I. Đường Phân Giác Tam Giác Là Gì?

1. Định nghĩa đường phân giác

Đường phân giác trong tam giác là đoạn thẳng nối từ một đỉnh đến cạnh đối diện, đồng thời chia đôi góc tại đỉnh đó.

Ký hiệu:

• $l_a$: Đường phân giác từ đỉnh A xuống cạnh BC
• $l_b$: Đường phân giác từ đỉnh B xuống cạnh AC
• $l_c$: Đường phân giác từ đỉnh C xuống cạnh AB

Hai loại đường phân giác:

Đường phân giác trong:

• Nằm bên trong tam giác
• Chia góc trong tại đỉnh thành hai góc bằng nhau
• Là loại thường dùng nhất

Đường phân giác ngoài:

• Chia góc ngoài tại đỉnh thành hai góc bằng nhau
• Cắt cạnh đối diện (kéo dài) tại một điểm bên ngoài tam giác
• Ít gặp hơn trong chương trình phổ thông

2. Đặc điểm của đường phân giác

Tính chất quan trọng:

• Mỗi tam giác có đúng 3 đường phân giác trong
• Ba đường phân giác trong đồng quy tại một điểm duy nhất
• Điểm đồng quy đó gọi là tâm đường tròn nội tiếp (ký hiệu I)
• Đường phân giác trong luôn nằm bên trong tam giác

Đặc điểm hình học:

• Đường phân giác AD từ đỉnh A chia góc $\widehat{BAC}$ thành hai góc bằng nhau: $\widehat{BAD} = \widehat{CAD} = \frac{A}{2}$
• Điểm D nằm trên cạnh BC
• AD không nhất thiết vuông góc với BC

3. Phân biệt đường phân giác với các đường khác

Lưu ý quan trọng:

• Đường phân giác CHỈ trùng với các đường khác trong một số trường hợp đặc biệt (tam giác đều, tam giác cân)
• Với tam giác thường, các đường này KHÁC NHAU

II. Công Thức Tính Độ Dài Đường Phân Giác

1. Công thức tính độ dài đường phân giác (Công thức chính)

Công thức sử dụng góc:

Cho tam giác ABC, $l_a$ là độ dài đường phân giác từ đỉnh A:

$$l_a = \frac{2bc \cos \frac{A}{2}}{b + c}$$

Trong đó:

• $b = AC$: cạnh kề góc A
• $c = AB$: cạnh kề góc A
• $A$: góc tại đỉnh A
• $l_a$: độ dài đường phân giác từ A đến BC

Tương tự cho các đường phân giác khác:

$$l_b = \frac{2ac \cos \frac{B}{2}}{a + c}$$

$$l_c = \frac{2ab \cos \frac{C}{2}}{a + b}$$

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có AB = c = 6cm, AC = b = 8cm, $\widehat{A} = 60°$. Tính độ dài đường phân giác $l_a$.

Lời giải:

• Góc được chia: $\frac{A}{2} = \frac{60°}{2} = 30°$
• $\cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Áp dụng công thức:

$$l_a = \frac{2 \times 8 \times 6 \times \frac{\sqrt{3}}{2}}{8 + 6} = \frac{96 \times \frac{\sqrt{3}}{2}}{14} = \frac{48\sqrt{3}}{14} = \frac{24\sqrt{3}}{7} \approx 5.94 \text{ cm}$$

Đáp án: $\frac{24\sqrt{3}}{7}$ cm (≈ 5.94 cm)

2. Công thức dạng 2 (không dùng góc)

Công thức Stewart cho đường phân giác:

$$l_a = \frac{\sqrt{bc[(b+c)^2 – a^2]}}{b + c}$$

Hoặc viết dưới dạng:

$$l_a = \sqrt{bc\left(1 – \left(\frac{a}{b+c}\right)^2\right)}$$

Ưu điểm: Không cần biết góc, chỉ cần biết độ dài 3 cạnh a, b, c.

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có a = BC = 10cm, b = AC = 8cm, c = AB = 6cm. Tính độ dài đường phân giác $l_a$ từ A.

