I. GIỚI THIỆU VỀ MẶT CẦU

1. Định nghĩa mặt cầu

Định nghĩa: Mặt cầu là tập hợp tất cả các điểm trong không gian cách đều một điểm cố định (gọi là tâm) một khoảng không đổi (gọi là bán kính).

Ký hiệu: $S(I; R)$ hoặc $S(I, R)$

Trong đó:

• $I$: Tâm của mặt cầu
• $R$: Bán kính của mặt cầu ($R > 0$)

Biểu thức toán học: Mặt cầu tâm $I$ bán kính $R$ là tập hợp các điểm $M$ thỏa mãn: $$IM = R$$

Hiểu đơn giản: Mặt cầu giống như “vỏ” của một quả bóng, tất cả các điểm trên vỏ đều cách tâm một khoảng bằng nhau.

2. Các yếu tố của mặt cầu

Tâm mặt cầu: Điểm $I(a; b; c)$ trong không gian Oxyz

• $a$: Hoành độ của tâm
• $b$: Tung độ của tâm
• $c$: Cao độ của tâm

Bán kính: $R > 0$ (đơn vị: cm, m, dm)

• Là khoảng cách từ tâm đến bất kỳ điểm nào trên mặt cầu
• Điều kiện bắt buộc: $R$ phải dương

Đường kính: $d = 2R$

• Là đoạn thẳng đi qua tâm, nối hai điểm đối diện trên mặt cầu

Diện tích mặt cầu: $$S = 4\pi R^2$$

Thể tích khối cầu: $$V = \frac{4}{3}\pi R^3$$

Tầm quan trọng: Phương trình mặt cầu giúp biểu diễn và tính toán chính xác các bài toán không gian phức tạp.

II. CÔNG THỨC PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU

1. Dạng 1: Phương trình chính tắc (dạng chuẩn)

Công thức:

$$\boxed{(x – a)^2 + (y – b)^2 + (z – c)^2 = R^2}$$

Trong đó:

• Tâm mặt cầu: $I(a; b; c)$
• Bán kính: $R > 0$
• $(x, y, z)$: Tọa độ điểm bất kỳ trên mặt cầu

Cách nhớ: Đây là dạng “đẹp nhất”, dễ đọc tâm và bán kính nhất!

Đặc điểm:

• Hệ số của $x^2$, $y^2$, $z^2$ đều bằng 1
• Không có số hạng $xy$, $xz$, $yz$
• Dễ dàng xác định tâm và bán kính

Ví dụ 1: Viết phương trình mặt cầu tâm $I(1; -2; 3)$, bán kính $R = 5$.

Lời giải:

Áp dụng công thức dạng chuẩn: $$(x – a)^2 + (y – b)^2 + (z – c)^2 = R^2$$

Thay $a = 1$, $b = -2$, $c = 3$, $R = 5$: $$(x – 1)^2 + (y – (-2))^2 + (z – 3)^2 = 5^2$$ $$(x – 1)^2 + (y + 2)^2 + (z – 3)^2 = 25$$

Kết luận: Phương trình mặt cầu là $(x – 1)^2 + (y + 2)^2 + (z – 3)^2 = 25$.

Chú ý dấu: Khi $b = -2$, ta viết $(y – (-2)) = (y + 2)$ ✓

Ví dụ 2: Tìm tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình: $$(x + 3)^2 + (y – 1)^2 + (z + 2)^2 = 16$$

Lời giải:

Bước 1: Đưa về dạng chuẩn $$(x – (-3))^2 + (y – 1)^2 + (z – (-2))^2 = 4^2$$

Bước 2: Đọc tâm và bán kính

• Tâm: $I(-3; 1; -2)$
• Bán kính: $R = 4$ (vì $R^2 = 16$)

Kết luận: Tâm $I(-3; 1; -2)$, bán kính $R = 4$.

