I. Giới Thiệu Về Đường Cao Tam Giác

1. Đường cao tam giác là gì?

Đường cao của tam giác là đoạn thẳng kẻ từ một đỉnh xuống cạnh đối diện (hoặc đường thẳng chứa cạnh đó) và vuông góc với cạnh đó.

Ký hiệu:

• Đường cao từ đỉnh A xuống BC: $h_a$ (hoặc $AH$)
• Đường cao từ đỉnh B xuống AC: $h_b$ (hoặc $BK$)
• Đường cao từ đỉnh C xuống AB: $h_c$ (hoặc $CI$)

Tính chất quan trọng:

• Mỗi tam giác có 3 đường cao
• Ba đường cao cùng đi qua một điểm gọi là trực tâm (H)
• Đường cao chia tam giác thành 2 tam giác vuông nhỏ hơn
• Đường cao luôn vuông góc với cạnh đối diện

2. Phân loại theo tam giác

Vị trí đường cao phụ thuộc vào loại tam giác:

3. Tại sao cần tính đường cao?

Đường cao có vai trò quan trọng trong hình học:

Tính diện tích tam giác: $S = \frac{1}{2} \times \text{đáy} \times \text{cao}$

Giải bài toán hình học về tam giác và đa giác

Xác định trực tâm của tam giác

Ứng dụng thực tế trong xây dựng, đo đạc địa hình, kiến trúc

Chứng minh các định lý hình học

4. Cấu trúc bài viết

Bài viết sẽ hệ thống hóa đầy đủ các công thức tính đường cao:

• Công thức đường cao tam giác thường (4 công thức)
• Công thức đường cao tam giác vuông (3 công thức)
• Công thức đường cao tam giác đều
• Công thức đường cao tam giác cân
• 8 bài tập có lời giải chi tiết

II. Công Thức Đường Cao Tam Giác Thường

1. Công thức từ diện tích và cạnh đáy

Đây là công thức cơ bản và quan trọng nhất:

$$h_a = \frac{2S}{a}$$

Trong đó:

• $h_a$: Đường cao ứng với cạnh $a$
• $S$: Diện tích tam giác
• $a$: Cạnh đáy

Tương tự cho các đường cao khác:

$$h_b = \frac{2S}{b}, \quad h_c = \frac{2S}{c}$$

Ví dụ 1: Tam giác có diện tích 30cm², cạnh đáy 10cm. Tính đường cao ứng với cạnh đó.

Lời giải:

$$h = \frac{2 \times 30}{10} = \frac{60}{10} = 6 \text{ cm}$$

Đáp án: 6 cm

2. Công thức từ ba cạnh (dùng Heron)

Khi biết độ dài cả 3 cạnh, ta tính đường cao qua 2 bước:

Bước 1: Tính diện tích bằng công thức Heron

$$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$

với $p = \frac{a+b+c}{2}$ (nửa chu vi)

Bước 2: Tính đường cao

$$h_a = \frac{2S}{a}$$

Hoặc công thức tổng hợp:

$$h_a = \frac{2}{a}\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$

Ví dụ 2: Tam giác có ba cạnh 5cm, 6cm, 7cm. Tính đường cao ứng với cạnh 7cm.

Lời giải:

• Nửa chu vi: $p = \frac{5+6+7}{2} = \frac{18}{2} = 9$
• Tính diện tích (Heron):

$$S = \sqrt{9(9-5)(9-6)(9-7)} = \sqrt{9 \times 4 \times 3 \times 2} = \sqrt{216} = 6\sqrt{6}$$

• Tính đường cao:

$$h = \frac{2 \times 6\sqrt{6}}{7} = \frac{12\sqrt{6}}{7} \approx 4.2 \text{ cm}$$

Đáp án: $\frac{12\sqrt{6}}{7}$ cm (≈ 4.2 cm)

3. Công thức từ hai cạnh và góc xen giữa

Khi biết một cạnh và góc đối diện với đường cao cần tìm:

$$h_a = b\sin C = c\sin B$$

Trong đó:

• $h_a$: Đường cao ứng với cạnh $a$
• $b, c$: Hai cạnh kề với đỉnh có đường cao
• $B, C$: Góc đối diện với cạnh $b$ và $c$

Giải thích: Trong tam giác vuông tạo bởi đường cao, ta có: $$\sin C = \frac{h_a}{b} \Rightarrow h_a = b\sin C$$

Ví dụ 3: Tam giác ABC có BC = 10cm, góc A = 30°. Tính đường cao từ A xuống BC.

