I. GIỚI THIỆU VỀ LŨY THỪA

1. Lũy thừa là gì?

Lũy thừa là một trong những khái niệm cơ bản và quan trọng nhất trong toán học, xuất hiện từ chương trình lớp 6 và tiếp tục phát triển qua các cấp học.

Định nghĩa đơn giản: Lũy thừa là phép toán biểu thị việc nhân một số với chính nó nhiều lần.

Ký hiệu: $a^n$ (đọc là “$a$ mũ $n$” hoặc “$a$ lũy thừa $n$”)

Trong đó:

• $a$ là cơ số (số được nhân lặp lại)
• $n$ là số mũ (số lần nhân)

Ý nghĩa toán học:

$$a^n = \underbrace{a \times a \times … \times a}_{n \text{ lần}}$$

Ví dụ trực quan:

1. $2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$
2. $5^4 = 5 \times 5 \times 5 \times 5 = 625$
3. $10^2 = 10 \times 10 = 100$
4. $(-3)^3 = (-3) \times (-3) \times (-3) = -27$

Cách hiểu thực tế: Nếu bạn có 2 đồng xu, sau mỗi giờ số xu tăng gấp đôi, sau 3 giờ bạn có $2^3 = 8$ đồng xu.

2. Các khái niệm cơ bản

a) Cơ số (a)

Cơ số là số được nhân lặp lại trong phép tính lũy thừa.

Ví dụ:

• Trong $5^3$: cơ số là 5
• Trong $(-2)^4$: cơ số là -2
• Trong $x^7$: cơ số là x

b) Số mũ (n)

Số mũ cho biết có bao nhiêu lần nhân cơ số với chính nó.

Ví dụ:

• Trong $3^5$: số mũ là 5 (nhân 3 với chính nó 5 lần)
• Trong $10^{-2}$: số mũ là -2
• Trong $a^{1/2}$: số mũ là 1/2

c) Lũy thừa

Lũy thừa là kết quả của phép toán.

Ví dụ:

• Lũy thừa bậc 3 của 2 là $2^3 = 8$
• Lũy thừa bậc 4 của 5 là $5^4 = 625$

d) Cách đọc

• $2^3$: “hai mũ ba” hoặc “hai lũy thừa ba”
• $5^4$: “năm mũ bốn”
• $10^{-2}$: “mười mũ âm hai”
• $a^{1/2}$: “a mũ một phần hai”

3. Sự phát triển qua các lớp học

Kiến thức về lũy thừa được xây dựng dần qua các cấp học:

Lớp 6: Nền tảng cơ bản

• Lũy thừa với số mũ tự nhiên ($n \geq 1$)
• Tính chất cơ bản: nhân, chia, lũy thừa của lũy thừa
• Chỉ làm việc với số nguyên dương

Ví dụ: $2^5 = 32$, $3^3 = 27$

Lớp 7: Mở rộng

• Số mũ bằng 0: $a^0 = 1$
• Số mũ nguyên âm: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$
• Tính chất với số mũ nguyên

Ví dụ: $2^{-3} = \frac{1}{8}$, $5^0 = 1$

Lớp 9: Căn bậc n

• Căn bậc hai, căn bậc ba
• Quan hệ giữa căn và lũy thừa
• Biến đổi biểu thức chứa căn

Ví dụ: $\sqrt{16} = 4$, $\sqrt[3]{27} = 3$

Lớp 12: Hoàn thiện

• Số mũ hữu tỉ: $a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}$
• Số mũ vô tỉ: $2^\pi$, $e^{\sqrt{2}}$
• Hàm số mũ: $y = a^x$
• Đạo hàm hàm số mũ

Ví dụ: $16^{3/4} = 8$, $e^x$

4. Tại sao phải học lũy thừa?

Viết gọn số lớn

Thay vì viết 1,000,000, ta viết $10^6$ – ngắn gọn và dễ đọc hơn.

Ví dụ:

• Khoảng cách Trái Đất – Mặt Trời: $1.5 \times 10^{11}$ mét
• Số nguyên tử trong vũ trụ: $10^{80}$
• 1 terabyte = $10^{12}$ byte

Tính toán nhanh

Lũy thừa giúp thực hiện phép tính phức tạp một cách đơn giản.

Ví dụ: Tính lãi suất kép

• Gửi 100 triệu với lãi 8%/năm trong 5 năm
• Số tiền cuối = $100 \times (1.08)^5 \approx 146.9$ triệu

Nền tảng cho kiến thức nâng cao

• Logarit: Phép toán ngược của lũy thừa
• Hàm số mũ: $y = a^x$, $y = e^x$
• Dãy số: Cấp số nhân với công bội $q$
• Giải tích: Đạo hàm, tích phân hàm mũ

Ứng dụng thực tế

Vật lý:

• Năng lượng: $E = mc^2$
• Cường độ âm thanh (decibel)
• Phóng xạ: $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$

Hóa học:

• Nồng độ mol: $n = \frac{m}{M}$
• Tốc độ phản ứng
• pH: $pH = -\log[H^+]$

Tin học:

• Bộ nhớ máy tính: $2^{10}$ = 1 KB, $2^{20}$ = 1 MB
• Độ phức tạp thuật toán: $O(2^n)$
• Mã hóa RSA

Kinh tế:

• Lãi suất kép
• Tăng trưởng GDP
• Dân số: $P(t) = P_0(1 + r)^t$

Sinh học:

• Tăng trưởng vi khuẩn
• Di truyền học
• Lan truyền dịch bệnh

5. Cấu trúc bài viết

Bài viết này được thiết kế để giúp bạn nắm vững lũy thừa một cách hệ thống:

Phần II: Lý thuyết lũy thừa

• Lũy thừa với số mũ nguyên (dương, 0, âm)
• Căn bậc n và quan hệ với lũy thừa
• Lũy thừa với số mũ hữu tỉ và vô tỉ

Phần III: Các tính chất của lũy thừa

• 5 tính chất cơ bản
• Tính chất so sánh
• Tính chất đặc biệt

Phần IV: Công thức theo từng lớp

• Công thức lũy thừa lớp 6
• Công thức lũy thừa lớp 7
• Công thức lũy thừa lớp 12

Phần V: Hàm số mũ

• Định nghĩa và tính chất
• Đạo hàm hàm số mũ
• Phương trình mũ cơ bản
• Ứng dụng thực tế

Phần VI: Bài tập và ví dụ

• Tính giá trị lũy thừa
• Rút gọn biểu thức
• So sánh lũy thừa
• Giải phương trình
• Ứng dụng thực tế

Phần VII: Mẹo và lưu ý

• Các sai lầm thường gặp
• Mẹo nhớ công thức
• Thứ tự ưu tiên

II. LÝ THUYẾT LŨY THỪA

A. LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ NGUYÊN

1. Lũy thừa với số mũ tự nhiên (Lớp 6)

Định nghĩa chính thức:

Với $a \in \mathbb{R}$ và $n \in \mathbb{N}^*$ (n là số tự nhiên dương, $n \geq 1$):

$$a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot … \cdot a}_{n \text{ thừa số}}$$

Quy ước đặc biệt:

$$a^1 = a$$

Mọi số mũ 1 đều bằng chính số đó.

Các ví dụ cơ bản:

Ví dụ 1: $3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81$

Ví dụ 2: $(-2)^3 = (-2) \times (-2) \times (-2) = -8$

Ví dụ 3: $5^1 = 5$

Ví dụ 4: $0^5 = 0 \times 0 \times 0 \times 0 \times 0 = 0$

Ví dụ 5: $1^{100} = 1 \times 1 \times … \times 1 = 1$

Lưu ý quan trọng về dấu:

Khi cơ số là số âm, kết quả phụ thuộc vào số mũ chẵn hay lẻ:

Quy tắc dấu:

Số mũ CHẴN → Kết quả DƯƠNG

• $(-2)^2 = (-2) \times (-2) = +4$
• $(-2)^4 = (-2) \times (-2) \times (-2) \times (-2) = +16$
• $(-5)^6 = +15625$

Số mũ LẺ → Kết quả ÂM

• $(-2)^3 = (-2) \times (-2) \times (-2) = -8$
• $(-3)^5 = -243$
• $(-1)^{99} = -1$

Giải thích:

• Mỗi lần nhân hai số âm cho kết quả dương
• Số mũ chẵn → số cặp số âm → kết quả dương
• Số mũ lẻ → còn thừa một số âm → kết quả âm

Chú ý phân biệt:

• $(-2)^4 = +16$ (có dấu ngoặc, cơ số là -2)
• $-2^4 = -(2^4) = -16$ (không có ngoặc, cơ số là 2, rồi lấy âm)

Bảng giá trị thường gặp:

$n$	$2^n$	$3^n$	$5^n$	$10^n$
1	2	3	5	10
2	4	9	25	100
3	8	27	125	1,000
4	16	81	625	10,000
5	32	243	3,125	100,000
6	64	729	15,625	1,000,000

2. Lũy thừa với số mũ 0 (Lớp 7)

Định nghĩa:

$$a^0 = 1 \quad (a \neq 0)$$

Ý nghĩa: Mọi số khác 0 khi mũ 0 đều bằng 1.

