I. GIỚI THIỆU VỀ TỨ GIÁC

1. Tứ giác là gì?

Định nghĩa: Tứ giác là đa giác có 4 đỉnh, 4 cạnh và 4 góc.

Ký hiệu: Tứ giác ABCD với 4 đỉnh A, B, C, D (theo thứ tự liên tiếp)

Các yếu tố của tứ giác:

• 4 cạnh: AB, BC, CD, DA
• 4 góc: $\angle A$, $\angle B$, $\angle C$, $\angle D$
• 2 đường chéo: AC và BD (nối các đỉnh đối diện)

2. Phân loại tứ giác

A. Tứ giác lồi và tứ giác lõm

Tứ giác lồi:

• Tất cả các góc đều nhỏ hơn 180°
• Không có góc lõm vào trong
• Hai đường chéo cắt nhau bên trong tứ giác
• Đây là dạng tứ giác phổ biến nhất

Tứ giác lõm:

• Có ít nhất một góc lớn hơn 180° (góc phản xạ)
• Có phần lõm vào trong
• Hai đường chéo có thể cắt nhau bên ngoài

B. Các loại tứ giác đặc biệt (tứ giác lồi)

TỨ GIÁC TỔNG QUÁT
    │
    ├── Hình thang (1 cặp cạnh đối song song)
    │       ├── Hình thang cân
    │       └── Hình thang vuông
    │
    ├── Hình bình hành (2 cặp cạnh đối song song)
    │       ├── Hình chữ nhật (có góc vuông)
    │       ├── Hình thoi (có 2 cạnh kề bằng nhau)
    │       └── Hình vuông (góc vuông + cạnh bằng nhau)
    │
    └── Hình thang không đặc biệt

3. Tính chất chung của tứ giác lồi

Tính chất cơ bản:

• Tổng các góc trong: $\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360°$
• Số đường chéo: 2 đường chéo (AC và BD)
• Chu vi: Tổng độ dài 4 cạnh
• Diện tích: Phụ thuộc vào dạng tứ giác cụ thể

4. Tại sao phải học công thức tứ giác?

Trong học tập:

• Nền tảng hình học lớp 8, 9, 10
• Kiến thức cơ sở cho hình học không gian lớp 11, 12
• Liên quan đến bài toán tọa độ, vectơ
• Xuất hiện thường xuyên trong đề thi

Trong thực tế:

• Kiến trúc: Thiết kế mặt bằng nhà, phòng hình tứ giác
• Nông nghiệp: Tính diện tích mảnh đất canh tác
• Địa chính: Đo đạc, chia tách thửa đất
• Đồ họa máy tính: Rendering, xử lý hình ảnh
• Kỹ thuật: Thiết kế bộ phận máy móc

5. Cấu trúc bài viết

Bài viết sẽ trình bày:

• Công thức tổng quát cho mọi tứ giác
• Công thức cụ thể cho từng loại tứ giác đặc biệt
• Nhiều phương pháp tính diện tích và chu vi
• Ví dụ minh họa chi tiết
• Bài tập áp dụng có lời giải đầy đủ

II. CÔNG THỨC CHU VI TỨ GIÁC

1. Định nghĩa chu vi tứ giác

Chu vi tứ giác là tổng độ dài 4 cạnh của tứ giác.

Ký hiệu: $P$ (Perimeter)

Đơn vị: cm, m, dm, km…

2. Công thức chu vi tứ giác tổng quát

Công thức cơ bản:

$$P = a + b + c + d$$

Trong đó:

• $P$: Chu vi tứ giác
• $a$, $b$, $c$, $d$: Độ dài 4 cạnh của tứ giác (theo thứ tự)

Lưu ý:

• Đơn vị các cạnh phải thống nhất
• Thứ tự cạnh theo chiều kim đồng hồ hoặc ngược chiều kim đồng hồ

Ví dụ 1:

• Cho tứ giác ABCD có $AB = 5$ cm, $BC = 7$ cm, $CD = 6$ cm, $DA = 8$ cm
• Chu vi: $P = 5 + 7 + 6 + 8 = 26$ cm
• Đáp số: 26 cm

3. Công thức chu vi trong hệ tọa độ

Khi biết tọa độ các đỉnh:

Cho tứ giác ABCD với:

• $A(x_1, y_1)$, $B(x_2, y_2)$, $C(x_3, y_3)$, $D(x_4, y_4)$

Chu vi: $$P = AB + BC + CD + DA$$

Trong đó:

• $AB = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2}$
• $BC = \sqrt{(x_3 – x_2)^2 + (y_3 – y_2)^2}$
• $CD = \sqrt{(x_4 – x_3)^2 + (y_4 – y_3)^2}$
• $DA = \sqrt{(x_1 – x_4)^2 + (y_1 – y_4)^2}$

Ví dụ 2:

• Cho $A(0, 0)$, $B(3, 0)$, $C(4, 2)$, $D(1, 3)$
• $AB = \sqrt{9 + 0} = 3$
• $BC = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5} \approx 2.24$
• $CD = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10} \approx 3.16$
• $DA = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10} \approx 3.16$
• Chu vi: $P = 3 + \sqrt{5} + 2\sqrt{10} \approx 11.56$ (đơn vị)
• Đáp số: $3 + \sqrt{5} + 2\sqrt{10}$ ≈ 11.56 đơn vị

4. Công thức chu vi các tứ giác đặc biệt

5. Bài toán ngược – Tìm cạnh khi biết chu vi

Trường hợp 1: Biết chu vi và 3 cạnh, tìm cạnh thứ 4

$$d = P – (a + b + c)$$

Ví dụ 3:

• Tứ giác có chu vi 30 cm, ba cạnh lần lượt 6 cm, 8 cm, 9 cm. Tính cạnh còn lại.
• Cạnh thứ 4: $d = 30 – (6 + 8 + 9) = 30 – 23 = 7$ cm
• Đáp số: 7 cm

Trường hợp 2: Biết chu vi và tỉ lệ các cạnh

Ví dụ 4:

• Tứ giác có chu vi 48 cm, các cạnh tỉ lệ với 2:3:4:3. Tính độ dài mỗi cạnh.
• Gọi các cạnh là $2k$, $3k$, $4k$, $3k$
• $P = 2k + 3k + 4k + 3k = 12k = 48$
• $\Rightarrow k = 4$
• Các cạnh: 8 cm, 12 cm, 16 cm, 12 cm
• Đáp số: 8 cm, 12 cm, 16 cm, 12 cm

6. Lưu ý khi tính chu vi

• Chu vi luôn là số dương
• Đơn vị phải thống nhất trước khi tính
• Trong tứ giác, tổng 3 cạnh bất kỳ luôn lớn hơn cạnh còn lại (bất đẳng thức tam giác)
• Với tứ giác đặc biệt, dùng công thức riêng sẽ nhanh hơn

III. CÔNG THỨC DIỆN TÍCH TỨ GIÁC TỔNG QUÁT

1. Định nghĩa diện tích tứ giác

Diện tích tứ giác là số đo phần mặt phẳng giới hạn bởi 4 cạnh của tứ giác.

Ký hiệu: $S$ (Surface area)

Đơn vị: cm², m², dm², ha, km²…

2. Công thức Bretschneider (Công thức tổng quát nhất)

Công thức:

$$S = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d) – abcd \cos^2\left(\frac{\alpha + \gamma}{2}\right)}$$

Trong đó:

• $a$, $b$, $c$, $d$: Độ dài 4 cạnh
• $s = \frac{a+b+c+d}{2}$: Nửa chu vi
• $\alpha$, $\gamma$: Hai góc đối diện (đối nhau)

Đặc điểm:

• Đây là công thức chung nhất cho mọi tứ giác lồi
• Khó áp dụng trong thực tế vì cần biết góc
• Khi $\alpha + \gamma = 180°$ (tứ giác nội tiếp), công thức đơn giản hóa thành công thức Brahmagupta

Ví dụ 5:

• Cho tứ giác có $a = 5$, $b = 6$, $c = 7$, $d = 8$ cm
• Biết $\alpha = 80°$, $\gamma = 100°$ (tổng = 180°)
• $s = \frac{5+6+7+8}{2} = 13$
• Vì $\alpha + \gamma = 180°$ nên $\cos(90°) = 0$
• $S = \sqrt{(13-5)(13-6)(13-7)(13-8) – 0}$
• $= \sqrt{8 \times 7 \times 6 \times 5} = \sqrt{1680} \approx 40.99$ cm²
• Đáp số: $\sqrt{1680}$ ≈ 40.99 cm²

3. Công thức diện tích khi biết đường chéo

Công thức 1: Sử dụng đường chéo và góc giữa chúng

$$S = \frac{1}{2} d_1 \times d_2 \times \sin \theta$$

Trong đó:

• $d_1$, $d_2$: Độ dài hai đường chéo
• $\theta$: Góc giữa hai đường chéo

Giải thích:

• Hai đường chéo chia tứ giác thành 4 tam giác
• Diện tích mỗi tam giác = $\frac{1}{2} \times$ tích hai cạnh × sin góc giữa chúng
• Tổng diện tích = $\frac{1}{2}d_1 d_2 \sin\theta$

Lưu ý quan trọng: Công thức này chỉ chính xác khi hai đường chéo cắt nhau tại một điểm bên trong tứ giác.

Ví dụ 6:

• Tứ giác có hai đường chéo $d_1 = 12$ cm, $d_2 = 10$ cm
• Góc giữa hai đường chéo $\theta = 60°$
• Diện tích: $S = \frac{1}{2} \times 12 \times 10 \times \sin 60° = 60 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 30\sqrt{3} \approx 51.96$ cm²
• Đáp số: $30\sqrt{3}$ ≈ 51.96 cm²

Trường hợp đặc biệt:

• Nếu hai đường chéo vuông góc ($\theta = 90°$): $$S = \frac{1}{2}d_1 \times d_2$$

4. Công thức diện tích bằng tọa độ (Công thức Shoelace)

Công thức:

Cho tứ giác ABCD với tọa độ:

• $A(x_1, y_1)$, $B(x_2, y_2)$, $C(x_3, y_3)$, $D(x_4, y_4)$

$$S = \frac{1}{2}|x_1(y_2 – y_4) + x_2(y_3 – y_1) + x_3(y_4 – y_2) + x_4(y_1 – y_3)|$$

Hoặc viết dưới dạng:

$$S = \frac{1}{2}|(x_1y_2 – x_2y_1) + (x_2y_3 – x_3y_2) + (x_3y_4 – x_4y_3) + (x_4y_1 – x_1y_4)|$$

Cách nhớ: “Nhân chéo xuống trừ nhân chéo lên, chia 2, lấy trị tuyệt đối”

Ví dụ 7:

• Cho $A(1, 1)$, $B(4, 1)$, $C(5, 4)$, $D(2, 5)$
• $S = \frac{1}{2}|(1 \times 1 – 4 \times 1) + (4 \times 4 – 5 \times 1) + (5 \times 5 – 2 \times 4) + (2 \times 1 – 1 \times 5)|$
• $= \frac{1}{2}|(-3) + (11) + (17) + (-3)| = \frac{1}{2} \times 22 = 11$ (đơn vị diện tích)
• Đáp số: 11 đơn vị diện tích

5. Công thức Brahmagupta (Tứ giác nội tiếp)

Điều kiện: Tứ giác có 4 đỉnh nằm trên một đường tròn (tứ giác nội tiếp)

