I. GIỚI THIỆU

1. Góc giữa hai vectơ là gì?

Định nghĩa: Góc giữa hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ là góc nhỏ nhất tạo bởi hai vectơ khi chúng có chung gốc.

Ký hiệu: $(\vec{a}, \vec{b})$ hoặc $\alpha$

Giá trị: $0° \leq (\vec{a}, \vec{b}) \leq 180°$ hoặc $0 \leq \alpha \leq \pi$ (radian)

2. Các trường hợp đặc biệt

• Góc 0°: Hai vectơ cùng hướng
• Góc 90°: Hai vectơ vuông góc (trực giao)
• Góc 180°: Hai vectơ ngược hướng
• Góc nhọn: $0° < \alpha < 90°$
• Góc tù: $90° < \alpha < 180°$

3. Cấu trúc bài viết

Bài viết sẽ trình bày:

• Công thức tính góc (tích vô hướng)
• Công thức trong mặt phẳng (2D)
• Công thức trong không gian (3D)
• 8 ví dụ minh họa
• 5 bài tập thực tế
• Bảng tổng hợp

II. CÔNG THỨC CƠ BẢN TÍNH GÓC GIỮA HAI VECTƠ

CÔNG THỨC TỔNG QUÁT (Tích vô hướng)

Công thức chính:

$$\cos(\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$$

Từ đó:

$$(\vec{a}, \vec{b}) = \arccos\left(\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}\right)$$

Giải thích các thành phần:

1. Tích vô hướng: $\vec{a} \cdot \vec{b}$

• Cho biết “độ giống nhau” về hướng của hai vectơ
• Nếu > 0: góc nhọn
• Nếu = 0: góc vuông
• Nếu < 0: góc tù

2. Độ dài (module) vectơ: $|\vec{a}|$

• $|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}$ (trong mặt phẳng)
• $|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}$ (trong không gian)

3. Hàm arccos (cos nghịch đảo)

• Đưa ra góc từ giá trị cosin
• Kết quả luôn nằm trong [0°; 180°]

CÔNG THỨC TRONG MẶT PHẲNG Oxy (2D)

Cho hai vectơ:

• $\vec{a} = (a_1; a_2)$
• $\vec{b} = (b_1; b_2)$

Bước 1: Tính tích vô hướng $$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2$$

Bước 2: Tính độ dài $$|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}$$ $$|\vec{b}| = \sqrt{b_1^2 + b_2^2}$$

Bước 3: Tính góc $$\cos\alpha = \frac{a_1 b_1 + a_2 b_2}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2} \cdot \sqrt{b_1^2 + b_2^2}}$$

Ví dụ 1: Cho $\vec{a} = (3; 4)$ và $\vec{b} = (1; 0)$. Tính góc giữa chúng.

Lời giải:

• Tích vô hướng: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \times 1 + 4 \times 0 = 3$
• Độ dài: $|\vec{a}| = \sqrt{9 + 16} = 5$, $|\vec{b}| = 1$
• $\cos\alpha = \frac{3}{5 \times 1} = 0.6$
• $\alpha = \arccos(0.6) \approx 53.13°$

CÔNG THỨC TRONG KHÔNG GIAN Oxyz (3D)

Cho hai vectơ:

• $\vec{a} = (a_1; a_2; a_3)$
• $\vec{b} = (b_1; b_2; b_3)$

Bước 1: Tích vô hướng $$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3$$

Bước 2: Độ dài $$|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}$$ $$|\vec{b}| = \sqrt{b_1^2 + b_2^2 + b_3^2}$$

Bước 3: Tính góc $$\cos\alpha = \frac{a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2} \cdot \sqrt{b_1^2 + b_2^2 + b_3^2}}$$

Ví dụ 2: Cho $\vec{a} = (1; 2; 2)$ và $\vec{b} = (2; -1; 1)$. Tính góc giữa chúng.