Các ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: $5^0 = 1$

Ví dụ 2: $(-3)^0 = 1$

Ví dụ 3: $1000^0 = 1$

Ví dụ 4: $(0.5)^0 = 1$

Ví dụ 5: $\left(\frac{2}{3}\right)^0 = 1$

Ví dụ 6: $(x^2 + 2x + 1)^0 = 1$ (với $x^2 + 2x + 1 \neq 0$)

Giải thích tại sao $a^0 = 1$:

Xét tính chất: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$

Áp dụng với $m = n$: $$\frac{a^n}{a^n} = a^{n-n} = a^0$$

Mặt khác: $\frac{a^n}{a^n} = 1$

Do đó: $a^0 = 1$

Chú ý đặc biệt:

❌ $0^0$ KHÔNG XÁC ĐỊNH

Đây là dạng vô định trong toán học, không có giá trị cụ thể.

Lý do:

• Từ $a^0 = 1$ → $0^0 = 1$
• Từ $0^n = 0$ → $0^0 = 0$
• Mâu thuẫn → không xác định

3. Lũy thừa với số mũ nguyên âm (Lớp 7)

Định nghĩa:

$$a^{-n} = \frac{1}{a^n} \quad (a \neq 0, n \in \mathbb{N}^*)$$

Ý nghĩa: Lũy thừa với số mũ âm là nghịch đảo của lũy thừa với số mũ dương tương ứng.

Các ví dụ cơ bản:

Ví dụ 1: $2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$

Ví dụ 2: $10^{-2} = \frac{1}{10^2} = \frac{1}{100} = 0.01$

Ví dụ 3: $5^{-1} = \frac{1}{5} = 0.2$

Ví dụ 4: $3^{-4} = \frac{1}{3^4} = \frac{1}{81}$

Ví dụ 5: $(-2)^{-3} = \frac{1}{(-2)^3} = \frac{1}{-8} = -\frac{1}{8}$

Quy tắc đảo phân số:

$$\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n$$

Giải thích: $$\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \frac{1}{\left(\frac{a}{b}\right)^n} = \frac{1}{\frac{a^n}{b^n}} = \frac{b^n}{a^n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n$$

Ví dụ ứng dụng:

Ví dụ 1: $\left(\frac{2}{3}\right)^{-2} = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4} = 2.25$

Ví dụ 2: $\left(\frac{5}{7}\right)^{-1} = \frac{7}{5} = 1.4$

Ví dụ 3: $\left(\frac{1}{4}\right)^{-3} = 4^3 = 64$

Ví dụ 4: $\frac{1}{2^{-3}} = 2^3 = 8$

Quy tắc chuyển đổi:

• Số mũ âm ở tử → chuyển xuống mẫu và đổi dấu số mũ
• Số mũ âm ở mẫu → chuyển lên tử và đổi dấu số mũ

Ví dụ: $$\frac{a^{-2}}{b^{-3}} = \frac{b^3}{a^2}$$

Bảng chuyển đổi nhanh:

Biểu thức	Kết quả
$2^{-1}$	$\frac{1}{2}$
$2^{-2}$	$\frac{1}{4}$
$2^{-3}$	$\frac{1}{8}$
$10^{-1}$	$0.1$
$10^{-2}$	$0.01$
$10^{-3}$	$0.001$

B. CĂN BẬC N

1. Định nghĩa căn bậc n (Lớp 9)

Định nghĩa:

Số $b$ được gọi là căn bậc n của số $a$ nếu:

$$b^n = a$$

Khi đó, ta viết: $b = \sqrt[n]{a}$

Đọc: “$b$ là căn bậc $n$ của $a$”

Các thành phần:

• $\sqrt{}$: Dấu căn
• $n$: Chỉ số căn (bậc căn)
• $a$: Số dưới dấu căn (số bị khai căn)

Điều kiện tồn tại:

Với $n$ CHẴN:

• Chỉ tồn tại căn bậc n của số không âm: $a \geq 0$
• Không tồn tại $\sqrt[4]{-16}$, $\sqrt{-9}$

Với $n$ LẺ:

• Tồn tại căn bậc n của mọi số thực: $a \in \mathbb{R}$
• $\sqrt[3]{-27} = -3$ (hợp lệ)

Các ví dụ căn bản:

Ví dụ 1: $\sqrt[3]{8} = 2$ vì $2^3 = 8$

Ví dụ 2: $\sqrt[4]{16} = 2$ vì $2^4 = 16$

Ví dụ 3: $\sqrt[3]{-27} = -3$ vì $(-3)^3 = -27$

Ví dụ 4: $\sqrt[2]{9} = \sqrt{9} = 3$ vì $3^2 = 9$

Ví dụ 5: $\sqrt[5]{32} = 2$ vì $2^5 = 32$

Lưu ý:

• Căn bậc 2 thường viết gọn là $\sqrt{a}$ (không ghi chỉ số 2)
• $\sqrt{a}$ luôn lấy giá trị không âm

2. Tính chất căn bậc n

Tính chất 1: Căn của lũy thừa

$$\sqrt[n]{a^n} = \begin{cases} |a| & \text{nếu } n \text{ chẵn} \\ a & \text{nếu } n \text{ lẻ} \end{cases}$$

Giải thích:

• Khi $n$ chẵn: Kết quả luôn không âm → lấy giá trị tuyệt đối
• Khi $n$ lẻ: Giữ nguyên dấu

Ví dụ với n chẵn:

• $\sqrt[4]{(-2)^4} = |-2| = 2$
• $\sqrt{(-3)^2} = |-3| = 3$
• $\sqrt[6]{(-5)^6} = |-5| = 5$

Ví dụ với n lẻ:

• $\sqrt[3]{(-2)^3} = -2$
• $\sqrt[5]{(-3)^5} = -3$
• $\sqrt[7]{2^7} = 2$

Tính chất 2: Lũy thừa của căn

$$(\sqrt[n]{a})^n = a$$

Ví dụ:

• $(\sqrt[3]{5})^3 = 5$
• $(\sqrt{7})^2 = 7$
• $(\sqrt[4]{10})^4 = 10$

Tính chất 3: Căn của tích

$$\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$$

Điều kiện: $a, b \geq 0$ (nếu $n$ chẵn)

Ví dụ:

• $\sqrt{4 \times 9} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{9} = 2 \times 3 = 6$
• $\sqrt[3]{8 \times 27} = \sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{27} = 2 \times 3 = 6$

Tính chất 4: Căn của thương

$$\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} \quad (b \neq 0)$$

Ví dụ:

• $\sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{4}} = \frac{5}{2}$
• $\sqrt[3]{\frac{64}{27}} = \frac{\sqrt[3]{64}}{\sqrt[3]{27}} = \frac{4}{3}$

Tính chất 5: Căn của căn

$$\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}$$

Ví dụ:

• $\sqrt{\sqrt[3]{8}} = \sqrt[6]{8}$
• $\sqrt[3]{\sqrt{64}} = \sqrt[6]{64} = 2$

3. Quan hệ giữa căn và lũy thừa

Công thức chuyển đổi:

$$\sqrt[n]{a} = a^{1/n}$$

Căn bậc $n$ của $a$ bằng $a$ mũ $\frac{1}{n}$.