Lời giải:

Giả sử AB = 8cm, ta có:

$$h_a = AB \times \sin B = 8 \times \sin B$$

(Cần biết thêm góc B hoặc cạnh AC để tính chính xác)

4. Công thức đường cao qua hệ thức lượng

Công thức tổng hợp khi biết ba cạnh:

$$h_a = \frac{2}{a}\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$

với $p = \frac{a+b+c}{2}$

Ví dụ 4: Tam giác có ba cạnh 13cm, 14cm, 15cm. Tính đường cao ứng với cạnh 14cm.

Lời giải:

• Nửa chu vi: $p = \frac{13+14+15}{2} = \frac{42}{2} = 21$
• Áp dụng công thức:

$$h_{14} = \frac{2}{14}\sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)}$$

$$h_{14} = \frac{2}{14}\sqrt{21 \times 8 \times 7 \times 6}$$

$$h_{14} = \frac{2}{14}\sqrt{7056} = \frac{2 \times 84}{14} = \frac{168}{14} = 12 \text{ cm}$$

Đáp án: 12 cm

5. Bảng tổng hợp công thức tam giác thường

III. Công Thức Đường Cao Tam Giác Vuông

1. Đường cao trong tam giác vuông thường

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH từ đỉnh góc vuông A xuống cạnh huyền BC.

Công thức 1: Từ hai cạnh góc vuông

$$h = \frac{AB \times AC}{BC}$$

Giải thích: Đường cao bằng tích hai cạnh góc vuông chia cho cạnh huyền

Chứng minh:

• Diện tích tam giác vuông: $S = \frac{1}{2} \times AB \times AC$
• Diện tích theo cạnh huyền: $S = \frac{1}{2} \times BC \times h$
• Do đó: $\frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times BC \times h$
• Suy ra: $h = \frac{AB \times AC}{BC}$

Ví dụ 5: Tam giác vuông có hai cạnh góc vuông 6cm và 8cm. Tính đường cao ứng với cạnh huyền.

Lời giải:

• Cạnh huyền (Pythagore): $BC = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36+64} = \sqrt{100} = 10$ cm
• Đường cao:

$$h = \frac{6 \times 8}{10} = \frac{48}{10} = 4.8 \text{ cm}$$

Đáp án: 4.8 cm

Công thức 2: Từ hình chiếu

$$h^2 = BH \times HC$$

Trong đó:

• $BH$: Hình chiếu của AB lên cạnh huyền BC
• $HC$: Hình chiếu của AC lên cạnh huyền BC

Ví dụ 6: Tam giác vuông có cạnh huyền 13cm, hình chiếu một cạnh góc vuông lên cạnh huyền là 9cm. Tính đường cao từ đỉnh góc vuông.

Lời giải:

• Hình chiếu còn lại: $HC = 13 – 9 = 4$ cm
• Đường cao:

$$h = \sqrt{9 \times 4} = \sqrt{36} = 6 \text{ cm}$$

Đáp án: 6 cm

Công thức 3: Từ cạnh huyền và góc

Với tam giác vuông tại A:

$$h = a \times \sin B \times \sin C$$

Trong đó $a$ là cạnh huyền BC, $B$ và $C$ là hai góc nhọn.

2. Đường cao trong tam giác vuông cân

Tam giác vuông cân có đặc điểm:

• Vuông tại một đỉnh
• Hai cạnh góc vuông bằng nhau: $AB = AC = a$
• Cạnh huyền: $BC = a\sqrt{2}$

Công thức đường cao từ đỉnh góc vuông:

$$h = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$$

Cách nhớ: “Cạnh góc vuông chia căn 2”

Ví dụ 7: Tam giác vuông cân có cạnh góc vuông 6cm. Tính đường cao từ đỉnh góc vuông xuống cạnh huyền.

