I. GIỚI THIỆU VỀ TỌA ĐỘ VÀ VECTƠ

1. Hệ tọa độ là gì?

Định nghĩa: Hệ trục tọa độ Oxy là hệ gồm hai trục số vuông góc với nhau, được sử dụng để xác định vị trí của các điểm trong mặt phẳng.

Các thành phần của hệ tọa độ Oxy:

• Trục Ox (trục hoành): Là trục nằm ngang, hướng từ trái sang phải
• Trục Oy (trục tung): Là trục thẳng đứng, hướng từ dưới lên trên
• Gốc tọa độ O: Là điểm giao của hai trục, có tọa độ (0; 0)

Tọa độ điểm: Mỗi điểm M trong mặt phẳng được xác định duy nhất bởi một cặp số $(x; y)$ với:

• $x$ (hoành độ): Khoảng cách có hướng từ điểm M đến trục Oy, đo song song với trục Ox
• $y$ (tung độ): Khoảng cách có hướng từ điểm M đến trục Ox, đo song song với trục Oy
• Ký hiệu: $M(x; y)$ hoặc $M(x, y)$

2. Vectơ là gì?

Định nghĩa: Vectơ là một đại lượng có hướng, được biểu diễn bằng một đoạn thẳng có hướng, xác định bởi điểm đầu và điểm cuối.

Ký hiệu vectơ:

• Vectơ tự do: $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{v}$
• Vectơ từ điểm A đến điểm B: $\overrightarrow{AB}$ (A là điểm đầu, B là điểm cuối)

Tọa độ vectơ: Trong hệ tọa độ Oxy, vectơ $\vec{a}$ có tọa độ $(x; y)$ nghĩa là:

• $x$: Thành phần của vectơ theo phương trục Ox
• $y$: Thành phần của vectơ theo phương trục Oy
• Viết: $\vec{a} = (x; y)$

Vectơ đơn vị:

• $\vec{i} = (1; 0)$: Vectơ đơn vị trên trục Ox
• $\vec{j} = (0; 1)$: Vectơ đơn vị trên trục Oy

Biểu diễn vectơ: Mọi vectơ $\vec{a} = (x; y)$ đều có thể biểu diễn dưới dạng: $$\vec{a} = x\vec{i} + y\vec{j}$$

3. Cấu trúc bài viết

Bài viết được tổ chức theo hệ thống từ cơ bản đến nâng cao:

• Phần II: Công thức tọa độ điểm (trung điểm, trọng tâm, khoảng cách, diện tích, điều kiện thẳng hàng)
• Phần III: Công thức tọa độ vectơ (cộng, trừ, nhân số, tích vô hướng, độ dài, góc, điều kiện vuông góc và cùng phương)
• Phần IV: Ứng dụng giải bài toán hình học (5 dạng bài tập có lời giải chi tiết)
• Phần V: 8 bài tập thực tế ứng dụng vào đời sống
• Phần VI: Mẹo nhớ, lưu ý và bảng tổng hợp công thức

II. CÔNG THỨC TỌA ĐỘ ĐIỂM

1. Tọa độ điểm cơ bản

a) Điểm trong mặt phẳng Oxy:

Mỗi điểm $M$ trong mặt phẳng tọa độ Oxy được xác định duy nhất bởi cặp số $(x; y)$:

• $x$ (hoành độ): Độ lệch của điểm so với trục Oy, đo theo phương song song với trục Ox
• $y$ (tung độ): Độ lệch của điểm so với trục Ox, đo theo phương song song với trục Oy

Phân chia mặt phẳng thành 4 góc phần tư:

• Góc phần tư thứ I: $x > 0, y > 0$
• Góc phần tư thứ II: $x < 0, y > 0$
• Góc phần tư thứ III: $x < 0, y < 0$
• Góc phần tư thứ IV: $x > 0, y < 0$

Ví dụ 1: Xác định vị trí các điểm sau trong mặt phẳng tọa độ:

• $A(2; 3)$: Hoành độ dương, tung độ dương → nằm ở góc phần tư thứ I
• $B(-1; 4)$: Hoành độ âm, tung độ dương → nằm ở góc phần tư thứ II
• $C(-2; -3)$: Hoành độ âm, tung độ âm → nằm ở góc phần tư thứ III
• $D(3; -2)$: Hoành độ dương, tung độ âm → nằm ở góc phần tư thứ IV

Các trường hợp đặc biệt:

• Điểm nằm trên trục Ox: $M(x; 0)$
• Điểm nằm trên trục Oy: $M(0; y)$
• Gốc tọa độ: $O(0; 0)$

2. Công thức tọa độ trung điểm

Định nghĩa: Trung điểm M của đoạn thẳng AB là điểm nằm giữa A và B sao cho $MA = MB$.

Công thức: Cho hai điểm $A(x_A; y_A)$ và $B(x_B; y_B)$. Trung điểm $M$ của đoạn thẳng $AB$ có tọa độ:

$$\boxed{M\left(\frac{x_A + x_B}{2}; \frac{y_A + y_B}{2}\right)}$$

Cách nhớ: “Cộng rồi chia đôi” – lấy trung bình cộng của từng tọa độ.

Ví dụ 2: Tìm trung điểm của đoạn thẳng AB

• Cho $A(2; 5)$ và $B(6; 9)$
• Áp dụng công thức:
  • $x_M = \frac{2 + 6}{2} = \frac{8}{2} = 4$
  • $y_M = \frac{5 + 9}{2} = \frac{14}{2} = 7$
• Vậy trung điểm $M(4; 7)$

Công thức mở rộng – Chia đoạn thẳng theo tỉ số:

Điểm $M$ chia đoạn $AB$ theo tỉ số $k$ (tức là $\overrightarrow{MA} = k\overrightarrow{MB}$):

$$\boxed{M\left(\frac{x_A + kx_B}{1 + k}; \frac{y_A + ky_B}{1 + k}\right)}$$

Trường hợp đặc biệt:

• Khi $k = 1$: M là trung điểm (chia đôi đoạn thẳng)
• Khi $k = 2$: M chia AB theo tỉ lệ 2:1 (M gần B hơn)
• Khi $k = \frac{1}{2}$: M chia AB theo tỉ lệ 1:2 (M gần A hơn)

3. Công thức tọa độ trọng tâm tam giác

Định nghĩa: Trọng tâm của tam giác là giao điểm của ba đường trung tuyến. Trọng tâm G cách mỗi đỉnh một khoảng bằng $\frac{2}{3}$ độ dài đường trung tuyến tương ứng.