Các trường hợp đặc biệt:

Căn thức	Lũy thừa	Ví dụ
$\sqrt{a}$	$a^{1/2}$	$\sqrt{16} = 16^{1/2} = 4$
$\sqrt[3]{a}$	$a^{1/3}$	$\sqrt[3]{27} = 27^{1/3} = 3$
$\sqrt[4]{a}$	$a^{1/4}$	$\sqrt[4]{81} = 81^{1/4} = 3$
$\sqrt[5]{a}$	$a^{1/5}$	$\sqrt[5]{32} = 32^{1/5} = 2$
$\sqrt[n]{a}$	$a^{1/n}$	$\sqrt[6]{64} = 64^{1/6} = 2$

Ứng dụng chuyển đổi:

Ví dụ 1: $\sqrt{a^3} = a^{3/2}$

Ví dụ 2: $\sqrt[3]{a^2} = a^{2/3}$

Ví dụ 3: $\frac{1}{\sqrt{a}} = a^{-1/2}$

Ví dụ 4: $\sqrt[4]{a^3} = a^{3/4}$

C. LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ HỮU TỈ

1. Định nghĩa (Lớp 12)

Định nghĩa chính thức:

Với $a > 0$, $m \in \mathbb{Z}$, $n \in \mathbb{N}^*$ ($n > 0$):

$$a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m} = (\sqrt[n]{a})^m$$

Ý nghĩa:

• Tử số $m$: Số mũ của $a$
• Mẫu số $n$: Bậc của căn

Hai cách tính:

Cách 1: Lũy thừa trước, căn sau $$a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}$$

Cách 2: Căn trước, lũy thừa sau $$a^{m/n} = (\sqrt[n]{a})^m$$

Các ví dụ chi tiết:

Ví dụ 1: Tính $8^{2/3}$

Cách 1: $8^{2/3} = \sqrt[3]{8^2} = \sqrt[3]{64} = 4$

Cách 2: $8^{2/3} = (\sqrt[3]{8})^2 = 2^2 = 4$

---

Ví dụ 2: Tính $16^{3/4}$

Cách 1: $16^{3/4} = \sqrt[4]{16^3} = \sqrt[4]{4096} = 8$

Cách 2: $16^{3/4} = (\sqrt[4]{16})^3 = 2^3 = 8$

Ví dụ 3: Tính $27^{-2/3}$

$$27^{-2/3} = \frac{1}{27^{2/3}} = \frac{1}{(\sqrt[3]{27})^2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$$

Ví dụ 4: Tính $32^{3/5}$

$$32^{3/5} = (\sqrt[5]{32})^3 = 2^3 = 8$$

Ví dụ 5: Tính $125^{2/3}$

$$125^{2/3} = (\sqrt[3]{125})^2 = 5^2 = 25$$

Lựa chọn cách tính:

• Nếu $a^m$ nhỏ → dùng Cách 1 (lũy thừa trước)
• Nếu $\sqrt[n]{a}$ đơn giản → dùng Cách 2 (căn trước)

Ví dụ: Với $8^{2/3}$

• $8^2 = 64$ (nhỏ) → Cách 1 dễ hơn
• Với $1000000^{2/3}$
• $\sqrt[3]{1000000} = 100$ → Cách 2 dễ hơn

2. Điều kiện

Điều kiện bắt buộc:

$$a > 0$$

Cơ số phải dương khi số mũ là số hữu tỉ (phân số).

Lý do:

• Căn bậc chẵn của số âm không tồn tại trong số thực
• $(-8)^{1/2} = \sqrt{-8}$ không xác định

Chú ý quan trọng:

❌ Không xét lũy thừa với số mũ hữu tỉ của:

• Số âm: $(-27)^{2/3}$ không hợp lệ trong chương trình phổ thông
• Số 0: $0^{-1/2}$ không xác định

✅ Hợp lệ:

• $8^{2/3} = 4$ (cơ số dương)
• $16^{3/4} = 8$ (cơ số dương)

D. LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ VÔ TỈ

1. Định nghĩa (Lớp 12)

Định nghĩa:

Với $a > 0$ và $\alpha$ là số vô tỉ:

$$a^\alpha = \lim_{r \to \alpha, r \in \mathbb{Q}} a^r$$

Ý nghĩa: Lũy thừa với số mũ vô tỉ được định nghĩa thông qua giới hạn của dãy các lũy thừa với số mũ hữu tỉ tiến dần đến số vô tỉ đó.

Giải thích đơn giản:

Để tính $2^\pi$:

• $\pi \approx 3.14159…$
• $2^3 = 8$
• $2^{3.1} \approx 8.574$
• $2^{3.14} \approx 8.815$
• $2^{3.141} \approx 8.821$
• $2^{3.1415} \approx 8.824$
• …
• $2^\pi \approx 8.825$

Các ví dụ số mũ vô tỉ:

Ví dụ 1: $2^\pi$ (π là số vô tỉ)

• Giá trị xấp xỉ: $2^\pi \approx 8.825$

Ví dụ 2: $e^{\sqrt{2}}$ (√2 là số vô tỉ)

• Giá trị xấp xỉ: $e^{\sqrt{2}} \approx 4.113$

Ví dụ 3: $10^{\sqrt{3}}$ (√3 là số vô tỉ)

• Giá trị xấp xỉ: $10^{\sqrt{3}} \approx 21.545$

Ví dụ 4: $3^e$ (e là số vô tỉ)

• Giá trị xấp xỉ: $3^e \approx 20.086$

Tính bằng máy tính:

Sử dụng nút $x^y$ hoặc phím mũ:

• Bấm: 2 → $x^y$ → π → =
• Kết quả: $2^\pi \approx 8.825$

Lưu ý:

• Trong thực tế, máy tính tính gần đúng thông qua các phương pháp số học
• Kết quả là số thập phân vô hạn không tuần hoàn

E. BẢNG TỔNG HỢP ĐỊNH NGHĨA

Số mũ $\alpha$	Cơ số $a$	Lũy thừa $a^{\alpha}$
$\alpha = n \in \mathbb{N}^*$	$a \in \mathbb{R}$	$a^n = a^1 = a.a…..a$ (n thừa số a)
$\alpha = 0$	$a \neq 0$	$a^{\alpha} = a^0 = 1$
$\alpha = -n (n \in \mathbb{N}^*)$	$a \neq 0$	$a^{\alpha} = a^{-n} = \frac{1}{a^n}$
$\alpha = \frac{m}{n} (m \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{N}^*)$	$a > 0$	$a^{\alpha} = a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$ ($\sqrt[n]{a} = b \Leftrightarrow b^n = a$)
$\alpha = \lim r_s (r_s \in \mathbb{Q}, n \in \mathbb{N}^*)$	$a > 0$	$a^{\alpha} = \lim a^{r_s}$

Sơ đồ mở rộng:

Lớp 6: a^n (n ≥ 1)
    ↓
Lớp 7: a^0 = 1, a^(-n) = 1/a^n
    ↓
Lớp 9: √a = a^(1/2), ³√a = a^(1/3)
    ↓
Lớp 12: a^(m/n), a^α (α vô tỉ)

III. CÁC TÍNH CHẤT CỦA LŨY THỪA

1. Tính chất cơ bản (Áp dụng cho mọi số mũ)

Tính chất 1: Nhân hai lũy thừa cùng cơ số

$$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$

Quy tắc: Khi nhân hai lũy thừa cùng cơ số, ta giữ nguyên cơ số và cộng các số mũ.

Các ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: $2^3 \cdot 2^4 = 2^{3+4} = 2^7 = 128$

Kiểm tra:

• $2^3 = 8$
• $2^4 = 16$
• $8 \times 16 = 128$ ✓

Ví dụ 2: $x^2 \cdot x^5 = x^{2+5} = x^7$

Ví dụ 3: $10^{-2} \cdot 10^5 = 10^{-2+5} = 10^3 = 1000$

Ví dụ 4: $3^{1/2} \cdot 3^{3/2} = 3^{1/2+3/2} = 3^2 = 9$

Ví dụ 5: $a^3 \cdot a^{-1} \cdot a^2 = a^{3-1+2} = a^4$

Mở rộng: Với nhiều lũy thừa

$$a^{m_1} \cdot a^{m_2} \cdot … \cdot a^{m_n} = a^{m_1+m_2+…+m_n}$$

Ví dụ: $2^2 \cdot 2^3 \cdot 2^{-1} \cdot 2^4 = 2^{2+3-1+4} = 2^8 = 256$

Tính chất 2: Chia hai lũy thừa cùng cơ số

$$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \quad (a \neq 0)$$

Quy tắc: Khi chia hai lũy thừa cùng cơ số, ta giữ nguyên cơ số và trừ số mũ.

Các ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: $\frac{3^5}{3^2} = 3^{5-2} = 3^3 = 27$

Kiểm tra:

• $3^5 = 243$
• $3^2 = 9$
• $243 \div 9 = 27$ ✓

Ví dụ 2: $\frac{x^7}{x^3} = x^{7-3} = x^4$

Ví dụ 3: $\frac{2^3}{2^5} = 2^{3-5} = 2^{-2} = \frac{1}{4}$

Ví dụ 4: $\frac{5^{3/2}}{5^{1/2}} = 5^{3/2-1/2} = 5^1 = 5$

---

Ví dụ 5: $\frac{10^7}{10^{-3}} = 10^{7-(-3)} = 10^{10}$

Lưu ý: Phép chia chỉ áp dụng khi $a \neq 0$ (tránh chia cho 0).

Tính chất 3: Lũy thừa của lũy thừa

$$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$$

Quy tắc: Lũy thừa của một lũy thừa bằng cơ số mũ tích các số mũ.

Các ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: $(2^3)^2 = 2^{3 \times 2} = 2^6 = 64$

Kiểm tra:

• $2^3 = 8$
• $8^2 = 64$ ✓

Ví dụ 2: $(x^4)^3 = x^{4 \times 3} = x^{12}$

Ví dụ 3: $(5^{-2})^3 = 5^{-2 \times 3} = 5^{-6} = \frac{1}{5^6}$

Ví dụ 4: $(a^{1/2})^4 = a^{1/2 \times 4} = a^2$

Ví dụ 5: $[(3^2)^3]^2 = 3^{2 \times 3 \times 2} = 3^{12}$

Chú ý phân biệt:

• $(a^m)^n = a^{mn}$ (lũy thừa của lũy thừa)
• $a^{(m^n)}$ (lũy thừa với số mũ là lũy thừa) – khác nhau!

