I. GIỚI THIỆU VỀ TỨ DIỆN

1. Tứ diện là gì?

Định nghĩa: Tứ diện là một khối đa diện có 4 mặt đều là các tam giác.

Các yếu tố của tứ diện:

• 4 đỉnh: Thường ký hiệu A, B, C, D
• 6 cạnh: AB, AC, AD, BC, BD, CD
• 4 mặt: Các tam giác ABC, ABD, ACD, BCD

Đặc điểm:

• Là khối đa diện đơn giản nhất trong không gian
• Mỗi mặt là một tam giác
• Từ mỗi đỉnh có 3 cạnh xuất phát
• Còn được gọi là hình chóp tam giác

2. Phân loại tứ diện

Tứ diện đều:

• Cả 4 mặt đều là các tam giác đều bằng nhau
• Tất cả các cạnh đều có độ dài bằng nhau
• Là dạng tứ diện đối xứng nhất
• Có nhiều tính chất đặc biệt

Tứ diện vuông:

• Có 3 cạnh xuất phát từ một đỉnh vuông góc với nhau từng đôi một
• Ví dụ: Tứ diện OABC với OA ⊥ OB, OB ⊥ OC, OC ⊥ OA
• Dễ tính toán thể tích
• Thường gặp trong bài tập

Tứ diện thường:

• Không có tính chất đặc biệt nào
• Cần xác định cụ thể đáy và chiều cao
• Áp dụng công thức tổng quát

II. CÔNG THỨC CƠ BẢN TÍNH THỂ TÍCH TỨ DIỆN

1. Công thức chung (quan trọng nhất)

Đây là công thức phổ quát áp dụng cho mọi loại tứ diện.

Công thức:

$$\boxed{V = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{đáy}} \cdot h}$$

Trong đó:

• $V$: Thể tích tứ diện (đơn vị: cm³, m³, dm³…)
• $S_{\text{đáy}}$: Diện tích mặt đáy (một trong 4 mặt tam giác)
• $h$: Chiều cao (khoảng cách từ đỉnh đối diện vuông góc xuống mặt đáy)

Lưu ý quan trọng:

Chọn đáy: Có thể chọn bất kỳ mặt nào làm đáy, nhưng nên chọn mặt dễ tính diện tích

Chiều cao: Phải là khoảng cách vuông góc từ đỉnh đến mặt đáy

Giống hình chóp: Công thức giống với hình chóp vì tứ diện chính là hình chóp tam giác

Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD có đáy ABC là tam giác với diện tích $S_{ABC} = 20$ cm², chiều cao từ đỉnh D đến mặt phẳng (ABC) là $h = 6$ cm. Tính thể tích.

Lời giải:

Áp dụng công thức: $$V = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{đáy}} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 20 \cdot 6 = \frac{120}{3} = 40 \text{ cm}^3$$

Kết luận: Thể tích tứ diện là 40 cm³.

2. Công thức tính nhanh khi biết tọa độ 4 đỉnh

Khi biết tọa độ của 4 đỉnh trong không gian Oxyz, ta có công thức vector.

Cho tứ diện ABCD với:

• $A(x_A, y_A, z_A)$
• $B(x_B, y_B, z_B)$
• $C(x_C, y_C, z_C)$
• $D(x_D, y_D, z_D)$

Công thức 1 (Dùng tích hỗn tạp):

$$\boxed{V = \frac{1}{6} \left| \overrightarrow{AB} \cdot (\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AD}) \right|}$$

Giải thích:

• $\overrightarrow{AB} \cdot (\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AD})$ là tích hỗn tạp của ba vector
• Dấu giá trị tuyệt đối đảm bảo thể tích dương
• Chia cho 6 theo công thức toán học

Công thức 2 (Dùng định thức):

$$\boxed{V = \frac{1}{6} \left| \begin{vmatrix} x_B – x_A & y_B – y_A & z_B – z_A \\ x_C – x_A & y_C – y_A & z_C – z_A \\ x_D – x_A & y_D – y_A & z_D – z_A \end{vmatrix} \right|}$$

Cách tính định thức 3×3:

$$\begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} = a(ei – fh) – b(di – fg) + c(dh – eg)$$

Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD với A(0,0,0), B(1,0,0), C(0,2,0), D(0,0,3). Tính thể tích.