Lời giải:

• Tích vô hướng: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \times 2 + 2 \times (-1) + 2 \times 1 = 2 – 2 + 2 = 2$
• $|\vec{a}| = \sqrt{1 + 4 + 4} = 3$
• $|\vec{b}| = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}$
• $\cos\alpha = \frac{2}{3\sqrt{6}} = \frac{2\sqrt{6}}{18} = \frac{\sqrt{6}}{9}$
• $\alpha = \arccos\left(\frac{\sqrt{6}}{9}\right) \approx 74.5°$

CÁC TRƯỜNG HỢP ĐẶC BIỆT

1. Hai vectơ cùng phương

Điều kiện: $\vec{b} = k\vec{a}$ với $k \in \mathbb{R}$

• Nếu $k > 0$: Cùng hướng → $\alpha = 0°$
• Nếu $k < 0$: Ngược hướng → $\alpha = 180°$

Ví dụ 3:

• $\vec{a} = (2; 3)$ và $\vec{b} = (4; 6) = 2\vec{a}$ → $\alpha = 0°$
• $\vec{a} = (1; -1)$ và $\vec{b} = (-2; 2) = -2\vec{a}$ → $\alpha = 180°$

2. Hai vectơ vuông góc (trực giao)

Điều kiện: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$

$$\vec{a} \perp \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \Leftrightarrow \alpha = 90°$$

Ví dụ 4:

• $\vec{a} = (3; 4)$ và $\vec{b} = (4; -3)$
• $\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \times 4 + 4 \times (-3) = 12 – 12 = 0$
• Vậy $\vec{a} \perp \vec{b}$

3. Dấu của tích vô hướng

III. VÍ DỤ MINH HỌA CHI TIẾT

Ví dụ 5: Tính góc trong tam giác

Đề bài: Cho tam giác ABC với $A(1; 2)$, $B(4; 3)$, $C(2; 5)$. Tính góc $\widehat{BAC}$.

Lời giải:

• $\overrightarrow{AB} = (3; 1)$
• $\overrightarrow{AC} = (1; 3)$
• Tích vô hướng: $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 3 \times 1 + 1 \times 3 = 6$
• $|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$
• $|\overrightarrow{AC}| = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$
• $\cos\widehat{BAC} = \frac{6}{\sqrt{10} \times \sqrt{10}} = \frac{6}{10} = 0.6$
• $\widehat{BAC} = \arccos(0.6) \approx 53.13°$

Ví dụ 6: Kiểm tra hai vectơ có vuông góc không

Đề bài: Tìm $m$ để hai vectơ $\vec{a} = (m; 2)$ và $\vec{b} = (3; -6)$ vuông góc.

Lời giải:

• Điều kiện vuông góc: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$
• $m \times 3 + 2 \times (-6) = 0$
• $3m – 12 = 0$
• $m = 4$

Ví dụ 7: Góc giữa hai đường thẳng

Đề bài: Cho hai đường thẳng:

• $d_1: x + 2y – 3 = 0$ (có VTPT $\vec{n_1} = (1; 2)$)
• $d_2: 3x – y + 1 = 0$ (có VTPT $\vec{n_2} = (3; -1)$)

Tính góc giữa hai đường thẳng.

Lời giải:

• Góc giữa hai đường thẳng = góc giữa hai VTPT
• $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 1 \times 3 + 2 \times (-1) = 1$
• $|\vec{n_1}| = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$
• $|\vec{n_2}| = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$
• $\cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{5} \times \sqrt{10}} = \frac{1}{\sqrt{50}} = \frac{1}{5\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{10}$
• $\alpha = \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{10}\right) \approx 81.87°$

Lưu ý: Nếu kết quả > 90°, góc giữa hai đường thẳng là $180° – \alpha$

Ví dụ 8: Góc trong không gian 3D

Đề bài: Cho tứ diện ABCD với $A(1; 0; 0)$, $B(0; 1; 0)$, $C(0; 0; 1)$, $D(1; 1; 1)$. Tính góc $\widehat{DAB}$.