Lời giải:

$$h = \frac{6}{\sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2} \approx 4.24 \text{ cm}$$

Đáp án: $3\sqrt{2}$ cm (≈ 4.24 cm)

3. Lưu ý đặc biệt

Trong tam giác vuông, cần phân biệt:

• Đường cao từ 2 đỉnh góc nhọn chính là 2 cạnh góc vuông
  • Đường cao từ B xuống AC = cạnh AB
  • Đường cao từ C xuống AB = cạnh AC
• Đường cao từ đỉnh góc vuông xuống cạnh huyền cần tính bằng công thức

Ví dụ: Tam giác ABC vuông tại A, AB = 3cm, AC = 4cm

• Đường cao từ B xuống AC = 3cm (chính là cạnh AB)
• Đường cao từ C xuống AB = 4cm (chính là cạnh AC)
• Đường cao từ A xuống BC = $\frac{3 \times 4}{5} = 2.4$ cm (cần tính)

IV. Công Thức Đường Cao Tam Giác Đều

1. Đặc điểm tam giác đều

Tam giác đều có những đặc điểm đặc biệt:

• Ba cạnh bằng nhau: $a = b = c$
• Ba góc bằng nhau: $A = B = C = 60°$
• Đường cao = đường trung tuyến = đường phân giác
• Tính đối xứng cao

2. Công thức đường cao tam giác đều

Công thức chính:

$$h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$$

Trong đó $a$ là độ dài cạnh của tam giác đều.

Cách nhớ: “Cạnh nhân căn 3 chia 2”

Chứng minh:

Khi kẻ đường cao AH từ đỉnh A xuống cạnh BC:

• Đường cao chia tam giác đều thành 2 tam giác vuông bằng nhau
• Trong tam giác vuông AHB:
  • Cạnh huyền AB = $a$
  • Cạnh đáy BH = $\frac{a}{2}$ (đường cao chia đôi cạnh đáy)
  • Cạnh đường cao AH = $h$

Áp dụng định lý Pythagore:

$$h^2 = a^2 – \left(\frac{a}{2}\right)^2 = a^2 – \frac{a^2}{4} = \frac{4a^2 – a^2}{4} = \frac{3a^2}{4}$$

$$h = \sqrt{\frac{3a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$$

3. Ví dụ tam giác đều

Ví dụ 8: Tam giác đều có cạnh 6cm. Tính đường cao.

Lời giải:

$$h = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} \approx 5.196 \text{ cm}$$

Đáp án: $3\sqrt{3}$ cm (≈ 5.196 cm)

Ví dụ 9: Tam giác đều có cạnh 10cm. Tính đường cao.

Lời giải:

$$h = \frac{10\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \approx 8.66 \text{ cm}$$

Đáp án: $5\sqrt{3}$ cm (≈ 8.66 cm)

Ví dụ 10: Tam giác đều có đường cao 9cm. Tính cạnh.

Lời giải:

Từ công thức $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$, suy ra:

$$a = \frac{2h}{\sqrt{3}} = \frac{2 \times 9}{\sqrt{3}} = \frac{18}{\sqrt{3}} = \frac{18\sqrt{3}}{3} = 6\sqrt{3} \approx 10.39 \text{ cm}$$

Đáp án: $6\sqrt{3}$ cm (≈ 10.39 cm)

4. Mối liên hệ với diện tích

Kiểm chứng công thức qua diện tích:

Diện tích tam giác đều: $$S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$$

Từ công thức diện tích cơ bản $S = \frac{1}{2}ah$:

$$\frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{1}{2} \times a \times h$$

$$h = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \times \frac{2}{a} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$$ ✓

V. Công Thức Đường Cao Tam Giác Cân

1. Đặc điểm tam giác cân

Tam giác cân ABC (cân tại A) có các đặc điểm:

• Hai cạnh bên bằng nhau: $AB = AC = b$
• Cạnh đáy: $BC = a$
• Đường cao từ đỉnh A vuông góc và chia đôi cạnh đáy BC
• Đường cao từ đỉnh = đường trung tuyến từ đỉnh

2. Công thức đường cao từ đỉnh (cạnh bên xuống đáy)

Đây là công thức quan trọng nhất với tam giác cân:

$$h = \sqrt{b^2 – \left(\frac{a}{2}\right)^2}$$

Trong đó:

• $h$: Đường cao từ đỉnh
• $b$: Cạnh bên
• $a$: Cạnh đáy

Giải thích:

Đường cao AH chia tam giác cân thành 2 tam giác vuông bằng nhau. Trong tam giác vuông AHB:

• Cạnh huyền = $b$ (cạnh bên)
• Một cạnh góc vuông = $\frac{a}{2}$ (nửa cạnh đáy)
• Cạnh góc vuông còn lại = $h$ (đường cao)

Theo Pythagore: $b^2 = h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2$

Ví dụ 11: Tam giác cân có cạnh bên 5cm, cạnh đáy 6cm. Tính đường cao từ đỉnh.