2. Dạng 2: Phương trình tổng quát

Công thức:

$$\boxed{x^2 + y^2 + z^2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0}$$

Điều kiện tồn tại mặt cầu: $$\boxed{a^2 + b^2 + c^2 – d > 0}$$

Khi đó:

• Tâm: $I(a; b; c)$
• Bán kính: $R = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2 – d}$

Cách nhớ:

• Hệ số của $x$ là $-2a$ → tâm có hoành độ $a = -\frac{\text{hệ số x}}{2}$
• Tương tự cho $b$ và $c$

Lưu ý quan trọng:

• Hệ số của $x^2$, $y^2$, $z^2$ phải bằng 1
• Nếu khác 1, phải chia cả hai vế cho hệ số đó
• Phải kiểm tra điều kiện $a^2 + b^2 + c^2 – d > 0$ trước!

Chuyển đổi giữa hai dạng:

Từ dạng chuẩn → tổng quát: Khai triển và rút gọn

Ví dụ: $(x – 2)^2 + (y + 1)^2 + (z – 3)^2 = 9$

Khai triển: $$x^2 – 4x + 4 + y^2 + 2y + 1 + z^2 – 6z + 9 = 9$$ $$x^2 + y^2 + z^2 – 4x + 2y – 6z + 5 = 0$$

Từ dạng tổng quát → chuẩn: Nhóm và hoàn thành bình phương

Ví dụ 3: Tìm tâm và bán kính của mặt cầu: $$x^2 + y^2 + z^2 – 4x + 6y – 2z + 5 = 0$$

Lời giải:

Bước 1: Xác định các hệ số

• Hệ số của $x$ là $-4$ → $-2a = -4$ → $a = 2$
• Hệ số của $y$ là $6$ → $-2b = 6$ → $b = -3$
• Hệ số của $z$ là $-2$ → $-2c = -2$ → $c = 1$
• Hằng số: $d = 5$

Bước 2: Kiểm tra điều kiện $$a^2 + b^2 + c^2 – d = 4 + 9 + 1 – 5 = 9 > 0$$ ✓

Bước 3: Tính tâm và bán kính

• Tâm: $I(2; -3; 1)$
• Bán kính: $R = \sqrt{9} = 3$

Kết luận: Tâm $I(2; -3; 1)$, bán kính $R = 3$.

3. Dạng 3: Mặt cầu đường kính AB

Công thức trực tiếp:

$$\boxed{(x – x_A)(x – x_B) + (y – y_A)(y – y_B) + (z – z_A)(z – z_B) = 0}$$

Hoặc tính tâm và bán kính:

• Tâm: $I$ là trung điểm của $AB$: $$I\left(\frac{x_A + x_B}{2}; \frac{y_A + y_B}{2}; \frac{z_A + z_B}{2}\right)$$
• Bán kính: $$R = \frac{AB}{2} = \frac{1}{2}\sqrt{(x_B – x_A)^2 + (y_B – y_A)^2 + (z_B – z_A)^2}$$

Ý nghĩa: Nếu AB là đường kính thì mọi điểm M trên mặt cầu đều có $\angle AMB = 90°$.

Ví dụ 4: Viết phương trình mặt cầu có đường kính $AB$ với $A(1; 2; 3)$ và $B(3; 4; 5)$.

Lời giải:

Cách 1: Dùng công thức trực tiếp

$$(x – 1)(x – 3) + (y – 2)(y – 4) + (z – 3)(z – 5) = 0$$

Khai triển: $$x^2 – 4x + 3 + y^2 – 6y + 8 + z^2 – 8z + 15 = 0$$ $$x^2 + y^2 + z^2 – 4x – 6y – 8z + 26 = 0$$

Cách 2: Tính tâm và bán kính

Bước 1: Tính tâm (trung điểm AB) $$I\left(\frac{1+3}{2}; \frac{2+4}{2}; \frac{3+5}{2}\right) = I(2; 3; 4)$$

Bước 2: Tính bán kính $$AB = \sqrt{(3-1)^2 + (4-2)^2 + (5-3)^2} = \sqrt{4+4+4} = 2\sqrt{3}$$ $$R = \frac{AB}{2} = \sqrt{3}$$

Bước 3: Viết phương trình $$(x – 2)^2 + (y – 3)^2 + (z – 4)^2 = 3$$

Kết luận: Phương trình mặt cầu là $(x – 2)^2 + (y – 3)^2 + (z – 4)^2 = 3$.