Lời giải:

Bước 1: Tính các vector:

• $\overrightarrow{AB} = (1, 0, 0)$
• $\overrightarrow{AC} = (0, 2, 0)$
• $\overrightarrow{AD} = (0, 0, 3)$

Bước 2: Tính định thức: $$\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{vmatrix} = 1 \cdot (2 \cdot 3 – 0) – 0 + 0 = 6$$

Bước 3: Tính thể tích: $$V = \frac{1}{6} |6| = 1 \text{ đơn vị khối}$$

Kết luận: Thể tích tứ diện là 1 đơn vị khối.

III. CÔNG THỨC ĐẶC BIỆT CHO CÁC LOẠI TỨ DIỆN

A. Tứ diện đều cạnh $a$

Tứ diện đều là dạng tứ diện đặc biệt và quan trọng nhất.

Công thức thể tích:

$$\boxed{V = \frac{a^3\sqrt{2}}{12}}$$

Trong đó: $a$ là độ dài cạnh của tứ diện đều (tất cả các cạnh bằng nhau).

Cách nhớ: “a lập phương nhân căn 2 chia 12”

Các công thức liên quan:

Chiều cao: $$h = a\sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{a\sqrt{6}}{3}$$

Diện tích một mặt (tam giác đều): $$S_{\text{mặt}} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$$

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp: $$R = \frac{a\sqrt{6}}{4}$$

Bán kính mặt cầu nội tiếp: $$r = \frac{a\sqrt{6}}{12} = \frac{R}{3}$$

Khoảng cách giữa hai cạnh đối diện: $$d = \frac{a\sqrt{2}}{2}$$

Chứng minh công thức:

Bước 1: Chọn mặt ABC làm đáy (tam giác đều cạnh $a$) $$S_{ABC} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$$

Bước 2: Chiều cao từ D đến (ABC): $$h = a\sqrt{\frac{2}{3}}$$

Bước 3: Tính thể tích: $$V = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot a\sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{a^3\sqrt{3}}{12} \cdot \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{a^3\sqrt{2}}{12}$$

Ví dụ 3: Tứ diện đều ABCD có cạnh $a = 6$ cm. Tính thể tích.

Lời giải:

Áp dụng công thức: $$V = \frac{6^3\sqrt{2}}{12} = \frac{216\sqrt{2}}{12} = 18\sqrt{2} \text{ cm}^3 \approx 25.46 \text{ cm}^3$$

Kết luận: Thể tích là $18\sqrt{2}$ cm³.

B. Tứ diện vuông (3 cạnh vuông góc)

Tứ diện vuông có 3 cạnh xuất phát từ một đỉnh và vuông góc với nhau từng đôi một.

Định nghĩa:

Cho tứ diện OABC với:

• OA ⊥ OB
• OB ⊥ OC
• OC ⊥ OA

(3 cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc tại đỉnh O)

Công thức thể tích:

$$\boxed{V = \frac{1}{6} \cdot OA \cdot OB \cdot OC}$$

Cách nhớ: “Một phần sáu nhân ba cạnh vuông góc”

Giải thích: Công thức này tương tự như thể tích hình hộp chữ nhật chia 6.

Ví dụ 4: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với:

• OA = 3 cm
• OB = 4 cm
• OC = 5 cm

Tính thể tích.

Lời giải:

Áp dụng công thức: $$V = \frac{1}{6} \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = \frac{60}{6} = 10 \text{ cm}^3$$

Kết luận: Thể tích là 10 cm³.

Cách chứng minh:

• Chọn tam giác OAB làm đáy (vuông tại O)
• Diện tích: $S_{OAB} = \frac{1}{2} \cdot OA \cdot OB$
• Chiều cao: $h = OC$ (vì OC ⊥ (OAB))
• Thể tích: $V = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot OA \cdot OB \cdot OC = \frac{OA \cdot OB \cdot OC}{6}$

C. Tứ diện có 2 cặp cạnh đối diện vuông góc

Đây là trường hợp đặc biệt ít gặp hơn nhưng có công thức riêng.

Điều kiện:

Nếu AB ⊥ CD và AC ⊥ BD (hai cặp cạnh đối diện vuông góc)

Công thức:

$$V = \frac{1}{6} \cdot AB \cdot CD \cdot d$$

Trong đó: $d$ là khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD.

Lưu ý: Công thức này khó áp dụng trong thực tế vì khó xác định khoảng cách $d$.