Lời giải:

$$h = \sqrt{5^2 – 3^2} = \sqrt{25 – 9} = \sqrt{16} = 4 \text{ cm}$$

Đáp án: 4 cm

Ví dụ 12: Tam giác cân có cạnh bên 13cm, cạnh đáy 10cm. Tính đường cao từ đỉnh.

Lời giải:

$$h = \sqrt{13^2 – 5^2} = \sqrt{169 – 25} = \sqrt{144} = 12 \text{ cm}$$

Đáp án: 12 cm

3. Công thức đường cao từ đáy lên cạnh bên

Đường cao từ đỉnh B (hoặc C) ở đáy xuống cạnh bên AC:

Phương pháp:

Bước 1: Tính diện tích tam giác $$S = \frac{1}{2} \times a \times h_{\text{đỉnh}}$$

Bước 2: Tính đường cao từ đáy $$h_b = \frac{2S}{b}$$

Ví dụ 13: Tam giác cân có cạnh bên 10cm, cạnh đáy 12cm. Tính đường cao từ đỉnh đáy lên cạnh bên.

Lời giải:

• Đường cao từ đỉnh: $$h = \sqrt{10^2 – 6^2} = \sqrt{100-36} = \sqrt{64} = 8 \text{ cm}$$
• Diện tích: $$S = \frac{1}{2} \times 12 \times 8 = 48 \text{ cm}^2$$
• Đường cao cần tìm: $$h_b = \frac{2 \times 48}{10} = \frac{96}{10} = 9.6 \text{ cm}$$

Đáp án: 9.6 cm

4. Tam giác cân vuông

Tam giác vuông cân (vuông tại A, cân tại A) có:

• Hai cạnh góc vuông bằng nhau: $AB = AC = a$
• Góc A = 90°, góc B = góc C = 45°
• Cạnh huyền: $BC = a\sqrt{2}$

Đường cao từ đỉnh góc vuông (đỉnh cân):

$$h = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$$

Ví dụ 14: Tam giác vuông cân có cạnh góc vuông 8cm. Tính đường cao từ đỉnh góc vuông xuống cạnh huyền.

Lời giải:

$$h = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2} \approx 5.66 \text{ cm}$$

Đáp án: $4\sqrt{2}$ cm (≈ 5.66 cm)

5. Bảng tổng hợp công thức tam giác cân

VI. Bảng Tổng Hợp Tất Cả Công Thức

VII. Bài Tập Tổng Hợp

Dạng 1: Tam giác thường

Bài 1: Tam giác có diện tích 45cm², cạnh đáy 15cm. Tính đường cao ứng với cạnh đó.

Lời giải:

$h = \frac{2 \times 45}{15} = \frac{90}{15} = 6 \text{ cm}$

Đáp án: 6 cm

Bài 2: Tam giác có ba cạnh 8cm, 9cm, 10cm. Tính đường cao ứng với cạnh 10cm.

Lời giải:

• Nửa chu vi: $p = \frac{8+9+10}{2} = \frac{27}{2} = 13.5$
• Tính diện tích (Heron):

$S = \sqrt{13.5(13.5-8)(13.5-9)(13.5-10)}$

$S = \sqrt{13.5 \times 5.5 \times 4.5 \times 3.5} = \sqrt{1167.1875} \approx 34.16 \text{ cm}^2$

• Đường cao:

$h = \frac{2 \times 34.16}{10} = \frac{68.32}{10} = 6.832 \text{ cm}$

Đáp án: ≈ 6.83 cm

Bài 3: Tam giác có diện tích 60cm², cạnh đáy 12cm. Tính đường cao.