III. CÁC DẠNG BÀI TẬP TRỌNG TÂM

Dạng 1: Viết phương trình mặt cầu khi biết tâm và bán kính

Phương pháp: Áp dụng trực tiếp công thức dạng chuẩn: $$(x – a)^2 + (y – b)^2 + (z – c)^2 = R^2$$

Ví dụ 5: Viết phương trình mặt cầu tâm $I(-1; 2; 0)$, bán kính $R = 4$.

Lời giải:

Áp dụng công thức với $a = -1$, $b = 2$, $c = 0$, $R = 4$: $$(x – (-1))^2 + (y – 2)^2 + (z – 0)^2 = 4^2$$ $$(x + 1)^2 + (y – 2)^2 + z^2 = 16$$

Kết luận: Phương trình cần tìm là $(x + 1)^2 + (y – 2)^2 + z^2 = 16$.

Dạng 2: Tìm tâm và bán kính khi biết phương trình

Phương pháp:

• Nếu dạng chuẩn: Đọc trực tiếp tâm và $R^2$, chú ý dấu
• Nếu dạng tổng quát: Xác định $a, b, c, d$ rồi tính $I$ và $R$

Ví dụ 6: Tìm tâm và bán kính của mặt cầu: $$x^2 + y^2 + z^2 + 2x – 4y + 6z – 2 = 0$$

Lời giải:

Bước 1: Xác định hệ số

• $-2a = 2$ → $a = -1$
• $-2b = -4$ → $b = 2$
• $-2c = 6$ → $c = -3$
• $d = -2$

Bước 2: Kiểm tra điều kiện $$a^2 + b^2 + c^2 – d = 1 + 4 + 9 – (-2) = 16 > 0$$ ✓

Bước 3: Tìm tâm và bán kính

• Tâm: $I(-1; 2; -3)$
• Bán kính: $R = \sqrt{16} = 4$

Kết luận: Tâm $I(-1; 2; -3)$, bán kính $R = 4$.

Dạng 3: Viết phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm

Phương pháp:

1. Giả sử phương trình dạng tổng quát: $x^2 + y^2 + z^2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0$
2. Thay tọa độ 4 điểm vào, được hệ 4 phương trình 4 ẩn $a, b, c, d$
3. Giải hệ để tìm $a, b, c, d$
4. Viết phương trình và kiểm tra điều kiện

Ví dụ 7: Viết phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm: $$A(1; 0; 0), \quad B(0; 1; 0), \quad C(0; 0; 1), \quad D(1; 1; 1)$$

Lời giải:

Bước 1: Giả sử phương trình: $x^2 + y^2 + z^2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0$

Bước 2: Thay tọa độ các điểm

Thay $A(1; 0; 0)$: $1 – 2a + d = 0$ → $d = 2a – 1$ … (1)

Thay $B(0; 1; 0)$: $1 – 2b + d = 0$ → $d = 2b – 1$ … (2)

Thay $C(0; 0; 1)$: $1 – 2c + d = 0$ → $d = 2c – 1$ … (3)

Thay $D(1; 1; 1)$: $3 – 2a – 2b – 2c + d = 0$ … (4)

Bước 3: Từ (1), (2), (3): $$2a – 1 = 2b – 1 = 2c – 1$$ $$\Rightarrow a = b = c$$

Thay vào (4): $3 – 2a – 2a – 2a + (2a – 1) = 0$ $$3 – 4a – 1 = 0 \Rightarrow a = \frac{1}{2}$$

Vậy $a = b = c = \frac{1}{2}$, $d = 0$

Bước 4: Viết phương trình $$x^2 + y^2 + z^2 – x – y – z = 0$$

Hoặc dạng chuẩn: $\left(x – \frac{1}{2}\right)^2 + \left(y – \frac{1}{2}\right)^2 + \left(z – \frac{1}{2}\right)^2 = \frac{3}{4}$

Kết luận: Phương trình mặt cầu là $x^2 + y^2 + z^2 – x – y – z = 0$.

