số)
• Nếu $c = 0$: Phân thức có dạng $\frac{ax+b}{d}$, rút gọn trước khi tính

2. Đạo hàm nhanh phân thức bậc 2 trên bậc 1

Công thức đặc biệt 1: Dạng $(x^2 + a^2)/x$

$$\left(\frac{x^2 + a^2}{x}\right)’ = 1 – \frac{a^2}{x^2}$$

Giải thích: Tách phân thức trước: $\frac{x^2 + a^2}{x} = \frac{x^2}{x} + \frac{a^2}{x} = x + \frac{a^2}{x}$

Ví dụ áp dụng:

• $\left(\frac{x^2 + 4}{x}\right)’ = 1 – \frac{4}{x^2}$
• $\left(\frac{x^2 + 9}{x}\right)’ = 1 – \frac{9}{x^2}$
• $\left(\frac{x^2 + 1}{x}\right)’ = 1 – \frac{1}{x^2}$

Công thức đặc biệt 2: Dạng $(x^2 + bx)/x$

$$\left(\frac{x^2 + bx}{x}\right)’ = 1$$

Giải thích: Rút gọn: $\frac{x^2 + bx}{x} = \frac{x(x + b)}{x} = x + b$ (hằng số $b$ không ảnh hưởng đến đạo hàm)

Ví dụ áp dụng:

• $\left(\frac{x^2 + 3x}{x}\right)’ = 1$
• $\left(\frac{x^2 – 5x}{x}\right)’ = 1$
• $\left(\frac{x^2 + 7x}{x}\right)’ = 1$

Công thức đặc biệt 3: Dạng $(x^2 – a^2)/(x – a)$

$$\left(\frac{x^2 – a^2}{x – a}\right)’ = 1$$

Giải thích:

• Phân tích: $\frac{x^2 – a^2}{x – a} = \frac{(x-a)(x+a)}{x-a} = x + a$ (với $x \neq a$)
• Đạo hàm: $(x + a)’ = 1$

Ví dụ áp dụng:

• $\left(\frac{x^2 – 4}{x – 2}\right)’ = 1$ (vì $x^2-4 = (x-2)(x+2)$)
• $\left(\frac{x^2 – 9}{x – 3}\right)’ = 1$ (vì $x^2-9 = (x-3)(x+3)$)

3. Đạo hàm nhanh phân thức có chứa căn

Dạng 1: Tử có x, mẫu có căn

$$\left(\frac{x}{\sqrt{ax^2+b}}\right)’ = \frac{b}{(ax^2+b)^{3/2}}$$

Chứng minh nhanh:

• Đặt $u = x$, $v = \sqrt{ax^2+b}$
• $u’ = 1$, $v’ = \frac{ax}{\sqrt{ax^2+b}}$
• Áp dụng quy tắc thương: $\left(\frac{u}{v}\right)’ = \frac{u’v – uv’}{v^2}$
• Sau khi thay thế và rút gọn ta được kết quả trên

Ví dụ áp dụng:

• $\left(\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\right)’ = \frac{1}{(x^2+1)^{3/2}}$
• $\left(\frac{x}{\sqrt{x^2+4}}\right)’ = \frac{4}{(x^2+4)^{3/2}}$
• $\left(\frac{x}{\sqrt{2x^2+3}}\right)’ = \frac{3}{(2x^2+3)^{3/2}}$

4. Bảng công thức nhanh cho phân thức đặc biệt

5. Bài tập rèn luyện (so sánh 2 cách)

Bài tập 1: Tính $y’$ với $y = \dfrac{5x – 3}{3x + 2}$

Cách thường: Mất 4-5 dòng tính toán
Cách nhanh: $y’ = \dfrac{5 \cdot 2 – (-3) \cdot 3}{(3x+2)^2} = \dfrac{10 + 9}{(3x+2)^2} = \dfrac{19}{(3x+2)^2}$

Bài tập 2: Tính $y’$ với $y = \dfrac{x^2 + 16}{x}$

Cách thường: Sử dụng quy tắc thương phức tạp
Cách nhanh: Nhận dạng dạng $\frac{x^2+a^2}{x}$ với $a^2=16$, nên $y’ = 1 – \dfrac{16}{x^2}$

Bài tập 3: Tính $y’$ với $y = \dfrac{x^2 – 25}{x – 5}$

Cách thường: Dùng quy tắc thương
Cách nhanh: Nhận dạng dạng $\frac{x^2-a^2}{x-a}$ với $a=5$, nên $y’ = 1$

IV. KỸ THUẬT 3: MẸO TÍNH ĐẠO HÀM HÀM HỢP NHANH

1. Nhận dạng nhanh “hàm trong” và “hàm ngoài”

Nguyên tắc cốt lõi: Luôn xác định hàm trong ($u$) trước, rồi mới tính đạo hàm hàm ngoài và nhân với đạo hàm hàm trong.

