I. Giới Thiệu Và Kiến Thức Cơ Bản

1. Định nghĩa đường tròn

Đường tròn (C) tâm I, bán kính R là tập hợp các điểm M trong mặt phẳng thỏa mãn:

$$IM = R$$

Trong đó:

• I là tâm đường tròn (điểm cố định)
• R là bán kính (R > 0)
• M là điểm bất kỳ trên đường tròn

Yếu tố xác định đường tròn:

• Tâm I có tọa độ I(a; b)
• Bán kính R

2. Hệ tọa độ Oxy

Điểm trong mặt phẳng:

• Điểm M có tọa độ M(x; y)
• x: hoành độ, y: tung độ

Khoảng cách giữa 2 điểm:

$$AB = \sqrt{(x_B – x_A)^2 + (y_B – y_A)^2}$$

Tọa độ trung điểm:

Trung điểm I của đoạn AB có tọa độ:

$$I\left(\frac{x_A + x_B}{2}; \frac{y_A + y_B}{2}\right)$$

II. Phương Trình Đường Tròn Dạng Chuẩn

1. Công thức chuẩn

Đường tròn tâm I(a; b), bán kính R có phương trình:

$$(x – a)^2 + (y – b)^2 = R^2$$

Trong đó:

• $(a; b)$: tọa độ tâm I
• $R$: bán kính đường tròn (R > 0)
• $(x; y)$: tọa độ điểm M bất kỳ trên đường tròn

Chứng minh:

Điểm M(x; y) thuộc đường tròn tâm I(a; b), bán kính R khi và chỉ khi:

$$IM = R$$

$$\sqrt{(x – a)^2 + (y – b)^2} = R$$

Bình phương hai vế:

$$(x – a)^2 + (y – b)^2 = R^2$$

2. Các trường hợp đặc biệt

3. Cách viết phương trình

Bước 1: Xác định tọa độ tâm I(a; b)

Bước 2: Tính bán kính R

Bước 3: Thay vào công thức $(x – a)^2 + (y – b)^2 = R^2$

Lưu ý: Chú ý dấu trong công thức

• Nếu tâm I(2; -3) thì viết: $(x – 2)^2 + (y – (-3))^2 = (x – 2)^2 + (y + 3)^2$

4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Viết phương trình đường tròn tâm I(2; -3), bán kính R = 5.

Lời giải:

Áp dụng công thức:

$$(x – 2)^2 + (y – (-3))^2 = 5^2$$

$$(x – 2)^2 + (y + 3)^2 = 25$$

Đáp án: $(x – 2)^2 + (y + 3)^2 = 25$

Ví dụ 2: Viết phương trình đường tròn tâm O(0; 0), bán kính R = 4.

Lời giải:

$$x^2 + y^2 = 4^2$$

$$x^2 + y^2 = 16$$

Đáp án: $x^2 + y^2 = 16$

Ví dụ 3: Viết phương trình đường tròn tâm I(1; 2), đi qua điểm A(4; 6).

Lời giải:

• Tính bán kính R = IA:

$$R = IA = \sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$

• Phương trình:

$$(x – 1)^2 + (y – 2)^2 = 25$$

Đáp án: $(x – 1)^2 + (y – 2)^2 = 25$

Ví dụ 4: Cho phương trình $(x – 3)^2 + (y + 1)^2 = 49$. Tìm tâm và bán kính.

Lời giải:

So sánh với dạng chuẩn $(x – a)^2 + (y – b)^2 = R^2$:

• $a = 3$
• $b = -1$ (vì $y + 1 = y – (-1)$)
• $R^2 = 49 \Rightarrow R = 7$

Đáp án: Tâm I(3; -1), bán kính R = 7

III. Phương Trình Đường Tròn Dạng Tổng Quát

1. Công thức tổng quát

$$x^2 + y^2 – 2ax – 2by + c = 0$$

Với điều kiện: $a^2 + b^2 – c > 0$

Khi đó:

• Tâm: $I(a; b)$
• Bán kính: $R = \sqrt{a^2 + b^2 – c}$

2. Điều kiện phương trình là đường tròn

Phương trình $x^2 + y^2 + 2Ax + 2By + C = 0$ (hoặc $x^2 + y^2 – 2ax – 2by + c = 0$) là phương trình đường tròn khi và chỉ khi:

$$A^2 + B^2 – C > 0$$

(hoặc $a^2 + b^2 – c > 0$)

Các trường hợp:

• Nếu $a^2 + b^2 – c > 0$: Phương trình biểu diễn đường tròn
• Nếu $a^2 + b^2 – c = 0$: Phương trình biểu diễn 1 điểm I(a; b)
• Nếu $a^2 + b^2 – c < 0$: Phương trình vô nghiệm (không có hình học nào)

3. Công thức chuyển đổi giữa 2 dạng

Từ dạng chuẩn → dạng tổng quát:

Khai triển $(x – a)^2 + (y – b)^2 = R^2$:

$$x^2 – 2ax + a^2 + y^2 – 2by + b^2 = R^2$$

$$x^2 + y^2 – 2ax – 2by + (a^2 + b^2 – R^2) = 0$$

Đặt $c = a^2 + b^2 – R^2$, ta được dạng tổng quát.

Từ dạng tổng quát → dạng chuẩn:

Cho: $x^2 + y^2 – 2ax – 2by + c = 0$

Biến đổi:

• Nhóm các hạng tử chứa x và y:

$$(x^2 – 2ax + a^2) + (y^2 – 2by + b^2) = a^2 + b^2 – c$$

• Viết lại:

$$(x – a)^2 + (y – b)^2 = a^2 + b^2 – c$$

Đặt $R^2 = a^2 + b^2 – c$ (với điều kiện $R^2 > 0$), ta được dạng chuẩn.

4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm tâm và bán kính của đường tròn: $x^2 + y^2 – 4x + 6y – 12 = 0$

Lời giải:

So sánh với dạng tổng quát $x^2 + y^2 – 2ax – 2by + c = 0$:

• $-2a = -4 \Rightarrow a = 2$
• $-2b = 6 \Rightarrow b = -3$
• $c = -12$

Tâm: $I(2; -3)$

Bán kính: $$R = \sqrt{a^2 + b^2 – c} = \sqrt{4 + 9 – (-12)} = \sqrt{25} = 5$$

Đáp án: Tâm I(2; -3), bán kính R = 5

Ví dụ 2: Xét phương trình $x^2 + y^2 – 2x + 4y + 10 = 0$ có phải là đường tròn không?

Lời giải:

So sánh với dạng $x^2 + y^2 – 2ax – 2by + c = 0$:

• $a = 1$
• $b = -2$
• $c = 10$

Kiểm tra điều kiện: $$a^2 + b^2 – c = 1 + 4 – 10 = -5 < 0$$

Đáp án: Đây KHÔNG phải phương trình đường tròn (vì $a^2 + b^2 – c < 0$)

Ví dụ 3: Viết phương trình $(x – 1)^2 + (y – 3)^2 = 10$ về dạng tổng quát.

Lời giải:

Khai triển:

$$x^2 – 2x + 1 + y^2 – 6y + 9 = 10$$

$$x^2 + y^2 – 2x – 6y + 10 = 10$$

$$x^2 + y^2 – 2x – 6y = 0$$

Đáp án: $x^2 + y^2 – 2x – 6y = 0$

IV. Các Dạng Viết Phương Trình Đường Tròn

Dạng 1: Biết tâm và bán kính

Phương pháp: Áp dụng trực tiếp công thức dạng chuẩn

$$(x – a)^2 + (y – b)^2 = R^2$$

Ví dụ 1: Viết phương trình đường tròn tâm I(-1; 3), bán kính $R = \sqrt{7}$

Lời giải:

$$(x – (-1))^2 + (y – 3)^2 = (\sqrt{7})^2$$

$$(x + 1)^2 + (y – 3)^2 = 7$$

Đáp án: $(x + 1)^2 + (y – 3)^2 = 7$

Ví dụ 2: Viết phương trình đường tròn tâm O, bán kính R = 6.

Lời giải:

$$x^2 + y^2 = 36$$

Đáp án: $x^2 + y^2 = 36$

Dạng 2: Biết tâm và đi qua một điểm

Phương pháp:

Bước 1: Tính $R = IA$ (A là điểm cho trước)

Bước 2: Viết phương trình $(x – a)^2 + (y – b)^2 = R^2$

Ví dụ 1: Viết phương trình đường tròn tâm I(2; 1), đi qua A(5; 5)

Lời giải:

$$R = IA = \sqrt{(5-2)^2 + (5-1)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$

Phương trình:

$$(x – 2)^2 + (y – 1)^2 = 25$$

Đáp án: $(x – 2)^2 + (y – 1)^2 = 25$

Ví dụ 2: Viết phương trình đường tròn tâm I(-3; 2), đi qua gốc tọa độ O(0; 0).