Ví dụ:

• $(2^2)^3 = 2^6 = 64$
• $2^{(2^3)} = 2^8 = 256$

Tính chất 4: Lũy thừa của một tích

$$(ab)^n = a^n \cdot b^n$$

Quy tắc: Lũy thừa của một tích bằng tích các lũy thừa.

Các ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: $(2 \times 3)^2 = 2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36$

Kiểm tra:

• $(2 \times 3)^2 = 6^2 = 36$ ✓

Ví dụ 2: $(xy)^5 = x^5 y^5$

Ví dụ 3: $(-2x)^3 = (-2)^3 \cdot x^3 = -8x^3$

Ví dụ 4: $(3ab^2)^3 = 3^3 \cdot a^3 \cdot (b^2)^3 = 27a^3b^6$

Ví dụ 5: $(5 \times 2)^4 = 5^4 \times 2^4 = 625 \times 16 = 10000$

Hoặc: $(5 \times 2)^4 = 10^4 = 10000$

Mở rộng: Với nhiều thừa số

$$(a_1 \cdot a_2 \cdot … \cdot a_n)^m = a_1^m \cdot a_2^m \cdot … \cdot a_n^m$$

Tính chất 5: Lũy thừa của một thương

$$\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n} \quad (b \neq 0)$$

Quy tắc: Lũy thừa của một thương bằng thương các lũy thừa.

Các ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: $\left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{2^3}{3^3} = \frac{8}{27}$

Ví dụ 2: $\left(\frac{x}{y}\right)^4 = \frac{x^4}{y^4}$

Ví dụ 3: $\left(\frac{5}{2}\right)^{-2} = \frac{5^{-2}}{2^{-2}} = \frac{2^2}{5^2} = \frac{4}{25}$

Ví dụ 4: $\left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{9}{16}$

Ví dụ 5: $\left(\frac{a^2}{b^3}\right)^4 = \frac{(a^2)^4}{(b^3)^4} = \frac{a^8}{b^{12}}$

2. Bảng tổng hợp các tính chất

Tính chất	Công thức	Điều kiện	Ví dụ
Nhân cùng cơ số	$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$	$a \neq 0$ (nếu $m, n < 0$)	$2^3 \cdot 2^4 = 2^7$
Chia cùng cơ số	$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$	$a \neq 0$	$\frac{5^7}{5^4} = 5^4$
Lũy thừa của lũy thừa	$(a^m)^n = a^{mn}$		$(3^2)^4 = 3^8$
Lũy thừa của tích	$(ab)^n = a^n b^n$		$(2 \cdot 5)^3 = 2^3 \cdot 5^3$
Lũy thừa của thương	$\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$	$b \neq 0$	$\left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{9}{16}$

Sơ đồ tư duy:

Cùng cơ số → Cộng/Trừ số mũ
    • Nhân: a^m · a^n = a^(m+n)
    • Chia: a^m / a^n = a^(m-n)

Lũy thừa lồng → Nhân số mũ
    • (a^m)^n = a^(mn)

Tích/Thương → Phân phối số mũ
    • (ab)^n = a^n · b^n
    • (a/b)^n = a^n / b^n

3. Các tính chất đặc biệt

Tính chất so sánh

Với cơ số $a > 1$ (Hàm đồng biến):

$$m < n \Rightarrow a^m < a^n$$

Khi cơ số lớn hơn 1, số mũ càng lớn thì giá trị càng lớn.

Ví dụ:

• $2^3 < 2^5$ vì $3 < 5$ và $2 > 1$
• $8 < 32$ ✓
• $10^2 < 10^7$ vì $2 < 7$ và $10 > 1$

Với cơ số $0 < a < 1$ (Hàm nghịch biến):

$$m < n \Rightarrow a^m > a^n$$

Khi cơ số nhỏ hơn 1, số mũ càng lớn thì giá trị càng nhỏ.

Ví dụ:

• $(0.5)^2 > (0.5)^4$ vì $2 < 4$ và $0.5 < 1$
• $0.25 > 0.0625$ ✓
• $\left(\frac{1}{3}\right)^2 > \left(\frac{1}{3}\right)^5$ vì $2 < 5$

Bảng so sánh:

Cơ số	Quy tắc	Ví dụ
$a > 1$	Số mũ tăng → Giá trị tăng	$3^2 < 3^5$
$0 < a < 1$	Số mũ tăng → Giá trị giảm	$(0.5)^2 > (0.5)^5$
$a = 1$	Luôn bằng 1	$1^{100} = 1$

Tính chất đối với số mũ âm

Tính chất 1: Nhân lũy thừa đối nhau

$$a^{-n} \cdot a^n = a^{-n+n} = a^0 = 1$$

Ví dụ:

• $2^{-3} \cdot 2^3 = 1$
• $5^{-2} \cdot 5^2 = 1$

Tính chất 2: Nghịch đảo của nghịch đảo

$$\frac{1}{a^{-n}} = a^n$$

Ví dụ:

• $\frac{1}{2^{-3}} = 2^3 = 8$
• $\frac{1}{5^{-2}} = 5^2 = 25$

Tính chất 3: Đảo phân số

$$\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n$$

Ví dụ:

• $\left(\frac{2}{3}\right)^{-2} = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}$

Tính chất đối với căn

Tính chất 1: Căn của tích

$$\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$$

Ví dụ:

• $\sqrt{2} \cdot \sqrt{8} = \sqrt{16} = 4$
• $\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{4} = \sqrt[3]{8} = 2$

Tính chất 2: Căn của thương

$$\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}} \quad (b \neq 0)$$

Ví dụ:

• $\frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{50}{2}} = \sqrt{25} = 5$

Tính chất 3: Căn của căn

$$\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}$$

Ví dụ:

• $\sqrt{\sqrt[3]{64}} = \sqrt[6]{64} = 2$
• $\sqrt[3]{\sqrt{8}} = \sqrt[6]{8}$

IV. CÔNG THỨC LŨY THỪA THEO TỪNG LỚP

A. CÔNG THỨC LŨY THỪA LỚP 6

Nội dung chương trình lớp 6:

Lớp 6 là bước khởi đầu làm quen với khái niệm lũy thừa, tập trung vào số mũ tự nhiên dương.

1. Định nghĩa lũy thừa với số mũ tự nhiên

$$a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot … \cdot a}_{n \text{ lần}} \quad (n \geq 1)$$

Quy ước đặc biệt: $$a^1 = a$$

Ví dụ:

• $4^3 = 4 \times 4 \times 4 = 64$
• $7^2 = 7 \times 7 = 49$
• $2^5 = 32$

2. Các tính chất cơ bản

STT	Công thức	Tên gọi	Ví dụ
1	$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$	Nhân cùng cơ số	$3^2 \cdot 3^4 = 3^6$
2	$a^m : a^n = a^{m-n}$ (m > n)	Chia cùng cơ số	$5^7 : 5^3 = 5^4$
3	$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$	Lũy thừa của lũy thừa	$(2^3)^2 = 2^6$
4	$(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$	Lũy thừa của tích	$(2 \cdot 5)^3 = 2^3 \cdot 5^3$

Lưu ý quan trọng:

Ở lớp 6, học sinh chỉ học lũy thừa với số mũ tự nhiên dương ($n \geq 1$).

Chưa học:

• Số mũ bằng 0
• Số mũ âm
• Số mũ phân số

3. Bài tập mẫu lớp 6

Bài 1: Tính $2^3 \cdot 2^4$

Lời giải: $$2^3 \cdot 2^4 = 2^{3+4} = 2^7 = 128$$

Đáp án: 128

Bài 2: So sánh $2^{10}$ và $10^2$

Lời giải:

Tính từng giá trị:

• $2^{10} = 1024$
• $10^2 = 100$

Vậy $2^{10} > 10^2$

Đáp án: $2^{10} > 10^2$

Bài 3: Tính $(2^2)^3$

Lời giải: $$(2^2)^3 = 2^{2 \times 3} = 2^6 = 64$$

Đáp án: 64

Bài 4: Tính $5^6 : 5^2$

Lời giải: $$5^6 : 5^2 = 5^{6-2} = 5^4 = 625$$

Đáp án: 625

Bài 5: Tính $(3 \cdot 2)^4$

Lời giải:

Cách 1: $$(3 \cdot 2)^4 = 6^4 = 1296$$

Cách 2: $$(3 \cdot 2)^4 = 3^4 \cdot 2^4 = 81 \cdot 16 = 1296$$

Đáp án: 1296

B. CÔNG THỨC LŨY THỪA LỚP 7

Nội dung chương trình lớp 7 (Mở rộng lớp 6):

Lớp 7 mở rộng kiến thức lũy thừa sang số mũ nguyên (bao gồm số mũ 0 và số mũ âm).