Lời giải:

Áp dụng công thức:

$$l_a = \frac{\sqrt{bc[(b+c)^2 – a^2]}}{b + c}$$

$$l_a = \frac{\sqrt{8 \times 6 \times [(8+6)^2 – 10^2]}}{8 + 6}$$

$$l_a = \frac{\sqrt{48 \times [196 – 100]}}{14} = \frac{\sqrt{48 \times 96}}{14}$$

$$l_a = \frac{\sqrt{4608}}{14} = \frac{48\sqrt{2}}{14} = \frac{24\sqrt{2}}{7} \approx 4.85 \text{ cm}$$

Đáp án: $\frac{24\sqrt{2}}{7}$ cm (≈ 4.85 cm)

3. Công thức sử dụng diện tích

Công thức thứ 3:

$$l_a = \frac{2S}{(b + c)\sin \frac{A}{2}}$$

Trong đó $S$ là diện tích tam giác ABC.

Hoặc dạng bình phương:

$$l_a^2 = bc – \frac{a^2bc}{(b+c)^2}$$

Công thức này hữu ích khi:

• Biết diện tích tam giác
• Cần tính nhanh mà không muốn tính căn bậc hai

4. Công thức đặc biệt cho một số tam giác

Tam giác vuông (góc vuông tại C):

Đường phân giác từ đỉnh góc vuông C:

$$l_c = \frac{ab\sqrt{2}}{a + b}$$

Trong đó $a$ và $b$ là hai cạnh góc vuông.

Tam giác cân (AB = AC = c):

Đường phân giác từ đỉnh A (đỉnh cân) cũng là đường cao và đường trung tuyến:

$$l_a = \sqrt{c^2 – \frac{a^2}{4}}$$

Tam giác đều (cạnh a):

Mọi đường phân giác đều có độ dài bằng nhau:

$$l = \frac{a\sqrt{3}}{2}$$

(Giống công thức đường cao và đường trung tuyến)

III. Tính Chất Đường Phân Giác

1. Tính chất chia cạnh (Định lý đường phân giác)

Định lý quan trọng nhất về đường phân giác:

Đường phân giác của một góc trong tam giác chia cạnh đối diện thành hai đoạn tỉ lệ với hai cạnh kề.

Phát biểu toán học:

Cho tam giác ABC, đường phân giác AD (với D thuộc BC):

$$\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{c}{b}$$

Hoặc viết dưới dạng công thức tính độ dài:

$$BD = \frac{a \cdot c}{b + c}$$

$$DC = \frac{a \cdot b}{b + c}$$

Trong đó $a = BC$ (cạnh bị chia).

Ví dụ 3: Tam giác ABC có AB = 6cm, AC = 9cm, BC = 12cm. Đường phân giác AD với D thuộc BC. Tính BD và DC.

Lời giải:

Cách 1: Dùng tỉ lệ

Theo định lý đường phân giác:

$$\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$$

Đặt $BD = 2x$, $DC = 3x$

Ta có: $BD + DC = BC$

$$2x + 3x = 12$$ $$5x = 12$$ $$x = 2.4$$

Vậy:

• $BD = 2 \times 2.4 = 4.8$ cm
• $DC = 3 \times 2.4 = 7.2$ cm

Cách 2: Dùng công thức trực tiếp

$$BD = \frac{BC \times AB}{AB + AC} = \frac{12 \times 6}{6 + 9} = \frac{72}{15} = 4.8 \text{ cm}$$

$$DC = \frac{BC \times AC}{AB + AC} = \frac{12 \times 9}{6 + 9} = \frac{108}{15} = 7.2 \text{ cm}$$

Đáp án: BD = 4.8 cm, DC = 7.2 cm

2. Tính chất về tâm nội tiếp

Điểm đồng quy – Tâm nội tiếp I:

• Ba đường phân giác trong của tam giác đồng quy tại một điểm duy nhất
• Điểm này gọi là tâm đường tròn nội tiếp, ký hiệu I
• Tâm I cách đều ba cạnh của tam giác
• Khoảng cách từ I đến mỗi cạnh bằng bán kính đường tròn nội tiếp $r$

Công thức bán kính nội tiếp:

$$r = \frac{S}{p}$$

Trong đó:

• $S$: diện tích tam giác
• $p = \frac{a + b + c}{2}$: nửa chu vi tam giác

Hoặc:

$$r = (p – a)\tan\frac{A}{2} = (p – b)\tan\frac{B}{2} = (p – c)\tan\frac{C}{2}$$

3. Tính chất về góc

Tính chất chia góc:

Đường phân giác AD chia góc $\widehat{BAC}$ thành hai góc bằng nhau:

$$\widehat{BAD} = \widehat{CAD} = \frac{A}{2}$$

Tính chất về độ dài:

Tổng độ dài hai đường phân giác từ hai đỉnh bất kỳ lớn hơn độ dài đường phân giác từ đỉnh thứ ba:

$$l_a + l_b > l_c$$

4. Mối liên hệ giữa đường phân giác trong và ngoài

Đường phân giác ngoài:

Là đường phân giác của góc ngoài tại một đỉnh.

Tính chất vuông góc:

Đường phân giác trong và đường phân giác ngoài cùng xuất phát từ một đỉnh thì VUÔNG GÓC với nhau.

Tính chất chia cạnh của đường phân giác ngoài:

Nếu đường phân giác ngoài từ A cắt đường thẳng BC (kéo dài) tại E:

$$\frac{BE}{EC} = \frac{AB}{AC} = \frac{c}{b}$$

(Cùng tỉ lệ với đường phân giác trong, nhưng E nằm ngoài đoạn BC)

IV. Các Dạng Bài Tập Về Đường Phân Giác

Dạng 1: Tính độ dài đoạn thẳng khi biết đường phân giác chia cạnh

Bài 1: Tam giác ABC có AB = 8cm, AC = 12cm, BC = 15cm. Đường phân giác AD với D thuộc BC. Tính BD, DC.

Lời giải:

Áp dụng tính chất đường phân giác:

$$\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$$

Dùng công thức:

$$BD = \frac{BC \times AB}{AB + AC} = \frac{15 \times 8}{8 + 12} = \frac{120}{20} = 6 \text{ cm}$$

$$DC = BC – BD = 15 – 6 = 9 \text{ cm}$$

Đáp án: BD = 6 cm, DC = 9 cm

Bài 2: Trong tam giác ABC, đường phân giác AD chia cạnh BC thành hai đoạn BD = 4cm và DC = 6cm. Biết AB = 6cm, tính AC.

Lời giải:

Theo tính chất đường phân giác:

$$\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}$$

$$\frac{4}{6} = \frac{6}{AC}$$

$$4 \times AC = 6 \times 6$$

$$AC = \frac{36}{4} = 9 \text{ cm}$$

Đáp án: AC = 9 cm

Dạng 2: Tính độ dài đường phân giác

Bài 3: Tam giác ABC vuông tại A, AB = 3cm, AC = 4cm. Tính độ dài đường phân giác AD từ A xuống BC.

Lời giải:

• Tính BC (cạnh huyền): $$BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \text{ cm}$$
• Góc A = 90°, nên $\frac{A}{2} = 45°$

Áp dụng công thức:

$$l_a = \frac{2bc \cos \frac{A}{2}}{b + c} = \frac{2 \times 4 \times 3 \times \cos 45°}{4 + 3}$$

$$l_a = \frac{24 \times \frac{\sqrt{2}}{2}}{7} = \frac{12\sqrt{2}}{7} \approx 2.42 \text{ cm}$$

Đáp án: $\frac{12\sqrt{2}}{7}$ cm (≈ 2.42 cm)

Bài 4: Tam giác ABC có a = 10cm, b = 8cm, c = 6cm. Tính độ dài đường phân giác $l_a$.

Lời giải:

Dùng công thức không cần góc:

$$l_a = \frac{\sqrt{bc[(b+c)^2 – a^2]}}{b + c}$$

$$l_a = \frac{\sqrt{8 \times 6 \times [(8+6)^2 – 10^2]}}{8 + 6}$$

$$l_a = \frac{\sqrt{48 \times [196 – 100]}}{14} = \frac{\sqrt{48 \times 96}}{14}$$

$$l_a = \frac{\sqrt{4608}}{14} = \frac{48\sqrt{2}}{14} = \frac{24\sqrt{2}}{7} \approx 4.85 \text{ cm}$$

Đáp án: $\frac{24\sqrt{2}}{7}$ cm (≈ 4.85 cm)

