I. Giới Thiệu

1. Bài toán tổng và hiệu là gì?

Bài toán tổng và hiệu là dạng toán cơ bản trong chương trình Toán tiểu học và trung học cơ sở, yêu cầu tìm hai số khi biết tổng và hiệu của chúng.

Dạng bài: Cho biết tổng và hiệu của hai số, tìm hai số đó.

Ví dụ cơ bản:

Hai số có tổng là 50 và hiệu là 10. Tìm hai số đó.

Đáp án: 30 và 20

II. Công Thức Tìm Hai Số Khi Biết Tổng Và Hiệu

1. Công thức cơ bản

Cho:

• Tổng hai số: $S = a + b$
• Hiệu hai số: $D = a – b$ (với $a > b$)

Công thức tìm hai số:

$$a = \frac{S + D}{2} \quad \text{(Số lớn)}$$

$$b = \frac{S – D}{2} \quad \text{(Số bé)}$$

Hoặc có thể tính:

$$b = a – D$$

2. Cách nhớ công thức

Phương pháp 1: Câu vần dễ nhớ

Số lớn: “Tổng cộng hiệu chia đôi”

$$a = \frac{S + D}{2}$$

Số bé: “Tổng trừ hiệu chia đôi”

$$b = \frac{S – D}{2}$$

Phương pháp 2: Qua trung bình cộng

Trung bình cộng của hai số là: $TB = \frac{S}{2}$

Nửa hiệu của hai số là: $\frac{D}{2}$

Do đó:

• Số lớn = Trung bình cộng + Nửa hiệu = $\frac{S}{2} + \frac{D}{2} = \frac{S+D}{2}$
• Số bé = Trung bình cộng – Nửa hiệu = $\frac{S}{2} – \frac{D}{2} = \frac{S-D}{2}$

3. Chứng minh công thức

Xuất phát từ hệ phương trình:

$$\begin{cases} a + b = S \\ a – b = D \end{cases}$$

Cộng hai phương trình theo vế:

$$(a + b) + (a – b) = S + D$$

$$2a = S + D$$

$$a = \frac{S + D}{2}$$

Trừ hai phương trình theo vế:

$$(a + b) – (a – b) = S – D$$

$$2b = S – D$$

$$b = \frac{S – D}{2}$$

4. Sơ đồ minh họa

        S (Tổng)
    ┌────────────┐
    │            │
    a            b
    │            │
    └─────┬──────┘
          D (Hiệu)

a = Số lớn = (S + D)/2
b = Số bé = (S - D)/2

5. Điều kiện áp dụng

✅ Điều kiện hợp lệ:

• $S > D$ (tổng phải lớn hơn hiệu)
• $D \geq 0$ (hiệu không âm)
• $S + D$ và $S – D$ phải chia hết cho 2 (nếu tìm số nguyên)

❌ Không hợp lệ khi:

• $S < D$ → Không tồn tại hai số thỏa mãn
• $S = D$ → Chỉ có một nghiệm: $a = S$ và $b = 0$
• Kết quả âm khi bài toán yêu cầu số dương

III. Phương Pháp Giải Nhanh

1. Các bước giải bài toán

Bước 1: Xác định dữ kiện

• Tìm tổng $S$ và hiệu $D$ trong đề bài

Bước 2: Kiểm tra điều kiện

• Kiểm tra $S > D$ để đảm bảo có nghiệm

Bước 3: Áp dụng công thức

• Số lớn: $a = \frac{S + D}{2}$
• Số bé: $b = \frac{S – D}{2}$

Bước 4: Kiểm tra lại kết quả

• Kiểm tra: $a + b = S$ ✓
• Kiểm tra: $a – b = D$ ✓

2. Mẹo tính nhẩm nhanh

Cách 1: Qua trung bình cộng

1. Tính trung bình cộng: $TB = \frac{S}{2}$
2. Tính nửa hiệu: $\frac{D}{2}$
3. Số lớn: $TB + \frac{D}{2}$
4. Số bé: $TB – \frac{D}{2}$

Ví dụ: Tổng = 100, Hiệu = 20

• $TB = \frac{100}{2} = 50$
• $\frac{D}{2} = \frac{20}{2} = 10$
• Số lớn: $50 + 10 = 60$
• Số bé: $50 – 10 = 40$