Công thức: Cho tam giác $ABC$ với $A(x_A; y_A)$, $B(x_B; y_B)$, $C(x_C; y_C)$. Trọng tâm $G$ có tọa độ:

$$\boxed{G\left(\frac{x_A + x_B + x_C}{3}; \frac{y_A + y_B + y_C}{3}\right)}$$

Cách nhớ: “Cộng cả ba rồi chia ba” – lấy trung bình cộng tọa độ của ba đỉnh.

Giải thích: Trọng tâm là điểm cân bằng của tam giác, là vị trí mà nếu đặt tam giác đồng chất lên đó thì tam giác sẽ nằm cân bằng.

Ví dụ 3: Tìm trọng tâm tam giác ABC

• Cho $A(1; 2)$, $B(4; 6)$, $C(7; 5)$
• Áp dụng công thức:
  • $x_G = \frac{1 + 4 + 7}{3} = \frac{12}{3} = 4$
  • $y_G = \frac{2 + 6 + 5}{3} = \frac{13}{3}$
• Vậy trọng tâm $G\left(4; \frac{13}{3}\right)$

Mở rộng – Trọng tâm tứ giác:

Cho tứ giác $ABCD$, trọng tâm (hay tâm hình học) là:

$$G\left(\frac{x_A + x_B + x_C + x_D}{4}; \frac{y_A + y_B + y_C + y_D}{4}\right)$$

Tổng quát: Trọng tâm của $n$ điểm $A_1, A_2, …, A_n$:

$$G\left(\frac{\sum x_i}{n}; \frac{\sum y_i}{n}\right)$$

4. Công thức khoảng cách giữa hai điểm

Định nghĩa: Khoảng cách giữa hai điểm là độ dài của đoạn thẳng nối hai điểm đó.

Công thức: Cho hai điểm $A(x_A; y_A)$ và $B(x_B; y_B)$. Khoảng cách $AB$ được tính theo công thức:

$$\boxed{AB = \sqrt{(x_B – x_A)^2 + (y_B – y_A)^2}}$$

Nguồn gốc: Công thức này xuất phát từ định lý Pythagore áp dụng cho tam giác vuông.

Ví dụ 4: Tính khoảng cách giữa hai điểm

• Cho $A(1; 2)$ và $B(4; 6)$
• Áp dụng công thức:
  • $AB = \sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2}$
  • $AB = \sqrt{3^2 + 4^2}$
  • $AB = \sqrt{9 + 16}$
  • $AB = \sqrt{25} = 5$

Trường hợp đặc biệt:

Khoảng cách từ điểm đến gốc tọa độ: Cho điểm $M(x; y)$, khoảng cách từ M đến gốc O: $$OM = \sqrt{x^2 + y^2}$$

Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng: Cho điểm $M(x_0; y_0)$ và đường thẳng $ax + by + c = 0$: $$d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$$

5. Công thức diện tích tam giác

Định nghĩa: Diện tích tam giác là số đo phần mặt phẳng bị giới hạn bởi ba cạnh của tam giác.

Công thức 1 (Dùng tọa độ): Cho tam giác $ABC$ với $A(x_A; y_A)$, $B(x_B; y_B)$, $C(x_C; y_C)$:

$$\boxed{S = \frac{1}{2}|x_A(y_B – y_C) + x_B(y_C – y_A) + x_C(y_A – y_B)|}$$

Công thức 2 (Dùng định thức):

$$S = \frac{1}{2}\left|\begin{vmatrix} x_A & y_A & 1 \ x_B & y_B & 1 \ x_C & y_C & 1 \end{vmatrix}\right|$$

Ví dụ 5: Tính diện tích tam giác ABC

• Cho $A(0; 0)$, $B(4; 0)$, $C(2; 3)$
• Áp dụng công thức:
  • $S = \frac{1}{2}|0(0-3) + 4(3-0) + 2(0-0)|$
  • $S = \frac{1}{2}|0 + 12 + 0|$
  • $S = \frac{1}{2} \times 12 = 6$ (đơn vị diện tích)

Lưu ý quan trọng:

• Dấu giá trị tuyệt đối đảm bảo diện tích luôn dương
• Thứ tự các đỉnh không ảnh hưởng đến kết quả
• Nếu kết quả bằng 0, ba điểm thẳng hàng

Mở rộng – Diện tích đa giác: Cho đa giác $n$ đỉnh $A_1, A_2, …, A_n$: $$S = \frac{1}{2}\left|\sum_{i=1}^{n}(x_i y_{i+1} – x_{i+1} y_i)\right|$$ (với quy ước $A_{n+1} = A_1$)

6. Điều kiện thẳng hàng của 3 điểm

Định nghĩa: Ba điểm A, B, C thẳng hàng khi chúng cùng nằm trên một đường thẳng.

Công thức 1 (Dùng vectơ): Ba điểm $A$, $B$, $C$ thẳng hàng khi và chỉ khi tồn tại số thực $k$ sao cho:

$$\boxed{\overrightarrow{AB} = k\overrightarrow{AC}}$$

Công thức 2 (Dùng tỉ lệ tọa độ):

$$\boxed{\frac{x_B – x_A}{x_C – x_A} = \frac{y_B – y_A}{y_C – y_A}}$$

(với điều kiện các mẫu số khác 0)

Công thức 3 (Dùng diện tích): Ba điểm thẳng hàng khi diện tích tam giác ABC bằng 0:

$$x_A(y_B – y_C) + x_B(y_C – y_A) + x_C(y_A – y_B) = 0$$

Ví dụ 6: Kiểm tra ba điểm thẳng hàng

• Cho $A(1; 2)$, $B(3; 4)$, $C(5; 6)$
• Tính: $\overrightarrow{AB} = (3-1; 4-2) = (2; 2)$
• Tính: $\overrightarrow{AC} = (5-1; 6-2) = (4; 4)$
• Nhận xét: $\overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AB}$ (với $k = 2$)
• Vậy $A$, $B$, $C$ thẳng hàng ✓

Cách kiểm tra nhanh:

• Tính $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$
• Nếu $\overrightarrow{AC} = k\overrightarrow{AB}$ → thẳng hàng
• Nếu $\frac{x_{AC}}{x_{AB}} = \frac{y_{AC}}{y_{AB}}$ → thẳng hàng

III. CÔNG THỨC TỌA ĐỘ VECTƠ

1. Tọa độ vectơ cơ bản

a) Định nghĩa tọa độ vectơ:

Trong hệ tọa độ Oxy, vectơ $\vec{a}$ có tọa độ $(x; y)$ nghĩa là: $$\vec{a} = x\vec{i} + y\vec{j}$$