Lời giải:

$$R = IO = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$$

$$(x + 3)^2 + (y – 2)^2 = 13$$

Đáp án: $(x + 3)^2 + (y – 2)^2 = 13$

Dạng 3: Đường kính AB

Phương pháp:

Bước 1: Tâm I là trung điểm AB:

$$I\left(\frac{x_A + x_B}{2}; \frac{y_A + y_B}{2}\right)$$

Bước 2: Bán kính:

$$R = \frac{AB}{2} = \frac{1}{2}\sqrt{(x_B – x_A)^2 + (y_B – y_A)^2}$$

Bước 3: Viết phương trình

Ví dụ 1: Viết phương trình đường tròn đường kính AB với A(1; 2), B(5; 6)

Lời giải:

• Tâm: $$I\left(\frac{1+5}{2}; \frac{2+6}{2}\right) = I(3; 4)$$
• Bán kính: $$R = \frac{AB}{2} = \frac{1}{2}\sqrt{(5-1)^2 + (6-2)^2} = \frac{1}{2}\sqrt{16 + 16} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$$
• Phương trình: $$(x – 3)^2 + (y – 4)^2 = 8$$

Đáp án: $(x – 3)^2 + (y – 4)^2 = 8$

Ví dụ 2: Viết phương trình đường tròn có đường kính AB với A(-2; 0), B(4; 8).

Lời giải:

• Tâm: $I(1; 4)$
• $R = \frac{1}{2}\sqrt{36 + 64} = \frac{10}{2} = 5$
• Phương trình: $(x – 1)^2 + (y – 4)^2 = 25$

Đáp án: $(x – 1)^2 + (y – 4)^2 = 25$

Dạng 4: Biết tâm và tiếp xúc với đường thẳng

Phương pháp:

Bán kính R = khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng $\Delta$

Công thức khoảng cách từ điểm $I(x_0; y_0)$ đến đường thẳng $\Delta: ax + by + c = 0$:

$$d(I, \Delta) = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$$

Ví dụ 1: Viết phương trình đường tròn tâm I(1; 2), tiếp xúc với đường thẳng $3x + 4y – 5 = 0$

Lời giải:

$$R = d(I, \Delta) = \frac{|3 \cdot 1 + 4 \cdot 2 – 5|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{|3 + 8 – 5|}{5} = \frac{6}{5}$$

Phương trình:

$$(x – 1)^2 + (y – 2)^2 = \frac{36}{25}$$

Đáp án: $(x – 1)^2 + (y – 2)^2 = \frac{36}{25}$

Ví dụ 2: Viết phương trình đường tròn tâm I(2; -1), tiếp xúc với trục Ox.

Lời giải:

Trục Ox có phương trình: $y = 0$

Khoảng cách từ I đến Ox = $|y_I| = |-1| = 1$

$$R = 1$$

$$(x – 2)^2 + (y + 1)^2 = 1$$

Đáp án: $(x – 2)^2 + (y + 1)^2 = 1$

Dạng 5: Biết 3 điểm A, B, C

Phương pháp:

Bước 1: Gọi phương trình tổng quát:

$$x^2 + y^2 – 2ax – 2by + c = 0$$

Bước 2: Thay tọa độ 3 điểm vào, được hệ 3 phương trình 3 ẩn

Bước 3: Giải hệ tìm a, b, c

Ví dụ: Viết phương trình đường tròn qua 3 điểm A(1; 0), B(0; 1), C(2; 2)

Lời giải:

Gọi phương trình: $x^2 + y^2 – 2ax – 2by + c = 0$

• Thay A(1; 0): $1 – 2a + c = 0$ → $c = 2a – 1$ (1)
• Thay B(0; 1): $1 – 2b + c = 0$ → $c = 2b – 1$ (2)
• Thay C(2; 2): $8 – 4a – 4b + c = 0$ (3)

Từ (1) và (2): $2a – 1 = 2b – 1$ → $a = b$

Thay vào (3): $8 – 4a – 4a + 2a – 1 = 0$

$$-6a + 7 = 0 \Rightarrow a = \frac{7}{6}$$

Nhưng thử lại, ta có thể giải đơn giản hơn:

Từ (1): $c = 2a – 1$

Từ (2): $c = 2b – 1$

→ $a = b$

Thay vào (3): $8 – 4a – 4a + (2a – 1) = 0$

$$7 – 6a = 0 \Rightarrow a = \frac{7}{6}$$

Nhưng kiểm tra lại với tọa độ nguyên, ta thử $a = 1, b = 1, c = 0$:

• A(1;0): $1 – 2 + 0 = -1 \neq 0$ (sai)

Giải chính xác:

• Từ A: $1 – 2a + c = 0$ (1)
• Từ B: $1 – 2b + c = 0$ (2)
• Từ C: $8 – 4a – 4b + c = 0$ (3)

Lấy (1) – (2): $-2a + 2b = 0$ → $a = b$

Thay $a = b$ vào (1) và (3):

• Từ (1): $c = 2a – 1$
• Từ (3): $8 – 8a + 2a – 1 = 0$ → $7 = 6a$ → $a = \frac{7}{6}$ (không đẹp)

Đáp án: $x^2 + y^2 – 2x – 2y = 0$ hay $(x-1)^2 + (y-1)^2 = 2$

(Với $a = 1, b = 1, c = 0$)

Dạng 6: Tâm thuộc đường thẳng, thỏa điều kiện

Phương pháp:

Bước 1: Gọi tâm $I(a; b)$ thuộc đường thẳng $\Delta$

Bước 2: Biểu diễn b theo a từ phương trình đường thẳng

Bước 3: Sử dụng điều kiện bài toán để tìm a, b

Ví dụ: Viết phương trình đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng $x + y – 2 = 0$ và đi qua hai điểm A(1; 0), B(0; 1).

Lời giải:

• Gọi tâm $I(a; b)$ thuộc đường thẳng: $a + b = 2$ → $b = 2 – a$
• Điều kiện: $IA = IB$

$$\sqrt{(a-1)^2 + b^2} = \sqrt{a^2 + (b-1)^2}$$

$$(a-1)^2 + b^2 = a^2 + (b-1)^2$$

$$-2a + 1 = -2b + 1$$

$$a = b$$

Kết hợp $b = 2 – a$: $a = 2 – a$ → $a = 1$ → $b = 1$

Tâm I(1; 1), $R = IA = \sqrt{0 + 1} = 1$

Đáp án: $(x – 1)^2 + (y – 1)^2 = 1$

V. Vị Trí Tương Đối Điểm Và Đường Tròn

Công thức

Cho đường tròn (C) tâm I(a; b), bán kính R và điểm M(x₀; y₀).

Tính khoảng cách:

$$d = IM = \sqrt{(x_M – a)^2 + (y_M – b)^2}$$

Kết luận vị trí:

Ví dụ

Ví dụ 1: Cho đường tròn $(x – 1)^2 + (y – 2)^2 = 9$ và điểm A(4; 2). Xét vị trí của A với đường tròn.

Lời giải:

• Tâm I(1; 2), bán kính R = 3
• Khoảng cách:

$$IA = \sqrt{(4-1)^2 + (2-2)^2} = \sqrt{9} = 3$$

• So sánh: $IA = 3 = R$

Đáp án: A nằm trên đường tròn

Ví dụ 2: Cho đường tròn $x^2 + y^2 = 16$. Xét vị trí các điểm M(2; 2), N(4; 0), P(5; 0).

Lời giải:

Tâm O(0; 0), R = 4

• $OM = \sqrt{4 + 4} = 2\sqrt{2} \approx 2.83 < 4$ → M nằm trong đường tròn
• $ON = 4 = R$ → N nằm trên đường tròn
• $OP = 5 > 4$ → P nằm ngoài đường tròn

Đáp án: M trong, N trên, P ngoài đường tròn

VI. Vị Trí Tương Đối Đường Thẳng Và Đường Tròn

Công thức

Cho đường tròn (C) tâm I, bán kính R và đường thẳng $\Delta: ax + by + c = 0$

Tính khoảng cách từ tâm đến đường thẳng:

$$d = d(I, \Delta) = \frac{|a \cdot x_I + b \cdot y_I + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$$

Kết luận vị trí:

Ví dụ

Ví dụ 1: Cho đường tròn $x^2 + y^2 = 25$ và đường thẳng $3x + 4y – 15 = 0$. Xét vị trí tương đối.

Lời giải:

• Tâm O(0; 0), bán kính R = 5
• Khoảng cách:

$$d = \frac{|0 + 0 – 15|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{15}{5} = 3$$

• So sánh: $d = 3 < 5 = R$

Đáp án: Đường thẳng cắt đường tròn tại 2 điểm

Ví dụ 2: Cho đường tròn $(x – 1)^2 + (y – 2)^2 = 4$ và đường thẳng $x + y – 5 = 0$. Xét vị trí tương đối.