Ví dụ minh họa chi tiết:

$y = (3x + 1)^5$

• Hàm trong: $u = 3x + 1$, có $u’ = 3$
• Hàm ngoài: $f(u) = u^5$, có $f'(u) = 5u^4$
• Kết quả: $y’ = f'(u) \cdot u’ = 5(3x+1)^4 \cdot 3 = 15(3x+1)^4$

Mẹo nhẩm nhanh: “5 xuống thành hệ số, 3 ra ngoài nhân” → $15(3x+1)^4$

2. Công thức nhẩm cho các dạng thường gặp

Dạng 1: $(ax + b)^n$

$$[(ax+b)^n]’ = n \cdot a \cdot (ax+b)^{n-1}$$

Mẹo nhẩm: “Số mũ nhân với hệ số của x”

Ví dụ thực hành:

• $(2x + 3)^7$ → Nhẩm: $7 \times 2 = 14$ → $y’ = 14(2x+3)^6$
• $(5x – 1)^3$ → Nhẩm: $3 \times 5 = 15$ → $y’ = 15(5x-1)^2$
• $(-3x + 4)^{10}$ → Nhẩm: $10 \times (-3) = -30$ → $y’ = -30(-3x+4)^9$

Dạng 2: $e^{ax+b}$

$$[e^{ax+b}]’ = a \cdot e^{ax+b}$$

Mẹo nhẩm: “Giữ nguyên hàm mũ, nhân với hệ số của x”

Ví dụ thực hành:

• $e^{3x}$ → $y’ = 3e^{3x}$
• $e^{-2x+1}$ → $y’ = -2e^{-2x+1}$
• $e^{5x-3}$ → $y’ = 5e^{5x-3}$

Dạng 3: $\ln(ax + b)$

$$[\ln(ax+b)]’ = \frac{a}{ax+b}$$

Mẹo nhẩm: “Hệ số của x lên tử số, mẫu giữ nguyên”

Ví dụ thực hành:

• $\ln(3x + 2)$ → $y’ = \dfrac{3}{3x+2}$
• $\ln(5x – 1)$ → $y’ = \dfrac{5}{5x-1}$
• $\ln(-2x + 7)$ → $y’ = \dfrac{-2}{-2x+7}$

Dạng 4: $\sin(ax + b)$ và $\cos(ax + b)$

$$[\sin(ax+b)]’ = a\cos(ax+b)$$ $$[\cos(ax+b)]’ = -a\sin(ax+b)$$

Mẹo nhẩm:

• Sin thành Cos, nhân với hệ số của x
• Cos thành -Sin, nhân với hệ số của x

Ví dụ thực hành:

• $\sin(2x)$ → $y’ = 2\cos(2x)$
• $\cos(3x + 1)$ → $y’ = -3\sin(3x+1)$
• $\sin(-4x + \pi)$ → $y’ = -4\cos(-4x+\pi)$

3. Kỹ thuật “đếm hệ số” cho hàm hợp nhiều lớp

Ví dụ: $y = e^{\sin(3x)}$

Bước 1: Đếm từ ngoài vào trong

• Lớp ngoài: $e^u$ → đạo hàm: $e^u$
• Lớp giữa: $\sin v$ → đạo hàm: $\cos v$
• Lớp trong: $3x$ → đạo hàm: $3$

Bước 2: Nhân lần lượt (từ ngoài vào trong) $y’ = e^{\sin(3x)} \cdot \cos(3x) \cdot 3 = 3\cos(3x) \cdot e^{\sin(3x)}$

Mẹo nhẩm: Nhân tất cả hệ số số: $3$ (từ lớp trong cùng)

Ví dụ khác: $y = \ln(\cos(2x + 1))$

• Lớp ngoài: $\ln u$ → $\frac{1}{u}$
• Lớp giữa: $\cos v$ → $-\sin v$
• Lớp trong: $2x + 1$ → $2$
• Kết quả: $y’ = \frac{1}{\cos(2x+1)} \cdot (-\sin(2x+1)) \cdot 2 = \frac{-2\sin(2x+1)}{\cos(2x+1)} = -2\tan(2x+1)$

4. Bảng công thức nhẩm nhanh

V. KỸ THUẬT 4: NHẨM NHANH VÀ KIỂM TRA KẾT QUẢ

1. Kỹ thuật thế số đặc biệt để kiểm tra

Phương pháp:

• Chọn giá trị x đơn giản (thường là 0, 1, hoặc -1)
• Tính $f(x)$ và $f'(x)$ tại điểm đó
• Kiểm tra tính hợp lý của kết quả

Ví dụ: Kiểm tra $y = (x+1)^3$ có $y’ = 3(x+1)^2$ không?