Trong đó:

• $x$: Thành phần của vectơ theo phương trục Ox (hệ số của $\vec{i}$)
• $y$: Thành phần của vectơ theo phương trục Oy (hệ số của $\vec{j}$)

b) Tọa độ vectơ từ 2 điểm:

Cho hai điểm $A(x_A; y_A)$ và $B(x_B; y_B)$, vectơ $\overrightarrow{AB}$ có tọa độ:

$$\boxed{\overrightarrow{AB} = (x_B – x_A; y_B – y_A)}$$

Quy tắc nhớ: “Điểm cuối trừ điểm đầu”

Ví dụ 7: Tìm tọa độ vectơ

• Cho $A(2; 3)$ và $B(5; 7)$
• $\overrightarrow{AB} = (5-2; 7-3) = (3; 4)$

c) Vectơ đối:

Vectơ đối của $\overrightarrow{AB}$ là $\overrightarrow{BA}$: $$\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB} = (x_A – x_B; y_A – y_B)$$

Ví dụ:

• Nếu $\overrightarrow{AB} = (3; 4)$
• Thì $\overrightarrow{BA} = (-3; -4)$

Tính chất quan trọng:

• $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA} = \vec{0}$
• $|\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{BA}|$ (cùng độ dài)

2. Các phép toán với vectơ

a) Cộng hai vectơ:

Cho $\vec{a} = (x_1; y_1)$ và $\vec{b} = (x_2; y_2)$:

$$\boxed{\vec{a} + \vec{b} = (x_1 + x_2; y_1 + y_2)}$$

Quy tắc: Cộng từng tọa độ tương ứng.

Ví dụ 8:

• Cho $\vec{a} = (2; 3)$ và $\vec{b} = (1; 5)$
• $\vec{a} + \vec{b} = (2+1; 3+5) = (3; 8)$

Tính chất:

• Giao hoán: $\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$
• Kết hợp: $(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$
• Phần tử trung hòa: $\vec{a} + \vec{0} = \vec{a}$

b) Trừ hai vectơ:

$$\boxed{\vec{a} – \vec{b} = (x_1 – x_2; y_1 – y_2)}$$

Quy tắc: Trừ từng tọa độ tương ứng.

Ví dụ 9:

• Cho $\vec{a} = (5; 7)$ và $\vec{b} = (2; 3)$
• $\vec{a} – \vec{b} = (5-2; 7-3) = (3; 4)$

Chú ý: $\vec{a} – \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})$

c) Nhân vectơ với số thực:

Cho $\vec{a} = (x; y)$ và $k \in \mathbb{R}$:

$$\boxed{k\vec{a} = (kx; ky)}$$

Quy tắc: Nhân số k với từng tọa độ.

Ví dụ 10:

• Cho $\vec{a} = (2; 3)$ và $k = 3$
• $3\vec{a} = (3 \times 2; 3 \times 3) = (6; 9)$

Tính chất quan trọng:

• Nếu $k > 0$: $k\vec{a}$ cùng hướng với $\vec{a}$, độ dài gấp $k$ lần
• Nếu $k < 0$: $k\vec{a}$ ngược hướng với $\vec{a}$, độ dài gấp $|k|$ lần
• Nếu $k = 0$: $k\vec{a} = \vec{0}$ (vectơ không)

Tính chất đại số:

• $(k_1 + k_2)\vec{a} = k_1\vec{a} + k_2\vec{a}$
• $k(\vec{a} + \vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b}$
• $k_1(k_2\vec{a}) = (k_1k_2)\vec{a}$

3. Độ dài (môđun) vectơ

Định nghĩa: Độ dài (hay môđun) của vectơ là khoảng cách từ điểm đầu đến điểm cuối của vectơ.

Công thức: Cho $\vec{a} = (x; y)$:

$$\boxed{|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}}$$

Ký hiệu khác: $|\vec{a}|$ hoặc $|\vec{a}|$

Ví dụ 11:

• Cho $\vec{a} = (3; 4)$
• $|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

Tính chất:

• $|\vec{a}| \geq 0$ với mọi $\vec{a}$
• $|\vec{a}| = 0 \Leftrightarrow \vec{a} = \vec{0}$
• $|k\vec{a}| = |k| \cdot |\vec{a}|$
• $|\overrightarrow{AB}| = AB$ (độ dài vectơ bằng khoảng cách hai điểm)

Lưu ý quan trọng:

• Không được quên dấu căn bậc hai khi tính độ dài
• $|\vec{a}|^2 = x^2 + y^2$ (bình phương độ dài)

4. Tích vô hướng của hai vectơ

Định nghĩa: Tích vô hướng của hai vectơ là một số thực, biểu diễn mức độ “cùng hướng” của hai vectơ.

Công thức 1 (Theo tọa độ): Cho $\vec{a} = (x_1; y_1)$ và $\vec{b} = (x_2; y_2)$:

$$\boxed{\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2}$$

Quy tắc nhớ: “Nhân hoành với hoành, tung với tung, rồi cộng lại”

Công thức 2 (Theo độ dài và góc):

$$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\vec{a}, \vec{b})$$

Trong đó $(\vec{a}, \vec{b})$ là góc giữa hai vectơ.

Ví dụ 12:

• Cho $\vec{a} = (2; 3)$ và $\vec{b} = (4; 1)$
• $\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \times 4 + 3 \times 1 = 8 + 3 = 11$

Tính chất quan trọng:

• Giao hoán: $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$
• Phân phối: $\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}$
• Kết hợp với số: $(k\vec{a}) \cdot \vec{b} = k(\vec{a} \cdot \vec{b})$
• Bình phương vô hướng: $\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2 = x^2 + y^2$

Ý nghĩa hình học:

• Nếu $\vec{a} \cdot \vec{b} > 0$: góc nhọn (hai vectơ có xu hướng cùng hướng)
• Nếu $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$: góc vuông (hai vectơ vuông góc)
• Nếu $\vec{a} \cdot \vec{b} < 0$: góc tù (hai vectơ có xu hướng ngược hướng)

5. Điều kiện vuông góc của hai vectơ

Định nghĩa: Hai vectơ vuông góc khi góc giữa chúng bằng 90°.