Lời giải:

$h = \frac{2 \times 60}{12} = \frac{120}{12} = 10 \text{ cm}$

Đáp án: 10 cm

Bài 4: Tam giác có ba cạnh 5cm, 6cm, 7cm. Tính đường cao ứng với cạnh 6cm.

Lời giải:

• Nửa chu vi: $p = \frac{5+6+7}{2} = 9$
• Diện tích:

$S = \sqrt{9(9-5)(9-6)(9-7)} = \sqrt{9 \times 4 \times 3 \times 2} = \sqrt{216} = 6\sqrt{6}$

• Đường cao:

$h = \frac{2 \times 6\sqrt{6}}{6} = 2\sqrt{6} \approx 4.9 \text{ cm}$

Đáp án: $2\sqrt{6}$ cm (≈ 4.9 cm)

Bài 5: Tam giác có diện tích 84cm² và đường cao 12cm. Tính cạnh đáy tương ứng.

Lời giải:

Từ công thức $S = \frac{1}{2}ah$, suy ra:

$a = \frac{2S}{h} = \frac{2 \times 84}{12} = \frac{168}{12} = 14 \text{ cm}$

Đáp án: 14 cm

Bài 6: Tam giác có ba cạnh 13cm, 14cm, 15cm. Tính đường cao ứng với cạnh 13cm.

Lời giải:

• Nửa chu vi: $p = \frac{13+14+15}{2} = 21$
• Diện tích:

$S = \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)} = \sqrt{21 \times 8 \times 7 \times 6} = \sqrt{7056} = 84 \text{ cm}^2$

• Đường cao:

$h = \frac{2 \times 84}{13} = \frac{168}{13} \approx 12.92 \text{ cm}$

Đáp án: $\frac{168}{13}$ cm (≈ 12.92 cm)

Bài 7: Tam giác có diện tích 36cm², cạnh đáy 9cm. Tính đường cao.

Lời giải:

$h = \frac{2 \times 36}{9} = \frac{72}{9} = 8 \text{ cm}$

Đáp án: 8 cm

Bài 8: Tam giác có ba cạnh 10cm, 10cm, 12cm. Tính đường cao ứng với cạnh 12cm.

Lời giải:

• Nửa chu vi: $p = \frac{10+10+12}{2} = 16$
• Diện tích:

$S = \sqrt{16(16-10)(16-10)(16-12)} = \sqrt{16 \times 6 \times 6 \times 4} = \sqrt{2304} = 48 \text{ cm}^2$

• Đường cao:

$h = \frac{2 \times 48}{12} = \frac{96}{12} = 8 \text{ cm}$

Đáp án: 8 cm

Dạng 2: Tam giác vuông

Bài 9: Tam giác vuông có hai cạnh góc vuông 5cm và 12cm. Tính đường cao ứng với cạnh huyền.

Lời giải:

• Cạnh huyền: $c = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25+144} = \sqrt{169} = 13$ cm
• Đường cao:

$h = \frac{5 \times 12}{13} = \frac{60}{13} \approx 4.62 \text{ cm}$

Đáp án: $\frac{60}{13}$ cm (≈ 4.62 cm)

Bài 10: Tam giác vuông cân có cạnh góc vuông 10cm. Tính đường cao từ đỉnh góc vuông xuống cạnh huyền.

Lời giải:

$h = \frac{10\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2} \approx 7.07 \text{ cm}$

Đáp án: $5\sqrt{2}$ cm (≈ 7.07 cm)

Bài 11: Tam giác vuông có hai cạnh góc vuông 8cm và 15cm. Tính đường cao ứng với cạnh huyền.

Lời giải:

• Cạnh huyền: $c = \sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{64+225} = \sqrt{289} = 17$ cm
• Đường cao:

$h = \frac{8 \times 15}{17} = \frac{120}{17} \approx 7.06 \text{ cm}$

Đáp án: $\frac{120}{17}$ cm (≈ 7.06 cm)

Bài 12: Tam giác vuông có cạnh huyền 25cm, hình chiếu một cạnh góc vuông lên cạnh huyền là 16cm. Tính đường cao từ đỉnh góc vuông.