1. Lũy thừa với số mũ 0

$$a^0 = 1 \quad (a \neq 0)$$

Ví dụ:

• $7^0 = 1$
• $(-5)^0 = 1$
• $(100)^0 = 1$

2. Lũy thừa với số mũ nguyên âm

$$a^{-n} = \frac{1}{a^n} \quad (a \neq 0, n \in \mathbb{N}^*)$$

Hệ quả: $$\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n \quad (a, b \neq 0)$$

Ví dụ:

• $5^{-2} = \frac{1}{25}$
• $\left(\frac{3}{4}\right)^{-1} = \frac{4}{3}$

3. Công thức mở rộng

STT	Công thức	Điều kiện	Ví dụ
1	$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$	$a \neq 0$, $m, n \in \mathbb{Z}$	$3^{-2} \cdot 3^5 = 3^3$
2	$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$	$a \neq 0$, $m, n \in \mathbb{Z}$	$\frac{2^3}{2^{-1}} = 2^4$
3	$(a^m)^n = a^{mn}$	$a \neq 0$, $m, n \in \mathbb{Z}$	$(5^{-2})^3 = 5^{-6}$
4	$(ab)^n = a^n b^n$	$a, b \neq 0$, $n \in \mathbb{Z}$	$(2 \cdot 3)^{-2} = 2^{-2} \cdot 3^{-2}$
5	$\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$	$a, b \neq 0$, $n \in \mathbb{Z}$	$\left(\frac{2}{5}\right)^{-3} = \frac{2^{-3}}{5^{-3}}$

4. Bài tập mẫu lớp 7

Bài 1: Tính $3^{-2}$

Lời giải: $$3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$$

Đáp án: $\frac{1}{9}$

Bài 2: Rút gọn $\frac{2^5 \cdot 2^{-3}}{2^{-1}}$

Lời giải: $$\frac{2^5 \cdot 2^{-3}}{2^{-1}} = \frac{2^{5+(-3)}}{2^{-1}} = \frac{2^2}{2^{-1}} = 2^{2-(-1)} = 2^3 = 8$$

Đáp án: 8

Bài 3: Tính $\left(\frac{2}{5}\right)^{-2}$

Lời giải: $$\left(\frac{2}{5}\right)^{-2} = \left(\frac{5}{2}\right)^2 = \frac{25}{4} = 6.25$$

Đáp án: $\frac{25}{4}$ hoặc $6.25$

Bài 4: Tính $4^0 + 3^{-1}$

Lời giải: $$4^0 + 3^{-1} = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$$

Đáp án: $\frac{4}{3}$

Bài 5: Rút gọn $\frac{5^{-2} \cdot 5^4}{5^{-3}}$

Lời giải: $$\frac{5^{-2} \cdot 5^4}{5^{-3}} = \frac{5^{-2+4}}{5^{-3}} = \frac{5^2}{5^{-3}} = 5^{2-(-3)} = 5^5 = 3125$$

Đáp án: 3125

C. CÔNG THỨC LŨY THỪA LỚP 12

Nội dung chương trình lớp 12:

Lớp 12 hoàn thiện kiến thức về lũy thừa với số mũ thực (hữu tỉ và vô tỉ), hàm số mũ và các ứng dụng.

1. Lũy thừa với số mũ hữu tỉ

$$a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m} = (\sqrt[n]{a})^m \quad (a > 0, m \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{N}^*)$$

Các ví dụ chi tiết:

Ví dụ 1: Tính $16^{3/4}$

Cách 1: $16^{3/4} = \sqrt[4]{16^3} = \sqrt[4]{4096} = 8$

Cách 2: $16^{3/4} = (\sqrt[4]{16})^3 = 2^3 = 8$

Ví dụ 2: Tính $27^{2/3}$

$$27^{2/3} = (\sqrt[3]{27})^2 = 3^2 = 9$$

Ví dụ 3: Tính $125^{-1/3}$

$$125^{-1/3} = \frac{1}{125^{1/3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{125}} = \frac{1}{5}$$

2. Lũy thừa với số mũ vô tỉ

$$a^\alpha \quad (a > 0, \alpha \in \mathbb{R})$$

Ví dụ:

• $2^\pi \approx 8.825$
• $e^{\sqrt{2}} \approx 4.113$
• $5^{\sqrt{3}} \approx 9.518$

3. Tính chất tổng quát

Với $a, b > 0$ và $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$:

STT	Công thức	Mô tả	Ví dụ
1	$a^\alpha \cdot a^\beta = a^{\alpha + \beta}$	Nhân cùng cơ số	$8^{1/3} \cdot 8^{2/3} = 8^1 = 8$
2	$\frac{a^\alpha}{a^\beta} = a^{\alpha – \beta}$	Chia cùng cơ số	$\frac{16^{3/4}}{16^{1/4}} = 16^{1/2} = 4$
3	$(a^\alpha)^\beta = a^{\alpha\beta}$	Lũy thừa của lũy thừa	$(4^{1/2})^3 = 4^{3/2} = 8$
4	$(ab)^\alpha = a^\alpha b^\alpha$	Lũy thừa của tích	$(4 \cdot 9)^{1/2} = 2 \cdot 3 = 6$
5	$\left(\frac{a}{b}\right)^\alpha = \frac{a^\alpha}{b^\alpha}$	Lũy thừa của thương	$\left(\frac{8}{27}\right)^{1/3} = \frac{2}{3}$

4. Bài tập mẫu lớp 12

Bài 1: Tính $8^{2/3} \cdot 8^{1/3}$

Lời giải: $$8^{2/3} \cdot 8^{1/3} = 8^{2/3 + 1/3} = 8^{3/3} = 8^1 = 8$$

Đáp án: 8

Bài 2: Rút gọn $\frac{a^{1/2} \cdot a^{3/2}}{a^{1/4}}$ (a > 0)

Lời giải: $$\frac{a^{1/2} \cdot a^{3/2}}{a^{1/4}} = \frac{a^{1/2 + 3/2}}{a^{1/4}} = \frac{a^2}{a^{1/4}} = a^{2 – 1/4} = a^{7/4}$$

Đáp án: $a^{7/4}$

Bài 3: Giải phương trình $2^{x+1} = 8$

Lời giải:

Biến đổi vế phải: $$8 = 2^3$$

Do đó: $$2^{x+1} = 2^3$$

So sánh số mũ: $$x + 1 = 3$$ $$x = 2$$

Đáp án: $x = 2$

Bài 4: Tính $(27)^{4/3}$

Lời giải: $$(27)^{4/3} = (\sqrt[3]{27})^4 = 3^4 = 81$$

Đáp án: 81

Bài 5: Rút gọn $\frac{(a^{2/3})^{3/2}}{a^{-1/6}}$ (a > 0)

Lời giải: $$\frac{(a^{2/3})^{3/2}}{a^{-1/6}} = \frac{a^{2/3 \times 3/2}}{a^{-1/6}} = \frac{a^1}{a^{-1/6}} = a^{1-(-1/6)} = a^{7/6}$$

Đáp án: $a^{7/6}$

V. HÀM SỐ MŨ

1. Định nghĩa hàm số mũ

Định nghĩa:

Hàm số có dạng:

$$y = a^x \quad (a > 0, a \neq 1)$$

được gọi là hàm số mũ cơ số $a$.