Công thức: Hai vectơ $\vec{a} = (x_1; y_1)$ và $\vec{b} = (x_2; y_2)$ vuông góc với nhau ($\vec{a} \perp \vec{b}$) khi và chỉ khi:

$$\boxed{\vec{a} \cdot \vec{b} = 0}$$

Hay:

$$\boxed{x_1 x_2 + y_1 y_2 = 0}$$

Ví dụ 13:

• Cho $\vec{a} = (3; 2)$ và $\vec{b} = (4; -6)$
• Tính: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \times 4 + 2 \times (-6) = 12 – 12 = 0$
• Vậy $\vec{a} \perp \vec{b}$ ✓

Ứng dụng:

• Kiểm tra hai đường thẳng vuông góc
• Tìm vectơ pháp tuyến của đường thẳng
• Chứng minh hình chữ nhật, hình vuông

Lưu ý: Vectơ không ($\vec{0}$) được coi là vuông góc với mọi vectơ.

6. Điều kiện cùng phương của hai vectơ

Định nghĩa: Hai vectơ cùng phương khi chúng nằm trên cùng một đường thẳng hoặc song song với nhau.

Công thức 1 (Dùng tỉ số): Hai vectơ $\vec{a} = (x_1; y_1)$ và $\vec{b} = (x_2; y_2)$ cùng phương khi tồn tại số thực $k$ sao cho:

$$\boxed{\vec{a} = k\vec{b}}$$

Công thức 2 (Dùng tỉ lệ tọa độ):

$$\boxed{\frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2}}$$ (với điều kiện $x_2, y_2 \neq 0$)

Công thức 3 (Dùng tích chéo):

$$\boxed{x_1 y_2 – x_2 y_1 = 0}$$

Đây là công thức tổng quát nhất, áp dụng được trong mọi trường hợp.

Ví dụ 14:

• Cho $\vec{a} = (6; 9)$ và $\vec{b} = (2; 3)$
• Kiểm tra: $\frac{6}{2} = \frac{9}{3} = 3$
• Vậy $\vec{a} = 3\vec{b}$ → hai vectơ cùng phương ✓

Trường hợp đặc biệt:

• Nếu $k > 0$: hai vectơ cùng hướng
• Nếu $k < 0$: hai vectơ ngược hướng
• Vectơ không cùng phương với mọi vectơ

Ứng dụng:

• Kiểm tra ba điểm thẳng hàng
• Chứng minh hai đường thẳng song song
• Tìm điểm chia đoạn thẳng

7. Góc giữa hai vectơ

Định nghĩa: Góc giữa hai vectơ là góc nhỏ nhất tạo bởi hai vectơ khi đặt chúng chung gốc.

Công thức:

$$\boxed{\cos(\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \frac{x_1 x_2 + y_1 y_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2} \cdot \sqrt{x_2^2 + y_2^2}}}$$

Ví dụ 15: Tính góc giữa hai vectơ

• Cho $\vec{a} = (1; 0)$ và $\vec{b} = (1; 1)$
• Tính tích vô hướng: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \times 1 + 0 \times 1 = 1$
• Tính độ dài: $|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 0^2} = 1$
• Tính độ dài: $|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$
• Tính cosine: $\cos\alpha = \frac{1}{1 \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
• Góc $\alpha = 45°$ (hoặc $\frac{\pi}{4}$ rad)

Lưu ý:

• Góc giữa hai vectơ luôn nằm trong khoảng $[0°; 180°]$ hoặc $[0; \pi]$
• Để tính góc theo độ, dùng máy tính: $\alpha = \arccos\left(\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}\right)$

Các trường hợp đặc biệt:

• $\cos\alpha = 1$ ($\alpha = 0°$): hai vectơ cùng hướng
• $\cos\alpha = 0$ ($\alpha = 90°$): hai vectơ vuông góc
• $\cos\alpha = -1$ ($\alpha = 180°$): hai vectơ ngược hướng

8. Hình chiếu của vectơ

Định nghĩa: Hình chiếu vuông góc của vectơ $\vec{a}$ lên vectơ $\vec{b}$ là vectơ nằm trên phương của $\vec{b}$.

Công thức vectơ hình chiếu:

$$\boxed{\text{proj}_{\vec{b}} \vec{a} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2} \vec{b}}$$

Độ dài hình chiếu (hình chiếu vô hướng):

$$\boxed{|\text{proj}_{\vec{b}} \vec{a}| = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{b}|}}$$

Hoặc:

$$\text{proj}_{\vec{b}} \vec{a} = |\vec{a}| \cdot |\cos(\vec{a}, \vec{b})|$$

Ý nghĩa hình học: Độ dài hình chiếu là độ dài “bóng” của $\vec{a}$ khi chiếu vuông góc lên phương của $\vec{b}$.

Ứng dụng:

• Phân tích lực trong vật lý
• Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng
• Giải bài toán chuyển động

9. Bảng tổng hợp công thức vectơ

IV. ỨNG DỤNG GIẢI BÀI TOÁN HÌNH HỌC

Dạng 1: Chứng minh hình học

Bài tập 1: Cho bốn điểm $A(1; 2)$, $B(4; 3)$, $C(3; 6)$, $D(0; 5)$. Chứng minh $ABCD$ là hình bình hành.

Phương pháp: Để chứng minh ABCD là hình bình hành, ta cần chứng minh $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ (hai cạnh đối song song và bằng nhau).

Lời giải:

Bước 1: Tính $\overrightarrow{AB}$

• $\overrightarrow{AB} = (x_B – x_A; y_B – y_A) = (4 – 1; 3 – 2) = (3; 1)$

Bước 2: Tính $\overrightarrow{DC}$

• $\overrightarrow{DC} = (x_C – x_D; y_C – y_D) = (3 – 0; 6 – 5) = (3; 1)$

Bước 3: So sánh

• Ta có: $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} = (3; 1)$

Kết luận: Vì $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$, nên $ABCD$ là hình bình hành ✓

Cách kiểm tra khác:

• Có thể tính $\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{BC}$ để kiểm chứng
• $\overrightarrow{AD} = (0-1; 5-2) = (-1; 3)$
• $\overrightarrow{BC} = (3-4; 6-3) = (-1; 3)$
• Vậy $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$ ✓

Dạng 2: Tìm tọa độ điểm

Bài tập 2: Cho hai điểm $A(2; 3)$ và $B(5; 7)$. Tìm tọa độ điểm $M$ nằm trên đoạn $AB$ sao cho $MA = 2MB$.

Phương pháp: Sử dụng công thức chia đoạn thẳng theo tỉ số.