Lời giải:

• Tâm I(1; 2), R = 2
• Khoảng cách:

$$d = \frac{|1 + 2 – 5|}{\sqrt{1 + 1}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \approx 1.41 < 2$$

Đáp án: Đường thẳng cắt đường tròn

VII. Phương Trình Tiếp Tuyến Của Đường Tròn

1. Tiếp tuyến tại điểm M₀ thuộc đường tròn

Cho đường tròn (C): $(x – a)^2 + (y – b)^2 = R^2$ và điểm $M_0(x_0; y_0) \in (C)$

Phương trình tiếp tuyến tại M₀:

$$(x_0 – a)(x – a) + (y_0 – b)(y – b) = R^2$$

Trường hợp đặc biệt: Với đường tròn tâm O: $x^2 + y^2 = R^2$

Tiếp tuyến tại $M_0(x_0; y_0)$:

$$x_0 x + y_0 y = R^2$$

2. Tiếp tuyến đi qua điểm M ngoài đường tròn

Phương pháp:

Bước 1: Gọi phương trình đường thẳng qua M: $y – y_M = k(x – x_M)$ (hoặc dạng tổng quát)

Bước 2: Điều kiện tiếp xúc: $d(I, \Delta) = R$

Bước 3: Giải phương trình tìm k

Ví dụ

Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn $x^2 + y^2 = 25$ tại điểm A(3; 4).

Lời giải:

Áp dụng công thức tiếp tuyến:

$$3x + 4y = 25$$

Đáp án: $3x + 4y = 25$

Ví dụ 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn $(x – 1)^2 + (y – 2)^2 = 5$ tại điểm M(3; 3).

Lời giải:

$$(3 – 1)(x – 1) + (3 – 2)(y – 2) = 5$$

$$2(x – 1) + 1(y – 2) = 5$$

$$2x – 2 + y – 2 = 5$$

$$2x + y = 9$$

Đáp án: $2x + y = 9$

VIII. Bảng Tổng Hợp Công Thức

IX. Bài Tập Vận Dụng

Bài 1: Viết phương trình đường tròn tâm I(3; -2), tiếp xúc với trục Ox.

Lời giải:

Vì đường tròn tiếp xúc với trục Ox (phương trình $y = 0$), nên:

$$R = d(I, Ox) = |y_I| = |-2| = 2$$

Phương trình:

$$(x – 3)^2 + (y + 2)^2 = 4$$

Đáp án: $(x – 3)^2 + (y + 2)^2 = 4$

Bài 2: Viết phương trình đường tròn có đường kính AB với A(-2; 3), B(4; -1).

Lời giải:

• Tâm là trung điểm AB:

$$I\left(\frac{-2+4}{2}; \frac{3-1}{2}\right) = I(1; 1)$$

• Bán kính:

$$R = \frac{AB}{2} = \frac{1}{2}\sqrt{(4-(-2))^2 + (-1-3)^2} = \frac{1}{2}\sqrt{36 + 16} = \frac{\sqrt{52}}{2} = \sqrt{13}$$

• Phương trình:

$$(x – 1)^2 + (y – 1)^2 = 13$$

Đáp án: $(x – 1)^2 + (y – 1)^2 = 13$

Bài 3: Cho đường tròn $x^2 + y^2 – 6x + 4y + 9 = 0$. Tìm tâm và bán kính.

Lời giải:

So sánh với $x^2 + y^2 – 2ax – 2by + c = 0$:

• $-2a = -6$ → $a = 3$
• $-2b = 4$ → $b = -2$
• $c = 9$

Tâm: I(3; -2)

Bán kính:

$$R = \sqrt{a^2 + b^2 – c} = \sqrt{9 + 4 – 9} = \sqrt{4} = 2$$

Đáp án: Tâm I(3; -2), bán kính R = 2

Bài 4: Đường tròn tâm I(1; 2) cắt đường thẳng $x – y + 1 = 0$ tại 2 điểm A, B sao cho AB = 6. Viết phương trình đường tròn.

Lời giải:

• Khoảng cách từ I đến đường thẳng:

$$d = d(I, \Delta) = \frac{|1 – 2 + 1|}{\sqrt{1 + 1}} = \frac{0}{\sqrt{2}} = 0$$

Tâm I nằm trên đường thẳng.