D. Tứ diện đặc biệt khác

1. Tứ diện có đáy là tam giác vuông:

Nếu đáy ABC vuông tại B với AB = $a$, BC = $b$:

Diện tích đáy: $$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$$

Thể tích: $$V = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot h = \frac{abh}{6}$$

Ví dụ: Tứ diện DABC có đáy ABC vuông tại B với AB = 3 cm, BC = 4 cm, chiều cao từ D đến (ABC) là h = 6 cm.

Lời giải: $$V = \frac{3 \cdot 4 \cdot 6}{6} = 12 \text{ cm}^3$$

2. Tứ diện có đáy là tam giác đều cạnh $a$:

Diện tích đáy: $$S_{\text{đáy}} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$$

Thể tích: $$V = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot h = \frac{a^2h\sqrt{3}}{12}$$

Ví dụ: Tứ diện SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 6 cm, chiều cao SH = 8 cm.

Lời giải: $$S_{ABC} = \frac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3} \text{ cm}^2$$ $$V = \frac{1}{3} \cdot 9\sqrt{3} \cdot 8 = 24\sqrt{3} \text{ cm}^3$$

IV. PHƯƠNG PHÁP TÍNH CHIỀU CAO CỦA TỨ DIỆN

1. Dùng định lý Pythagore trong không gian

Phương pháp:

• Xác định hình chiếu của đỉnh lên mặt đáy
• Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác vuông trong không gian

Ví dụ: Cho tứ diện SABC có SA = SB = SC = $l$ và đáy ABC là tam giác đều cạnh $a$. Tính chiều cao SH.

Lời giải:

Bước 1: H là trọng tâm tam giác ABC (vì SA = SB = SC)

Bước 2: Tính AH (từ đỉnh A đến trọng tâm): $$AH = \frac{2}{3} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$$

Bước 3: Trong tam giác SAH vuông tại H: $$SH^2 + AH^2 = SA^2$$ $$SH^2 = l^2 – \frac{a^2}{3}$$ $$SH = \sqrt{l^2 – \frac{a^2}{3}}$$

2. Dùng tỷ lệ thể tích

Nguyên lý: Khi chia tứ diện thành các phần, tỷ lệ thể tích liên quan đến tỷ lệ chiều cao.

Công thức: Với cùng đáy: $$\frac{V_1}{V_2} = \frac{h_1}{h_2}$$

Ví dụ: Cho tứ diện ABCD có thể tích $V$. Điểm M trên AD sao cho AM = 2MD. Tính thể tích tứ diện ABCM.

Lời giải:

Hai tứ diện ABCM và ABCD có cùng đáy ABC: $$\frac{V_{ABCM}}{V_{ABCD}} = \frac{h_M}{h_D} = \frac{AM}{AD} = \frac{2}{3}$$

Vậy: $V_{ABCM} = \frac{2V}{3}$

3. Dùng vector và tọa độ

Công thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng:

Cho mặt phẳng $(ABC)$ có vector pháp tuyến $\vec{n}$ và điểm D:

$$d(D, (ABC)) = \frac{|\overrightarrow{AD} \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}$$

Ví dụ minh họa:

Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), đáy ABC vuông tại B với AB = 3 cm, BC = 4 cm, SA = 5 cm. Tính thể tích.

Lời giải:

Bước 1: Vì SA ⊥ (ABC) nên chiều cao $h = SA = 5$ cm

Bước 2: Tính diện tích đáy: $$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6 \text{ cm}^2$$

Bước 3: Tính thể tích: $$V = \frac{1}{3} \cdot 6 \cdot 5 = 10 \text{ cm}^3$$

Kết luận: Thể tích là 10 cm³.

V. CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP

Dạng 1: Tính trực tiếp khi biết đáy và chiều cao

Phương pháp: Áp dụng công thức $V = \frac{1}{3}S_{\text{đáy}} \cdot h$

Bài tập 1: Tứ diện ABCD có đáy ABC là tam giác đều cạnh 6 cm, chiều cao từ D đến mặt phẳng (ABC) là DH = 8 cm. Tính thể tích.

Lời giải:

Bước 1: Tính diện tích đáy ABC (tam giác đều): $$S_{ABC} = \frac{6^2\sqrt{3}}{4} = \frac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3} \text{ cm}^2$$

Bước 2: Áp dụng công thức thể tích: $$V = \frac{1}{3} \cdot 9\sqrt{3} \cdot 8 = \frac{72\sqrt{3}}{3} = 24\sqrt{3} \text{ cm}^3$$

Kết luận: Thể tích là $24\sqrt{3} \approx 41.57$ cm³.