Dạng 3: Chứng minh tính chất đường phân giác

Bài 5: Chứng minh rằng trong tam giác ABC, nếu AD là đường phân giác trong thì:

$$\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}$$

Lời giải (Hướng dẫn):

Bước 1: Kẻ đường thẳng qua C song song với AD, cắt AB kéo dài tại E

Bước 2: Chứng minh tam giác AEC cân tại C:

• Do CE // AD nên $\widehat{ACE} = \widehat{CAD}$ (so le trong)
• Mà $\widehat{CAD} = \widehat{BAD}$ (AD là phân giác)
• Nên $\widehat{ACE} = \widehat{BAD} = \widehat{EAC}$
• Suy ra tam giác AEC cân tại C, do đó AE = AC

Bước 3: Áp dụng định lý Thales trong tam giác BCE:

$$\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AE} = \frac{AB}{AC}$$ ✓

Dạng 4: Bài toán tìm tọa độ chân đường phân giác

Bài 6: Trong hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC với A(1; 4), B(3; 2), C(6; 5). Tìm tọa độ điểm D là chân đường phân giác từ A xuống BC.

Lời giải:

Bước 1: Tính độ dài AB và AC

$$AB = \sqrt{(3-1)^2 + (2-4)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$$

$$AC = \sqrt{(6-1)^2 + (5-4)^2} = \sqrt{25 + 1} = \sqrt{26}$$

Bước 2: Tính tỉ lệ chia

$$\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{26}} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{26}} = \frac{2\sqrt{2} \times \sqrt{26}}{26} = \frac{2\sqrt{52}}{26} = \frac{4\sqrt{13}}{26} = \frac{2\sqrt{13}}{13}$$

Bước 3: Tọa độ D chia đoạn BC theo tỉ số $k = \frac{BD}{DC}$

Công thức: $D = \frac{C + k \cdot B}{1 + k}$

(Tính toán chi tiết để ra tọa độ D)

Dạng 5: Bài toán tổng hợp

Bài 7: Tam giác ABC có AB = AC = 5cm, BC = 6cm.

a) Tính độ dài đường phân giác AD từ A.

b) Tính diện tích tam giác ABD.

Lời giải:

a) Tính AD:

Do tam giác cân tại A nên AD cũng là đường cao và đường trung tuyến.

• D là trung điểm BC: $BD = DC = 3$ cm

Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông ABD:

$$AD = \sqrt{AB^2 – BD^2} = \sqrt{25 – 9} = \sqrt{16} = 4 \text{ cm}$$

b) Tính diện tích ABD:

$$S_{ABD} = \frac{1}{2} \times BD \times AD = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6 \text{ cm}^2$$

Đáp án: a) AD = 4 cm, b) $S_{ABD}$ = 6 cm²

Dạng 6: Bài toán thực tế

Bài 8: Một mảnh đất hình tam giác ABC có AB = 40m, AC = 60m, BC = 70m. Chủ đất muốn chia cho hai người theo tỉ lệ diện tích 2:3 bằng cách kẻ đường từ đỉnh A đến điểm D trên cạnh BC. Tìm vị trí điểm D.

Lời giải:

Để chia diện tích theo tỉ lệ 2:3:

$$\frac{S_{ABD}}{S_{ACD}} = \frac{2}{3}$$

Do hai tam giác ABD và ACD có chung đường cao từ A nên:

$$\frac{S_{ABD}}{S_{ACD}} = \frac{BD}{DC} = \frac{2}{3}$$

Tính BD và DC:

$$BD = \frac{2 \times BC}{2 + 3} = \frac{2 \times 70}{5} = \frac{140}{5} = 28 \text{ m}$$

$$DC = \frac{3 \times BC}{2 + 3} = \frac{3 \times 70}{5} = \frac{210}{5} = 42 \text{ m}$$

Đáp án: D cách B là 28m (hoặc cách C là 42m)

V. So Sánh Các Đường Đặc Biệt Trong Tam Giác

Lưu ý đặc biệt về các trường hợp đặc biệt

Tam giác đều:

• 4 đường (phân giác, trung tuyến, cao, trung trực) từ mỗi đỉnh TRÙNG NHAU
• 4 tâm (I, G, H, O) TRÙNG NHAU
• Mọi đường phân giác đều có độ dài: $l = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Tam giác cân (AB = AC):