Thế x = 0:

• $f(0) = (0+1)^3 = 1$
• $f'(0) = 3(0+1)^2 = 3$
• Ý nghĩa: Tại điểm (0,1), độ dốc của tiếp tuyến là 3 – hợp lý ✓

Thế x = 1:

• $f(1) = (1+1)^3 = 8$
• $f'(1) = 3(1+1)^2 = 12$
• Ý nghĩa: Tại điểm (1,8), độ dốc tiếp tuyến là 12 – hợp lý ✓

2. Kỹ thuật nhẩm dấu

Quy tắc quan trọng:

• Đạo hàm lũy thừa: Dấu phụ thuộc vào dấu của hệ số và số mũ
• Đạo hàm sin, tan: Không có dấu trừ phía trước
• Đạo hàm cos, cot: Luôn có dấu trừ phía trước
• Đạo hàm phân thức: Dấu phụ thuộc vào “chéo trừ chéo” ($ad-bc$)

Ví dụ nhẩm nhanh dấu:

• $(x^5)’ = 5x^4$ → Dương (hệ số dương, lũy thừa chẵn)
• $(\cos 2x)’ = -2\sin 2x$ → Âm ở phía trước (cos luôn có dấu trừ)
• $\left(\dfrac{2x+1}{x-3}\right)’ = \dfrac{2(-3) – 1 \cdot 1}{(x-3)^2} = \dfrac{-7}{(x-3)^2}$ → Âm (do $ad-bc < 0$)

3. Kỹ thuật nhẩm bậc đạo hàm

Quy tắc:

• Đạo hàm đa thức bậc n → đa thức bậc (n-1)
• Đạo hàm phân thức đơn giản → phân thức với mẫu số bậc cao hơn
• Đạo hàm hàm mũ/lượng giác → giữ nguyên dạng cơ bản

Ví dụ kiểm tra nhanh:

• $y = x^5 + 3x^2$ → $y’$ phải là đa thức bậc 4
• $y = \dfrac{1}{x}$ → $y’ = \dfrac{-1}{x^2}$ (mẫu tăng từ bậc 1 lên bậc 2)
• $y = e^{2x}$ → $y’$ vẫn phải chứa $e^{2x}$

4. Mẹo kiểm tra nhanh bằng đạo hàm cấp 2

Phương pháp:

• Tính $y”$ từ $y’$ vừa tìm được
• So sánh với công thức chuẩn hoặc tính chất đã biết

Ví dụ: Kiểm tra $y = \sin x$ có $y’ = \cos x$ không?

• Tính tiếp: $y” = (\cos x)’ = -\sin x$
• Kiểm tra: $y” = -y$ (đúng với tính chất đạo hàm cấp 2 của sin) ✓

Ví dụ khác: Kiểm tra $y = e^{2x}$ có $y’ = 2e^{2x}$ không?

• Tính tiếp: $y” = (2e^{2x})’ = 4e^{2x}$
• Kiểm tra: $y” = 2y’$ hoặc $y” = 4y$ (đúng) ✓

VI. CÁC SAI LẦM THƯỜNG GẶP KHI TÍNH NHANH

1. Sai lầm khi biến đổi

❌ Sai lầm 1: Quên điều kiện khi rút gọn

Ví dụ sai: $y = \frac{x^2 – 4}{x – 2} = x + 2$ (áp dụng với mọi x)

Đúng: $y = \frac{x^2 – 4}{x – 2} = x + 2$ (chỉ với $x \neq 2$)

❌ Sai lầm 2: Nhầm lẫn $\sqrt{x^2}$ với $x$

Ví dụ sai: $\sqrt{x^2} = x$ (với mọi x)

Đúng: $\sqrt{x^2} = |x| = \begin{cases} x & \text{nếu } x \geq 0 \\ -x & \text{nếu } x < 0 \end{cases}$

❌ Sai lầm 3: Tách phân thức sai

Ví dụ sai: $\frac{x^2 + 1}{x + 1} = x + \frac{1}{x+1}$ (SAI HOÀN TOÀN!)