Lời giải:

Bước 1: Phân tích điều kiện

• Điều kiện $MA = 2MB$ có nghĩa là M chia AB theo tỉ lệ 2:1
• Hay $\overrightarrow{MA} = 2\overrightarrow{MB}$
• Điều này tương đương với M chia đoạn AB theo tỉ số $k = 2$

Bước 2: Áp dụng công thức chia đoạn $$M\left(\frac{x_A + kx_B}{1 + k}; \frac{y_A + ky_B}{1 + k}\right)$$

Bước 3: Thay số

• $x_M = \frac{2 + 2 \times 5}{1 + 2} = \frac{2 + 10}{3} = \frac{12}{3} = 4$
• $y_M = \frac{3 + 2 \times 7}{1 + 2} = \frac{3 + 14}{3} = \frac{17}{3}$

Kết luận: Điểm $M\left(4; \frac{17}{3}\right)$

Kiểm tra:

• $MA = \sqrt{(4-2)^2 + (\frac{17}{3}-3)^2} = \sqrt{4 + \frac{64}{9}} = \frac{2\sqrt{13}}{3}$
• $MB = \sqrt{(5-4)^2 + (7-\frac{17}{3})^2} = \sqrt{1 + \frac{16}{9}} = \frac{\sqrt{13}}{3}$
• Thật vậy: $MA = 2MB$ ✓

Dạng 3: Tính góc, độ dài

Bài tập 3: Cho tam giác $ABC$ với $A(0; 0)$, $B(3; 0)$, $C(0; 4)$. Tính: a) Độ dài các cạnh của tam giác b) Góc $\widehat{BAC}$

Lời giải:

Câu a) Tính độ dài các cạnh:

Cạnh AB:

• $AB = \sqrt{(3-0)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{9} = 3$

Cạnh AC:

• $AC = \sqrt{(0-0)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{16} = 4$

Cạnh BC:

• $BC = \sqrt{(0-3)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

Nhận xét: $AB^2 + AC^2 = 9 + 16 = 25 = BC^2$ → Tam giác ABC vuông tại A

Câu b) Tính góc $\widehat{BAC}$:

Bước 1: Tính các vectơ

• $\overrightarrow{AB} = (3; 0)$
• $\overrightarrow{AC} = (0; 4)$

Bước 2: Tính tích vô hướng

• $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 3 \times 0 + 0 \times 4 = 0$

Bước 3: Tính cosine của góc

• $\cos\widehat{BAC} = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{AC}|} = \frac{0}{3 \times 4} = 0$

Kết luận: $\widehat{BAC} = 90°$ (tam giác vuông tại A) ✓

Dạng 4: Tìm tâm và bán kính đường tròn

Bài tập 4: Cho ba điểm $A(1; 1)$, $B(4; 1)$, $C(4; 5)$. Tìm tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.

Phương pháp: Tâm đường tròn ngoại tiếp I cách đều ba đỉnh: $IA = IB = IC$

Lời giải:

Bước 1: Gọi tâm đường tròn là $I(x; y)$

Điều kiện: $IA^2 = IB^2 = IC^2$

Bước 2: Từ điều kiện $IA^2 = IB^2$

• $(x-1)^2 + (y-1)^2 = (x-4)^2 + (y-1)^2$
• $x^2 – 2x + 1 + y^2 – 2y + 1 = x^2 – 8x + 16 + y^2 – 2y + 1$
• $-2x + 1 = -8x + 16$
• $6x = 15$
• $x = 2.5$

Bước 3: Từ điều kiện $IB^2 = IC^2$

• $(x-4)^2 + (y-1)^2 = (x-4)^2 + (y-5)^2$
• $y^2 – 2y + 1 = y^2 – 10y + 25$
• $-2y + 1 = -10y + 25$
• $8y = 24$
• $y = 3$

Bước 4: Tính bán kính

• Tâm: $I(2.5; 3)$
• Bán kính: $R = IA = \sqrt{(2.5-1)^2 + (3-1)^2} = \sqrt{1.5^2 + 2^2} = \sqrt{2.25 + 4} = \sqrt{6.25} = 2.5$

Kết luận:

• Tâm đường tròn ngoại tiếp: $I(2.5; 3)$
• Bán kính: $R = 2.5$

Dạng 5: Tìm tọa độ điểm thỏa điều kiện

Bài tập 5: Tìm tọa độ điểm $M$ nằm trên trục Ox sao cho $M$ cách đều hai điểm $A(2; 3)$ và $B(6; 1)$.

Phương pháp: M trên Ox nên $M(x; 0)$. Điều kiện $MA = MB$.

Lời giải:

Bước 1: Vì M nằm trên trục Ox nên $M(x; 0)$

Bước 2: Điều kiện $MA = MB$

• $MA^2 = MB^2$
• $(x-2)^2 + (0-3)^2 = (x-6)^2 + (0-1)^2$
• $(x-2)^2 + 9 = (x-6)^2 + 1$

Bước 3: Khai triển và giải phương trình

• $x^2 – 4x + 4 + 9 = x^2 – 12x + 36 + 1$
• $x^2 – 4x + 13 = x^2 – 12x + 37$
• $-4x + 13 = -12x + 37$
• $8x = 24$
• $x = 3$

Kết luận: Điểm $M(3; 0)$

Kiểm tra:

• $MA = \sqrt{(3-2)^2 + (0-3)^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$
• $MB = \sqrt{(3-6)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$
• Vậy $MA = MB$ ✓

V. BÀI TẬP THỰC TẾ

Bài tập thực tế 1: GPS và định vị

Đề bài: Trên bản đồ GPS, vị trí nhà bạn A có tọa độ $(2; 3)$ km, trường học B có tọa độ $(5; 7)$ km (hệ tọa độ Oxy với đơn vị là km).

a) Tính khoảng cách từ nhà đến trường (đường chim bay) b) Bạn muốn ghé quán cà phê C nằm trên đoạn đường AB, cách A là $\frac{1}{3}$ quãng đường. Tìm tọa độ quán cà phê.

Lời giải:

Câu a) Tính khoảng cách:

• Áp dụng công thức khoảng cách:
• $AB = \sqrt{(5-2)^2 + (7-3)^2}$
• $AB = \sqrt{3^2 + 4^2}$
• $AB = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ km

Kết luận a: Khoảng cách từ nhà đến trường là 5 km.