Dạng 4: Mặt cầu đi qua một điểm và có tâm cho trước

Phương pháp:

1. Tâm $I$ cho trước
2. Tính bán kính: $R = IA$ (khoảng cách từ tâm đến điểm)
3. Viết phương trình dạng chuẩn

Ví dụ 8: Viết phương trình mặt cầu tâm $I(1; 1; 1)$ và đi qua điểm $A(2; 3; 4)$.

Lời giải:

Bước 1: Tính bán kính $$R = IA = \sqrt{(2-1)^2 + (3-1)^2 + (4-1)^2}$$ $$= \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}$$

Bước 2: Viết phương trình $$(x – 1)^2 + (y – 1)^2 + (z – 1)^2 = 14$$

Kết luận: Phương trình mặt cầu là $(x – 1)^2 + (y – 1)^2 + (z – 1)^2 = 14$.

Dạng 5: Mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng

Lý thuyết: Mặt cầu tâm $I$, bán kính $R$ tiếp xúc với mặt phẳng $(P)$ khi và chỉ khi: $$\boxed{d(I, (P)) = R}$$

Công thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng:

Cho điểm $M(x_0; y_0; z_0)$ và mặt phẳng $(P): Ax + By + Cz + D = 0$: $$d(M, (P)) = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$

Ví dụ 9: Viết phương trình mặt cầu tâm $I(1; 2; 3)$ tiếp xúc với mặt phẳng: $$(P): 2x + 2y – z + 3 = 0$$

Lời giải:

Bước 1: Tính khoảng cách từ $I$ đến $(P)$ $$R = d(I, (P)) = \frac{|2 \cdot 1 + 2 \cdot 2 – 1 \cdot 3 + 3|}{\sqrt{2^2 + 2^2 + (-1)^2}}$$ $$= \frac{|2 + 4 – 3 + 3|}{\sqrt{4 + 4 + 1}} = \frac{6}{3} = 2$$

Bước 2: Viết phương trình $$(x – 1)^2 + (y – 2)^2 + (z – 3)^2 = 4$$

Kết luận: Phương trình mặt cầu là $(x – 1)^2 + (y – 2)^2 + (z – 3)^2 = 4$.

Dạng 6: Giao của mặt cầu và mặt phẳng

Lý thuyết: Cho mặt cầu $S(I; R)$ và mặt phẳng $(P)$. Gọi $d = d(I, (P))$.

Khi giao là đường tròn:

• Bán kính đường tròn: $r = \sqrt{R^2 – d^2}$
• Tâm đường tròn: Là hình chiếu của $I$ lên $(P)$

Ví dụ 10: Cho mặt cầu $(S): (x – 1)^2 + (y – 2)^2 + (z – 3)^2 = 25$ và mặt phẳng $(P): 2x + y + 2z – 3 = 0$. Xác định giao của $(S)$ và $(P)$.

Lời giải:

Bước 1: Xác định tâm và bán kính

• Tâm: $I(1; 2; 3)$
• Bán kính: $R = 5$

Bước 2: Tính khoảng cách từ $I$ đến $(P)$ $$d = \frac{|2 \cdot 1 + 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 – 3|}{\sqrt{2^2 + 1^2 + 2^2}}$$ $$= \frac{|2 + 2 + 6 – 3|}{\sqrt{9}} = \frac{7}{3}$$

Bước 3: So sánh $d$ với $R$ $$d = \frac{7}{3} \approx 2.33 < 5 = R$$

Kết luận: Mặt phẳng $(P)$ cắt mặt cầu $(S)$ theo một đường tròn.