Lời giải:

• Hình chiếu còn lại: $HC = 25 – 16 = 9$ cm
• Đường cao:

$h = \sqrt{16 \times 9} = \sqrt{144} = 12 \text{ cm}$

Đáp án: 12 cm

Bài 13: Tam giác vuông có hai cạnh góc vuông 9cm và 12cm. Tính đường cao từ đỉnh góc vuông xuống cạnh huyền.

Lời giải:

• Cạnh huyền: $c = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81+144} = \sqrt{225} = 15$ cm
• Đường cao:

$h = \frac{9 \times 12}{15} = \frac{108}{15} = 7.2 \text{ cm}$

Đáp án: 7.2 cm

Bài 14: Tam giác vuông cân có cạnh góc vuông 14cm. Tính đường cao từ đỉnh góc vuông xuống cạnh huyền.

Lời giải:

$h = \frac{14\sqrt{2}}{2} = 7\sqrt{2} \approx 9.9 \text{ cm}$

Đáp án: $7\sqrt{2}$ cm (≈ 9.9 cm)

Bài 15: Tam giác vuông có hai cạnh góc vuông 7cm và 24cm. Tính đường cao ứng với cạnh huyền.

Lời giải:

• Cạnh huyền: $c = \sqrt{7^2 + 24^2} = \sqrt{49+576} = \sqrt{625} = 25$ cm
• Đường cao:

$h = \frac{7 \times 24}{25} = \frac{168}{25} = 6.72 \text{ cm}$

Đáp án: $\frac{168}{25}$ cm (≈ 6.72 cm)

Bài 16: Tam giác vuông có cạnh huyền 20cm, hình chiếu một cạnh góc vuông lên cạnh huyền là 12cm. Tính đường cao từ đỉnh góc vuông.

Lời giải:

• Hình chiếu còn lại: $HC = 20 – 12 = 8$ cm
• Đường cao:

$h = \sqrt{12 \times 8} = \sqrt{96} = 4\sqrt{6} \approx 9.8 \text{ cm}$

Đáp án: $4\sqrt{6}$ cm (≈ 9.8 cm)

Dạng 3: Tam giác đều

Bài 17: Tam giác đều có cạnh 12cm. Tính đường cao.

Lời giải:

$h = \frac{12\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3} \approx 10.39 \text{ cm}$

Đáp án: $6\sqrt{3}$ cm (≈ 10.39 cm)

Bài 18: Tam giác đều có đường cao 15cm. Tính cạnh.

Lời giải:

$a = \frac{2h}{\sqrt{3}} = \frac{2 \times 15}{\sqrt{3}} = \frac{30}{\sqrt{3}} = \frac{30\sqrt{3}}{3} = 10\sqrt{3} \approx 17.32 \text{ cm}$

Đáp án: $10\sqrt{3}$ cm (≈ 17.32 cm)

Bài 19: Tam giác đều có cạnh 8cm. Tính đường cao.

Lời giải:

$h = \frac{8\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3} \approx 6.93 \text{ cm}$

Đáp án: $4\sqrt{3}$ cm (≈ 6.93 cm)

Bài 20: Tam giác đều có đường cao 12cm. Tính cạnh.

Lời giải:

$a = \frac{2 \times 12}{\sqrt{3}} = \frac{24}{\sqrt{3}} = \frac{24\sqrt{3}}{3} = 8\sqrt{3} \approx 13.86 \text{ cm}$

Đáp án: $8\sqrt{3}$ cm (≈ 13.86 cm)

Bài 21: Tam giác đều có cạnh 20cm. Tính đường cao.

Lời giải:

$h = \frac{20\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3} \approx 17.32 \text{ cm}$

Đáp án: $10\sqrt{3}$ cm (≈ 17.32 cm)

Bài 22: Tam giác đều có đường cao 18cm. Tính cạnh.

Lời giải:

$a = \frac{2 \times 18}{\sqrt{3}} = \frac{36}{\sqrt{3}} = \frac{36\sqrt{3}}{3} = 12\sqrt{3} \approx 20.78 \text{ cm}$

Đáp án: $12\sqrt{3}$ cm (≈ 20.78 cm)

Bài 23: Tam giác đều có cạnh 14cm. Tính đường cao.