Câu b) Tìm tọa độ quán cà phê:

Phân tích: C cách A là $\frac{1}{3}AB$, còn cách B là $\frac{2}{3}AB$

Do đó: $\frac{AC}{CB} = \frac{1/3}{2/3} = \frac{1}{2}$

Hay: $AC = \frac{1}{2}CB$ → $C$ chia $AB$ theo tỉ số $k = \frac{1}{2}$

Áp dụng công thức: $$C\left(\frac{x_A + kx_B}{1 + k}; \frac{y_A + ky_B}{1 + k}\right)$$

Tính toán:

• $x_C = \frac{2 + \frac{1}{2} \times 5}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{2 + 2.5}{1.5} = \frac{4.5}{1.5} = 3$ km
• $y_C = \frac{3 + \frac{1}{2} \times 7}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{3 + 3.5}{1.5} = \frac{6.5}{1.5} = \frac{13}{3} \approx 4.33$ km

Kết luận b: Quán cà phê C có tọa độ $\left(3; \frac{13}{3}\right)$ km hoặc xấp xỉ $(3; 4.33)$ km.

Ứng dụng thực tế: Định vị điểm trung gian trên đường đi, ước tính thời gian di chuyển, lập kế hoạch hành trình.

Bài tập thực tế 2: Thiết kế sân vườn

Đề bài: Một khu vườn có dạng tam giác với ba đỉnh tại $A(0; 0)$, $B(40; 0)$, $C(20; 30)$ (đơn vị: mét).

a) Tính diện tích khu vườn b) Chủ vườn muốn đặt hệ thống tưới tự động tại trọng tâm của khu vườn. Tìm vị trí đặt hệ thống.

Lời giải:

Câu a) Tính diện tích:

Áp dụng công thức diện tích tam giác: $$S = \frac{1}{2}|x_A(y_B – y_C) + x_B(y_C – y_A) + x_C(y_A – y_B)|$$

Thay số:

• $S = \frac{1}{2}|0(0-30) + 40(30-0) + 20(0-0)|$
• $S = \frac{1}{2}|0 + 1200 + 0|$
• $S = \frac{1}{2} \times 1200 = 600$ m²

Kết luận a: Diện tích khu vườn là 600 m².

Câu b) Tìm vị trí hệ thống tưới:

Áp dụng công thức trọng tâm: $$G\left(\frac{x_A + x_B + x_C}{3}; \frac{y_A + y_B + y_C}{3}\right)$$

Tính toán:

• $x_G = \frac{0 + 40 + 20}{3} = \frac{60}{3} = 20$ m
• $y_G = \frac{0 + 0 + 30}{3} = \frac{30}{3} = 10$ m

Kết luận b: Hệ thống tưới nên đặt tại vị trí $G(20; 10)$ mét.

Ứng dụng thực tế: Thiết kế cảnh quan, tối ưu hóa hệ thống tưới, phân bố đều nguồn nước, tiết kiệm chi phí lắp đặt.

Bài tập thực tế 3: Phân tích lực trong kỹ thuật

Đề bài: Trên một vật thể, có hai lực tác động với tọa độ (theo hệ tọa độ Oxy, đơn vị Newton):

• Lực thứ nhất: $\vec{F_1} = (30; 40)$ N
• Lực thứ hai: $\vec{F_2} = (50; 20)$ N

a) Tính hợp lực tác động lên vật b) Tính độ lớn của hợp lực

Lời giải:

Câu a) Tính hợp lực:

Hợp lực là tổng vectơ của hai lực: $$\vec{F} = \vec{F_1} + \vec{F_2}$$

Tính toán:

• $\vec{F} = (30; 40) + (50; 20)$
• $\vec{F} = (30 + 50; 40 + 20)$
• $\vec{F} = (80; 60)$ N

Kết luận a: Hợp lực $\vec{F} = (80; 60)$ N.

Câu b) Tính độ lớn hợp lực:

Áp dụng công thức độ dài vectơ: $$|\vec{F}| = \sqrt{x^2 + y^2}$$

Tính toán:

• $|\vec{F}| = \sqrt{80^2 + 60^2}$
• $|\vec{F}| = \sqrt{6400 + 3600}$
• $|\vec{F}| = \sqrt{10000} = 100$ N

Kết luận b: Độ lớn hợp lực là 100 N.

Ứng dụng thực tế: Tính toán cấu trúc trong kỹ thuật xây dựng, phân tích độ bền vật liệu, thiết kế cầu treo, giàn giáo, tính toán trọng lượng chịu tải.

Bài tập thực tế 4: Chuyển động trong game

Đề bài: Trong một game 2D, nhân vật đang ở vị trí $A(10; 20)$ (tính theo pixel). Nhân vật di chuyển với vận tốc $\vec{v} = (5; -3)$ pixel/giây. Tìm vị trí của nhân vật sau 4 giây.

Lời giải:

Phân tích: Vị trí mới bằng vị trí cũ cộng với quãng đường đi được.

Công thức: $\vec{s} = \vec{v} \times t$

Vị trí mới: $B = A + \vec{s} = A + 4\vec{v}$

Tính toán:

• Quãng đường: $\vec{s} = 4 \times (5; -3) = (20; -12)$ pixel
• Vị trí mới: $B = (10; 20) + (20; -12) = (10+20; 20-12) = (30; 8)$

Kết luận: Sau 4 giây, nhân vật ở vị trí $B(30; 8)$ pixel.

Ứng dụng thực tế: Lập trình game 2D/3D, mô phỏng chuyển động, tính toán quỹ đạo đạn, di chuyển nhân vật, xử lý vật lý trong game engine.

Bài tập thực tế 5: Thiết kế cầu treo

Đề bài: Một cây cầu treo có hai trụ đỡ đặt tại $A(-50; 0)$ m và $B(50; 0)$ m. Đỉnh của dây cáp ở điểm $C(0; 30)$ m.

a) Tính độ dài mỗi nửa dây cáp (AC hoặc BC) b) Tính góc giữa dây cáp AC và mặt phẳng ngang (trục Ox)

Lời giải:

Câu a) Tính độ dài dây cáp:

Do tính đối xứng: $AC = BC$. Ta chỉ cần tính AC.

Áp dụng công thức khoảng cách:

• $AC = \sqrt{(0-(-50))^2 + (30-0)^2}$
• $AC = \sqrt{50^2 + 30^2}$
• $AC = \sqrt{2500 + 900}$
• $AC = \sqrt{3400} = 10\sqrt{34} \approx 58.31$ m

Kết luận a: Mỗi nửa dây cáp dài khoảng 58.31 m.