Cách 2: Từ số lớn

1. Tính số lớn trước: $a = \frac{S + D}{2}$
2. Tính số bé từ hiệu: $b = a – D$

Ví dụ: Tổng = 100, Hiệu = 20

• Số lớn: $a = \frac{100 + 20}{2} = 60$
• Số bé: $b = 60 – 20 = 40$

3. Dạng bài mở rộng

Dạng 1: Biết tổng và tỷ số

Dùng phương pháp chia tỷ lệ thay vì công thức tổng hiệu

Dạng 2: Biết tích và hiệu

Cần giải phương trình bậc 2 kết hợp với hệ phương trình

Dạng 3: Ba số biết tổng và các hiệu

Lập hệ phương trình ba ẩn để giải

IV. Bài Tập Cơ Bản

Dạng 1: Bài toán thuần túy

Bài 1: Hai số có tổng bằng 80 và hiệu bằng 20. Tìm hai số đó.

Lời giải:

• Cho: $S = 80$, $D = 20$
• Số lớn: $a = \frac{80 + 20}{2} = \frac{100}{2} = 50$
• Số bé: $b = \frac{80 – 20}{2} = \frac{60}{2} = 30$
• Kiểm tra: $50 + 30 = 80$ ✓, $50 – 30 = 20$ ✓

Đáp án: 50 và 30

Bài 2: Tìm hai số biết tổng của chúng là 156 và hiệu của chúng là 48.

Lời giải:

• $S = 156$, $D = 48$
• Số lớn: $a = \frac{156 + 48}{2} = \frac{204}{2} = 102$
• Số bé: $b = \frac{156 – 48}{2} = \frac{108}{2} = 54$
• Kiểm tra: $102 + 54 = 156$ ✓, $102 – 54 = 48$ ✓

Đáp án: 102 và 54

Bài 3: Hai số có tổng là 37 và hiệu là 13. Tìm hai số đó.

Lời giải:

• $S = 37$, $D = 13$
• Số lớn: $a = \frac{37 + 13}{2} = \frac{50}{2} = 25$
• Số bé: $b = \frac{37 – 13}{2} = \frac{24}{2} = 12$
• Kiểm tra: $25 + 12 = 37$ ✓, $25 – 12 = 13$ ✓

Đáp án: 25 và 12

Dạng 2: Bài toán có lời văn

Bài 4: Tuổi bố và con cộng lại là 60 tuổi, bố hơn con 30 tuổi. Tính tuổi mỗi người.

Lời giải:

• Tổng hai tuổi: $S = 60$
• Hiệu hai tuổi: $D = 30$
• Tuổi bố (số lớn): $a = \frac{60 + 30}{2} = \frac{90}{2} = 45$ tuổi
• Tuổi con (số bé): $b = \frac{60 – 30}{2} = \frac{30}{2} = 15$ tuổi
• Kiểm tra: $45 + 15 = 60$ ✓, $45 – 15 = 30$ ✓

Đáp án: Bố 45 tuổi, con 15 tuổi

Bài 5: Hai lớp 6A và 6B có tổng cộng 80 học sinh. Lớp 6A nhiều hơn lớp 6B 8 học sinh. Hỏi mỗi lớp có bao nhiêu học sinh?

Lời giải:

• Tổng hai lớp: $S = 80$ học sinh
• Hiệu hai lớp: $D = 8$ học sinh
• Lớp 6A (nhiều hơn): $a = \frac{80 + 8}{2} = \frac{88}{2} = 44$ học sinh
• Lớp 6B (ít hơn): $b = \frac{80 – 8}{2} = \frac{72}{2} = 36$ học sinh
• Kiểm tra: $44 + 36 = 80$ ✓, $44 – 36 = 8$ ✓

Đáp án: Lớp 6A: 44 học sinh, Lớp 6B: 36 học sinh

Bài 6: Một người mua hai loại hoa quả với tổng số tiền là 500 nghìn đồng. Loại thứ nhất đắt hơn loại thứ hai 100 nghìn đồng. Hỏi mỗi loại giá bao nhiêu?

Lời giải:

• Tổng số tiền: $S = 500$ nghìn
• Hiệu giá: $D = 100$ nghìn
• Giá loại 1 (đắt hơn): $a = \frac{500 + 100}{2} = \frac{600}{2} = 300$ nghìn
• Giá loại 2 (rẻ hơn): $b = \frac{500 – 100}{2} = \frac{400}{2} = 200$ nghìn
• Kiểm tra: $300 + 200 = 500$ ✓, $300 – 200 = 100$ ✓

Đáp án: Loại 1: 300 nghìn đồng, Loại 2: 200 nghìn đồng

Bài 7: Chu vi hình chữ nhật là 120m, chiều dài hơn chiều rộng 20m. Tính chiều dài và chiều rộng.