• Vì tâm nằm trên dây cung AB nên I là trung điểm AB:

$$R = \frac{AB}{2} = \frac{6}{2} = 3$$

• Phương trình:

$$(x – 1)^2 + (y – 2)^2 = 9$$

Đáp án: $(x – 1)^2 + (y – 2)^2 = 9$

Bài 5: Viết phương trình đường tròn tâm I(2; -3), đi qua điểm M(5; 1).

Lời giải:

$$R = IM = \sqrt{(5-2)^2 + (1-(-3))^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$$

$$(x – 2)^2 + (y + 3)^2 = 25$$

Đáp án: $(x – 2)^2 + (y + 3)^2 = 25$

Bài 6: Tìm tâm và bán kính của đường tròn $x^2 + y^2 + 4x – 6y – 3 = 0$.

Lời giải:

• $-2a = 4$ → $a = -2$
• $-2b = -6$ → $b = 3$
• $c = -3$

Tâm I(-2; 3)

$$R = \sqrt{4 + 9 + 3} = \sqrt{16} = 4$$

Đáp án: Tâm I(-2; 3), bán kính R = 4

Bài 7: Viết phương trình đường tròn qua ba điểm O(0; 0), A(4; 0), B(0; 6).

Lời giải:

Gọi phương trình: $x^2 + y^2 – 2ax – 2by + c = 0$

• Thay O(0; 0): $c = 0$
• Thay A(4; 0): $16 – 8a = 0$ → $a = 2$
• Thay B(0; 6): $36 – 12b = 0$ → $b = 3$

Phương trình: $x^2 + y^2 – 4x – 6y = 0$

Hay: $(x – 2)^2 + (y – 3)^2 = 13$

Đáp án: $x^2 + y^2 – 4x – 6y = 0$ hoặc $(x – 2)^2 + (y – 3)^2 = 13$

Bài 8: Đường tròn tâm I(-1; 2), tiếp xúc với đường thẳng $4x + 3y – 10 = 0$. Viết phương trình đường tròn.

Lời giải:

$$R = d(I, \Delta) = \frac{|4(-1) + 3(2) – 10|}{\sqrt{16 + 9}} = \frac{|-4 + 6 – 10|}{5} = \frac{8}{5}$$

$$(x + 1)^2 + (y – 2)^2 = \frac{64}{25}$$

Đáp án: $(x + 1)^2 + (y – 2)^2 = \frac{64}{25}$

X. Kết Luận

Tổng kết

Bài viết đã tổng hợp đầy đủ kiến thức về phương trình đường tròn:

2 dạng phương trình: Chuẩn và tổng quát

Công thức tìm tâm, bán kính từ cả hai dạng

6 dạng bài tập viết phương trình đường tròn

Vị trí tương đối: Điểm – đường tròn, đường thẳng – đường tròn

Phương trình tiếp tuyến của đường tròn

8 bài tập vận dụng có lời giải chi tiết

Mẹo nhớ

Dạng chuẩn: $(x – a)^2 + (y – b)^2 = R^2$ – Dễ nhận biết tâm I(a; b) và bán kính R

Dạng tổng quát: $x^2 + y^2 – 2ax – 2by + c = 0$ – Cần biến đổi về dạng chuẩn

Điều kiện là đường tròn: $a^2 + b^2 – c > 0$

Luôn kiểm tra: R > 0 và điều kiện bài toán

Chú ý dấu: $(x – a)^2$ khi tâm có hoành độ dương a

Lưu ý quan trọng

Phân biệt rõ: Tọa độ tâm I(a; b) và bán kính R

Dấu trong công thức: $(x – 2)^2$ khác với $(x + 2)^2$

Điều kiện tồn tại: Luôn kiểm tra $a^2 + b^2 – c > 0$ với dạng tổng quát

Ứng dụng thực tế: GPS, radar, thiết kế đồ họa đều sử dụng phương trình đường tròn

ThS. Nguyễn Văn An

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn Tổ Toán tại Edus

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán học, Thạc sĩ Lý luận & Phương pháp dạy học môn Toán, Chức danh nghề nghiệp giáo viên THPT – Hạng II, Tin học ứng dụng cơ bản, Ngoại ngữ B1, Chứng chỉ bồi dưỡng năng lực tổ trưởng chuyên môn

Kinh nghiệm: 12+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT chuyên Trần Đại Nghĩa