Tính bán kính đường tròn: $$r = \sqrt{R^2 – d^2} = \sqrt{25 – \frac{49}{9}} = \sqrt{\frac{176}{9}} = \frac{4\sqrt{11}}{3}$$

IV. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA ĐIỂM VÀ MẶT CẦU

Lý thuyết

Cho mặt cầu $S(I; R)$ và điểm $M$ bất kỳ. Tính $d = IM$ (khoảng cách từ $M$ đến tâm $I$).

Cách kiểm tra nhanh: Thay tọa độ $M$ vào phương trình mặt cầu:

• Nếu kết quả $< R^2$ → $M$ trong mặt cầu
• Nếu kết quả $= R^2$ → $M$ trên mặt cầu
• Nếu kết quả $> R^2$ → $M$ ngoài mặt cầu

Ví dụ 11: Xét vị trí của điểm $M(2; 3; 4)$ đối với mặt cầu: $$(S): (x – 1)^2 + (y – 2)^2 + (z – 3)^2 = 9$$

Lời giải:

Cách 1: Tính khoảng cách

Bước 1: Xác định tâm và bán kính

• Tâm: $I(1; 2; 3)$
• Bán kính: $R = 3$

Bước 2: Tính $IM$ $$IM = \sqrt{(2-1)^2 + (3-2)^2 + (4-3)^2}$$ $$= \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$$

Bước 3: So sánh $$IM = \sqrt{3} \approx 1.73 < 3 = R$$

Cách 2: Thay tọa độ vào phương trình

$$(2 – 1)^2 + (3 – 2)^2 + (4 – 3)^2 = 1 + 1 + 1 = 3 < 9$$

Kết luận: Điểm $M$ nằm trong mặt cầu $(S)$.

V. CÔNG THỨC LIÊN QUAN

1. Diện tích và thể tích

Diện tích mặt cầu: $$\boxed{S = 4\pi R^2}$$

Thể tích khối cầu: $$\boxed{V = \frac{4}{3}\pi R^3}$$

Ví dụ: Mặt cầu có bán kính $R = 3$ cm

• Diện tích: $S = 4\pi \times 9 = 36\pi$ cm²
• Thể tích: $V = \frac{4}{3}\pi \times 27 = 36\pi$ cm³

2. Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

Công thức:

Cho điểm $M(x_0; y_0; z_0)$ và mặt phẳng $(P): Ax + By + Cz + D = 0$:

$$\boxed{d(M, (P)) = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}}$$

Lưu ý:

• Tử số: Thay tọa độ $M$ vào vế trái của $(P)$, lấy trị tuyệt đối
• Mẫu số: Căn bậc hai tổng bình phương các hệ số

3. Khoảng cách giữa hai điểm

Công thức:

Cho hai điểm $A(x_A; y_A; z_A)$ và $B(x_B; y_B; z_B)$:

$$\boxed{AB = \sqrt{(x_B – x_A)^2 + (y_B – y_A)^2 + (z_B – z_A)^2}}$$

Ứng dụng:

• Tính bán kính khi biết tâm và một điểm trên mặt cầu
• Tính đường kính khi biết hai điểm đối diện

VI. MẸO VÀ LƯU Ý

1. Các sai lầm thường gặp

❌ SAI LẦM 1: Quên điều kiện $a^2 + b^2 + c^2 – d > 0$

Sai:

• Viết phương trình mà không kiểm tra điều kiện
• Kết quả có thể không phải là mặt cầu!

Đúng:

• Luôn kiểm tra: $a^2 + b^2 + c^2 – d > 0$ ✓
• Nếu $= 0$: phương trình biểu diễn một điểm
• Nếu $< 0$: phương trình vô nghiệm (không có điểm nào thỏa mãn)

❌ SAI LẦM 2: Nhầm dấu khi chuyển từ dạng tổng quát sang chuẩn

Sai:

• $x^2 + y^2 + z^2 + 4x – 6y + 2z + 5 = 0$
• Suy ra tâm $I(4; -6; 2)$ ❌

Đúng:

• $-2a = 4$ → $a = -2$
• $-2b = -6$ → $b = 3$
• $-2c = 2$ → $c = -1$
• Tâm $I(-2; 3; -1)$ ✓

Quy tắc: Chia hệ số cho $-2$ (có dấu trừ!)