Các thành phần:

• $a$: cơ số (phải dương và khác 1)
• $x$: biến số (số mũ)
• $y$: giá trị hàm số

Đặc điểm:

• Tập xác định: $D = \mathbb{R}$ (mọi số thực)
• Tập giá trị: $T = (0, +\infty)$ (chỉ nhận giá trị dương)

Ví dụ các hàm số mũ:

• $y = 2^x$
• $y = 3^x$
• $y = e^x$ (hàm số mũ tự nhiên)
• $y = (0.5)^x$
• $y = 10^x$

Điểm đặc biệt:

Mọi hàm số mũ đều đi qua điểm $(0, 1)$ vì: $$y = a^0 = 1$$

2. Tính chất hàm số mũ

Khi $a > 1$ (Hàm đồng biến):

Tính chất:

• Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$
• Nếu $x_1 < x_2$ thì $a^{x_1} < a^{x_2}$
• $\lim_{x \to -\infty} a^x = 0$ (tiến về 0 khi x → -∞)
• $\lim_{x \to +\infty} a^x = +\infty$ (tiến về +∞ khi x → +∞)
• Đồ thị qua các điểm $(0, 1)$ và $(1, a)$
• Trục $Ox$ là tiệm cận ngang

Đồ thị:

• Nằm phía trên trục $Ox$
• Tăng từ trái sang phải
• Càng xa về bên phải, tăng càng nhanh

Ví dụ: $y = 2^x$, $y = 3^x$, $y = 10^x$

Bảng giá trị của $y = 2^x$:

$x$	-3	-2	-1	0	1	2	3
$y$	0.125	0.25	0.5	1	2	4	8

Khi $0 < a < 1$ (Hàm nghịch biến):

Tính chất:

• Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$
• Nếu $x_1 < x_2$ thì $a^{x_1} > a^{x_2}$
• $\lim_{x \to -\infty} a^x = +\infty$ (tiến về +∞ khi x → -∞)
• $\lim_{x \to +\infty} a^x = 0$ (tiến về 0 khi x → +∞)
• Đồ thị qua các điểm $(0, 1)$ và $(1, a)$
• Trục $Ox$ là tiệm cận ngang

Đồ thị:

• Nằm phía trên trục $Ox$
• Giảm từ trái sang phải
• Càng xa về bên phải, giảm dần về 0

Ví dụ: $y = (0.5)^x$, $y = (0.1)^x$

Bảng giá trị của $y = (0.5)^x$:

$x$	-3	-2	-1	0	1	2	3
$y$	8	4	2	1	0.5	0.25	0.125

So sánh

Tính chất	$a > 1$	$0 < a < 1$
Tính biến thiên	Đồng biến	Nghịch biến
$\lim\limits_{x \to -\infty}$	0	$+\infty$
$\lim\limits_{x \to +\infty}$	$+\infty$	0
Độ thị	Tăng	Giảm

3. Hàm số mũ đặc biệt: $e^x$

Số $e$ (số Euler):

$$e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \approx 2.71828…$$

Số $e$ là một số vô tỉ và là cơ số tự nhiên của logarit.

Các cách định nghĩa khác:

$$e = 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + … = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}$$

Giá trị chính xác hơn: $$e = 2.718281828459045…$$

Hàm số mũ tự nhiên:

$$y = e^x$$

Tính chất đặc biệt:

$$(e^x)’ = e^x$$

Đây là hàm duy nhất có đạo hàm bằng chính nó.

Ý nghĩa: Tốc độ tăng trưởng tại mỗi điểm bằng chính giá trị tại điểm đó.

Ứng dụng:

• Tăng trưởng tự nhiên (dân số, vi khuẩn)
• Phân rã phóng xạ
• Lãi suất kép liên tục
• Xác suất và thống kê

4. Công thức đạo hàm hàm số mũ

Đạo hàm hàm mũ cơ bản:

Công thức 1: $$(a^x)’ = a^x \ln a \quad (a > 0, a \neq 1)$$

Ví dụ:

• $(2^x)’ = 2^x \ln 2$
• $(10^x)’ = 10^x \ln 10$
• $(5^x)’ = 5^x \ln 5$

Công thức 2: $$(e^x)’ = e^x$$

Đây là trường hợp đặc biệt khi $a = e$ (vì $\ln e = 1$).

Đạo hàm hàm mũ hợp:

Công thức 1: $$[a^{u(x)}]’ = u'(x) \cdot a^{u(x)} \ln a$$

Ví dụ:

• $(2^{x^2})’ = 2x \cdot 2^{x^2} \ln 2$
• $(3^{2x+1})’ = 2 \cdot 3^{2x+1} \ln 3$

Công thức 2: $$[e^{u(x)}]’ = u'(x) \cdot e^{u(x)}$$

Ví dụ:

• $(e^{2x})’ = 2 \cdot e^{2x} = 2e^{2x}$
• $(e^{\sin x})’ = \cos x \cdot e^{\sin x}$
• $(e^{x^2})’ = 2x \cdot e^{x^2}$
• $(e^{-x})’ = -e^{-x}$

Bảng đạo hàm tổng hợp:

Hàm số	Đạo hàm
$2^x$	$2^x \ln 2$
$e^x$	$e^x$
$e^{2x}$	$2e^{2x}$
$e^{-x}$	$-e^{-x}$
$e^{x^2}$	$2xe^{x^2}$
$3^{2x}$	$2 \cdot 3^{2x} \ln 3$

5. Phương trình mũ cơ bản

Dạng 1: $a^x = a^b \Leftrightarrow x = b$

Khi hai lũy thừa cùng cơ số bằng nhau thì số mũ bằng nhau.

Ví dụ 1: Giải $2^x = 8$

Lời giải:

• $8 = 2^3$
• $2^x = 2^3$
• $x = 3$

Đáp án: $x = 3$

Ví dụ 2: Giải $5^{x+1} = 125$

Lời giải:

• $125 = 5^3$
• $5^{x+1} = 5^3$
• $x + 1 = 3$
• $x = 2$

Đáp án: $x = 2$

Dạng 2: $a^x = b$ (b > 0)

Giải: $x = \log_a b$

Ví dụ 1: Giải $2^x = 10$

Lời giải: $$x = \log_2 10 = \frac{\ln 10}{\ln 2} \approx 3.32$$

Đáp án: $x = \log_2 10 \approx 3.32$

Ví dụ 2: Giải $5^x = 100$

Lời giải: $$x = \log_5 100 = \frac{\ln 100}{\ln 5} \approx 2.86$$

Đáp án: $x \approx 2.86$

Dạng 3: $a^{f(x)} = a^{g(x)} \Leftrightarrow f(x) = g(x)$

Ví dụ: Giải $3^{x^2-1} = 3^{2x}$

Lời giải:

So sánh số mũ: $$x^2 – 1 = 2x$$ $$x^2 – 2x – 1 = 0$$

Giải phương trình bậc 2: $$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$$

Đáp án: $x = 1 + \sqrt{2}$ hoặc $x = 1 – \sqrt{2}$

Dạng 4: Phương trình mũ đặt ẩn phụ

Ví dụ: Giải $4^x – 2^{x+1} – 8 = 0$

Lời giải:

Đặt $t = 2^x$ ($t > 0$), ta có:

• $4^x = (2^2)^x = 2^{2x} = (2^x)^2 = t^2$
• $2^{x+1} = 2 \cdot 2^x = 2t$

Phương trình trở thành: $$t^2 – 2t – 8 = 0$$ $$(t – 4)(t + 2) = 0$$ $$t = 4 \text{ hoặc } t = -2$$

Vì $t > 0$ nên $t = 4$

Do đó: $2^x = 4 = 2^2$ $$x = 2$$

Đáp án: $x = 2$

6. Ứng dụng hàm số mũ

Tăng trưởng mũ:

Công thức: $$P(t) = P_0 \cdot e^{rt}$$

Trong đó:

• $P(t)$: giá trị tại thời điểm $t$
• $P_0$: giá trị ban đầu (tại $t = 0$)
• $r$: tốc độ tăng trưởng (tỷ lệ phần trăm)
• $t$: thời gian
• $e$: số Euler ($\approx 2.718$)

Ví dụ 1: Dân số

Một thành phố có dân số 1 triệu người, tăng trưởng 3%/năm. Dân số sau 10 năm?

Lời giải: $$P(10) = 1 \times e^{0.03 \times 10} = e^{0.3} \approx 1.35 \text{ triệu}$$

Ví dụ 2: Vi khuẩn

Số lượng vi khuẩn ban đầu là 1000 con, cứ mỗi giờ tăng gấp đôi. Sau 5 giờ có bao nhiêu con?

Lời giải: $$N(5) = 1000 \times 2^5 = 1000 \times 32 = 32000 \text{ con}$$

Phân rã phóng xạ:

Công thức: $$N(t) = N_0 \cdot e^{-\lambda t}$$

Trong đó:

• $N(t)$: lượng chất còn lại tại thời điểm $t$
• $N_0$: lượng chất ban đầu
• $\lambda$: hằng số phân rã
• $t$: thời gian

Chu kỳ bán rã: Thời gian để lượng chất giảm còn một nửa.

$$T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}$$

Ví dụ: Carbon-14 có chu kỳ bán rã 5730 năm. Sau 11460 năm còn lại bao nhiêu phần trăm?

Lời giải:

Số chu kỳ bán rã: $\frac{11460}{5730} = 2$

Sau 2 chu kỳ bán rã: $$N = N_0 \times \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{N_0}{4} = 25% N_0$$

Đáp án: Còn lại 25%

Lãi suất kép:

Công thức: $$A = P\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}$$

Trong đó:

• $A$: số tiền cuối cùng
• $P$: số tiền gốc (vốn ban đầu)
• $r$: lãi suất năm (dạng thập phân)
• $n$: số kỳ ghép lãi trong một năm
• $t$: số năm

Lãi kép liên tục: $$A = P \cdot e^{rt}$$

Ví dụ: Gửi 100 triệu đồng với lãi suất 8%/năm, ghép lãi hàng tháng. Sau 3 năm có bao nhiêu?