Lời giải:

• $\overrightarrow{AD} = (0; 1; 1)$
• $\overrightarrow{AB} = (-1; 1; 0)$
• $\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AB} = 0 \times (-1) + 1 \times 1 + 1 \times 0 = 1$
• $|\overrightarrow{AD}| = \sqrt{0 + 1 + 1} = \sqrt{2}$
• $|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{1 + 1 + 0} = \sqrt{2}$
• $\cos\widehat{DAB} = \frac{1}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$
• $\widehat{DAB} = 60°$

IV. BÀI TẬP THỰC TẾ

Bài tập 1: Phân tích lực trong vật lý

Đề bài: Hai lực $\vec{F_1} = (30; 40)$ N và $\vec{F_2} = (50; 0)$ N tác dụng vào một vật. Tính góc giữa hai lực.

Lời giải:

• $\vec{F_1} \cdot \vec{F_2} = 30 \times 50 + 40 \times 0 = 1500$
• $|\vec{F_1}| = \sqrt{900 + 1600} = 50$ N
• $|\vec{F_2}| = 50$ N
• $\cos\alpha = \frac{1500}{50 \times 50} = \frac{1500}{2500} = 0.6$
• $\alpha = \arccos(0.6) \approx 53.13°$

Ứng dụng: Tính hợp lực, phân tích chuyển động.

Bài tập 2: Tính công cơ học

Đề bài: Một lực $\vec{F} = (20; 30)$ N tác dụng làm vật di chuyển theo vectơ $\vec{s} = (4; 2)$ m. Tính công sinh ra. Biết công $A = |\vec{F}| \cdot |\vec{s}| \cdot \cos\alpha$.

Lời giải:

• Cách 1: $A = \vec{F} \cdot \vec{s} = 20 \times 4 + 30 \times 2 = 80 + 60 = 140$ J
• Cách 2 (kiểm tra):
  • $|\vec{F}| = \sqrt{400 + 900} = \sqrt{1300} = 10\sqrt{13}$ N
  • $|\vec{s}| = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ m
  • $\cos\alpha = \frac{140}{10\sqrt{13} \times 2\sqrt{5}} = \frac{140}{20\sqrt{65}} = \frac{7}{\sqrt{65}}$
  • $A = 10\sqrt{13} \times 2\sqrt{5} \times \frac{7}{\sqrt{65}} = 140$ J ✓

Ứng dụng: Tính năng lượng, công suất.

Bài tập 3: Góc hướng di chuyển robot

Đề bài: Robot đang hướng về $\vec{v_1} = (1; 1)$. Cần quay để đi theo hướng $\vec{v_2} = (3; -1)$. Tính góc cần quay.

Lời giải:

• $\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = 1 \times 3 + 1 \times (-1) = 2$
• $|\vec{v_1}| = \sqrt{2}$, $|\vec{v_2}| = \sqrt{10}$
• $\cos\alpha = \frac{2}{\sqrt{2} \times \sqrt{10}} = \frac{2}{\sqrt{20}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$
• $\alpha = \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right) \approx 63.43°$

Ứng dụng: Điều khiển robot, xe tự lái.

Bài tập 4: Góc tia sáng trong đồ họa 3D

Đề bài: Trong đồ họa 3D, tia sáng có hướng $\vec{L} = (1; -1; 2)$ chiếu vào mặt có pháp tuyến $\vec{N} = (0; 1; 1)$. Tính góc tới (góc giữa tia sáng và pháp tuyến).

Lời giải:

• $\vec{L} \cdot \vec{N} = 1 \times 0 + (-1) \times 1 + 2 \times 1 = 1$
• $|\vec{L}| = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}$
• $|\vec{N}| = \sqrt{0 + 1 + 1} = \sqrt{2}$
• $\cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{6} \times \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{12}} = \frac{1}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{6}$
• $\alpha = \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{6}\right) \approx 73.22°$

Ứng dụng: Rendering, tính độ sáng bề mặt.