Tính chất: Tổng hai góc đối bằng 180°: $\alpha + \gamma = 180°$

Công thức:

$$S = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}$$

Trong đó:

• $a$, $b$, $c$, $d$: Độ dài 4 cạnh
• $s = \frac{a+b+c+d}{2}$: Nửa chu vi

Đặc điểm:

• Đơn giản hơn công thức Bretschneider (không cần biết góc)
• Chỉ áp dụng cho tứ giác nội tiếp
• Tương tự công thức Heron cho tam giác

Ví dụ 8:

• Tứ giác nội tiếp có 4 cạnh: 5 cm, 6 cm, 7 cm, 8 cm
• $s = \frac{5+6+7+8}{2} = 13$ cm
• $S = \sqrt{(13-5)(13-6)(13-7)(13-8)} = \sqrt{8 \times 7 \times 6 \times 5} = \sqrt{1680} \approx 40.99$ cm²
• Đáp số: $\sqrt{1680}$ ≈ 40.99 cm²

6. Phương pháp chia tam giác

Phương pháp: Chia tứ giác thành 2 tam giác bằng một đường chéo

Bước 1: Vẽ đường chéo (ví dụ AC) chia tứ giác ABCD thành 2 tam giác: ABC và ACD

Bước 2: Tính diện tích từng tam giác:

• $S_{ABC}$
• $S_{ACD}$

Bước 3: Tổng diện tích: $$S_{ABCD} = S_{ABC} + S_{ACD}$$

Công thức tính diện tích tam giác:

• Nếu biết 3 cạnh: Công thức Heron
• Nếu biết 2 cạnh và góc: $S = \frac{1}{2}ab\sin C$
• Nếu biết đáy và cao: $S = \frac{1}{2} \times \text{đáy} \times \text{cao}$

Ví dụ 9:

• Tứ giác ABCD có đường chéo $AC = 10$ cm
• Khoảng cách từ B đến AC là 4 cm
• Khoảng cách từ D đến AC là 5 cm
• $S_{ABC} = \frac{1}{2} \times 10 \times 4 = 20$ cm²
• $S_{ACD} = \frac{1}{2} \times 10 \times 5 = 25$ cm²
• $S_{ABCD} = 20 + 25 = 45$ cm²
• Đáp số: 45 cm²

7. Bảng tổng hợp công thức diện tích tứ giác

IV. CÔNG THỨC DIỆN TÍCH CÁC TỨ GIÁC ĐẶC BIỆT

1. Diện tích hình thang

Định nghĩa: Hình thang là tứ giác có một cặp cạnh đối song song (gọi là hai đáy)

Công thức:

$$S = \frac{(a + b) \times h}{2}$$

Trong đó:

• $a$, $b$: Độ dài hai đáy (hai cạnh song song)
• $h$: Chiều cao (khoảng cách giữa hai đáy)

Ví dụ 10:

• Hình thang có đáy lớn 12 cm, đáy nhỏ 8 cm, chiều cao 5 cm
• Diện tích: $S = \frac{(12 + 8) \times 5}{2} = \frac{20 \times 5}{2} = 50$ cm²
• Đáp số: 50 cm²

Công thức khác cho hình thang:

a) Khi biết đường trung bình: $$S = m \times h$$ Trong đó $m = \frac{a+b}{2}$ là độ dài đường trung bình

b) Hình thang vuông: (Có một góc vuông) $$S = \frac{(a + b) \times c}{2}$$ Trong đó $c$ là cạnh bên vuông góc với hai đáy

c) Hình thang cân: (Hai cạnh bên bằng nhau)

• Vẫn dùng công thức: $S = \frac{(a+b) \times h}{2}$
• Có thể tính $h$ từ cạnh bên $c$ và hiệu hai đáy

2. Diện tích hình bình hành

Định nghĩa: Hình bình hành là tứ giác có các cạnh đối song song

Công thức 1: Đáy nhân chiều cao

$$S = a \times h$$

Trong đó:

• $a$: Độ dài cạnh đáy
• $h$: Chiều cao (khoảng cách từ đỉnh đến đáy)

Công thức 2: Hai cạnh kề và góc

$$S = a \times b \times \sin\alpha$$

Trong đó:

• $a$, $b$: Độ dài hai cạnh kề
• $\alpha$: Góc giữa hai cạnh đó

Công thức 3: Hai đường chéo

$$S = \frac{1}{2}d_1 \times d_2 \times \sin\theta$$

Trong đó:

• $d_1$, $d_2$: Độ dài hai đường chéo
• $\theta$: Góc giữa hai đường chéo

Ví dụ 11:

• Hình bình hành có $a = 10$ cm, $b = 6$ cm, $\alpha = 30°$
• Diện tích: $S = 10 \times 6 \times \sin 30° = 60 \times 0.5 = 30$ cm²
• Đáp số: 30 cm²

3. Diện tích hình chữ nhật

Định nghĩa: Hình chữ nhật là hình bình hành có một góc vuông (và do đó cả 4 góc đều vuông)

Công thức:

$$S = a \times b$$

Trong đó:

• $a$: Chiều dài
• $b$: Chiều rộng

Ví dụ 12:

• Hình chữ nhật có chiều dài 15 cm, chiều rộng 8 cm
• Diện tích: $S = 15 \times 8 = 120$ cm²
• Đáp số: 120 cm²

4. Diện tích hình thoi

Định nghĩa: Hình thoi là hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau (và do đó 4 cạnh đều bằng nhau)

Công thức 1: Hai đường chéo

$$S = \frac{d_1 \times d_2}{2}$$

Trong đó:

• $d_1$, $d_2$: Độ dài hai đường chéo

Lưu ý: Hai đường chéo hình thoi vuông góc với nhau, nên $\sin 90° = 1$

Công thức 2: Cạnh và chiều cao

$$S = a \times h$$

Trong đó:

• $a$: Độ dài cạnh
• $h$: Chiều cao

Công thức 3: Cạnh và góc

$$S = a^2 \sin\alpha$$

Trong đó:

• $a$: Độ dài cạnh
• $\alpha$: Một góc của hình thoi

Ví dụ 13:

• Hình thoi có hai đường chéo 10 cm và 16 cm
• Diện tích: $S = \frac{10 \times 16}{2} = \frac{160}{2} = 80$ cm²
• Đáp số: 80 cm²

5. Diện tích hình vuông

Định nghĩa: Hình vuông là hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau (hoặc hình thoi có góc vuông)

Công thức 1: Cạnh bình phương

$$S = a^2$$

Trong đó $a$ là độ dài cạnh

Công thức 2: Đường chéo

$$S = \frac{d^2}{2}$$

Trong đó $d$ là độ dài đường chéo

Giải thích: Vì $d = a\sqrt{2}$ nên $a = \frac{d}{\sqrt{2}}$, suy ra $S = a^2 = \frac{d^2}{2}$

Công thức 3: Chu vi

$$S = \frac{P^2}{16}$$

Trong đó $P$ là chu vi (vì $P = 4a$ nên $a = \frac{P}{4}$)

Ví dụ 14:

• Hình vuông có cạnh 7 cm
• Diện tích: $S = 7^2 = 49$ cm²
• Đáp số: 49 cm²

Ví dụ 15:

• Hình vuông có đường chéo 10 cm
• Diện tích: $S = \frac{10^2}{2} = \frac{100}{2} = 50$ cm²
• Đáp số: 50 cm²

6. Bảng tổng hợp diện tích các tứ giác đặc biệt

V. CÁC TÍNH CHẤT VÀ CÔNG THỨC LIÊN QUAN

1. Tổng các góc trong tứ giác

Định lý: Tổng các góc trong của một tứ giác lồi luôn bằng 360°

$$\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360°$$

Ứng dụng: Nếu biết 3 góc, có thể tính góc còn lại

Ví dụ 16:

• Tứ giác có 3 góc: 80°, 90°, 110°. Tính góc thứ 4.
• Góc thứ 4 = 360° – (80° + 90° + 110°) = 360° – 280° = 80°
• Đáp số: 80°

2. Đường chéo của tứ giác

Định nghĩa: Đường chéo là đoạn thẳng nối hai đỉnh không kề nhau

Số đường chéo của tứ giác: 2 đường chéo (AC và BD)

Tính chất:

• Trong tứ giác lồi: hai đường chéo cắt nhau bên trong
• Trong tứ giác lõm: hai đường chéo có thể cắt nhau bên ngoài

Công thức tính độ dài đường chéo:

Sử dụng định lý cosin trong tam giác:

• Xét tam giác ABC: $AC^2 = AB^2 + BC^2 – 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos B$
• Xét tam giác ABD: $BD^2 = AB^2 + AD^2 – 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos A$

3. Tứ giác nội tiếp đường tròn

Định nghĩa: Tứ giác nội tiếp là tứ giác có 4 đỉnh nằm trên một đường tròn

Điều kiện:

• Điều kiện cần và đủ: Tổng hai góc đối bằng 180° $$\angle A + \angle C = 180°$$ $$\angle B + \angle D = 180°$$

Công thức diện tích: Công thức Brahmagupta

$$S = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}$$

Ví dụ 17:

• Tứ giác ABCD có $\angle A = 70°$, $\angle B = 110°$, $\angle C = 110°$
• Tính $\angle D$ và cho biết tứ giác có nội tiếp được không?
• $\angle D = 360° – (70° + 110° + 110°) = 70°$
• Ta có: $\angle A + \angle C = 70° + 110° = 180°$ ✓
• $\angle B + \angle D = 110° + 70° = 180°$ ✓
• Vậy tứ giác ABCD nội tiếp được đường tròn

4. Tứ giác ngoại tiếp đường tròn

Định nghĩa: Tứ giác ngoại tiếp là tứ giác có 4 cạnh đều tiếp xúc với một đường tròn

Điều kiện:

• Điều kiện cần và đủ: Tổng hai cạnh đối bằng nhau $$a + c = b + d$$

Công thức diện tích:

$$S = r \times s$$

Trong đó:

• $r$: Bán kính đường tròn nội tiếp
• $s = \frac{a+b+c+d}{2}$: Nửa chu vi

Ví dụ 18:

• Tứ giác có 4 cạnh: 5 cm, 7 cm, 6 cm, 8 cm
• Kiểm tra: $5 + 6 = 11$, $7 + 8 = 15$ → Không ngoại tiếp được

5. Đường trung bình của hình thang

Định nghĩa: Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên

Tính chất:

• Song song với hai đáy
• Độ dài bằng trung bình cộng hai đáy

$$m = \frac{a + b}{2}$$

Công thức diện tích sử dụng đường trung bình:

$$S = m \times h$$

6. Bảng so sánh các tứ giác đặc biệt

VI. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP TỨ GIÁC

Dạng 1: Tính chu vi tứ giác

Bài tập 1: Tứ giác ABCD có $AB = 6$ cm, $BC = 8$ cm, $CD = 5$ cm, $DA = 7$ cm. Tính chu vi.

Lời giải:

• Chu vi: $P = 6 + 8 + 5 + 7 = 26$ cm
• Đáp số: 26 cm

Bài tập 2: Hình thoi có cạnh 9 cm. Tính chu vi.

Lời giải:

• Chu vi hình thoi: $P = 4a = 4 \times 9 = 36$ cm
• Đáp số: 36 cm

Dạng 2: Tính diện tích tứ giác tổng quát

Bài tập 3: Tứ giác ABCD có đường chéo $AC = 12$ cm. Khoảng cách từ B đến AC là 5 cm, từ D đến AC là 6 cm. Tính diện tích.