❌ SAI LẦM 3: Quên bình phương khi tính bán kính

Sai:

• $(x – 1)^2 + (y – 2)^2 + (z – 3)^2 = 25$
• Bán kính $R = 25$ ❌

Đúng:

• $R^2 = 25$ → $R = 5$ ✓

2. Mẹo làm bài nhanh

Dạng chuẩn:

• Đọc trực tiếp tâm từ dấu trong ngoặc (đổi dấu!)
• $(x – a)$ → tâm có hoành độ $a$
• $(x + a)$ → tâm có hoành độ $-a$
• $R^2$ ở vế phải → $R = \sqrt{R^2}$

Dạng tổng quát:

• Hệ số của $x, y, z$ chia cho $-2$ để tìm tâm
• $-2a$ → $a = -\frac{\text{hệ số}}{2}$
• Kiểm tra điều kiện trước khi tính bán kính

Kiểm tra nhanh:

• Thay tọa độ điểm vào phương trình
• So sánh kết quả với $R^2$

3. Thứ tự giải bài chuẩn

Bước 1: Nhận dạng đề bài

• Cho gì? (tâm, bán kính, điểm, mặt phẳng?)
• Cần tìm gì? (phương trình, tâm, bán kính, vị trí?)

Bước 2: Xác định phương pháp

• Dạng nào phù hợp? (chuẩn, tổng quát, đường kính?)
• Công thức nào cần dùng?

Bước 3: Tính toán

• Áp dụng công thức
• Chú ý dấu và đơn vị
• Kiểm tra điều kiện (nếu có)

Bước 4: Viết đáp án

• Phương trình: viết rõ ràng, gọn gàng
• Tâm và bán kính: ghi đầy đủ
• Kết luận: ngắn gọn, chính xác

VII. KẾT LUẬN

Tổng kết

Bài viết đã trình bày đầy đủ và chi tiết về phương trình mặt cầu:

3 dạng phương trình mặt cầu:

• Dạng chuẩn: $(x – a)^2 + (y – b)^2 + (z – c)^2 = R^2$
• Dạng tổng quát: $x^2 + y^2 + z^2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0$
• Đường kính AB: Tâm là trung điểm, $R = \frac{AB}{2}$

6 dạng bài tập trọng tâm:

1. Viết phương trình biết tâm và bán kính
2. Tìm tâm và bán kính từ phương trình
3. Mặt cầu qua 4 điểm
4. Mặt cầu qua 1 điểm, tâm cho trước
5. Mặt cầu tiếp xúc mặt phẳng
6. Giao của mặt cầu và mặt phẳng

Công thức vị trí tương đối:

• $IM < R$: M trong mặt cầu
• $IM = R$: M trên mặt cầu
• $IM > R$: M ngoài mặt cầu

Công thức liên quan:

• Diện tích: $S = 4\pi R^2$
• Thể tích: $V = \frac{4}{3}\pi R^3$
• Khoảng cách điểm – mặt phẳng
• Khoảng cách giữa hai điểm

Xem thêm các chủ đề liên quan:

• [Phương trình mặt phẳng trong không gian]
• [Phương trình đường thẳng trong không gian]
• [Khoảng cách và góc trong không gian]

ThS. Nguyễn Văn An

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn Tổ Toán tại Edus

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán học, Thạc sĩ Lý luận & Phương pháp dạy học môn Toán, Chức danh nghề nghiệp giáo viên THPT – Hạng II, Tin học ứng dụng cơ bản, Ngoại ngữ B1, Chứng chỉ bồi dưỡng năng lực tổ trưởng chuyên môn

Kinh nghiệm: 12+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT chuyên Trần Đại Nghĩa