Dạng 2: Tứ diện đều

Phương pháp: Áp dụng công thức $V = \frac{a^3\sqrt{2}}{12}$

Bài tập 2: Tứ diện đều ABCD có cạnh $a = 4\sqrt{2}$ cm. Tính thể tích.

Lời giải:

Áp dụng công thức: $$V = \frac{(4\sqrt{2})^3\sqrt{2}}{12}$$

Bước 1: Tính $(4\sqrt{2})^3$: $$(4\sqrt{2})^3 = 64 \cdot 2\sqrt{2} = 128\sqrt{2}$$

Bước 2: Tính thể tích: $$V = \frac{128\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{12} = \frac{128 \cdot 2}{12} = \frac{256}{12} = \frac{64}{3} \text{ cm}^3 \approx 21.33 \text{ cm}^3$$

Kết luận: Thể tích là $\frac{64}{3}$ cm³.

Dạng 3: Tứ diện vuông

Phương pháp: Áp dụng công thức $V = \frac{abc}{6}$

Bài tập 3: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc tại O với OA = OB = OC = 6 cm. Tính thể tích.

Lời giải:

Áp dụng công thức tứ diện vuông: $$V = \frac{1}{6} \cdot OA \cdot OB \cdot OC = \frac{1}{6} \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 = \frac{216}{6} = 36 \text{ cm}^3$$

Kết luận: Thể tích là 36 cm³.

Dạng 4: Tính bằng tọa độ

Phương pháp: Dùng công thức vector hoặc định thức

Bài tập 4: Cho tứ diện ABCD với A(1,0,0), B(0,2,0), C(0,0,3), D(1,1,1). Tính thể tích.

Lời giải:

Bước 1: Tính các vector:

• $\overrightarrow{AB} = (0-1, 2-0, 0-0) = (-1, 2, 0)$
• $\overrightarrow{AC} = (0-1, 0-0, 3-0) = (-1, 0, 3)$
• $\overrightarrow{AD} = (1-1, 1-0, 1-0) = (0, 1, 1)$

Bước 2: Tính định thức: $$\begin{vmatrix} -1 & 2 & 0 \ -1 & 0 & 3 \ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix}$$

$$= -1(0 \cdot 1 – 3 \cdot 1) – 2(-1 \cdot 1 – 3 \cdot 0) + 0$$ $$= -1(-3) – 2(-1) = 3 + 2 = 5$$

Bước 3: Tính thể tích: $$V = \frac{1}{6}|5| = \frac{5}{6} \text{ đơn vị khối}$$

Kết luận: Thể tích là $\frac{5}{6}$ đơn vị khối.

Dạng 5: Tỷ lệ thể tích

Phương pháp: Sử dụng công thức tỷ lệ

Bài tập 5: Cho tứ diện ABCD có thể tích $V$. Điểm M là trung điểm của cạnh BC. Tính tỷ số $\frac{V_{ABMD}}{V_{ABCD}}$.

Lời giải:

Phân tích: Hai tứ diện ABMD và ABCD có cùng đáy ABD.

Tính chiều cao:

• Chiều cao từ M đến (ABD): $h_M$
• Chiều cao từ C đến (ABD): $h_C$

Vì M là trung điểm BC nên: $$\frac{h_M}{h_C} = \frac{BM}{BC} = \frac{1}{2}$$

Tỷ lệ thể tích: $$\frac{V_{ABMD}}{V_{ABCD}} = \frac{h_M}{h_C} = \frac{1}{2}$$

Kết luận: $V_{ABMD} = \frac{V}{2}$

VI. MẸO VÀ LƯU Ý KHI TÍNH THỂ TÍCH TỨ DIỆN

1. Các sai lầm thường gặp

❌ SAI LẦM 1: Quên chia cho 3

Sai:

• $V = S_{\text{đáy}} \cdot h$ ❌

Đúng:

• $V = \frac{1}{3}S_{\text{đáy}} \cdot h$ ✓

❌ SAI LẦM 2: Nhầm lẫn giữa diện tích và chu vi

Sai:

• Dùng chu vi thay vì diện tích đáy ❌

Đúng:

• Phải tính diện tích đáy, không phải chu vi ✓

❌ SAI LẦM 3: Chiều cao không vuông góc với đáy

Sai:

• Lấy độ dài cạnh bên làm chiều cao ❌

Đúng:

• Chiều cao phải vuông góc với mặt đáy ✓
• Cần xác định hình chiếu chính xác

❌ SAI LẦM 4: Đơn vị không thống nhất

Sai:

• Trộn lẫn cm và m trong cùng một bài ❌

Đúng:

• Đổi về cùng đơn vị trước khi tính ✓
• Ghi rõ đơn vị kết quả (cm³, m³, dm³)

2. Mẹo giải nhanh

🔹 Mẹo 1: Nhớ công thức tứ diện đều

“a lập phương nhân căn 2 chia 12”

$$V = \frac{a^3\sqrt{2}}{12}$$

Đây là công thức hay gặp nhất trong đề thi!

🔹 Mẹo 2: Nhớ công thức tứ diện vuông

“Một phần sáu nhân ba cạnh vuông góc”

$$V = \frac{abc}{6}$$

🔹 Mẹo 3: Chọn đáy phù hợp

Nguyên tắc:

• Chọn mặt dễ tính diện tích (tam giác vuông, tam giác đều)
• Chọn mặt dễ xác định chiều cao

Ví dụ: Nếu có một cạnh vuông góc với một mặt, chọn mặt đó làm đáy.

🔹 Mẹo 4: Dùng tọa độ khi có

Nếu đề bài cho tọa độ 4 đỉnh → Dùng công thức vector/định thức, nhanh và chính xác!

$$V = \frac{1}{6}\left|\det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD})\right|$$

3. Các bước giải bài toán thể tích tứ diện

Bước 1: Xác định dạng tứ diện

• Tứ diện đều? → Dùng $V = \frac{a^3\sqrt{2}}{12}$
• Tứ diện vuông? → Dùng $V = \frac{abc}{6}$
• Tứ diện thường? → Dùng $V = \frac{1}{3}Sh$

Bước 2: Chọn công thức phù hợp

• Nếu biết tọa độ → Dùng định thức
• Nếu biết đáy và cao → Dùng công thức cơ bản
• Nếu có tính chất đặc biệt → Dùng công thức riêng

Bước 3: Tính diện tích đáy (nếu cần)

• Tam giác vuông: $S = \frac{1}{2}ab$
• Tam giác đều: $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$
• Tam giác thường: Dùng công thức Heron

Bước 4: Tính chiều cao (nếu cần)

• Dùng định lý Pythagore
• Dùng tính chất hình học
• Dùng phương pháp vector

Bước 5: Áp dụng công thức và tính toán

• Thay số vào công thức
• Tính toán cẩn thận
• Rút gọn kết quả

Bước 6: Kiểm tra đơn vị và kết quả

• Đơn vị có đúng không? (cm³, m³…)
• Kết quả có dương không?
• Kết quả có hợp lý không?

VII. KẾT LUẬN

Bài viết đã tổng hợp đầy đủ các công thức tính thể tích tứ diện từ cơ bản đến nâng cao:

Công thức cơ bản – áp dụng cho mọi tứ diện: $$V = \frac{1}{3}S_{\text{đáy}} \cdot h$$

Công thức tứ diện đều – quan trọng nhất: $$V = \frac{a^3\sqrt{2}}{12}$$

Công thức tứ diện vuông – dễ áp dụng: $$V = \frac{abc}{6}$$

Công thức vector – khi biết tọa độ: $$V = \frac{1}{6}\left|\overrightarrow{AB} \cdot (\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AD})\right|$$

Phương pháp tính chiều cao – 3 cách chính

5 dạng bài tập trọng tâm với lời giải chi tiết từng bước

Mẹo và lưu ý – tránh sai lầm phổ biến

Xem thêm các bài liên quan:

• [Công thức thể tích hình chóp – Đầy đủ và chi tiết]
• [Công thức thể tích khối đa diện – Tổng hợp]
• [Bài tập hình học không gian có lời giải chi tiết]
• [Công thức tọa độ và vector trong không gian]

ThS. Nguyễn Văn An

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn Tổ Toán tại Edus

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán học, Thạc sĩ Lý luận & Phương pháp dạy học môn Toán, Chức danh nghề nghiệp giáo viên THPT – Hạng II, Tin học ứng dụng cơ bản, Ngoại ngữ B1, Chứng chỉ bồi dưỡng năng lực tổ trưởng chuyên môn

Kinh nghiệm: 12+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT chuyên Trần Đại Nghĩa