Lời giải:

• Chu vi = 2(Dài + Rộng) = 120m
• Nửa chu vi = Tổng chiều dài và rộng: $S = \frac{120}{2} = 60$m
• Hiệu chiều dài và rộng: $D = 20$m
• Chiều dài: $a = \frac{60 + 20}{2} = \frac{80}{2} = 40$m
• Chiều rộng: $b = \frac{60 – 20}{2} = \frac{40}{2} = 20$m
• Kiểm tra chu vi: $2(40 + 20) = 2 \times 60 = 120$m ✓

Đáp án: Chiều dài 40m, Chiều rộng 20m

Dạng 3: Bài toán nâng cao

Bài 8: Hai số có tổng là 100. Nếu tăng số thứ nhất lên 10 đơn vị và giảm số thứ hai đi 10 đơn vị thì hiệu của chúng là 50. Tìm hai số ban đầu.

Lời giải:

• Gọi hai số ban đầu là $a$ và $b$ với $a + b = 100$
• Sau khi thay đổi:
  • Số thứ nhất: $a + 10$
  • Số thứ hai: $b – 10$
  • Hiệu mới: $(a + 10) – (b – 10) = 50$
• Khai triển: $a + 10 – b + 10 = 50$
• $a – b + 20 = 50$
• $a – b = 30$ (hiệu ban đầu $D = 30$)

Áp dụng công thức với $S = 100$, $D = 30$:

• $a = \frac{100 + 30}{2} = \frac{130}{2} = 65$
• $b = \frac{100 – 30}{2} = \frac{70}{2} = 35$
• Kiểm tra: $65 + 35 = 100$ ✓
• Kiểm tra điều kiện: $(65+10) – (35-10) = 75 – 25 = 50$ ✓

Đáp án: 65 và 35

Bài 9: Tổng của hai số là 45. Nếu tăng số lớn lên 3 đơn vị thì hiệu của số lớn và số bé là 18. Tìm hai số ban đầu.

Lời giải:

• Tổng ban đầu: $a + b = 45$
• Hiệu sau khi tăng số lớn: $(a + 3) – b = 18$
• Khai triển: $a – b + 3 = 18$
• $a – b = 15$ (hiệu ban đầu $D = 15$)

Áp dụng công thức với $S = 45$, $D = 15$:

• $a = \frac{45 + 15}{2} = \frac{60}{2} = 30$
• $b = \frac{45 – 15}{2} = \frac{30}{2} = 15$
• Kiểm tra: $30 + 15 = 45$ ✓
• Kiểm tra điều kiện: $(30 + 3) – 15 = 18$ ✓

Đáp án: 30 và 15

V. Bài Tập Thực Tế

Bài 10: Một cửa hàng bán hai loại sản phẩm trong một ngày thu về 10 triệu đồng. Doanh thu sản phẩm A nhiều hơn sản phẩm B là 2 triệu đồng. Tính doanh thu mỗi loại.

Lời giải:

• $S = 10$ triệu, $D = 2$ triệu
• Doanh thu A: $a = \frac{10 + 2}{2} = \frac{12}{2} = 6$ triệu
• Doanh thu B: $b = \frac{10 – 2}{2} = \frac{8}{2} = 4$ triệu
• Kiểm tra: $6 + 4 = 10$ ✓, $6 – 4 = 2$ ✓

Đáp án: Sản phẩm A: 6 triệu đồng, Sản phẩm B: 4 triệu đồng

Bài 11: Hai anh em có tổng số tiền tiết kiệm là 900 nghìn đồng. Anh nhiều hơn em 200 nghìn đồng. Hỏi mỗi người có bao nhiêu tiền?

Lời giải:

• $S = 900$ nghìn, $D = 200$ nghìn
• Tiền anh: $a = \frac{900 + 200}{2} = \frac{1100}{2} = 550$ nghìn
• Tiền em: $b = \frac{900 – 200}{2} = \frac{700}{2} = 350$ nghìn
• Kiểm tra: $550 + 350 = 900$ ✓, $550 – 350 = 200$ ✓

Đáp án: Anh: 550 nghìn đồng, Em: 350 nghìn đồng

Bài 12: Một đội công nhân gồm hai tổ. Tổng số công nhân hai tổ là 50 người. Tổ 1 nhiều hơn tổ 2 là 6 người. Tính số công nhân mỗi tổ.