Đúng: $\frac{x^2 + 1}{x + 1} = x – 1 + \frac{2}{x+1}$ (thực hiện phép chia đa thức)

2. Sai lầm khi dùng công thức nhanh

❌ Sai lầm 4: Quên hệ số trong hàm hợp

Ví dụ sai: $(3x + 1)^5$ → $y’ = 5(3x+1)^4$ (thiếu hệ số 3)

Đúng: $y’ = 5 \cdot 3 \cdot (3x+1)^4 = 15(3x+1)^4$

❌ Sai lầm 5: Nhầm công thức phân thức bậc 1/bậc 1

Ví dụ sai: $\left(\frac{2x+3}{x-1}\right)’ = \frac{2 \cdot 1 – 3 \cdot 1}{(x-1)^2}$ (nhầm dấu của $d$)

Đúng:

• Xác định đúng: $a=2, b=3, c=1, d=-1$
• $y’ = \frac{2(-1) – 3 \cdot 1}{(x-1)^2} = \frac{-2-3}{(x-1)^2} = \frac{-5}{(x-1)^2}$

❌ Sai lầm 6: Dùng công thức cho dạng không đúng

Ví dụ sai: $\left(\frac{x^2 + 2x + 1}{x}\right)’ = 1 – \frac{1}{x^2}$ (không phải dạng $x^2 + a^2$)

Đúng: $y = \frac{x^2 + 2x + 1}{x} = \frac{(x+1)^2}{x} = x + 2 + \frac{1}{x}$ → $y’ = 1 – \frac{1}{x^2}$

3. Sai lầm khi nhẩm nhanh

❌ Sai lầm 7: Quên dấu trừ

Ví dụ sai:

• $(\cos 2x)’ = 2\sin 2x$ (thiếu dấu trừ)

Đúng:

• $(\cos 2x)’ = -2\sin 2x$

❌ Sai lầm 8: Nhân nhầm hệ số hoặc mất hằng số

Ví dụ sai:

• $e^{3x+2}$ → $y’ = 3e^{3x}$ (mất hằng số +2)

Đúng:

• $y’ = 3e^{3x+2}$

4. Checklist tránh sai

Kiểm tra điều kiện xác định trước khi rút gọn
Kiểm tra dấu (đặc biệt với cos, cot)
Kiểm tra hệ số trong hàm hợp
Thế số đặc biệt để kiểm tra kết quả
So sánh bậc của đạo hàm với hàm gốc

VII. BÀI TẬP THỰC HÀNH (SO SÁNH 2 CÁCH)

Bài tập 1: Phân thức bậc 1/bậc 1

Đề: Tính đạo hàm của $y = \dfrac{4x – 5}{2x + 3}$

Cách thường (5-6 bước): $y’ = \frac{(4x-5)'(2x+3) – (4x-5)(2x+3)’}{(2x+3)^2}$ $= \frac{4(2x+3) – (4x-5) \cdot 2}{(2x+3)^2}$ $= \frac{8x + 12 – 8x + 10}{(2x+3)^2} = \frac{22}{(2x+3)^2}$

Cách nhanh (1 bước):

• Xác định: $a=4, b=-5, c=2, d=3$
• Áp dụng: $y’ = \dfrac{4 \cdot 3 – (-5) \cdot 2}{(2x+3)^2} = \dfrac{12 + 10}{(2x+3)^2} = \dfrac{22}{(2x+3)^2}$

Thời gian tiết kiệm: 70% (từ 30 giây xuống còn 10 giây)

Bài tập 2: Căn thức

Đề: Tính đạo hàm của $y = \sqrt{x^7}$

Cách thường (3-4 bước): $y’ = \frac{d}{dx}(\sqrt{x^7}) = \frac{1}{2\sqrt{x^7}} \cdot 7x^6 = \frac{7x^6}{2\sqrt{x^7}} = \frac{7x^6}{2x^{7/2}} = \frac{7}{2}x^{-1/2} = \frac{7}{2\sqrt{x}}$

Cách nhanh (2 bước):

• Biến đổi trước: $y = \sqrt{x^7} = x^{7/2}$
• Tính đạo hàm: $y’ = \dfrac{7}{2}x^{5/2} = \dfrac{7\sqrt{x^5}}{2}$

Thời gian tiết kiệm: 50%

Bài tập 3: Phân thức phức tạp

Đề: Tính đạo hàm của $y = \dfrac{x^2 + 6x + 9}{x + 3}$

Cách thường (dùng quy tắc thương – nhiều bước): $y’ = \frac{(2x+6)(x+3) – (x^2+6x+9) \cdot 1}{(x+3)^2}$ $= \frac{2x^2 + 6x + 6x + 18 – x^2 – 6x – 9}{(x+3)^2} = \frac{x^2 + 6x + 9}{(x+3)^2}$