Bài tập 5: Phương vị trong địa lý

Đề bài: Từ điểm A, hướng Bắc được biểu diễn bởi $\vec{N} = (0; 1)$. Hướng đến điểm B là $\vec{AB} = (3; 4)$. Tính góc phương vị (góc so với hướng Bắc, tính theo chiều kim đồng hồ).

Lời giải:

• $\vec{N} \cdot \vec{AB} = 0 \times 3 + 1 \times 4 = 4$
• $|\vec{N}| = 1$, $|\vec{AB}| = 5$
• $\cos\alpha = \frac{4}{5} = 0.8$
• $\alpha = \arccos(0.8) \approx 36.87°$

Phương vị: Vì $\vec{AB}$ nằm ở góc phần tư I (x > 0, y > 0), góc phương vị = 90° – 36.87° = 53.13° (Đông – Đông Bắc)

Ứng dụng: Định hướng, GPS, hàng hải.

V. BẢNG TỔNG HỢP VÀ MẸO NHỚ

Bảng công thức tổng hợp

Bảng trường hợp đặc biệt

Quy trình 4 bước tính góc

Bước 1: Xác định tọa độ hai vectơ

• Nếu cho điểm: $\overrightarrow{AB} = B – A$

Bước 2: Tính tích vô hướng

• $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + …$

Bước 3: Tính độ dài

• $|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + …}$

Bước 4: Áp dụng công thức

• $\cos\alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$
• $\alpha = \arccos(…)$

 Mẹo nhớ và lưu ý

Mẹo 1: Kiểm tra nhanh bằng dấu

• Nhìn dấu tích vô hướng → biết ngay góc nhọn/vuông/tù
• Không cần tính chính xác nếu chỉ cần ước lượng

Mẹo 2: Kiểm tra vuông góc

• Nhân tọa độ cùng vị trí rồi cộng lại
• Nếu = 0 → vuông góc ngay

Mẹo 3: Với góc đặc biệt

• $\cos 0° = 1$, $\cos 90° = 0$, $\cos 180° = -1$
• $\cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos 60° = \frac{1}{2}$

Lưu ý quan trọng:

$|\vec{a}|$ và $|\vec{b}|$ phải khác 0 (vectơ không)

Giá trị $\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$ luôn trong [-1, 1]

Góc giữa hai đường thẳng: nếu > 90° thì lấy bù lại (180° – α)

Đơn vị: Máy tính cho kết quả radian, nhớ đổi sang độ nếu cần

VI. KẾT LUẬN

Tổng kết

Bài viết đã trình bày công thức tính góc giữa hai vectơ một cách ngắn gọn, đúng trọng tâm:

Công thức cốt lõi: $$\cos\alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$$

Áp dụng trong:

• Mặt phẳng 2D (Oxy)
• Không gian 3D (Oxyz)

Các trường hợp đặc biệt:

• Cùng hướng, ngược hướng, vuông góc
• Góc nhọn, góc tù

8 ví dụ minh họa + 5 bài tập thực tế

Ứng dụng: Vật lý, đồ họa, robotics, địa lý

Tài liệu tham khảo

Xem thêm:

• Công thức tích vô hướng hai vectơ – Chi tiết
• Ứng dụng vectơ trong hình học phẳng
• Tích có hướng và diện tích tam giác

ThS. Nguyễn Văn An

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn Tổ Toán tại Edus

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán học, Thạc sĩ Lý luận & Phương pháp dạy học môn Toán, Chức danh nghề nghiệp giáo viên THPT – Hạng II, Tin học ứng dụng cơ bản, Ngoại ngữ B1, Chứng chỉ bồi dưỡng năng lực tổ trưởng chuyên môn

Kinh nghiệm: 12+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT chuyên Trần Đại Nghĩa