Lời giải: $$A = 100 \times \left(1 + \frac{0.08}{12}\right)^{12 \times 3}$$ $$= 100 \times (1.00667)^{36}$$ $$\approx 100 \times 1.270 = 127 \text{ triệu}$$

Đáp án: Khoảng 127 triệu đồng

VI. BÀI TẬP VÀ VÍ DỤ MINH HỌA

Dạng 1: Tính giá trị lũy thừa

Bài 1: Tính các giá trị sau:

a) $2^5$
b) $(-3)^4$
c) $5^0$
d) $2^{-3}$
e) $(0.5)^{-2}$

Lời giải:

a) $2^5 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32$

b) $(-3)^4 = (-3) \times (-3) \times (-3) \times (-3) = 81$ (số mũ chẵn → dương)

c) $5^0 = 1$

d) $2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$

e) $(0.5)^{-2} = \left(\frac{1}{2}\right)^{-2} = 2^2 = 4$

Bài 2: Tính $16^{3/4}$ và $27^{-2/3}$

Lời giải:

Tính $16^{3/4}$:

Cách 1: $16^{3/4} = \sqrt[4]{16^3} = \sqrt[4]{4096} = 8$

Cách 2: $16^{3/4} = (\sqrt[4]{16})^3 = 2^3 = 8$

Tính $27^{-2/3}$: $$27^{-2/3} = \frac{1}{27^{2/3}} = \frac{1}{(\sqrt[3]{27})^2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$$

Đáp án: $16^{3/4} = 8$, $27^{-2/3} = \frac{1}{9}$

Bài 3: Tính $\sqrt{64} \cdot \sqrt[3]{8}$

Lời giải: $$\sqrt{64} = 64^{1/2} = 8$$ $$\sqrt[3]{8} = 8^{1/3} = 2$$ $$\sqrt{64} \cdot \sqrt[3]{8} = 8 \times 2 = 16$$

Đáp án: 16

Dạng 2: Rút gọn biểu thức

Bài 4: Rút gọn $A = \frac{3^5 \cdot 3^2}{3^4}$

Lời giải: $$A = \frac{3^{5+2}}{3^4} = \frac{3^7}{3^4} = 3^{7-4} = 3^3 = 27$$

Đáp án: $A = 27$

Bài 5: Rút gọn $B = (2^3)^2 \cdot 2^{-4}$

Lời giải: $$B = 2^{3 \times 2} \cdot 2^{-4} = 2^6 \cdot 2^{-4} = 2^{6-4} = 2^2 = 4$$

Đáp án: $B = 4$

Bài 6: Rút gọn $C = \frac{a^{3/2} \cdot a^{1/2}}{a^{1/4}}$ (a > 0)

Lời giải: $$C = \frac{a^{3/2 + 1/2}}{a^{1/4}} = \frac{a^{4/2}}{a^{1/4}} = \frac{a^2}{a^{1/4}} = a^{2-1/4} = a^{8/4-1/4} = a^{7/4}$$

Đáp án: $C = a^{7/4}$

Bài 7: Rút gọn $D = \frac{(2^{-1} \cdot 4^2)^3}{8^2}$

Lời giải:

Đổi về cơ số 2: $$D = \frac{(2^{-1} \cdot 2^4)^3}{2^6} = \frac{(2^{-1+4})^3}{2^6} = \frac{(2^3)^3}{2^6} = \frac{2^9}{2^6} = 2^3 = 8$$

Đáp án: $D = 8$

Dạng 3: So sánh

Bài 8: So sánh $2^{100}$ và $3^{80}$

Lời giải:

Đưa về cùng số mũ: $$2^{100} = (2^{10})^{10} = 1024^{10}$$ $$3^{80} = (3^8)^{10} = 6561^{10}$$

Vì $1024 < 6561$ nên $1024^{10} < 6561^{10}$

Vậy $2^{100} < 3^{80}$

Đáp án: $2^{100} < 3^{80}$

Bài 9: So sánh $(0.5)^3$ và $(0.5)^5$

Lời giải:

Cơ số $0.5 < 1$ → hàm nghịch biến

Vì $3 < 5$ nên $(0.5)^3 > (0.5)^5$

Kiểm tra:

• $(0.5)^3 = 0.125$
• $(0.5)^5 = 0.03125$
• $0.125 > 0.03125$ ✓

Đáp án: $(0.5)^3 > (0.5)^5$

Dạng 4: Giải phương trình

Bài 10: Giải phương trình $2^{x+1} = 32$

Lời giải:

Biến đổi: $$32 = 2^5$$ $$2^{x+1} = 2^5$$ $$x + 1 = 5$$ $$x = 4$$

Đáp án: $x = 4$

Bài 11: Giải phương trình $3^{2x} – 3^x – 6 = 0$

Lời giải:

Đặt $t = 3^x$ ($t > 0$)

Phương trình trở thành: $$t^2 – t – 6 = 0$$ $$(t – 3)(t + 2) = 0$$ $$t = 3 \text{ hoặc } t = -2$$

Vì $t > 0$ nên $t = 3$

Do đó: $3^x = 3 = 3^1$ $$x = 1$$

Kiểm tra: $3^{2 \cdot 1} – 3^1 – 6 = 9 – 3 – 6 = 0$ ✓

Đáp án: $x = 1$

Bài 12: Giải phương trình $4^x + 2^x = 12$

Lời giải:

Đặt $t = 2^x$ ($t > 0$)

• $4^x = (2^2)^x = (2^x)^2 = t^2$

Phương trình: $$t^2 + t = 12$$ $$t^2 + t – 12 = 0$$ $$(t + 4)(t – 3) = 0$$ $$t = -4 \text{ hoặc } t = 3$$

Vì $t > 0$ nên $t = 3$

Do đó: $2^x = 3$ $$x = \log_2 3 \approx 1.585$$

Đáp án: $x = \log_2 3$

Dạng 5: Ứng dụng thực tế

Bài 13: Một người gửi 100 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 6%/năm, lãi kép hàng năm. Hỏi sau 5 năm số tiền là bao nhiêu?

Lời giải:

Áp dụng công thức lãi kép: $$A = P(1 + r)^t$$

Với:

• $P = 100$ triệu
• $r = 0.06$
• $t = 5$

$$A = 100 \times (1 + 0.06)^5 = 100 \times (1.06)^5$$ $$= 100 \times 1.338 = 133.8 \text{ triệu}$$

Đáp án: Khoảng 133.8 triệu đồng

Bài 14: Dân số một thành phố hiện tại là 2 triệu người, tăng trưởng 2%/năm. Dự đoán dân số sau 10 năm.

Lời giải:

Áp dụng công thức tăng trưởng: $$P(t) = P_0(1 + r)^t$$

Với:

• $P_0 = 2$ triệu
• $r = 0.02$
• $t = 10$

$$P(10) = 2 \times (1.02)^{10}$$ $$= 2 \times 1.219 = 2.438 \text{ triệu người}$$

Đáp án: Khoảng 2.44 triệu người

Bài 15: Một chất phóng xạ có chu kỳ bán rã là 20 năm. Sau bao lâu còn lại 12.5% lượng ban đầu?

Lời giải:

$12.5% = \frac{1}{8} = \left(\frac{1}{2}\right)^3$

Sau 3 chu kỳ bán rã, còn lại $\frac{1}{8}$ lượng ban đầu.

Thời gian: $t = 3 \times 20 = 60$ năm

Đáp án: 60 năm

VII. MẸO VÀ LƯU Ý

1. Các sai lầm thường gặp

SAI LẦM 1: Nhầm lẫn tổng và tích

❌ SAI: $$(a + b)^n = a^n + b^n$$

✅ ĐÚNG: $$(a + b)^n \text{ không rút gọn được (trừ khi dùng nhị thức Newton)}$$

Ví dụ:

• $(2 + 3)^2 = 5^2 = 25$
• $2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13$
• $25 \neq 13$ ❌

SAI LẦM 2: Nhầm cơ số

❌ SAI: $$a^m \cdot b^m = (ab)^{2m}$$

✅ ĐÚNG: $$a^m \cdot b^m = (ab)^m$$

Ví dụ:

• $2^3 \cdot 3^3 = (2 \times 3)^3 = 6^3 = 216$ ✓
• $2^3 \cdot 3^3 \neq (2 \times 3)^6$ ❌

SAI LẦM 3: Cộng số mũ sai

❌ SAI: $$a^m + a^n = a^{m+n}$$

✅ ĐÚNG: $$a^m + a^n \text{ không rút gọn được}$$

Ví dụ:

• $2^2 + 2^3 = 4 + 8 = 12$
• $2^{2+3} = 2^5 = 32$
• $12 \neq 32$ ❌

SAI LẦM 4: Quên dấu ngoặc

❌ SAI: $$-2^4 = 16$$

✅ ĐÚNG: $$-2^4 = -(2^4) = -16$$ $$(-2)^4 = 16$$

SAI LẦM 5: Nhầm quy tắc đổi chiều

❌ SAI: $$\text{Nếu } 0.5 < 1 \text{ và } 2 < 3 \text{ thì } (0.5)^2 < (0.5)^3$$

✅ ĐÚNG: $$\text{Cơ số} < 1 \Rightarrow \text{đổi chiều: } (0.5)^2 > (0.5)^3$$

2. Mẹo nhớ công thức

Mẹo 1: “Cùng cơ số thì Cộng/Trừ số mũ”

• Nhân: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ (Cộng số mũ)
• Chia: $a^m : a^n = a^{m-n}$ (Trừ số mũ)

Khẩu quyết: “Nhân cùng cơ cộng số mũ, chia cùng cơ trừ số mũ”

Mẹo 2: “Lũy thừa của lũy thừa thì Nhân số mũ”

$$(a^m)^n = a^{m \times n}$$

Khẩu quyết: “Lũy thừa lồng nhau, nhân số mũ”

Mẹo 3: “Lũy thừa của tích/thương thì Phân phối”

• Tích: $(ab)^n = a^n \cdot b^n$
• Thương: $(a/b)^n = a^n / b^n$

Khẩu quyết: “Tích thương phân phối số mũ”

Mẹo 4: Nhớ giá trị đặc biệt

• $a^0 = 1$ (mọi số mũ 0 bằng 1)
• $a^1 = a$ (mọi số mũ 1 bằng chính nó)
• $a^{-1} = \frac{1}{a}$ (số mũ -1 là nghịch đảo)
• $0^n = 0$ (với $n > 0$)
• $1^n = 1$ (1 mũ bao nhiêu cũng bằng 1)

Mẹo 5: So sánh nhanh

Quy tắc:

• Cơ số > 1: Số mũ lớn hơn → Giá trị lớn hơn
• Cơ số < 1: Số mũ lớn hơn → Giá trị nhỏ hơn

Khẩu quyết: “Lớn hơn 1 cùng chiều, nhỏ hơn 1 ngược chiều”

3. Thứ tự ưu tiên giải bài

Bước 1: Kiểm tra điều kiện

• Cơ số $\neq 0$ với số mũ âm
• Cơ số $> 0$ với số mũ phân số
• Mẫu $\neq 0$ khi có phân thức

Bước 2: Nhận dạng dạng bài

• Tính giá trị?
• Rút gọn?
• So sánh?
• Giải phương trình?
• Ứng dụng thực tế?

Bước 3: Áp dụng công thức

Chọn công thức phù hợp:

• Cùng cơ số → cộng/trừ số mũ
• Lũy thừa lồng → nhân số mũ
• Tích/thương → phân phối

Bước 4: Tính toán từng bước

• Viết rõ ràng
• Không bỏ qua bước trung gian
• Kiểm tra dấu

Bước 5: Kiểm tra kết quả

• Thế ngược lại
• So sánh với điều kiện
• Đánh giá tính hợp lý

4. Lưu ý quan trọng

Lưu ý 1: Dấu của kết quả

Chú ý số mũ chẵn/lẻ với cơ số âm:

• Số mũ chẵn → kết quả dương
• Số mũ lẻ → kết quả âm

Lưu ý 2: Điều kiện cơ số

• Số mũ âm: cơ số $\neq 0$
• Số mũ phân số: cơ số $> 0$
• Số mũ vô tỉ: cơ số $> 0$

Lưu ý 3: Sử dụng máy tính

• Nút $x^y$ hoặc phím mũ ^
• Dùng dấu ngoặc cho số mũ phức tạp
• Làm tròn theo yêu cầu

Lưu ý 4: Ưu tiên phép toán

Thứ tự: Lũy thừa → Nhân/Chia → Cộng/Trừ

Ví dụ:

• $2 + 3^2 = 2 + 9 = 11$ (lũy thừa trước)
• $(2 + 3)^2 = 5^2 = 25$ (ngoặc trước)

VIII. KẾT LUẬN

Tổng kết

Bài viết đã tổng hợp đầy đủ và chi tiết về lũy thừa, từ cơ bản đến nâng cao:

Lý thuyết đầy đủ:

• Lũy thừa với số mũ nguyên (dương, 0, âm)
• Căn bậc n và mối quan hệ với lũy thừa
• Lũy thừa với số mũ hữu tỉ và vô tỉ
• Định nghĩa rõ ràng, điều kiện cụ thể

Tính chất:

• 5 tính chất cơ bản (nhân, chia, lũy thừa của lũy thừa, tích, thương)
• Tính chất so sánh theo cơ số
• Tính chất đặc biệt về số mũ âm và căn thức

Phân theo lớp:

• Lớp 6: Số mũ tự nhiên dương
• Lớp 7: Số mũ 0 và số mũ nguyên âm
• Lớp 12: Số mũ hữu tỉ, vô tỉ, hàm số mũ

Hàm số mũ:

• Định nghĩa và tính chất theo cơ số
• Hàm số $e^x$ đặc biệt
• Công thức đạo hàm
• Phương trình mũ cơ bản

Bài tập:

• 15 bài từ cơ bản đến nâng cao
• 5 dạng: tính giá trị, rút gọn, so sánh, phương trình, ứng dụng
• Lời giải chi tiết từng bước

Tầm quan trọng của lũy thừa

Trong toán học:

• Nền tảng cho logarit: Lũy thừa và logarit là hai phép toán ngược nhau
• Giải tích: Đạo hàm, tích phân hàm mũ
• Dãy số: Cấp số nhân, giới hạn
• Tổ hợp: Nhị thức Newton

Trong khoa học:

• Vật lý:
  • Năng lượng: $E = mc^2$
  • Sóng điện từ, ánh sáng
  • Thang đo độ Richter, decibel
• Hóa học:
  • Nồng độ mol
  • Tốc độ phản ứng
  • pH, pOH
• Sinh học:
  • Tăng trưởng vi khuẩn, tế bào
  • Di truyền học
  • Phân rã phóng xạ

Trong tin học:

• Bộ nhớ máy tính: $2^{10}$ KB, $2^{20}$ MB, $2^{30}$ GB
• Độ phức tạp thuật toán: $O(2^n)$, $O(n^2)$
• Cấu trúc dữ liệu: cây nhị phân
• Mã hóa RSA, blockchain

Trong kinh tế:

• Lãi suất kép: $A = P(1 + r)^t$
• Tăng trưởng GDP, lạm phát
• Đầu tư tài chính
• Dự báo kinh tế

PHỤ LỤC: BẢNG CÔNG THỨC NHANH

Bảng 1: Định nghĩa theo số mũ

Loại số mũ	Công thức	Điều kiện	Lớp	Ví dụ
$n \geq 1$	$a^n = a \cdot a \cdot … \cdot a$	$a \in \mathbb{R}$	Lớp 6	$2^3 = 8$
$n = 0$	$a^0 = 1$	$a \neq 0$	Lớp 7	$5^0 = 1$
$n < 0$	$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$	$a \neq 0$	Lớp 7	$2^{-2} = \frac{1}{4}$
$\frac{m}{n}$	$a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}$	$a > 0$	Lớp 12	$8^{2/3} = 4$
$\alpha$ vô tỉ	$a^\alpha$	$a > 0$	Lớp 12	$2^\pi \approx 8.825$

Bảng 2: Tính chất cơ bản

STT	Tính chất	Công thức	Ví dụ
1	Nhân cùng cơ số	$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$	$2^3 \cdot 2^4 = 2^7$
2	Chia cùng cơ số	$a^m : a^n = a^{m-n}$	$5^7 : 5^3 = 5^4$
3	Lũy thừa của lũy thừa	$(a^m)^n = a^{mn}$	$(3^2)^4 = 3^8$
4	Lũy thừa của tích	$(ab)^n = a^n b^n$	$(2 \cdot 5)^3 = 2^3 \cdot 5^3$
5	Lũy thừa của thương	$\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$	$\left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{9}{16}$

Bảng 3: Giá trị thường gặp

$n$	$2^n$	$3^n$	$5^n$	$10^n$
0	1	1	1	1
1	2	3	5	10
2	4	9	25	100
3	8	27	125	1,000
4	16	81	625	10,000
5	32	243	3,125	100,000
6	64	729	15,625	1,000,000
-1	0.5	0.333	0.2	0.1
-2	0.25	0.111	0.04	0.01

Bảng 4: Đạo hàm hàm số mũ

Hàm số	Đạo hàm
$a^x$	$a^x \ln a$
$e^x$	$e^x$
$2^x$	$2^x \ln 2$
$e^{2x}$	$2e^{2x}$
$e^{-x}$	$-e^{-x}$
$e^{x^2}$	$2xe^{x^2}$