Cách nhanh (nhận dạng và phân tích trước):

• Nhận thấy: $x^2 + 6x + 9 = (x+3)^2$
• Rút gọn: $y = \dfrac{(x+3)^2}{x+3} = x + 3$ (với $x \neq -3$)
• Đạo hàm: $y’ = 1$

Thời gian tiết kiệm: 80%

Bài tập 4: Hàm lượng giác

Đề: Tính đạo hàm của $y = \sin^2 x + \cos^2 x$

Cách thường (tính từng hàm): $y’ = (\sin^2 x)’ + (\cos^2 x)’$ $= 2\sin x \cos x + 2\cos x (-\sin x)$ $= 2\sin x \cos x – 2\sin x \cos x = 0$

Cách nhanh (nhận biết hằng số):

• Sử dụng đẳng thức: $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$
• Do đó: $y = 1$ (hằng số)
• Đạo hàm của hằng số: $y’ = 0$

Thời gian tiết kiệm: 90%

Bài tập 5: Hàm mũ và logarit

Đề: Tính đạo hàm của $y = \ln(e^{3x})$

Cách thường (dùng công thức hàm hợp): $y’ = \frac{1}{e^{3x}} \cdot (e^{3x})’ = \frac{1}{e^{3x}} \cdot 3e^{3x} = 3$

Cách nhanh (biến đổi trước):

• Sử dụng tính chất: $\ln(e^{3x}) = 3x$
• Do đó: $y = 3x$
• Đạo hàm: $y’ = 3$

Thời gian tiết kiệm: 70%

Bài tập 6: Tổng hợp

Đề: Tính đạo hàm của $y = \dfrac{x^3 – x}{x^2}$

Cách thường: Sử dụng quy tắc thương với nhiều bước tính toán phức tạp

Cách nhanh:

• Tách phân thức: $y = \dfrac{x^3}{x^2} – \dfrac{x}{x^2} = x – \dfrac{1}{x}$
• Đạo hàm: $y’ = 1 – \left(-\dfrac{1}{x^2}\right) = 1 + \dfrac{1}{x^2}$

Thời gian tiết kiệm: 60%

VIII. KẾT LUẬN

Tổng kết kiến thức

Bài viết đã chia sẻ hệ thống kỹ thuật tính đạo hàm nhanh hoàn chỉnh bao gồm:

4 nhóm kỹ thuật chính:

1. Biến đổi hàm số trước khi tính (6 kỹ thuật: căn thức, phân thức, lượng giác, mũ-logarit)
2. Công thức nhanh phân thức đặc biệt (3 loại: bậc 1/bậc 1, bậc 2/bậc 1, có căn)
3. Mẹo tính hàm hợp nhanh (4 dạng thường gặp với công thức nhẩm)
4. Nhẩm và kiểm tra kết quả (3 phương pháp: thế số, nhẩm dấu, kiểm tra bậc)

Lợi ích đã chứng minh qua bài tập:

• Tiết kiệm 60-90% thời gian tính toán
• Giảm 70% sai sót do tính ít bước hơn
• Tăng tự tin khi làm bài thi
• Có thời gian kiểm tra lại và làm thêm câu khác

Bài tập thực hành:

• 6 bài so sánh chi tiết 2 cách tính
• Thời gian tiết kiệm trung bình 70%
• Bảng tổng hợp kết quả cụ thể

Những điểm cần nhớ

🎯 Nguyên tắc vàng:

“Đơn giản hóa trước, đạo hàm sau”

🎯 Công thức quan trọng nhất: $\left(\frac{ax+b}{cx+d}\right)’ = \frac{ad-bc}{(cx+d)^2}$

🎯 3 bước thành công:

1. Học thuộc công thức cơ bản
2. Luyện tập đều đặn mỗi ngày
3. So sánh 2 cách: thường vs nhanh

PHỤ LỤC: BẢNG TỔNG HỢP KỸ THUẬT

Bảng 1: Kỹ thuật biến đổi

Bảng 2: Công thức phân thức nhanh

Bảng 3: Công thức nhẩm hàm hợp

Bảng 4: Checklist tránh sai

ThS. Nguyễn Văn An

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn Tổ Toán tại Edus

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán học, Thạc sĩ Lý luận & Phương pháp dạy học môn Toán, Chức danh nghề nghiệp giáo viên THPT – Hạng II, Tin học ứng dụng cơ bản, Ngoại ngữ B1, Chứng chỉ bồi dưỡng năng lực tổ trưởng chuyên môn

Kinh nghiệm: 12+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT chuyên Trần Đại Nghĩa