Lời giải:

• $S_{ABC} = \frac{1}{2} \times 12 \times 5 = 30$ cm²
• $S_{ACD} = \frac{1}{2} \times 12 \times 6 = 36$ cm²
• $S_{ABCD} = 30 + 36 = 66$ cm²
• Đáp số: 66 cm²

Bài tập 4: Tứ giác có hai đường chéo 14 cm và 10 cm, góc giữa chúng 45°. Tính diện tích.

Lời giải:

• $S = \frac{1}{2} \times 14 \times 10 \times \sin 45° = 70 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 35\sqrt{2} \approx 49.5$ cm²
• Đáp số: $35\sqrt{2}$ ≈ 49.5 cm²

Dạng 3: Tính diện tích các tứ giác đặc biệt

Bài tập 5: Hình thang có đáy lớn 18 cm, đáy nhỏ 12 cm, chiều cao 8 cm. Tính diện tích.

Lời giải:

• $S = \frac{(18 + 12) \times 8}{2} = \frac{30 \times 8}{2} = 120$ cm²
• Đáp số: 120 cm²

Bài tập 6: Hình bình hành có cạnh 15 cm, chiều cao tương ứng 9 cm. Tính diện tích.

Lời giải:

• $S = 15 \times 9 = 135$ cm²
• Đáp số: 135 cm²

Bài tập 7: Hình thoi có đường chéo 12 cm và 16 cm. Tính diện tích.

Lời giải:

• $S = \frac{12 \times 16}{2} = \frac{192}{2} = 96$ cm²
• Đáp số: 96 cm²

Dạng 4: Bài toán ngược – Tìm yếu tố khi biết diện tích

Bài tập 8: Hình chữ nhật có diện tích 96 cm², chiều dài 12 cm. Tính chiều rộng và chu vi.

Lời giải:

• Chiều rộng: $b = \frac{S}{a} = \frac{96}{12} = 8$ cm
• Chu vi: $P = 2(12 + 8) = 40$ cm
• Đáp số: Chiều rộng 8 cm, chu vi 40 cm

Bài tập 9: Hình thoi có diện tích 120 cm², một đường chéo dài 15 cm. Tính đường chéo còn lại.

Lời giải:

• Từ $S = \frac{d_1 \times d_2}{2}$:
• $d_2 = \frac{2S}{d_1} = \frac{2 \times 120}{15} = \frac{240}{15} = 16$ cm
• Đáp số: 16 cm

Dạng 5: Bài toán tọa độ

Bài tập 10: Cho tứ giác ABCD với $A(0, 0)$, $B(4, 0)$, $C(5, 3)$, $D(1, 4)$. a) Tính chu vi b) Tính diện tích

Lời giải:

a) Tính chu vi:

• $AB = \sqrt{16 + 0} = 4$
• $BC = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10} \approx 3.16$
• $CD = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17} \approx 4.12$
• $DA = \sqrt{1 + 16} = \sqrt{17} \approx 4.12$
• $P = 4 + \sqrt{10} + 2\sqrt{17} \approx 15.4$ (đơn vị)

b) Tính diện tích (công thức Shoelace):

• $S = \frac{1}{2}|(0 \times 0 – 4 \times 0) + (4 \times 3 – 5 \times 0) + (5 \times 4 – 1 \times 3) + (1 \times 0 – 0 \times 4)|$
• $= \frac{1}{2}|0 + 12 + 17 + 0| = \frac{29}{2} = 14.5$ (đơn vị diện tích)

Đáp số: a) ≈ 15.4 đơn vị, b) 14.5 đơn vị diện tích

VII. MẸO VÀ LƯU Ý KHI HỌC TỨ GIÁC

1. Các sai lầm thường gặp

❌ SAI:

• Nhầm lẫn giữa tứ giác lồi và lõm
• Dùng sai công thức diện tích cho loại tứ giác không phù hợp
• Quên điều kiện áp dụng công thức (ví dụ: Brahmagupta chỉ dùng cho tứ giác nội tiếp)
• Tính chu vi bằng cách cộng 2 cạnh rồi nhân 2 (chỉ đúng với hình bình hành)

✅ ĐÚNG:

• Phân loại tứ giác rõ ràng trước khi giải
• Chọn công thức phù hợp với dữ kiện đề bài
• Kiểm tra điều kiện trước khi áp dụng công thức đặc biệt
• Chu vi tứ giác tổng quát = tổng 4 cạnh

2. Mẹo nhớ công thức

Mẹo nhớ chu vi:

• “Chu vi = Tổng 4 cạnh” (tứ giác tổng quát)
• “Chu vi = 2 lần tổng 2 cạnh kề” (hình bình hành, chữ nhật)
• “Chu vi = 4 lần cạnh” (hình thoi, hình vuông)

Mẹo nhớ diện tích:

• Hình thang: “Tổng hai đáy nhân cao, chia đôi”
• Hình bình hành: “Đáy nhân cao” hoặc “Hai cạnh nhân sin góc”
• Hình chữ nhật: “Dài nhân rộng”
• Hình thoi: “Tích hai chéo, chia đôi”
• Hình vuông: “Cạnh bình phương”

3. Sơ đồ tư duy phân loại tứ giác

TỨ GIÁC
├── Tứ giác tổng quát
│   ├── Tứ giác lồi
│   └── Tứ giác lõm
└── Tứ giác đặc biệt
    ├── Hình thang
    │   ├── Hình thang thường
    │   ├── Hình thang cân
    │   └── Hình thang vuông
    └── Hình bình hành
        ├── Hình bình hành thường
        ├── Hình chữ nhật
        ├── Hình thoi
        └── Hình vuông

IX. KẾT LUẬN

Tổng kết

Bài viết đã tổng hợp đầy đủ các công thức về tứ giác, từ tổng quát đến đặc biệt:

Công thức chu vi:

• Tứ giác tổng quát: $P = a + b + c + d$
• Các tứ giác đặc biệt: Công thức rút gọn

Công thức diện tích tổng quát:

• Bretschneider (tổng quát nhất)
• Brahmagupta (tứ giác nội tiếp)
• Đường chéo và góc: $S = \frac{1}{2}d_1 d_2 \sin\theta$
• Công thức Shoelace (tọa độ)
• Phương pháp chia tam giác

Công thức diện tích tứ giác đặc biệt:

• Hình thang: $S = \frac{(a+b)h}{2}$
• Hình bình hành: $S = ah$ hoặc $S = ab\sin\alpha$
• Hình chữ nhật: $S = ab$
• Hình thoi: $S = \frac{d_1 d_2}{2}$
• Hình vuông: $S = a^2$

Các tính chất quan trọng:

• Tổng góc trong: 360°
• Tứ giác nội tiếp: tổng góc đối = 180°
• Tứ giác ngoại tiếp: tổng cạnh đối bằng nhau

Xem thêm các bài viết liên quan:

• Công thức tam giác – Chu vi, diện tích
• Công thức hình thang – Chi tiết đầy đủ
• Công thức hình bình hành – Tổng hợp
• Công thức hình thoi – Diện tích chu vi
• Bài tập tứ giác có lời giải

ThS. Nguyễn Văn An

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn Tổ Toán tại Edus

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán học, Thạc sĩ Lý luận & Phương pháp dạy học môn Toán, Chức danh nghề nghiệp giáo viên THPT – Hạng II, Tin học ứng dụng cơ bản, Ngoại ngữ B1, Chứng chỉ bồi dưỡng năng lực tổ trưởng chuyên môn

Kinh nghiệm: 12+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT chuyên Trần Đại Nghĩa