Câu b) Tính góc với mặt phẳng ngang:

Bước 1: Xác định các vectơ

• Vectơ dây cáp: $\overrightarrow{AC} = (0-(-50); 30-0) = (50; 30)$
• Vectơ phương ngang: $\overrightarrow{AB} = (100; 0)$

Bước 2: Tính tích vô hướng

• $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AB} = 50 \times 100 + 30 \times 0 = 5000$

Bước 3: Tính độ dài các vectơ

• $|\overrightarrow{AC}| = \sqrt{50^2 + 30^2} = 10\sqrt{34}$
• $|\overrightarrow{AB}| = 100$

Bước 4: Tính cosine của góc $\cos\alpha = \frac{5000}{10\sqrt{34} \times 100} = \frac{5000}{1000\sqrt{34}} = \frac{5}{\sqrt{34}} = \frac{5\sqrt{34}}{34} \approx 0.857$

Bước 5: Tính góc $\alpha = \arccos(0.857) \approx 31°$

Kết luận b: Góc giữa dây cáp và mặt phẳng ngang là khoảng 31°.

Ứng dụng thực tế: Thiết kế cầu treo, tính toán độ bền kết cấu, xác định lực căng dây, tối ưu hóa vật liệu xây dựng.

Bài tập thực tế 6: Định hướng robot

Đề bài: Một robot đang ở vị trí xuất phát $(0; 0)$ m và cần di chuyển đến đích $(10; 15)$ m. Tuy nhiên, có một vật cản tại vị trí $(5; 7)$ m với bán kính an toàn 2m.

a) Tính vectơ hướng đích từ vị trí xuất phát b) Kiểm tra xem robot có thể di chuyển thẳng đến đích mà không va chạm vật cản không?

Lời giải:

Câu a) Tính vectơ hướng đích:

• Vectơ hướng đích: $\vec{v} = (10-0; 15-0) = (10; 15)$
• Độ dài quãng đường: $|\vec{v}| = \sqrt{10^2 + 15^2} = \sqrt{100 + 225} = \sqrt{325} = 5\sqrt{13} \approx 18.03$ m

Kết luận a: Vectơ hướng đích là $(10; 15)$, quãng đường khoảng 18.03 m.

Câu b) Kiểm tra va chạm:

Phương pháp: Tính khoảng cách từ vật cản $(5; 7)$ đến đường thẳng từ $(0; 0)$ đến $(10; 15)$.

Phương trình đường thẳng: Đường thẳng qua O và có vectơ chỉ phương $(10; 15)$ có dạng: $\frac{x}{10} = \frac{y}{15}$ hay $15x – 10y = 0$ hay $3x – 2y = 0$

Khoảng cách từ điểm $(5; 7)$ đến đường thẳng: $d = \frac{|3 \times 5 – 2 \times 7|}{\sqrt{3^2 + 2^2}} = \frac{|15 – 14|}{\sqrt{13}} = \frac{1}{\sqrt{13}} \approx 0.277 \text{ m}$

Kết luận b: Khoảng cách từ vật cản đến đường đi là 0.277 m < 2 m (bán kính an toàn). Robot SẼ VA CHẠM nếu đi thẳng.

Giải pháp: Robot cần đi vòng qua điểm an toàn, ví dụ $(3; 5)$ hoặc $(7; 9)$ trước khi đến đích.

Ứng dụng thực tế: Robotics, tự động hóa, lập trình drone, xe tự hành, tránh vật cản thông minh, AGV trong nhà máy.

Bài tập thực tế 7: Phân tích bay của máy bay

Đề bài: Một máy bay cất cánh từ vị trí $(0; 0; 0)$ km trong không gian Oxyz. Máy bay bay theo vectơ vận tốc $\vec{v} = (300; 400; 50)$ km/h trong 2 giờ. Tìm vị trí của máy bay sau 2 giờ.

Lưu ý: Bài này mở rộng lên không gian Oxyz (3D).

Lời giải:

Công thức: Vị trí mới = Vị trí ban đầu + Vận tốc × Thời gian

Tính toán:

• Quãng đường: $\vec{s} = 2\vec{v} = 2(300; 400; 50) = (600; 800; 100)$ km
• Vị trí sau 2 giờ: $P = (0; 0; 0) + (600; 800; 100) = (600; 800; 100)$ km

Phân tích:

• Tọa độ x = 600 km: Di chuyển 600 km về phía Đông
• Tọa độ y = 800 km: Di chuyển 800 km về phía Bắc
• Tọa độ z = 100 km: Độ cao 100 km (100,000 m)

Độ dài quãng đường: $|\vec{s}| = \sqrt{600^2 + 800^2 + 100^2} = \sqrt{360000 + 640000 + 10000} = \sqrt{1010000} \approx 1005 \text{ km}$

Kết luận: Máy bay ở vị trí $(600; 800; 100)$ km sau 2 giờ, đã bay được khoảng 1005 km.

Ứng dụng thực tế: Hàng không, quản lý không lưu, tính toán hành trình bay, dự đoán vị trí máy bay, điều phối giao thông hàng không.

Bài tập thực tế 8: Tính diện tích mảnh đất

Đề bài: Một mảnh đất có hình tứ giác với bốn đỉnh tại $A(0; 0)$, $B(50; 10)$, $C(60; 50)$, $D(10; 45)$ (đơn vị: mét). Tính diện tích mảnh đất để làm thủ tục đăng ký quyền sử dụng đất.

Lời giải:

Phương pháp: Chia tứ giác ABCD thành hai tam giác ABC và ACD, tính diện tích từng tam giác rồi cộng lại.

Bước 1: Tính diện tích tam giác ABC

Áp dụng công thức: $S_{ABC} = \frac{1}{2}|x_A(y_B – y_C) + x_B(y_C – y_A) + x_C(y_A – y_B)|$

Thay số:

• $S_{ABC} = \frac{1}{2}|0(10-50) + 50(50-0) + 60(0-10)|$
• $S_{ABC} = \frac{1}{2}|0 + 2500 – 600|$
• $S_{ABC} = \frac{1}{2} \times 1900 = 950$ m²

Bước 2: Tính diện tích tam giác ACD

$S_{ACD} = \frac{1}{2}|x_A(y_C – y_D) + x_C(y_D – y_A) + x_D(y_A – y_C)|$

Thay số:

• $S_{ACD} = \frac{1}{2}|0(50-45) + 60(45-0) + 10(0-50)|$
• $S_{ACD} = \frac{1}{2}|0 + 2700 – 500|$
• $S_{ACD} = \frac{1}{2} \times 2200 = 1100$ m²

Bước 3: Tính tổng diện tích $S = S_{ABC} + S_{ACD} = 950 + 1100 = 2050 \text{ m}^2$

Kết luận: Diện tích mảnh đất là 2050 m² = 0.205 ha.

Ứng dụng thực tế: Địa chính, đo đạc bản đồ, thẩm định giá đất, đăng ký quyền sử dụng đất, quy hoạch đô thị, phân lô bán nền.