Lời giải:

• $S = 50$ người, $D = 6$ người
• Tổ 1: $a = \frac{50 + 6}{2} = \frac{56}{2} = 28$ người
• Tổ 2: $b = \frac{50 – 6}{2} = \frac{44}{2} = 22$ người
• Kiểm tra: $28 + 22 = 50$ ✓, $28 – 22 = 6$ ✓

Đáp án: Tổ 1: 28 người, Tổ 2: 22 người

Bài 13: Hai bạn A và B có tổng số điểm thi là 180 điểm. Bạn A nhiều hơn bạn B 20 điểm. Tính điểm của mỗi bạn.

Lời giải:

• $S = 180$ điểm, $D = 20$ điểm
• Điểm A: $a = \frac{180 + 20}{2} = \frac{200}{2} = 100$ điểm
• Điểm B: $b = \frac{180 – 20}{2} = \frac{160}{2} = 80$ điểm
• Kiểm tra: $100 + 80 = 180$ ✓, $100 – 80 = 20$ ✓

Đáp án: Bạn A: 100 điểm, Bạn B: 80 điểm

VI. Sai Lầm Thường Gặp Và Cách Khắc Phục

1. Các lỗi thường gặp

❌ Lỗi 1: Nhầm công thức

SAI: $a = \frac{S – D}{2}$ (cho số lớn)

ĐÚNG: $a = \frac{S + D}{2}$

Giải thích: Số lớn phải CỘNG hiệu, không phải trừ

❌ Lỗi 2: Quên chia cho 2

SAI: $a = S + D = 80 + 20 = 100$

ĐÚNG: $a = \frac{S + D}{2} = \frac{80 + 20}{2} = 50$

Giải thích: Phải chia đôi sau khi cộng/trừ

❌ Lỗi 3: Nhầm số lớn số bé

Khi đề bài cho “số thứ nhất lớn hơn số thứ hai”, học sinh thường nhầm lẫn số nào là số lớn.

Cách khắc phục: Đọc kỹ đề, xác định rõ: “ai lớn hơn ai”, “ai nhiều hơn ai”

❌ Lỗi 4: Không kiểm tra lại

Nhiều bạn tính xong không kiểm tra, dẫn đến sai số liệu.

Cách khắc phục: Luôn thử lại: $a + b = S$ và $a – b = D$

2. Cách tránh sai

Học thuộc công thức một cách có hệ thống:

• Số lớn: Cộng (+) → $\frac{S + D}{2}$
• Số bé: Trừ (-) → $\frac{S – D}{2}$

Vẽ sơ đồ hình dung:

Sơ đồ giúp thấy rõ mối quan hệ giữa tổng và hiệu

Kiểm tra ngay sau khi tính:

Thay số vào kiểm tra tổng và hiệu có đúng không

Đọc kỹ đề bài:

Xác định chính xác đâu là tổng, đâu là hiệu, số nào lớn hơn

VII. Kết Luận

Tổng kết

Bài viết đã trình bày đầy đủ về bài toán tìm hai số khi biết tổng và hiệu:

Công thức vàng:

$$a = \frac{S + D}{2}, \quad b = \frac{S – D}{2}$$

Cách nhớ nhanh: “Cộng cho lớn, Trừ cho bé”

13 bài tập đa dạng từ cơ bản đến nâng cao với lời giải chi tiết

Ứng dụng thực tế: Tuổi, tiền bạc, điểm số, chu vi hình học,…

Phân tích lỗi sai và cách khắc phục hiệu quả

Phụ Lục: Công Thức Nhanh

ThS. Nguyễn Văn An

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn Tổ Toán tại Edus

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán học, Thạc sĩ Lý luận & Phương pháp dạy học môn Toán, Chức danh nghề nghiệp giáo viên THPT – Hạng II, Tin học ứng dụng cơ bản, Ngoại ngữ B1, Chứng chỉ bồi dưỡng năng lực tổ trưởng chuyên môn

Kinh nghiệm: 12+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT chuyên Trần Đại Nghĩa