Lời giải:

$h = \frac{14\sqrt{3}}{2} = 7\sqrt{3} \approx 12.12 \text{ cm}$

Đáp án: $7\sqrt{3}$ cm (≈ 12.12 cm)

Bài 24: Tam giác đều có đường cao $5\sqrt{3}$ cm. Tính cạnh.

Lời giải:

$a = \frac{2 \times 5\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 10 \text{ cm}$

Đáp án: 10 cm

Dạng 4: Tam giác cân

Bài 25: Tam giác cân có cạnh bên 17cm, cạnh đáy 16cm. Tính đường cao từ đỉnh.

Lời giải:

$h = \sqrt{17^2 – 8^2} = \sqrt{289 – 64} = \sqrt{225} = 15 \text{ cm}$

Đáp án: 15 cm

Bài 26: Tam giác cân có cạnh bên 10cm, đường cao từ đỉnh là 8cm. Tính cạnh đáy.

Lời giải:

Từ công thức $h = \sqrt{b^2 – \left(\frac{a}{2}\right)^2}$:

$8 = \sqrt{10^2 – \left(\frac{a}{2}\right)^2}$

$64 = 100 – \frac{a^2}{4}$

$\frac{a^2}{4} = 36$

$a^2 = 144$

$a = 12 \text{ cm}$

Đáp án: 12 cm

Bài 27: Tam giác cân có cạnh bên 13cm, cạnh đáy 24cm. Tính đường cao từ đỉnh.

Lời giải:

$h = \sqrt{13^2 – 12^2} = \sqrt{169 – 144} = \sqrt{25} = 5 \text{ cm}$

Đáp án: 5 cm

Bài 28: Tam giác cân có cạnh bên 15cm, đường cao từ đỉnh 12cm. Tính cạnh đáy.

Lời giải:

$\left(\frac{a}{2}\right)^2 = 15^2 – 12^2 = 225 – 144 = 81$

$\frac{a}{2} = 9$

$a = 18 \text{ cm}$

Đáp án: 18 cm

Bài 29: Tam giác vuông cân có cạnh góc vuông 12cm. Tính đường cao từ đỉnh góc vuông xuống cạnh huyền.

Lời giải:

$h = \frac{12\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2} \approx 8.49 \text{ cm}$

Đáp án: $6\sqrt{2}$ cm (≈ 8.49 cm)

Bài 30: Tam giác cân có cạnh bên 20cm, cạnh đáy 32cm. Tính đường cao từ đỉnh.

Lời giải:

$h = \sqrt{20^2 – 16^2} = \sqrt{400 – 256} = \sqrt{144} = 12 \text{ cm}$

Đáp án: 12 cm

Bài 31: Tam giác cân có cạnh bên 25cm, đường cao từ đỉnh 24cm. Tính cạnh đáy.

Lời giải:

$\left(\frac{a}{2}\right)^2 = 25^2 – 24^2 = 625 – 576 = 49$

$\frac{a}{2} = 7$

$a = 14 \text{ cm}$

Đáp án: 14 cm

Bài 32: Tam giác cân có cạnh bên 26cm, cạnh đáy 20cm. Tính đường cao từ đỉnh.

Lời giải:

$h = \sqrt{26^2 – 10^2} = \sqrt{676 – 100} = \sqrt{576} = 24 \text{ cm}$

Đáp án: 24 cm

VIII. Kết Luận

Tổng kết

Bài viết đã hệ thống hóa đầy đủ các công thức tính đường cao tam giác:

Tam giác thường: 4 công thức (từ diện tích, từ 3 cạnh, từ góc)

Tam giác vuông: 3 công thức (tích cạnh góc vuông, hình chiếu, vuông cân)

Tam giác đều: $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Tam giác cân: $h = \sqrt{b^2 – \left(\frac{a}{2}\right)^2}$

8 bài tập đa dạng có lời giải chi tiết từng bước

ThS. Nguyễn Văn An

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn Tổ Toán tại Edus

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán học, Thạc sĩ Lý luận & Phương pháp dạy học môn Toán, Chức danh nghề nghiệp giáo viên THPT – Hạng II, Tin học ứng dụng cơ bản, Ngoại ngữ B1, Chứng chỉ bồi dưỡng năng lực tổ trưởng chuyên môn

Kinh nghiệm: 12+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT chuyên Trần Đại Nghĩa