VI. MẸO VÀ LƯU Ý

1. Các sai lầm thường gặp

❌ SAI LẦM 1: Nhầm lẫn $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BA}$

Sai:

• $\overrightarrow{AB} = (x_A – x_B; y_A – y_B)$ ❌

Đúng:

• $\overrightarrow{AB} = (x_B – x_A; y_B – y_A)$ ✓
• $\overrightarrow{BA} = (x_A – x_B; y_A – y_B)$ ✓
• Nhớ: “Điểm cuối trừ điểm đầu”

❌ SAI LẦM 2: Tính sai dấu khi trừ tọa độ

Sai:

• Cho $A(2; -3)$, $B(-1; 5)$
• $\overrightarrow{AB} = (-1-2; 5-3) = (-3; 2)$ ❌

Đúng:

• $\overrightarrow{AB} = (-1-2; 5-(-3)) = (-3; 8)$ ✓
• Chú ý dấu trừ với số âm: $5 – (-3) = 5 + 3 = 8$

❌ SAI LẦM 3: Quên bình phương khi tính độ dài vectơ

Sai:

• $|\vec{a}| = \sqrt{x + y}$ ❌

Đúng:

• $|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}$ ✓
• Phải bình phương từng tọa độ trước khi cộng

❌ SAI LẦM 4: Nhầm công thức trung điểm và trọng tâm

Sai:

• Trung điểm tam giác ABC: $M = \frac{A + B + C}{2}$ ❌

Đúng:

• Trung điểm AB: $M = \frac{A + B}{2}$ (chia cho 2) ✓
• Trọng tâm ABC: $G = \frac{A + B + C}{3}$ (chia cho 3) ✓

❌ SAI LẦM 5: Quên dấu giá trị tuyệt đối khi tính diện tích

Sai:

• $S = \frac{1}{2}(x_A(y_B – y_C) + …)$ (không có giá trị tuyệt đối) ❌

Đúng:

• $S = \frac{1}{2}|x_A(y_B – y_C) + …|$ ✓
• Diện tích luôn dương nên phải có dấu giá trị tuyệt đối

2. Mẹo nhớ công thức

Mẹo 1: Tọa độ vectơ

“Điểm cuối trừ điểm đầu”

• $\overrightarrow{AB} = B – A = (x_B – x_A; y_B – y_A)$
• Viết theo thứ tự: cuối – đầu

Mẹo 2: Trung điểm

“Cộng rồi chia 2”

• $M = \frac{A + B}{2}$
• Cộng từng tọa độ rồi chia 2

Mẹo 3: Trọng tâm

“Cộng cả 3 rồi chia 3”

• $G = \frac{A + B + C}{3}$
• Với tam giác thì chia 3, tứ giác chia 4

Mẹo 4: Tích vô hướng

“Nhân hoành với hoành, tung với tung, rồi cộng lại”

• $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2$
• Không nhân chéo!

Mẹo 5: Độ dài vectơ

“Bình phương rồi cộng, sau đó lấy căn”

• $|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}$
• Giống công thức Pythagore

Mẹo 6: Vuông góc

“Tích vô hướng bằng 0”

• $\vec{a} \perp \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$
• $\Leftrightarrow x_1 x_2 + y_1 y_2 = 0$

Mẹo 7: Cùng phương

“Tích chéo bằng 0”

• $\vec{a}$ // $\vec{b} \Leftrightarrow x_1 y_2 – x_2 y_1 = 0$
• Hoặc: $\vec{a} = k\vec{b}$

3. Quy trình giải bài tập chuẩn

Bước 1: Vẽ hình (nếu có thể)

• Vẽ hệ trục tọa độ Oxy
• Đánh dấu các điểm đã cho
• Hình dung bài toán trực quan hơn

Bước 2: Ghi rõ tọa độ các điểm/vectơ

• Liệt kê tất cả điểm đã biết
• Ghi rõ điểm nào cần tìm
• Xác định các vectơ liên quan

Bước 3: Xác định công thức cần dùng

• Đọc kỹ đề bài yêu cầu gì
• Chọn công thức phù hợp
• Lưu ý điều kiện áp dụng

Bước 4: Thay số cẩn thận

• Chú ý dấu âm, dấu dương
• Tính toán từng bước
• Không bỏ qua bước trung gian

Bước 5: Kiểm tra kết quả

• Kết quả có hợp lý không?
• Đơn vị có đúng không?
• Thử lại bằng cách khác (nếu có thể)

4. Bảng công thức tóm tắt

VII. KẾT LUẬN

Tổng kết

Bài viết đã tổng hợp đầy đủ và chi tiết các công thức tọa độ và vectơ trong hình học phẳng:

Công thức tọa độ điểm:

• Trung điểm, trọng tâm tam giác và đa giác
• Khoảng cách giữa hai điểm, từ điểm đến đường thẳng
• Diện tích tam giác theo tọa độ
• Điều kiện thẳng hàng của ba điểm

Công thức tọa độ vectơ:

• Tọa độ vectơ từ hai điểm
• Các phép toán: cộng, trừ, nhân số
• Độ dài (môđun) vectơ
• Tích vô hướng và ý nghĩa hình học
• Điều kiện vuông góc và cùng phương
• Góc giữa hai vectơ
• Hình chiếu vectơ

Ứng dụng thực tế:

• 5 dạng bài tập hình học có lời giải chi tiết
• 8 bài tập thực tế ứng dụng vào đời sống:
  • GPS và định vị
  • Thiết kế sân vườn
  • Phân tích lực trong kỹ thuật
  • Lập trình game
  • Thiết kế cầu treo
  • Robotics
  • Hàng không
  • Địa chính

Hệ thống hóa kiến thức:

• Mẹo nhớ công thức dễ dàng
• Cảnh báo sai lầm thường gặp
• Quy trình giải bài tập chuẩn
• Bảng tổng hợp công thức đầy đủ

Tài liệu tham khảo và học thêm

Các chủ đề liên quan nên tìm hiểu:

Cơ bản:

• Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ
• Phương trình đường tròn – Công thức và bài tập
• Hệ tọa độ trong mặt phẳng và không gian
• Vectơ trong mặt phẳng và không gian

ThS. Nguyễn Văn An

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn Tổ Toán tại Edus

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán học, Thạc sĩ Lý luận & Phương pháp dạy học môn Toán, Chức danh nghề nghiệp giáo viên THPT – Hạng II, Tin học ứng dụng cơ bản, Ngoại ngữ B1, Chứng chỉ bồi dưỡng năng lực tổ trưởng chuyên môn

Kinh nghiệm: 12+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT chuyên Trần Đại Nghĩa