• Đường phân giác, trung tuyến, cao từ đỉnh A (đỉnh cân) TRÙNG NHAU
• Các đường này vuông góc với BC và chia đôi BC
• I, G, H, O cùng nằm trên trục đối xứng

Tam giác vuông:

• Đường phân giác và các đường khác thường KHÔNG TRÙNG
• Chỉ có tính chất riêng biệt
• Tâm ngoại tiếp O nằm tại trung điểm cạnh huyền

VI. Mẹo Và Lưu Ý Khi Giải Bài Tập

1. Các sai lầm thường gặp

❌ SAI LẦM 1: Nhầm đường phân giác với đường trung tuyến

Sai: Nghĩ đường phân giác luôn chia đều cạnh đối diện

Đúng: Đường phân giác chia cạnh theo tỉ lệ với hai cạnh kề

❌ SAI LẦM 2: Quên công thức tỉ lệ

Sai: $\frac{BD}{DC} = \frac{BC}{AC}$ (nhầm cạnh)

Đúng: $\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}$ (hai cạnh kề góc A)

❌ SAI LẦM 3: Nhầm công thức độ dài

Sai: $l_a = \frac{bc \cos \frac{A}{2}}{b + c}$ (thiếu số 2)

Đúng: $l_a = \frac{2bc \cos \frac{A}{2}}{b + c}$

❌ SAI LẦM 4: Nghĩ phân giác luôn trùng cao trong tam giác vuông

Đúng: Chỉ tam giác đều hoặc cân (từ đỉnh cân) mới có đường phân giác trùng đường cao

2. Mẹo nhớ công thức

Mẹo 1: Tính chất chia cạnh

“Phân giác chia cạnh, tỉ lệ với hai cạnh kề”

$$\frac{BD}{DC} = \frac{c}{b} \text{ (hai cạnh kề góc A)}$$

Mẹo 2: Độ dài đường phân giác

• Biết góc → Dùng: $\frac{2bc \cos \frac{A}{2}}{b + c}$
• Chỉ biết cạnh → Dùng: $\frac{\sqrt{bc[(b+c)^2 – a^2]}}{b + c}$

Mẹo 3: Nhận biết nhanh tam giác đặc biệt

• Tam giác cân: Phân giác từ đỉnh cân = đường cao = trung tuyến
• Tam giác đều: Mọi phân giác dài bằng nhau = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$

3. Thứ tự giải bài tập

1. Vẽ hình và ghi rõ dữ kiện cho sẵn
2. Xác định yêu cầu: Tính độ dài? Tỉ lệ? Tọa độ?
3. Chọn công thức phù hợp:
   • Tính đoạn chia → Dùng tính chất tỉ lệ
   • Tính độ dài phân giác → Chọn công thức có góc hoặc không góc
4. Tính toán cẩn thận với các phép tính lượng giác
5. Kiểm tra kết quả: Đơn vị, tính hợp lý

VII. Kết Luận

Tổng kết

Bài viết đã trình bày đầy đủ về đường phân giác tam giác, bao gồm:

Định nghĩa rõ ràng: Đường chia đôi góc, nối từ đỉnh đến cạnh đối

Công thức tính độ dài:

• Dạng có góc: $l_a = \frac{2bc \cos \frac{A}{2}}{b + c}$
• Dạng có cạnh: $l_a = \frac{\sqrt{bc[(b+c)^2 – a^2]}}{b + c}$

Tính chất chia cạnh (QUAN TRỌNG NHẤT):

$$\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}$$

8 bài tập đa dạng: Từ cơ bản đến nâng cao với lời giải chi tiết

So sánh với các đường khác: Phân biệt rõ ràng 4 loại đường đặc biệt

Phụ Lục: Bảng Công Thức Nhanh

ThS. Nguyễn Văn An

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn Tổ Toán tại Edus

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán học, Thạc sĩ Lý luận & Phương pháp dạy học môn Toán, Chức danh nghề nghiệp giáo viên THPT – Hạng II, Tin học ứng dụng cơ bản, Ngoại ngữ B1, Chứng chỉ bồi dưỡng năng lực tổ trưởng chuyên môn

Kinh nghiệm: 12+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT chuyên Trần Đại Nghĩa